FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

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1 º BT Mt I CNS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Función rel de vrible rel.- Un unción rel de vrible rel es un plicción de D en R, siendo D un subconjunto de R distinto del conjunto vcío D Φ. Al conjunto D se le denomin dominio de l unción. Llmremos Im o recorrido de l conjunto siguiente: { R; D}. Evidentemente se veriic Im R. Evidentemente un unción qued determind conociendo su dominio y su criterio de signción de imágenes. Sin embrgo, en l práctic, l reerirnos un unción, en muchs ocsiones indicmos eclusivmente cul es su criterio de signción. Cundo esto suced, es decir cundo l reerirnos un unción no se indique cul es su dominio, considerremos que éste es el más mplio posible, de cuerdo con el criterio de signción de imágenes indicdo. Por ejemplo, si considermos l unción 5 4 y no mencionmos su dominio, éste será el más mplio posible, de cuerdo con el criterio de signción citdo. Es decir, estrá ormdo por todos los números reles tles que sustituidos en l hcen que 5 4 se un número rel. Por tnto el dominio de será el siguiente conjunto: -, l] [4,. Gráic de un unción.- Fijdo un sistem de reerenci, llmremos gráic de, respecto de dicho sistem, l siguiente conjunto de puntos: {, ; D}. Funciones elementles.- Función polinómic.- n n n- n- n- n Su dominio es R. Distinguiremos ls siguientes: Función constnte: Tiene l orm k, siendo k un número rel. Su representción gráic es un líne rect horizontl, que ps por el punto 0,k; en prticulr, l ecución del eje es y 0 Función linel: Tiene l orm m, siendo m un número rel no nulo, llmdo pendiente. Su representción gráic es un líne rect que ps por el origen, creciente si m>0 y decreciente si m<0. Función ín: Tiene l orm mn, siendo m y n números reles llmdos pendiente y ordend en el origen respectivmente m,n 0. Su representción gráic es un líne rect que no ps por el origen, sino por el punto 0,n, creciente si m>0 y decreciente si m<0. Función vlor bsoluto: Se denot como y se deine si 0 si < 0 En deinitiv es un unción trozos. Su dominio es R, y su gráic serán dos semirrects cuyo origen será el origen de coordends. Función vlor bsoluto de l unción g. g si g 0 g. Su dominio será el de g. g si g < 0 Función cudrátic: Tiene l orm bc, siendo, b y c números reles 0.Su representción gráic es un prábol si >0 y si <0. Función rcionl :Es el cociente de dos unciones polinómics. Su dominio es todo R, slvo los números reles que sen ríces del denomindor. Función ríz cudrd: Si cd número rel positivo le hcemos corresponder su ríz cudrd obtenemos un unción cuy epresión mtemátic es D { R 0 }.. Su dominio Teori de Funciones Pág

2 º BT Mt I CNS Funciones deinids trozos: Serán ls unciones tles que su criterio de signción de si < 3 imágenes vrí pr dierentes puntos del dominio por ejemplo : 3 si 3 <. si Su dominio será :el de cd un de ls unciones que l integrn y los puntos que deinen cd trozo. Operciones con unciones.- Sen : DR y g: D' R. Sum.- g g. Dominio g D D'. Producto.-.g.g. Dominio.g D D'. Producto por un número rel k.- k. k.. Dominio k.d. Cociente.- /g /g. Dominio /g D { D' / g 0}. Composición.- go g. Dominio go { D; D'}. Evidentemente, pr poder relizr un determind operción, el dominio de l unción resultdo no puede ser el conjunto vcío. Función invers. Un unción : D R es inyectiv si y sólo si se cumple lo siguiente: si y entonces y. Se un unción, de dominio D, inyectiv, llmmos unción invers de l siguiente: - : Im R tl que - b b. Es inmedito que -- o, D, que o - y Im. Se veriic que ls gráics de y de - son simétrics respecto de l rect y bisectriz de los cudrntes primero y tercero. Función eponencil.- e. Su dominio es R. Im 0,. Es estrictmente creciente en todo su dominio. Función logritmo neperino.- Ln. Es l unción invers de l unción eponencil. Por tnto su dominio es 0,. Evidentemente y Ln e y. Se cumple que Ln.bLn Ln b ; Ln : b Ln - Ln b ; Ln. Ln Ls gráics de l unción eponencil y de l unción logritmo neperino, l ser inverss, son simétrics respecto de l rect y. Función eponencil de bse >0,.. Su dominio es R. Im 0,. Si > l entonces l unción es estrictmente creciente en todo su dominio. Si < l entonces l unción es estrictmente decreciente en todo su dominio. Función logrítmic de bse >0,. Log. Es l unción invers de l unción eponencil de bse. Por tnto su dominio es 0,. Evidentemente y log y. Se cumple que Log b.c Log b Log c ; Log b: c Log b Log c Ls gráics de l unción eponencil y de l unción logrítmic, mbs de bse, son simétrics respecto de l rect y. Teori de Funciones Pág

3 º BT Mt I CNS Alguns crcterístics de ls unciones:signo, pridd, crecimiento... Signo de un unción: Determinr el signo de un unción consiste en buscr pr qué vlores de es >0 y pr que vlores de es <0. Geométricmente el problem se trduce en determinr pr que vlores de l gric de está por encim del eje OX >0, por debjo <0 o cort l eje OX 0. Funcion pr: Se un unción rel de vrible rel deinid en un dominio D. Se dice que es pr cundo - D. Funcion impr: Se un unción rel de vrible rel deinid en un dominio D. Se dice que es impr cundo - - D. Función monóton en un determindo intervlo Se : D R, es monóton en I cundo:,y I se veriic que si <y entonces <y monóton creciente.,y I se veriic que si <y entonces >y monóton decreciente.,y I se veriic que si <y entonces y monóton no decreciente.,y I se veriic que si <y entonces y monóton no creciente. Función monóton en un punto 0. : D R es monóton creciente, decreciente, no decreciente o no creciente en o D cundo eiste un intervlo o-h, oh h>0 en el que es, respectivmente, monóton creciente, decreciente, no decreciente o no creciente. Sucesión.- Es un cso prticulr de unción en el que el dominio es N. Es decir es un plicción de N en R. A l imgen de se l denomin primer término de l sucesión l, l de segundo término, l de 3 tercer término 3,..., l de i término i,... Como el dominio es siempre N, un sucesión qued perectmente determind indicndo cules son sus términos. Éstos suelen drse por medio de un o vris órmuls que constituyen l epresión del llmdo término generl de l sucesión. Por ejemplo si decimos: considermos l sucesión n n, estmos, de ese modo, indicndo cules son todos los términos de l sucesión. Evidentemente éstos se obtendrán dndo n los vlores,,3,... Límite de un sucesión.- Límite rel.- Diremos que un sucesión n, tiene por límite un número rel L escribiremos n L cundo ε > 0 eiste un término de l sucesión dependiendo de ε tl que todos los términos que le siguen pertenecen l intervlo L-ε, Lε. Límite.- Diremos que un sucesión n, tiene por límite escribiremos n cundo k > 0 eiste un término de l sucesión dependiendo de k tl que todos los términos que le siguen son myores que k. Límite -.- Diremos que un sucesión n, tiene por límite - escribiremos n cundo k < 0 eiste un término de l sucesión dependiendo de k tl que todos los términos que le siguen son menores que k. n Un sucesión especilmente interesnte es l de término generl n. Su límite es n el número irrcionl e ' Teori de Funciones Pág 3

4 º BT Mt I CNS Límite de un unción.- En l siguiente deinición se incluyen, de modo brevido, quince csos. Observ que α dmite cinco posibiliddes y que β dmite tres. Combinndo tods ells obtenemos ls quince opciones indicds. b Se :D R. Se dice que β, con α ; β,b R, α Cundo sucesión de términos,, 3,, n, siendo i i D, que cso teng por límite, cumpliéndose que i i. cso teng por límite, cumpliéndose que i i >. cso - teng por límite, cumpliéndose que i i <. cso teng por límite. cso teng por límite. se veriic que l correspondiente sucesión de imágenes,, 3, n, tiene por límite β. Cso de eistir y, el que eist equivle que sen igules los dos límites lterles citdos, coincidiendo su vlor con el de éstos. Teorem de l unicidd del límite.- Si eiste β entonces dicho límite es α único con ls posibiliddes pr α y β y indicds en l deinición. Indeterminciones : Clculo de ites. Cundo se clculn ites de sum, dierenci, producto o cociente de unciones no siempre se logr un resultdo clro en primer instnci. A veces se obtienen epresiones indeterminds del tipo 0/0, /, 0. y - Indeterminción 0/0 : Si es un unción rcionl, y surge l indeterminción 0/0 se descompone numerdor y denomindor en sus ceros o ríces y se simpliic l unción rcionl; luego se tomn ites. Si est indeterminción sle del cociente de unciones irrcionles, se multiplic numerdor y denomindor por el conjugdo decudo numerdor o denomindor. b Indeterminción / : se divide el numerdor y el denomindor entre m siendo m el myor de los grdos de los polinomios numerdor o denomindor. cindeterminción - : se relizn operciones pr llegr ls indeterminciones nteriores. Teori de Funciones Pág 4

5 º BT Mt I CNS Aplicciones de los límites. Cálculo de síntots. Asíntot verticl: L rect es un síntot verticl de l unción si: ±, ± o ±. Pr clculrls, probremos con los puntos que nulen el denomindor de l unción, en el cso de un unción rcionl. Si lguno de los límites lterles, o mbos, dn o, entonces eiste síntot verticl. Asíntot horizontl: L rect y b es un síntot horizontl de l unción si b o b. Pr clculrls, hllremos dichos límites. Si uno de ellos, o mbos, dn como resultdo un número rel entonces eiste síntot horizontl. Función continu en.- Se : D R un unción y D. Diremos que es un unción continu en cundo eiste y dicho límite es. Es decir,. Observ que l nterior deinición eige lo siguiente: i L eistenci de límite rel de cundo. ii L eistenci de, es decir, debe pertenecer l dominio de l unción D. iii El que y el límite citdo coincidn. Propieddes de ls unciones continus: Si y g son unciones continus en, entonces : g es continu en. -g es continu en..g es continu en. /g es continu en. K es continu en. Continuidd de lguns unciones: Ls unciones constntes son continus. Ls unciones ines son continus. Ls unciones polinómics son continus. Ls unciones rcionles son continus en todos los puntos ecepto en los ceros del denomindor. Un unción que no se continu en se denomin discontinu en. Hy diversos modos de que un unción se discontinu en. Uno de ellos, denomindo discontinuidd evitble, consiste en lo siguiente: L R y L o bien L o bien. En el resto de los modos de discontinuidd diremos que ést es no evitble. A continución se eponen lgunos ejemplos, estudiándose en cd cso su continuidd en. Un present un discontinuidd inevitble de slto inito cundo lguno de los ites lterles eisten pero son distintos. L unción puede estr o no deinid en. Teori de Funciones Pág 5

6 º BT Mt I CNS Teori de Funciones Pág 6 Un present un discontinuidd inevitble de slto ininito cundo uno o los dos ites lterles son ininitos.l unción puede estr o no deinid en Si lguno de los ites lterles no eiste se dice que present en un discontinuidd de segund especie. Continu en Discontinu en Discontinu en Discontinu en Discontinu en Discontinu en l

7 º BT Mt I CNS Derivd de un unción en.- Se un unción : I R, siendo I un intervlo; es derivble en I si eiste y es un número rel el siguiente límite:. En el cso de que lo epuesto ocurr, l vlor del límite se le llm derivd de en y se simboliz como '. Si llmmos h - h - como el que <> h 0 podemos utilizr l siguiente h deinición de derivd, equivlente l dd:. h 0 h Si no es etremo de I entonces se cumple lo siguiente: es derivble en <> eisten los siguientes límites, siendo mbos el mismo número rel. Al primer límite se le denomin, cso de eistir y de ser inito, derivd lterl por l derech de en. Al segundo límite se le denomin, cso de eistir y de ser inito, derivd por l izquierd de en. Interpretción geométric de l derivd.- En l siguiente serie de igurs se muestr l posición de l rect secnte AP cundo el incremento h de l vrible independiente tiende 0. Se trt de deinir l tngente l curv en el punto A. Pr ello, consideremos el conjunto de puntos P, P, P 3, P 4,..., proimándose l punto A. En ls igurs se consider que dichos puntos están todos l mismo ldo de A pero l proimción puede relizrse por mbos ldos, cso de estr deinid l unción en los dos. Observndo ls igurs se deduce que si los puntos P, P, P 3, P 4... se proimn A entonces ls rects secntes AP, AP, AP 3, AP 4,... se proimn un rect t que coincide con l ide intuitiv de rect tngente en el punto A. Por tnto, se puede dr l siguiente deinición: L rect tngente un curv en el punto A es l posición límite, si eiste, de ls rects secntes AP, AP, AP 3, AP 4,... cundo los puntos P, P, P 3, P 4,... se proimn l punto A. Ls rects secntes que psn por el punto A quedn determinds por su pendiente. h L pendiente de ls rects secntes que psn por A es: m. h Cundo h tiende 0, l pendiente de l rect tngente en el punto A será por tnto el siguiente h límite: es decir, l derivd de l unción en : '. h 0 h Teori de Funciones Pág 7

8 º BT Mt I CNS Por tnto, l ecución de l rect tngente l gráic de l unción en, es: y - ' - Hst hor hemos estudido cómo clculr l derivd de un unción en. Evidentemente si desemos clculr l derivd de en vrios vlores de será preciso repetir cd vez los correspondientes cálculos. L orm de evitr ls citds repeticiones es determinr l epresión lgebric de l que llmremos unción derivd de. Ést nos proporcionrá el vlor de l derivd de, en un vlor culquier de en el que eist, sustituyendo dicho vlor en l menciond epresión lgebric. Función derivd.- Se : I R tl que es derivble en D I. Llmmos unción derivd de l siguiente: ' : D R '. Observemos que l ser ' un unción podemos hblr tmbién de su unción derivd, que llmremos derivd segund de y simbolizremos ". Del mismo modo podremos hblr de derivd tercer, curt,... de. Derivbilidd y continuidd.- L derivbilidd supone un progreso en relción con l simple continuidd de un unción; se trt de un propiedd más restrictiv, y que eisten unciones continus que no son derivbles. L implicción de que un unción derivble es continu se demuestr en el siguiente teorem: Teorem: Si un unción es derivble en un punto entonces es continu en él. Propieddes de ls operciones en relción con l derivbilidd.- Sen, g : IR derivbles en R. I g es derivble en y g' ' g ' II.g es derivble en y.g ' '.g.g '. III k. es derivble en y k. ' k. '. IV Si g 0 entonces /g es derivble en y se cumple que: g Teori de Funciones Pág 8. g. g g. V Se J un intervlo, l unción nterior y h : JR derivble en entonces ho es derivble en y h o ' h '. '. Tbl de ls principles unciones derivds.- Funciones elementles K' 0 sen ' cos r r. r-, r R cos ' - sen e e tg tg. Ln Ln ' Log ' ln cos rc sen ' rc cos ' rc tg

9 º BT Mt I CNS Derivd de l uncion compuest cos Relciones entre l derivd y l monotoní de un unción.- Y vimos ls deiniciones de unción monóton creciente, monóton decreciente, monóton no decreciente y monóton no creciente en un intervlo y en un punto. Algunos libros ls designn, respectivmente, monóton estrictmente creciente, monóton estrictmente decreciente, monóton creciente y monóton decreciente. A continución vmos ver unos resultdos muy útiles que relcionn l monotoní de un unción con el vlor de l derivd. Hy que tener en cuent que el estudio de l monotoní de un unción de l que sólo conocemos el criterio de signción de imágenes es más complicdo que el estudio de l monotoní prtir de l gráic de l unción. Los resultdos siguientes nos proporcionrán un inormción muy vlios. Teorem.- Si es un unción deinid en, b y derivble en c,b con ' c>0, 'c<0 entonces l unción es creciente decreciente en c. Teorem.- Si es un unción deinid en,b y derivble en,b tl que '>0, '<0,, b, entonces l unción es creciente decreciente en el intervlo. Máimos y mínimos reltivos de unciones. Relción con l derivd.- Un unción tiene un máimo reltivo en 0, si eiste un intervlo 0 -h, 0 h tl que 0 pr todo perteneciente este intervlo. Un unción tiene un mínimo reltivo en 0 si eiste un intervlo 0 - h, 0 h tl que o pr todo perteneciente este intervlo. Si l unción es continu un máimo reltivo de ell es un punto donde ést ps de ser no decreciente no creciente, y un mínimo reltivo es un punto en el que l unción ps de ser no creciente ser no decreciente. Al igul que comentmos en el estudio de l monotoní de un unción, result más sencillo estudir los etremos reltivos máimos y mínimos reltivos de un unción cundo ést es derivble, usndo el siguiente teorem. Teorem.-Si :,br tiene un etremo reltivo en c y eiste 'c entonces 'c 0. Observ que el teorem nterior eige que se derivble. No obstnte un unción puede tener un máimo o un mínimo reltivo en c sin eistir 'c. Por ejemplo l unción no es derivble en 0 y posee un mínimo reltivo en 0. Teori de Funciones Pág 9

10 º BT Mt I CNS Por otro ldo ten en cuent que l condición ' c 0 es NECESARIA pr que, siendo derivble en c, pose en c un etremo reltivo pero NO ES SUFICIENTE. Es decir puede suceder que ' c 0 y sin embrgo que no teng un etremo reltivo en c. Por ejemplo l unción 3 cumple '00 y no tiene etremo reltivo en 0. Los puntos pertenecientes l intervlo,b en los cules l derivd es cero o no está deinid, se llmn puntos críticos. Por tnto, los posibles máimos y mínimos reltivos se encuentrn en el conjunto de los puntos críticos. Pero no todos los puntos críticos serán máimos o mínimos reltivos. Pr slir de duds podemos utilizr lo que se epone continución. Se c un punto crítico en el que ' c 0. Si pr vlores muy próimos c por l izquierd es '>0 y pr vlores muy próimos c por l derech es '<0 unción decreciente, entonces l unción tiene un máimo reltivo en el punto c. Si pr vlores muy próimos c por l izquierd es '<0 y pr vlores muy próimos c por l derech es '>0 entonces l unción tiene un mínimo reltivo en el punto c. Si tnto pr vlores muy próimos c por l izquierd como pr vlores muy próimos c por l derech, ' no cmbi de signo, l unción no tiene ni máimo ni mínimo reltivo en c. Muy útil es, tmbién, el teorem que se enunci continución. Teorem.- Si :, b R es derivble en, b y 'c 0 y ''c <0 >0 con c, b entonces posee en c un máimo mínimo reltivo. Representción gráic de unciones.- Pr relizr l representción gráic de unciones, conviene estudir de ésts lo siguiente: Dominio. bpuntos de corte con los ejes. csimetrís. dasíntots. eintervlos de crecimiento y decrecimiento. Etremos reltivos. Optimizción de unciones.- En numerosos cmpos cientíicos, económicos, políticos,... y en distintos problems mtemáticos, nos interes optimizr un unción, es decir, hllr sus máimos y sus mínimos. Esto es lo que sucede, por ejemplo, si queremos minimizr el coste de producción de un ábric sujeto cierts condiciones, o si queremos mimizr l producción de hortlizs en un terreno con determinds condiciones de humedd y tempertur. Pr bordr este tipo de situciones no eisten uns norms ijs, pero sí hy uns regls o psos que hbitulmente hy que seguir:.-sber qué objetivo hy que hcer máimo o mínimo. Esto se deduce de un lectur tent del enuncido..-epresr en orm de unción el objetivo propuesto, teniendo en cuent los dtos del problem. Conviene escribir previmente los dtos y ls incógnits y hcer un dibujo de l situción, si es posible. 3.-Generlmente, est unción dependerá de dos o más vribles. Buscremos en el enuncido ls relciones que lign ests vribles.ests relciones serán siempre igulddes que nos permitirán conseguir que l unción mimizr o minimizr depend únicmente de un vrible. 4.-Los óptimos soluciones del. problem se encuentrn entre los puntos críticos de l unción, que son ls soluciones de ' 0 suponiendo l eistenci de derivd. 5.-Determinr en cuál de los puntos hlldos se d el máimo o mínimo buscdo. Pr ello, debemos estudir el crecimiento y decrecimiento de dich unción. 6.-Discutir l solución hlld. Esto es, comprobr que hemos contestdo lo pedido, y que ést cumple los requisitos del enuncido. debemos rechzr los resultdos que no tengn sentido por l nturlez del problem. Teori de Funciones Pág 0