LECCIÓN Nº 16 NATURALEZA ONDULATORIA DE LA LUZ

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1 LECCIÓN Nº 16 NATURALEZA ONDULATORIA DE LA LUZ DEFINICION La teoría electromagnética de la luz fue elaborada por Maxwell y comprobada experimentalmente por Herz en 1888 quién por primera vez produjo y detectó las ondas electromagnéticas por medio de circuitos oscilantes observando, como en las ondas luminosas, la reflexión, refracción, interferencia y polarización. Las ecuaciones de Maxwell en un medio dieléctrico, σ=0 y j=0, isótropo, ε y m constantes en todos los puntos y donde no existen cargas libres, r=0, pueden escribirse como Cuando en un punto del espacio se produce un campo eléctrico variable con el tiempo, sus variaciones producen un campo magnético variable también. A su vez, este campo magnético variable de origen a un campo eléctrico. Estos campos eléctrico y magnético variables, consecuencia uno del otro, sin que pueda existir ninguno de ellos aisladamente, se propagan por el espacio constituyendo las ondas electromagnéticas. Para hallar las ecuaciones de propagación operemos de la siguiente forma utilizando la igualdad y dado que por la primera, la divergencia de H es cero y utilizando la segunda queda Pág. 85 EDUCA INTERACTIVA

2 Tomando rotacionales en llega a y operando análogamente se las ecuaciones a y b muestran que los campos electromagnéticos se propagan obedeciendo la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio con una velocidad En el vacío, donde tenemos ε0 y µ0, la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas es igual a c= x108 m/s. La forma de las soluciones dependerá en cada caso de la situación física. Adoptemos como solución una onda plana armónica, para lo cual, en medios isótropos, bastará suponer que el emisor está muy alejado del lugar donde se realiza la observación, propagándose según la dirección u(α,β,γ). Los campos eléctricos y magnéticos tomarán la forma Apliquemos las ecuaciones de Maxwell a los campos eléctricos y magnéticos definidos por La componente x de la ecuación b será igual a De forma análoga para las otras dos componentes y calculando estas derivadas obtenemos Estas tres ecuaciones, teniendo en cuenta que los primeros términos son las componentes del producto vectorial uxh equivalen a la ecuación vectorial y operando igual con el campo eléctrico Las ecuaciones anteriores indican que en la propagación H y E son siempre perpendiculares entre si y ambos los son a la dirección de propagación u, lo que demuestra que las ondas electromagnéticas, y por ende la luz, son transversales. De EDUCA INTERACTIVA Pág. 86

3 las mismas ecuaciones se deduce que E y H van en fase ya que ambos se anulan y se hacen máximos simultaneamente como se indica en la figura 16.1 y las magnitudes están relacionadas por la expresión ve H e = (grafica mostrada). Figura Onda electromagnética propagándose con los vectores E y H perpendiculares a la dirección de propagación, onda transversal, y en fase 16.2 Espectro electromagnético. Los diversos tipos de ondas electromagnéticas difieren solo en su longitud de onda y frecuencia, relacionadas con la velocidad c por la expresión λf=c y en principio no se conoce ninguna limitación para los calores posibles de λ ó f. En la figura 16.2 se expone el espectro electromagnético y los nombres normalmente asociados con los diversos intervalos de frecuencia y longitud de onda. Estos intervalos no están a veces bien definidos y frecuentemente se solapan. La clasificación habitual del espectro electromagnético es la siguiente: a) Ondas de radiofrecuencia. Éstas tienen longitudes de onda que van desde algunos kilómetros a 0.3 m y el intervalo de frecuencias es desde algunos Hz hasta 109 Hz. Son las ondas que habitualmente se utilizan en los sistemas de radio y televisión y son generadas por medio de dispositivos electrónicos, principalmete circuitos oscilantes b) Microondas. Las longitudes de onda están entre 0.3 m y 10-3 m y el intervalo de frecuencia es desde 109 Hz hasta 3x1011 Hz. Estas ondas se usan en el radar y otros sistemas de telecomunicación y se generan con dispositivos electrónicos. c) Espectro infrarrojo. Cubre las longitudes de onda entre 10-3 m y 7.8x10-7 m (7800 Å) y el intervalo de frecuencia es entre 3x1011 Hz y 4x1014 Hz. Esta zona se subdivide a su vez en infrarrojo cercano, medio y lejano. Estas ondas son producidas por cuerpos calientes y moléculas. 5-5 d) Luz ó espectro visible. Es una banda angosta formada por las longitudes de onda a las cuales nuestra retina es sensible. Se extiende desde 7.8x10-7 m hasta 3.8x10-7 m y en frecuencias desde 4x1014 Hz hasta 8x1014 Hz. Las longitudes de ondas más cortas del espectro visible corresponden a la luz violeta y las más largas a la luz roja, y entre estos extremos se encuentran todos los colores del arco iris. La luz es producida por átomos y moléculas como resultado de procesos electrónicos. e) Rayos ultravioletas. Cubren desde 3.8x10-7 m hasta alrededor de 6x10-10 m con frecuencias desde 8x1014 Hz a 3x1017 Hz. Estas ondas son producidas por átomos y moléculas en descargas eléctricas y tienen fuertes efectos en procesos químicos. f) Rayos X. Esta parte del espectro electromagnético abarca una gama de longitudes de onda entre 10-9 m y 6x10-12 m y frecuencias entre 3x1017 Hz y 5x1019 Hz. Son producidos por transiciones electrónicas en niveles profundos del átomo. Pág. 87 EDUCA INTERACTIVA

4 g) Rayos g: Estas ondas electromagnéticas son de origen nuclear y se superponen al límite superior de los rayos X; sus longitudes de onda van desde m hasta m con frecuencias entre 3x1018 Hz y 3x1022 Hz. Figura Espectro electromagnético 16.3 Energía de una onda electromagnética Como todo tipo de onda, las ondas electromagnéticas transportan energía y cantidad de movimiento. La energía transportada viene descrita por la intensidad, es decir, por la potencia media por unidad de área incidente sobre una superficie perpendicular a la dirección de propagación. La cantidad de movimiento por unidad de tiempo y por unidad de área transportada por una onda electromagnética se denomina presión de radiación. Sabemos del capítulo anteriores que la intensidad de una onda viene dada por el producto de la densidad energética media por la velocidad de la onda. Las densidades de energía asociadas al campo eléctrico y al campo magnético de una onda electromagnética que se propaga en el vacío son EDUCA INTERACTIVA Pág. 88

5 donde se ha utilizado el hecho de que B = E/c. La densidad de energía total de la onda electromagnética es igual a y la intensidad de la onda electromagnética queda Para el caso de una onda electromagnética armónica plana, E=E 0 sen(kru-ωt), la intensidad media en el tiempo de la onda electromagnética, teniedo en cuenta que el valor medio del seno al cuadrado es ½, queda siendo éste un vector que tiene por unidades W/m2, como valor promedio del módulo la intensidad de la onda, y como dirección la direccion de propagación de la onda electromagnética. Comprobemos este hecho para una onda electromagnética plana donde ExB=EB y el módulo del vector de Poynting queda El valor promedio de este módulo, haciendo de nuevo uso del valor promedio del seno al cuadrado queda Por otro lado la intensidad de la onda, sabiendo que queda: Las ondas electromagnéticas, además de energía transportan cantidad de movimiento. Por tanto, una onda electromagnética que incide sobre una superficie ejerce una presión sobre ella que se denomina presión de radiación P r. Si la superficie absorbe toda la radiación incidente, la cantidad de movimiento total p por unidad de volumen V cedida a la superficie por la onda en caso de incidencia normal es Pág. 89 EDUCA INTERACTIVA

6 donde se ha hecho uso de que la cantidad de movimiento y la energ ía de la onda electromagnética se relacionan por la expresión [5.30] Ε=pc, fórmula que posteriormente se explicará. La presión de radiación, dada por la fuerza dividida entre el área, es por tanto igual a En caso de que la superficie sea un reflector perfecto, la onda reflejada también cede la misma cantidad de movimiento a la superficie y la presión de radiación para incidencia normal es igual a Naturaleza corpuscular de la luz A principios del siglo XX, la física se enfrentó a una serie de fenómenos, analizados a continuación, que conducian a que la radiación electromagnética era de caracter corpuscular en su interacción con la materia a diferencia de su carácter ondulatorio cuando se propaga. Estos resultados marcarían el comienzo de una nueva disciplina conocida como física cuántica. 1 Radiación del cuerpo negro. Se llama radiación térmica a la radiación emitida por un cuerpo como consecuencia de su temperatura. Todos los cuerpos emiten esta radiación a su derredor, y la absorben de él. Recibe el nombre de cuerpo negro todo cuerpo que absorbe toda la energía radiante de cualquier frecuencia que llega sobre él. Si un cuerpo que cumple con estas condiciones se ilumina con luz visible, ninguna radiación retorna y presentará color negro. Un cuerpo negro perfecto no existe en la naturaleza, pero se aproxima mucho a él en la zona del espectro visible la pequeña boca de una cavidad recubierta de negro de humo, tal y como se muestra en la figura 2, ya que toda la luz que penetra por ella es absorbida en la primera ó sucesivas reflexiones internas. Pues bien, si calentamos la cavidad a una temperatura T, por la boca de la cavidad sale una radiación cuyo espectro frecuencial podemos analizar. La física clasica arroja el siguiente resultado para la densidad de energía por intervalo frecuencial emitida por el cuerpo negro EDUCA INTERACTIVA Pág. 90

7 fig. 2 Cuerpo negro definido como aquel que absorbe toda la energía que llega sobre él conocida como fórmula de Rayleigh-Jeans y representada en la figura 3 junto a los resultados experimentales medidos. La discrepancia entre modelo teórico y resultados experimentales es evidente. En el límite de frecuencias bajas, el espectro clásico se aproxima a los resultados experimentales, pero a medida que la frecuencia crece, la predicción teórica tiende a infinito mientras que los experimetos muestran que la densidad de energía siempre permanece finita y de hecho tiende a cero para frecuencias muy altas. Este fallo de la teoría clásica es conocido en física como la catástrofe ultravioleta. Figura 3 Densidad de energía por intervalo frecuencial emitida por el cuerpo negro, fórmula de Rayleigh-Jeans, junto a los resultados experimentales De acuerdo con la física clásica, la energía de una onda en particular puede tener cualquier valor de forma continua entre cero e infinito y bajo esa hipótesis se desarrollo la teoría de Rayleigh-Jeans. Plank, sin embargo hizo la sorprendente suposición de que la densidad de energía de las ondas electromagnéticas variaba de forma discreta según múltiplos de un valor elemental de la forma Pág. 91 EDUCA INTERACTIVA

8 Efecto fotoeléctrico. Este fenómeno consiste en que cuando un metal recibe luz, emite electrones denominado fotoelectrones. Analizando esta emisión de fotoelectrones se observan los siguientes hechos: a) La corriente de fotoelectrones es proporcional a la intensidad del haz incidente b) La energía cinética máxima de los electrones arrancados no depende de la intensidad del haz incidente, solo depende de la frecuencia c) La energía cinética máxima de los fotoelectrones es una función lineal de la frecuencia de la luz utilizada de la forma d) Existe para cada metal una frecuencia umbral por debajo de la cual no se produce emisión de electrones cualquiera sea la intensidad de la luz incidente e) La emisión es instantanea con la llegada de la luz al metal La explicación que dió Einstein a este fenómeno se basa en que un haz de luz es un chorro de partículas, fotones, de energía hf. Cuando sobre el metal llega un fotón, éste puede ceder toda su energía a un electrón el cual puede ser arrancado del metal, en cuyo caso la energía cinética máxima del electrón será igual a W hf E - = max donde W es la energía de ligadura del electrón. Si hn no es igual ó mayor que W, no se arrancan electrones. La frecuencia umbral será por tanto f=h/w y la constante A será la constante de Plank. Efecto Compton. En 1920 se observó, estudiando la dispersión de rayos X por la materia, que los rayos que salían dispersados en diferentes direcciones tenían diferentes longitudes de onda y mayores que la radiación incidente, independientemente del material atravesado. Este hecho no se puede interpretar por la física clasica pues si se supone que la difusión de rayos X se debe a que los electrones de la materia entran en vibración con la frecuencia de la onda electromagnética incidente,debería radiar con la misma frecuencia, cosa que no ocurre. El fenómeno fue explicado por Compton admitiendo que la luz está constituida por fotones de energía hf, los cuales sufren choque elásticos con los electrones libres ó débilmente ligados de la materia, en cuyos choques se conserva la energía y el momento tal y como se muestra en la figura siguiente Dualidad onda-corpúsculo. Las experiencias que acabamos de analizar y su justificación exigen considerar los haces de luz como chorros de partículas, denominadas fotones, de energía hf. Por otro lado, los fenómenos de la interferencia y difracción de luz, bien estudiados y experimentados, certifican el carácter ondulatorio de la misma. Esta situación induce a la siguiente interpretación: EDUCA INTERACTIVA Pág. 92

9 a) Los aspectos ondulatorio y corpuscular de la luz no son incompatibles ni contradictorios, son dos aspectos complementarios de un mismo ente físico, la luz, y los fenómenos lumínicos no pueden ser enteramente descritos si no se tiene en cuenta ambos aspectos. b) La propagación de la luz viene gobernada por sus propiedades ondulatorias c) El intercambio de energía entre luz y materia viene determinado por sus propiedades corpusculares a través del fotón de energía hf y cantidad de movimiento h/λ. Velocidad de la luz La primera medición no astronómica de la velocidad de la luz la llevó a cabo el físico francés Fizeau en Sobre una colina se sitúa una fuente luminosa y un sistema de lentes dispuesto de tal forma que la luz reflejada en un espejo semitransparente se enfoca sobre uno de los huecos existentes en una rueda dentada como se ve en la figura siguiente. Sobre otra colina distante se sitúa un espejo que refleja la luz hacia atrás, demodo que pudiera ser vista por un observador del modo que se muestra en la figura. La rueda dentada puede girar siendo variable su velocidad de rotación. A bajas velocidades de rotación, la luz es visible por el observador porque la luz que pasa a través de un hueco de la rueda dentada no queda obstruida por el diente siguiente después de reflejada en el espejo. Entonces se aumenta la velocidad de rotación hasta que la luz que pasa a través del hueco de la rueda dentada queda obstruida por el diente siguiente y se deja de observar luz. El tiempo necesario para que la rueda gire a través del ángulo comprendido entre dos huecos sucesivos es igual al tiempo empleado por la luz en recorrer la distancia de la rueda al espejo y volver a la rueda. Fig. Método de Fizeau para la medida de la velocidad de la luz Se define en la actualidad que la velocidad de la luz en el vacío, y por ende del resto de las ondas electromagnéticas, es y entonces se define en función de esta velocidad la unidad estándar de longitud, el metro. El valor 3x108 m/s para la velocidad de la luz es suficientemente exacto para la mayoría de las aplicaciones Pág. 93 EDUCA INTERACTIVA

10 Propagación de la luz Se ha visto como la propagación de la luz viene gobernada por la ecuación de ondas Sin embargo, antes de que Maxwell desarrollara la teoría de las ondas electromagnéticas, la propagación de la luz fue descrita empíricamente por dos principios desarrollados por Huygens y Fermat, posteriormente deducidos a partir de la ecuación de ondas. Estos dos principios, que pasamos a continuacióna enunciar, permitieron explicar muchos de los fenómenos asociados a la propagación de la luz. Principio de Huygens. Consideremos un frente de ondas esférico que procede de un foco puntual. Vimos en capítulos anteriores como el frente de ondas es el lugar geométrico de los puntos con fase constante. Si en el instante t el radio del frente de ondas es r, su radio en el instante t+ t es r+c t siendo c la velocidad de la onda. Sin embargo, si una parte de la onda se ve bloqueada por un obstáculo, ó si la onda pasa a través de diferentes medios, es mucho más difícil la determinación del nuevo frente de ondas en el instante t+ t. La propagación de una onda a través del espacio puede describirse utilizando un método geométrico conocido como principio de Huygens Cada punto de un frente de ondas primario sirve como foco de ondas esféricas secundarias que avanzan con una velocidad y frecuencia igual a las de la onda primaria. El frente de ondas primario al cabo de un cierto tiempo es la envolvente de estas ondas elementales. La figura muestra la aplicación del principio de Huygens a la propagación de una onda plana y una onda esférica. Principio de Fermat. En un medio homogeneo de índice de refracción n, definido n como n=c/v, se define el camino óptico (L) de la luz que ha recorrido un trayecto desde A hasta B de longitud s como Si el medio es heterogeneo con variación continua del índice de refracción tenemos que el camino óptico es igual a EDUCA INTERACTIVA Pág. 94

11 Así pues, el camino óptico puede definirse como el producto de la velocidad de la luz en el vacío por el tiempo que tarda en recorrer la trayectoria. El principio de Fermat establece que: La trayectoria seguida por la luz para pasar de un punto A a otro punto B es aquella para la cual el camino óptico es mínimo Esta definición, y dado que c es una constante, es equivalente a afirmar que el tiempo de recorrido de la luz debe ser un mínimo LEYES Reflexión y refracción Un medio transparente a la luz se define por su índice de refracción n que como hemos visto viene dado por la ecuación siendo c la velocidad de la luz en el vacío y v la velocidad en el medio. De las definiciones de ambas velocidades llegamos al resultado Para la mayoría de los materiales ópticos de interés µ r =1 dado que no son ferromagnéticos con lo que el índice de refracción es igual a la raiz cuadrada de la constante dieléctrica relativa. De la ecuación anterior se deduce que el índice de refracción es una parámetro adimensional mayor que la unidad, dado que c siempre es mayor ó igual que v. La tabla1 muestra los índices de refracción de varias sustancias. Tabla 1. Índice de refracción de diferentes sustancias para luz de longitud de onda λ=589 nm Cuando un haz de luz incide sobre una superficie límite de separación entre dos medios, tal como una superficie aire-vidrio, parte de la energía luminosa se refleja y parte se transmite dando lugar al fenómeno de la reflexión y refracción ya analizados en los capítulos anteriores. Siguiendo el esquema de la figura siguiente, las leyes que rigen este fenómeno son la ley de la reflexión, el ángulo incidente es igual al ángulo reflejado Pág. 95 EDUCA INTERACTIVA

12 y la ley de la refracción ó de Snell que liga ángulo incidente y ángulo refractado en función de los índices de refracción de los medios Figura Reflexión y refracción de la luz en la superficie límite entre dos medios Experimentalmente se ha comprobado que no hay un cambio de frecuencia al pasar la luz del primer medio al segundo medio. Dado que si que hay un cambio de velocidades de propagación, esto implica que la longitud de onda debe cambiar. Si la longitud de onda en el vacío es λ, la longitud de onda λ en un medio de índice de refracción n es Deducción mediante el principio de Huygens. Analicemos los fenómenos de reflexión y refracción utilizando la construcción de Huygens. La figura(a) muestra un frente de ondas plano AA que incide sobre un espejo en el punto A. El ángulo f 1 que forma el frente de ondas con el espejo es igual al ángulo de incidencia q 1 que forma la perpendicular al espejo y los rayos perpendiculares al frente de ondas. De acuerdo con el principio de Huygens cada punto de un frente de ondas puede considerarse como un punto de una fuente de ondas elementales secundarias. La posición del frente de ondas al cabo de un tiempo t se encuentra construyendo las ondas elementales de radio ct con centros en el frente de ondas AA. Las ondas elementales que no inciden sobre el espejo forman la parte BB del nuevo frente de ondas. Los frentes de onda que inciden sobre el espejo se reflejan y forman la parte B B del nuevo frente de ondas. Mediante una construcción semejante se obtiene el frente de ondas C C a partir de las ondas elementales de Huygens que se originan en el frente de ondas B B. La figura(.b) es una parte aumentada de la figura.(a) en la que se muestra AP, parte del frente de ondas original. Durante el tiempo t, la onda elemental procedente del punto P alcanza al espejo en el punto B y la onda elemental procedente del punto A alcanza el punto B. El frente de ondas reflejado BB forma un ángulo φ 1 con el espejo que es igual al ángulo de reflexión θ 1 entre el rayo reflejado y la normal al espejo. Los triángulos ABP y BAB son ambos triángulos rectángulos con la hipotenusa común AB y los catetos iguales AB =BP=ct. De aquí que estos triángulos sean semejantes y que los ángulos φ 1 y φ 1 sean iguales lo cual implica que el ángulo de reflexión θ 1 es igual al ángulo de incidencia θ 1, ley de la reflexión. EDUCA INTERACTIVA Pág. 96

13 Figura a) Frente de ondas plano incidiendo sobre un espejo y b) detalle del proceso de reflexión del frente de ondas AP 16.5 Problemas 1. Una bombilla eléctrica de 50 W emite ondas electromagnéticas uniformemente en todas las direcciones. Calcular la intensidad, la presión de radiación y los campos eléctricos y magnéticos a una distancia de 3 m. 2. La distancia entre los espejos en el dispositivo de Fizeau es de 20 km, la rueda dentada tiene 25 mm de radio y 250 dientes. Cuál debe ser la velocidad de giro de la rueda para que la luz deje de verse? 3. Un rayo de luz que se propaga en el aire entra en el agua con un ángulo de incidencia de 45º. Si el índice de refracción del agua es de 1,33, cuál es el ángulo de refracción? 4. Considerese un haz de luz monocromática con longitud de onda en el vacío de 590 nm. Calcular la longitud de onda de este haz en un vidrio con índice de refracción n=1,5. 5. Una radiación de frecuencia ν=5x1014 s-1 se propaga en el agua. Calcular la velocidad de propagación y la longitud de onda de dicha radiación. Pág. 97 EDUCA INTERACTIVA

14 BIBLIOGRAFÍA SERWAY Raymond PEREZ TERREL Walter SEARS Zemansky Fisica àra ciencias e Ingenierias Fisica Teoria y Problemas Fisica Universitaria Volumen II EDUCA INTERACTIVA Pág. 98