Apellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 10 - XI- 14 CURSO Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas:

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1 EXAMEN DE MATEMÁTICAS ALGEBRA Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Dí: - XI- 4 CURSO 4-5. Hll el vlor de log log ), 4 log log b) log4 6 -log -log log Clcul x pr que se cumpl: ) log 6,45,5 b) 5 +,58. Resuelve ls siguientes ecuciones: ) x 4-5x +4 bi x + x -4x Resuelve ls siguientes ecuciones y comprueb ls soluciones obtenids: ) b) x x- 5. Resuelve l ecución: ) 4 x -9. x +8 b) log(x-)+log log(4x) 6. Un grupo de migs suben l utobús y pgn por el totl de los billetes. Como dos no tienen dinero, ls demás deben pgr,5 más de los que les corresponderí cd un. Cuánts migs son? Cuánto pg cd un? 7. Sbemos que l sum del dinero que poseen tres migos es de, si sbemos que el primero tiene más que el segundo y entre mbos el doble de lo que tiene el tercero. Hll cuánto dinero tiene cd uno de ellos. 8. Resuelve el sistem de ecuciones: log (x y)-log(x- y) x y Resuelve l inecución x -6x+4 < x. Resuelve l inecución x (En los ejercicios del l 5 sólo debes elegir un de ls opciones)

2 Solución del exmen. Hll el vlor de log log ), b) log log -log log 7 log log 4 6 ) Aplicndo ls propieddes de los logritmos reltivs los cocientes, potencis y ríces y tomndo log como fctor común obtenemos: log-log log - log - log- log log b) Expresmos los números en form de potenci de ls bses de los respectivos logritmos: - -4/ log4 4 -log -log log Utilizndo l definición de logritmo y sumndo los resultdos obtenidos: ( - ) - -. Clcul x pr que se cumpl: ) log 6,45,5 b) 5 +,58, 6 5 ) log 6,45,5 6,5,45x, 45 b) 5 +x log,58,58 + log 5,58 log 5,58- -, log5. Resuelve ls siguientes ecuciones: ) x 4-5x +4 bi x + x -4x + 4 ) Se efectú el cmbio de vrible z x obteniendo l ecución: z -5z + 4 Se resuelve l ecución nterior: z Luego ls soluciones de l ecución originl son: 4 y 4 b) Hy que encontrr ls ríces del polinomio del primer miembro, pero ests ríces, si son enters deben dividir l término independiente, luego pueden ser, y 4. Comprobmos el vlor numérico del polinomio en estos números: (-) + (-) 4.(-) + 4 El vlor - es un ríz plicmos l regl de Ruffini pr fctorizr:

3 L expresión que qued como cociente es L fctorizción es x -4 que es un diferenci de cudrdos que fctoriz como sum por diferenci: x +x -4x+4 (x+)(x -4) (x+)(x-)(x+) Luego ls soluciones son: x -, x - y x 4. Resuelve ls siguientes ecuciones y comprueb ls soluciones obtenids: ) b) x x x + ) Psmos l primer miembro los términos necesrios pr igulr l ecución cero: Reducimos común denomindor: -(x ) -x -6 -x - 7 x + Multiplicmos mbos miembros por el denomindor: -x-7-7 Comprobmos que -7 es solución de l ecución de prtid: b) Se isl el rdicl en el primer miembro: x x Se elevn mbos miembros l cudrdo pr eliminr el rdicl: x (x ) x x -6x+9 Se obtiene l ecución de segundo grdo: x -7x+ con soluciones: Se comprueb que no es un solución válid, siéndolo sólo Resuelve l ecución: ) 4 x -9. x +8 b) log(x-)+log log(4x) ) Expresmos ls potencis con l mism bse y exponente pr poder efectur un cmbio de vrible: x -9. x +8 Efectumos el cmbio de vrible y x : y -9y Obteniendo un ecución de º grdo con soluciones: y Hllmos los vlores: 8 x x x x b) Como l sum de logritmos es el logritmo del producto: Log[(x-).x] log(4x) Elimindo logritmos en mbs expresiones: (x-). 4x x - 4x x -7 x (x-7) L solución no es válid pues sólo existen logritmos de números positivos. L solución 7 si es válid.

4 6. Un grupo de migs suben l utobús y pgn por el totl de los billetes. Como dos no tienen dinero, ls demás deben pgr,5 más de los que les corresponderí cd un. Cuánts migs son? Cuánto pg cd un? Se x el número de migs. Cd un deberí pgr. Como dos no pgn qued: x (x-) ( +,5) (x-)(+,5x) x x+,5x --,5 x x Reordenmos monomios y multiplicmos por 4:,5x -,5x- x -x-8 Aplicndo l fórmul de l ecución de segundo grdo: Ls soluciones son: x -8 (que no sirve) y x. Son migs y cd un pg +,5,5. 7. Sbemos que l sum del dinero que poseen tres migos es de, si sbemos que el primero tiene más que el segundo y entre mbos el doble de lo que tiene el tercero. Hll cuánto dinero tiene cd uno de ellos utilizndo el método de Guss. Sen x los euros que tiene l primer person, y los euros que tiene l segund person, z los euros que tiene l tercer person. Obtenemos el sistem: x y +z y x + yz Reordenmos miembros obteniendo: x y + z x - y x + y -z Restmos l ª y ª fils l ª: x y + z -y -z - -z - Obteniendo un sistem tringulr del cuál despejmos ls soluciones. - z - - -y- - -y - y - x++ Por lo tnto y y z. 8. Resuelve el sistem de ecuciones log (x y)-log(x- y) x y 5 5 Aplicmos l propiedd de l diferenci de los logritmos y que el logritmo de es y l propiedd de l potenci de un potenci: 4

5 x y x log log y x x -y y x -y x - y x y 5 5 x y x y Sustituyendo el vlor de x en l primer ecución: (y ) y (y+) +y 4y ++4y+y 4y +5y-9 y - y Con soluciones: y -9/4 8 8 Sustituyendo en l ecución y+: y ; x 4 y ; x y + Siendo mbs válids. 9. Resuelve l inecución x -6x+4 < Resolución: Pr resolver inecuciones de segundo grdo se clculn ls ríces de ecución socid: x -6x+4 < x -8x+ < obteniendo y 6. Representmos en l rect rel ls soluciones encontrds y estudimos el signo de l expresión x -6x+4 (x-).(x-6) en cd uno de los intervlos formdos: - Si x < (x-).(x-6) > - Si < x < 6 (x-).(x-6) < - Si x > 6 (x-).(x-6) > Seleccionmos el conjunto solución, como l inecución pide el conjunto de números reles donde el polinomio es negtivo l solución es (,6) x. Resuelve l inecución x Resolvemos l inecución verigundo cundo es positivo el cociente ddo: ó x - x - Pr resolverlos debemos hllr ls soluciones de cd inecución por seprdo. L solución de cd sistem es l intersección de ls soluciones. x (, )(, ) x Es decir el intervlo (,) tl como se ve en l figur. x (-,)(-,) x Es decir el intervlo (-, ). 6 Por lo tnto l solución complet es l unión de ls soluciones de los dos sistems (-, )(,) 5