TEMA 3. Medidas de variabilidad y asimetría. - X mín. X máx

Transcripción

1 TEMA 3 Meddas de varabldad y asmetría 1. MEDIDAS DE VARIABILIDAD La varabldad o dspersó hace refereca al grado de varacó que hay e u cojuto de putuacoes. Por ejemplo: etre dos dstrbucoes que preseta la msma meda artmétca, dfere e la varabldad de sus putuacoes. Así, cuato meor es la varabldad, más homogéea es la muestra de sujetos e la varable. E el caso de máma homogeedad, todos los valores de la varable será guales. De otro modo, cuato más o meos dspersó e los datos, la muestra es más o meos heterogéea y las putuacoes dfere etre sí. Para cuatfcar la dspersó de los datos, se puede dstgur dos tpos de ídces: los que mde el grado de semejaza y dfereca de las putuacoes etre sí (ampltud total o rago y la ampltud sem-tercuartl), y los que la dspersó se mde a algua medda de tedeca cetral como la meda artmétca (varaza y la desvacó típca) Ampltud total o rago: La ampltud total o rago ( A T ), de u cojuto de putuacoes es la dstaca que hay e la escala umérca etre los valores que represeta la putuacó máma y la putuacó míma. Uo de los coveetes de la ampltud total es su lmtacó al utlzar úcamete los valores etremos de la dstrbucó; de esta forma, o recoge la poca o mucha dspersó que pueda estr etre los restates valores, que so la mayoría de las putuacoes. Aú así se recomeda clur éste valor como complemetaro de otras meddas de dspersó. 1.. Varaza y desvacó típca: A T X má - X mí La varabldad se puede basar e la dstaca observada etre las putuacoes y u valor cetral de la dstrbucó como la meda artmétca. De modo que, ua dstrbucó co poca varabldad es e la que la mayoría de las putuacoes está prómas a la meda, metras que co mucha varabldad, las putuacoes se aleja del valor medo de la varable. U prmer ídce podría ser el promedo de las desvacoes o dferecas de cada putuacó co su meda. X d d (X - X) El problema de este ídce es que el sumatoro del umerador (X - X), sempre es gual a cero; para ello se ha propuesto dos solucoes. La prmera cosste e calcular el valor absoluto de cada desvacó ates de realzar la suma desvacó suma : DM X -X + X -X X -X 1 (X - X) La desvacó meda se utlza muy poco, ya que resulta poco maejable por el uso del valor absoluto. Ua seguda opcó se basa e el cuadrado de las dferecas y así obteemos la varaza.

2 S (X 1 - X) + (X - X) (X 3 - X) (X - X) Otra forma dervada de la ateror y que smplfca los cálculos: S X - X Para el cálculo de la varaza, prmero se calcula el cuadrado de las dferecas y luego se obtee el promedo de las desvacoes al cuadrado. Cuado los datos se preseta e tablas de dstrbucoes de frecuecas agrupados o s agrupar e tervalos, la varaza se puede calcular por medo de: Cálculo de la varaza e tablas de dstrbucó de frecuecas co datos agrupados o o e tervalos Varaza a partr de ua dstrbucó de frecuecas absolutas: S (X - X) (X - X) ó dode: S X - X X - X es el úmero total de observacoes. X es el valor e la varable X ó el puto medo del tervalo. es la frecueca absoluta del valor o tervalo. Varaza a partr de ua dstrbucó de frecuecas relatvas: dode: S p X - X p es la frecueca relatva o proporcó de observacoes del valor o del tervalo. Hay que teer e cueta que al elevar la varable al cuadrado, las udades se eleva al cuadrado també. Para lograr ua medda de dspersó e las msmas udades que la varable y que sea más fácl terpretar, se calcula la raíz cuadrada de la varaza y se obtee u ídce que se llama desvacó típca. S (X - X)

3 La varaza y la desvacó so ídces muy útles e la estadístca ferecal sedo la base de umerosas téccas estadístcas. Ambos ídces preseta ua sere de propedades ha destacar: 1. El cálculo de la varaza y la desvacó típca, requere el uso de todas las putuacoes observadas e la dstrbucó.. La varaza ya la desvacó típca mde la varabldad de los datos co la meda artmétca. 3. Sempre so guales o mayores que cero. Úcamete es a cero s todas las putuacoes so guales etre sí. 4. S a las putuacoes de la varable X les aplcamos la sguete trasformacó leal: Y bx + a, las uevas putuacoes será S y b S y la desvacó típca gual a S y b S. S a ua varable X se le suma o resta ua costate a, la varaza y desvacó típca o se verá afectadas. S embargo, cuado multplcamos los valores de X por b, la varaza queda multplcada por el cuadrado de la costate y la desvacó típca por el valor absoluto de dcha costate. Otro ídce de varabldad relacoado co la varaza es la cuasvaraza: S -1 (X - X) - 1 La cuasdesvacó típca se defe como la raíz cuadrada de la cuasvaraza: S -1 S -1 (X - X) Coefcete de varacó: Es frecuete la comparacó del grado de varabldad o dspersó etre dos cojutos de putuacoes e ua msma o dsttas varables. Es ecesaro defr u ídce de varabldad relatva que o depeda de las udades de medda. Para ello está el coefcete de varacó. dode: CV S X. 100 X > 0 y se acompaña sempre de la medda y desvacó típca de la dstrbucó de dode se ha calculado. Cuado comparamos dos cojutos de putuacoes de la msma varable, també es ecesaro el coefcete de varacó para comparar la dspersó de ambas Ampltud sem tercuartl: La ampltud sem tercuartl Q, o rago sem tercuartl es la dstaca meda

4 etre el tercer y el prmer cuartl. Se emplea como otra alteratva cuado debdo a la asmetría de la dstrbucó, o es acosejable el uso de estos ídces. Q 3 - Q 1 Q P 75 - P 5 E Pscología la ampltud tercuartl (P 75 - P 5 ), se ha usado e procedmetos de seleccó de ítems para la valoracó de jueces o epertos e la matera.. INDICE DE ASIMETRÍA DE PEARSON La asmetría de ua dstrbucó os dca el grado e el que las putuacoes de los sujetos se reparte por debajo y por ecma de la medda de tedeca cetral. De etre umerosos dcadores se ha elegdo el ídce de asmetría de Pearso que se basa e relacó etre la meda y la moda. A s X - Mo S Este ídce o tee udades de medda admesoal. Cuado la dstrbucó es smétrca, la meda y la moda cocde; por lo que A. Cuado la asmetría s 0 postva A s > 0 ; y cuado es egatva A s < PUNTUACIONES TÍPICAS Todas las putuacoes vstas hasta el mometo ha sdo drectas (de u test, ). Éstas os ofrece muy poca formacó, o sabemos s se trata de u valor alto o bajo por que esto depede del promedo del grupo. S a ua putuacó drecta X le restamos la meda de su grupo, obtedremos ua putuacó dferecal o de dfereca. X - X Las putuacoes dferecales os dca s la putuacó cocde co la meda de su grupo, s es mayor o meor. Preseta las sguetes propedades: a) Su meda es cero: 0. (X - X) X - X X X X X 0 b) La varaza de las putuacoes es gual a la varaza de las putuacoes drectas: S ( - ) (X - X) S Las putuacoes típcas os permte o sólo las putuacoes de u sujeto e dos varables dsttas so dos sujetos dsttos e dos pruebas o varables dsttas. z X X S S

5 A este proceso de obteer putuacoes típcas se deoma tpfcacó, y a esas putuacoes tpfcadas. Las putuacoes típcas se caracterza: a) Su meda es cero: z z s 1 s 0 0 s s b) Su varaza es gual a 1: S z (z - z ) (z ) s 1 S 1 S 1 S S 1