Integrales triples en coordenadas rectangulares. Integrales triples. S n = a

Transcripción

1 5.5 Integrles triples en coordends rectngulres 859. Evlúe lím erfsd lím : q 4. Conversión un integrl polr Evlúe l integrl q q : q s + + d d. d 43. Eistenci Integre l función f(, ) 5 ( ) sore el disco # 34. Eiste l integrl de f(, ) sore el disco #? Justifique su respuest. 44. Fórmul del áre en coordends polres Use l integrl dole en coordends polres pr deducir l fórmul A r du e -t p dt. pr el áre de l región en form de nico entre el origen l curv polr r 5 f(u), # u #. 45. istnci promedio un punto ddo dentro de un disco Se P un punto dentro de un círculo de rdio, se h l distnci desde P hst el centro del círculo. Se d l distnci desde un punto culquier P hst P. Oteng el vlor promedio de d sore l región encerrd en el círculo. (Sugerenci: Simplifique su trjo colocndo el centro del círculo en el origen P sore el eje ). 46. Áre Supong que el áre de un región en el plno con coordends polres es A 3p>4 sen u p>4 csc u Grfique l región oteng su áre. EXPOACIONES CON COPUTAOA En los ejercicios 47 5, use un SAC pr cmir ls integrles crtesins en un integrl polr equivlente evlúe l integrl polr. Ejecute los siguientes psos en cd ejercicio.. Trce l región crtesin de integrción en el plno.. Cmie cd curv de l fronter de l región crtesin del inciso () por su representción polr, determinndo r u prtir de l ecución crtesin. c. Use los resultdos del inciso (), pr trr l región polr de integrción en el plno ru. d. Cmie el integrndo de coordends crtesins polres. etermine los límites de integrción prtir de su gráfic del inciso (c) evlúe l integrl polr usndo l herrmient de integrción del progrm de álger por computdor d d + >3 49. d d 5. ->3 + r dr du. > - d d + + d d 5.5 Integrles triples en coordends rectngulres Así como ls integrles doles nos permiten trtr con situciones más generles que ls integrles simples, ls integrles triples nos permiten resolver prolems ún más generles. Usmos ls integrles triples pr clculr los volúmenes de forms tridimensionles el vlor promedio de un función sore un región tridimensionl. s integrles triples tmién se usn en el estudio de cmpos vectoriles el flujo de fluidos en tres dimensiones, como veremos en el cpítulo 6. Integrles triples k ( k, k, k ) k k Si F(,, ) es un función definid en un región cerrd cotd en el espcio, como l región ocupd por un ol sólid o un montón de rcill, entonces l integrl de F sore se define de l siguiente mner. Prtimos un región en form de cj rectngulr que contiene en celds rectngulres medinte plnos prlelos los ejes coordendos (figur 5.9). Numermos ls celds que están dentro de desde hst n en lgún orden, donde l k-ésim celd tiene ls dimensiones k por k por k un volumen V k 5 k k k. Seleccionmos un punto ( k, k, k ) en cd celd formmos l sum FIGUA 5.9 Prtición de un sólido con celds cúics de volumen V k. S n n k Fs k, k, k d V k. Estmos interesdos en lo que ps cundo se prte en celds cd ve más pequeñs, de mner que k, k, k l norm de l prtición 7P7, el vlor máimo entre k, k, k tienden cero. Cundo se otiene un único vlor límite, sin importr l form de elegir ls prticiones puntos ( k, k, k ), decimos que F es integrle sore. Como ntes, se demues- ()

2 86 Cpítulo 5: Integrles múltiples tr que cundo F es continu l superficie de l fronter de está formd por un número finito de superficies regulres unids lo lrgo de un número finito de curvs regulres, entonces F es integrle. Cundo 7P7 : el número de celds n tiende `, ls sums S n tienden un límite. lmmos este límite l integrl triple de F sore l escriimos como lím S n Fs,, d dv o lím S n n: q 9 ƒ ƒpƒ ƒ : 9 Fs,, d d d d. s regiones sore ls que ls funciones continus son integrles, son quells que tienen fronters ronlemente suves. Volumen de un región en el espcio Si F es un función constnte cuo vlor es, entonces ls sums de l ecución () se reducen S n Fs k, k, k d V k # Vk V k. Cundo k, k k tienden cero, ls celds V k se hcen cd ve más pequeñs más numeross, curen un prte cd ve mor de. Por lo tnto, definimos el volumen de como l integrl triple n lím n: q V k dv. k 9 EFINICIÓN El volumen de un región cerrd cotd en el espcio es V 9 dv. Est definición concuerd con nuestrs definiciones nteriores de volumen; no ostnte, omitiremos l verificción de este hecho. Como veremos en un momento, est integrl nos fcilit el cálculo de volúmenes de sólidos encerrdos por superficies curvs. Cálculo de límites de integrción en el orden d d d Pr evlur un integrl triple plicmos un versión tridimensionl del teorem de Fuini (sección 5.) pr otenerl por medio de tres iterciones simples. Como en ls integrles doles, eiste un procedimiento geométrico pr clculr los límites de integrción pr ests integrles simples. Pr evlur 9 Fs,, d dv sore un región, integrmos primero con respecto, luego con respecto, l finl con respecto. (Usted podrí elegir un orden diferente de integrción, pero el procedimiento es similr, como se ilustr en el ejemplo ).. Elore un osquejo. Trce l región junto con su somr (proección verticl) sore el plno. rque ls superficies de ls fronters superior e inferior de l región ls curvs de ls fronters superior e inferior de.

3 5.5 Integrles triples en coordends rectngulres 86 f (, ) f (, ) g (). etermine los límites de integrción en. Trce un rect, prlel l eje, que pse por un punto típico (, ) en. Cundo crece, entr en 5 f (, ) sle en 5 f (, ). Éstos son los límites de integrción en. g () Sle en f (, ) g () (, ) 3. etermine los límites de integrción en. iuje un rect prlel l eje que pse por (, ). Cundo crece, entr en 5 g () sle en 5 g (). Éstos son los límites de integrción en. Entr en f (, ) g () Sle en g () (, ) Entr en g ()

4 86 Cpítulo 5: Integrles múltiples 4. etermine los límites de integrción en. Seleccione los límites en que inclun tods ls rects prlels l eje que psen por ( 5 5 en l figur nterior). Éstos son los límites de integrción en. integrl es g sd ƒ s, d g sd ƒ s, d Fs,, d d d d. Sig procedimientos similres si cmi el orden de integrción. somr de l región se encuentr en el plno de ls dos últims vriles con respecto ls que se reli l integrción iterd. El procedimiento nterior se plic siempre que un región sólid esté cotd por rri por jo por un superficie, cundo l somr de l región esté cotd por un curv superior un inferior. No se plic pr regiones con gujeros que ls trviesn, si ien lguns veces ests regiones se sudividen en regiones más simples pr ls cules sí se plic el procedimiento. EJEPO Clcule el volumen de l región encerrd entre ls superficies Solución El volumen es V 9 d d d, l integrl de F(,, ) 5 sore. Pr otener los límites de integrción evlur l integrl, primero grficmos l región. s superficies (figur 5.3) se cortn en el cilindro elíptico o 5 4,.. fronter de l región, l proección de sore el plno, es un elipse con l mism ecución: 5 4. fronter superior de es l curv s4 - d>. fronter inferior es l curv - s4 - d>. Ahor determinmos los límites de integrción en. rect, prlel l eje, que ps por un punto típico (, ) en, entr en 5 3 sle en 5 8. FIGUA 5.3 El volumen de l región encerrd por dos proloides, clculdo en el ejemplo.

5 5.5 Integrles triples en coordends rectngulres 863 En seguid otenemos los límites de integrción en. rect, prlel l eje que ps por (, ) entr en - s4 - d> sle en s4 - d>. Por último, hllmos los límites de integrción en. Cundo rre, el vlor de vrí de 5 en (,, ) hst 5 en (,, ). El volumen de l región es V 9 d d d s4 - d> s4 - d> - -s4 - d> s4 - d> + 3 d d d s d d d - cs8 - d d s4 - d> -s4 - d> d - s8 - d B > d - c8 4-3> > - 4 d d 4 s4 - d 3> d 3-8p. espués de integrr con l sustitución 5 sen u En el siguiente ejemplo proectmos sore el plno, en ve de hcerlo sore el plno, pr mostrr cómo usr un orden distinto de integrción. ect (, ) Entr en (,, ) (,, ) (,, ) Sle en FIGUA 5.3 eterminción de los límites de integrción pr l evlución de l integrl triple de un función definid sore el tetredro (ejemplos 3). EJEPO Estlec los límites de integrción pr l evlución de l integrl triple de l función F(,, ) sore el tetredro con vértices en (,, ), (,, ), (,, ) (,, ). Aplique el orden de integrción d d d. Solución Trmos junto con su somr en el plno (figur 5.3). fronter superior ( l derech) de se encuentr en el plno 5. fronter inferior ( l iquierd) se encuentr en el plno 5. fronter superior de es l rect 5 l fronter inferior es l rect 5. Primero otenemos los límites de integrción en. rect prlel l eje que ps por un punto típico (, ) en entr en 5 sle en 5. uego, otenemos los límites de integrción en. rect prlel l eje que ps por (, ) entr en 5 sle en 5. Finlmente, encontrmos los límites de integrción en. Cundo rre, el vlor de vrí desde 5 hst 5. integrl es - + Fs,, d d d d. EJEPO 3 Integre F(,, ) 5 sore el tetredro del ejemplo en el orden d d d, luego integre en el orden d d d. Solución Primero hllmos los límites de integrción en. Un rect prlel l eje que ps por un punto típico (, ) en l somr del plno entr l tetredro en 5 sle por el plno superior donde 5 (figur 5.3). espués, otenemos los límites de integrción en. En el plno donde 5, el ldo inclindo del tetredro cru el plno lo lrgo de l rect 5. Un rect prlel l eje que ps por (, ) entr l somr en el plno en 5 sle en 5 (figur 5.3).

6 864 Cpítulo 5: Integrles múltiples (, ) (,, ) (,, ) (,, ) FIGUA 5.3 El tetredro del ejemplo 3 muestr cómo se otienen los límites de integrción en el orden d d d. Por último, determinmos los límites de integrción en. Cundo l rect prlel l eje del pso nterior rre l somr, el vlor de vrí desde 5 hst 5 en el punto (,, ). (Vése l figur 5.3). integrl es Por ejemplo, si F(,, ) 5, hllrímos que el volumen del tetredro es V - + d - Fs,, d d d d. - d d d s - d d d c - d d c d 6. Otenemos el mismo resultdo integrndo en el orden d d d. A prtir del ejemplo, V + c( - ) - ( - ) d d ( - ) d - - ( - - ) d d c( - ) - - d d - 6 ( - )3 d 6. d d d Vlor promedio de un función en el espcio El vlor promedio de un función F sore un región en el espcio se define por l fórmul Vlor promedio de F sore volumen de 9 F dv. () Por ejemplo, si Fs,, d + +, entonces el vlor promedio de F sore es l distnci promedio de los puntos en desde el origen. Si F(,, ) es l tempertur en (,, ) sore un sólido que ocup un región en el espcio, entonces el vlor promedio de F sore es l tempertur promedio del sólido.