REPRESENTACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA

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1 REPRESENTACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Similar a las distribuciones de frecuencia, una distribución de probabilidad discreta puede ser representada (descrita) tanto gráficamente como numéricamente. A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA La representación gráfica de una distribución de probabilidad discreta se hace mediante un histograma de probabilidad. Así como un histograma de frecuencia, las bases de las barras (rectángulos) son de igual ancho están centrados en cada valor de. La altura de una barra en es igual a la probabilidad correspondiente. Los valores se muestran a lo largo del eje horizontal la escala de probabilidad está en el eje vertical ( Figura ) Probabilidad Figura 5.2 Si el ancho de cada base es de una unidad, entonces el área de cada barra (rectángulo) en será igual a la probabilidad que corresponde a. Por consiguiente, la suma de las áreas de los rectángulos siempre será. Ejemplo : Dibuje una histograma de probabilidad para la distribución de probabilidad discreta en la Tabla. Representemos los valores a lo largo del eje horizontal las probabilidades a lo largo del eje vertical. También, escogemos cada base de una unidad de ancho; 0.5 unidad en cada lado del valor. (Figura 2). 0 2 p Tabla Nota: La figura 2 muestra un histograma simétrico. Figura 2 B. CURVA DE PROBABILIDAD Similar a la curva de frecuencia, una curva de probabilidad es una versión alisada del histograma de probabilidad. Se dibuja uniendo los puntos medios de los bordes superiores de las barras. 3

2 Curva de Probabilidad Una curva de probabilidad es una versión alisada del histograma de probabilidad. Ejemplo 2: Dibuje una curva de probabilidad de la distribución de probabilidad discreta en el ejemplo. Sin Histograma de Probabilidad (Método ) Marcamos los puntos (, p) los unimos por una curva alisada (Figura 3) Figura 3 Con Histograma de Probabilidad (Método 2) Dibuje el histograma de probabilidad como en el ejemplo, entonces identifique los puntos medios de los bordes superiores de las barras únelos con una curva alisada. (Figura 4) Figura 4 Nota: La curva de probabilidad es simétrica en forma de campana. C. REPRESENTACIÓN NUMÉRICA (PROMEDIO Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR) Numéricamente, podemos describir una distribución de frecuencias calculando su media su desviación estándar. Ahora describiremos una distribución de probabilidad calculando la media la desviación estándar de la variable aleatoria. Media de una Variable Aleatoria Si una variable aleatoria discreta supone valores, 2,..., m con probabilidades p, p 2,..., p m, respectivamente, la media de la variable aleatoria está dada por la suma de los productos p, 2 p 2,..., m p m. ó u 4

3 Ejemplo 3: Calcule la media de la distribución de probabilidad discreta para el número de caras en tres tiradas de una moneda (Ejemplo ). Copiamos la distribución del ejemplo. (Tabla 2) p La media (u) de la variable aleatoria está dada por: 0 ÿ u Tabla 2 Así, la media de la variable aleatoria es.5. D. INTERPRETACIÓN DE LA MEDIA (VALOR ESPERADO) La media de una distribución de frecuencia es el promedio de los valores. Mientras que, la media de una distribución de probabilidad es el valor esperado de la variable aleatoria. Como en el ejemplo 3, la media es.5, por lo tanto esperamos ver.5 ÿ caras en las tres tiradas de una moneda normal. Valor Esperado de una Variable Aleatoria El valor esperado de una variable aleatoria, escrito como E () es igual al promedio (u) de una variable aleatoria. E () u La interpretación de la media de una variable aleatoria como el valor esperado de la variable, también conocido como esperanza matemática, es etremadamente importante en las apuestas los negocios. En las apuestas se usa para calcular la cantidad esperada de pérdida o triunfo al participar en ciertos juegos. En los negocios, se usa para escoger inversiones que producen rendimientos máimos esperados. Ejemplo 4: Una ruleta tiene 38 compartimientos numerados 0, 00,, 2,..., 36. La mitad de los compartimientos entre 36 son rojos la otra mitad son negros. Los dos compartimientos restantes, enumerados 0 00, están coloreados de verde. Suponga que se apuesta $ en un compartimiento rojo. Cuando la bola se rota cae en un compartimiento rojo, el jugador retiene el $ gana $ adicional. De otra manera, 5

4 pierde el $. Qué debería esperar el jugador ganar en un juego? En 00 juegos? Primero, identificamos la variable aleatoria. Ya que estamos buscando la cantidad esperada de ganancia, entonces seleccionamos la variable aleatoria como la ganancia de un jugador en un juego. Por lo tanto, Variable Aleatoria (): la ganancia de un jugador El jugador puede ganar $ ó (pérdida). Esto significa que la variable () asume sólo dos valores. La probabilidad de ganar $. La probabilidad de perder $. (si la bola cae en uno de los 8 compartimientos negros o los 2 verdes) p Completando la distribución de probabilidad obtenemos (Tabla 3): El valor esperado de la variable aleatoria está dado por: E() - Tabla 3 Así, se espera que el jugador pierda cinco centavos en cada juego. En 00 juegos, se espera que el jugador pierda 00 (.05) $5. Comentario : El juego del Ejemplo 4 no es un juego justo. Para que un juego sea justo, la cantidad esperada de triunfo tiene que ser cero. Ejemplo 5: Un inversionista tiene $,000 para invertir. Tiene dos opciones. En una, puede invertir en una cuenta que paga 5% anualmente. En la otra puede comprar un bono. Si compra el bono, tiene una probabilidad igual a de perder $300 una probabilidad igual a de ganar $700. Cuál opción debe escoger? 6

5 Su decisión depende de la cantidad esperada de recobro de inversión. En la primera opción, no ha oportunidad de perder cantidad alguna. Aquí se espera ganar 5% de (000) $50. Para encontrar el rendimiento esperado en la segunda opción, hacemos una distribución de probabilidad de la variable aleatoria, donde la ganancia obtenida Completando la distribución de probabilidad discreta da (Tabla 4): p El valor esperado de la variable aleatoria () está dado por E() Tabla 4 Por lo tanto, la cantidad esperada de recobro de inversión en la segunda opción es maor que la primera opción. Así, debería comprar el bono con $,000. E. DESVIACIÓN ESTÁNDAR Lo mismo que la desviación estándar de una distribución de frecuencia indica la cantidad promedio de variación acerca de la media, la desviación estándar de una distribución de probabilidad indica la cantidad promedio de variación desde la media (valor esperado) de la variable aleatoria. La Desviación Estándar de una Variable Aleatoria El DE de una variable aleatoria discreta () que asume valores, 2,..., m con probabilidades p, p 2,..., pm, respectivamente, está dado por: COMO CALCULAR LA DE DE UNA VARIABLE ALEATORIA Paso Paso 2 Paso 3 Paso 4 Construe una distribución de probabilidad de la variable aleatoria (). Identifique la tercera columna de la tabla como p complete la columna. Identifique la cuarta columna como 2 complete la columna. Identifique la quinta columna como 2 p liste sus valores. p p 2 Paso 5 Encuentra las sumas de las columnas p 2 p. Paso 6 Substitua u suma de la columna p la suma de 7

6 2 p suma de la columna 2 p en la fórmula, simplifique. Ejemplo 6: Encuentre la DE de la variable aleatoria en el ejemplo. Paso Paso 2 Copiamos la distribución de probabilidad del ejemplo. (Tabla ) Liste los valores en la columna p multiplicando cada valor de por su probabilidad correspondiente. (Tabla 5) Paso 3 Complete la columna 2 cuadrando cada valor de. (Tabla 5) Paso 4 Complete la columna 2 p. (ver Tabla 5) Paso 5 De la Tabla 5, u suma de p la suma de 2 p 3. p p 2 2 p Tabla 5 3 Paso 6 La DE de la variable aleatoria () está dada por:.866 Ejemplo 7: Encuentre la DE de la variable aleatoria en ejemplo 4 (ruleta). Interprete el resultado. Paso Copiamos la distribución de probabilidad del ejemplo 4. (Tabla 3) p p 2 2 p Paso 2 Completando la columna p obtenemos (Tabla 6): Tabla 6 8

7 Paso 3 Completando la columna 2 obtenemos (Tabla 6): Paso 4 Completando la columna 2 p (Tabla 6). Paso 5 De la Tabla, u Paso 6 La DE de la variable aleatoria () esta dada por Interpretación En el ejemplo 4, el jugador espera perder cinco centavos cada vez que juega. La DE inclue el ganar o perder. Así, se espera que un jugador pierda 5 centavos jugando $. 9