Ejercicios resueltos de trigonometría

Transcripción

1 Ejercicios resueltos de trigonometría 1) Resuelve los siguientes triángulos: 9m 40º 10m 120º 2) Desde lo alto de una torre, mirando hacia la izquierda, se ve un árbol que está a 10 metros de la base, y mirando hacia la derecha, una roca que está a 40 metros. Si el ángulo de visión roca-árbol es de 90º, calcula la altura de la torre. 3) Desde lo alto de un faro, una persona observa a dos hombres, a izquierda y derecha del edificio. El que está a la izquierda se halla a 10 metros, y la altura del faro es de 20 metros. Si el ángulo de visión entre ambos es de 90º, halla la distancia del segundo hombre al pie del faro. 4) Un hombre está al borde de un acantilado, y observa una roca que está al otro lado en línea recta frente a él. Se desplaza 30 metros en horizontal, hasta que ve la piedra con un ángulo de 35º. Calcula la anchura del foso.

2 5) Resuelve estos triángulos: 90º 6 10 a 4 2a ) Un hombre que está a una distancia de la base de un árbol, observa la parte alta con un ángulo de 60º. Se aleja 6 metros más en línea recta, y ahora el ángulo de visión es de 30º. Calcula la altura del árbol.

3 Soluciones 1) Resuelve los siguientes triángulos: 9m 40º El tercer ángulo lo sacamos de la suma de los tres, que debe dar 180º. Por lo tanto, vale 50º. Los dos lados que nos faltan podemos sacarlos con las razones trigonométricas. sen 40º = 9/hipotenusa hipotenusa = 9/sen40º = 14m cos40º = cateto/14 cateto = 14 cos40º = 10,72m 10m El tercer ángulo lo sacamos de la suma de los tres, que debe dar 180º. Por lo tanto, vale 40º. Para los lados (que son iguales los dos), partimos el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos cuya base mide 5m y el ángulo inferior. El lado que nos falta es la hipotenusa de este medio triángulo: cos = 5/hipotenusa hipotenusa = 5/cos = 14,62m 120º Como es un triángulo obtusángulo isósceles, los dos ángulos que nos faltan deben ser iguales y sumar 180º junto con el que conocemos. Cada uno vale, por tanto, 30º. Para hallar la base, partimos el triángulo en dos triángulos rectángulos cuyo ángulo inferior mide 30º y la hipotenusa. cos30º = lado/20 lado = 20 cos30º = 17,32m Por lo que la base mide 34,64m

4 2) Desde lo alto de una torre, mirando hacia la izquierda, se ve un árbol que está a 10 metros de la base, y mirando hacia la derecha, una roca que está a 40 metros. Si el ángulo de visión roca-árbol es de 90º, calcula la altura de la torre. El esquema del problema es como sigue: 90º 10m 40m Aplicamos el teorema de la altura: h 2 = h = 3) Desde lo alto de un faro, una persona observa a dos hombres, a izquierda y derecha del edificio. El que está a la izquierda se halla a 10 metros, y la altura del faro es de 20 metros. Si el ángulo de visión entre ambos es de 90º, halla la distancia del segundo hombre al pie del faro. Un problema muy parecido al anterior, sólo que en este caso la incógnita es una de las partes en que se divide la base: 20 2 = 10 x x = 40 m 4) Un hombre está al borde de un acantilado, y observa una roca que está al otro lado en línea recta frente a él. Se desplaza 30 metros en horizontal, hasta que ve la piedra con un ángulo de 35º. Calcula la anchura del foso. El esquema del problema sería así: d 30m 35º Se puede resolver con una simple tangente: tg35 = d/30 d = 30 tg35 = 21m

5 5) Resuelve estos triángulos: 90º x y A 6 10 B Calculamos la altura con el teorema de la altura, y a partir de ahí tenemos dos triángulos rectángulos que podemos completar con Pitágoras, para luego sacar los ángulos con razones trigonométricas. h 2 = 6 10 h = 7,75m x 2 = ,75 2 x = 9,80m y 2 = ,75 2 y = 12,65 cosa = 6/9,80 A = 52,25º cosb = 10/12,65 B = 37,77º a 4 2a Conocemos el ángulo de 90º, por lo que sabemos que los dos ángulos restantes deben medir otros 90º. Si eso es así: a + 2a = 90, por lo que a = 30º y 2a = 60º. Con esos ángulos y un lado, con las razones trigonométricas, calculamos los dos lados que nos faltan. sen60 = 4/hipotenusa hipotenusa = 4/sen60 = 4,62 cos60 = cateto/4,62 cateto = 4,62 cos60 = 2,31 B A 12 A Dividimos el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos de base 6 e hipotenusa 20. Con pitágoras sacamos el cateto que falta (que se corresponde con la altura del triángulo original) y a partir de ahí usamos las razones trignométricas para sacar los ángulos = cateto 2 cateto 2 = cateto = 19,08 cosa = 6/19,08 A = 71,67º B = 180º 71,67º 71,67º = 36,66º

6 6) Un hombre que está a una distancia de la base de un árbol, observa lo alto con un ángulo de 60º. Se aleja 6 metros más en línea recta, y ahora el ángulo de visión es de 30º. Calcula la altura del árbol. El esquema de este problema sería así: h 60º 30º Tenemos que plantear dos ecuaciones usando la tangente, una en cada triángulo. Para el triángulo más pequeño: tg60 = h/x Para el más grande: tg30 = h/(x+6) 6 A partir de ahí hacemos un sistema de ecuaciones y calculamos la altura del árbol. tg60 = h/x h = x tg60 h = 1,73x tg30 = h/(x+6) tg30 = 1,73x/(x+6) 0,58(x+6) = 1,73x 0,58x + 3,46 = 1,73x 3,46 = 1,73x 0,58x 3,46 = 1,15x x = 3,46/1,15 = 3m No es lo que nos piden (x es la distancia que había al principio entre el hombre y el árbol), pero nos sirve para calcular la altura, y, de todas formas, es otra cosa que nos podrían haber preguntado. h = 1,73 x h = 1,73 3 h = 3,52m