1.- MEDIDA DE ÁNGULOS. - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto.

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1 º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 TEMAS 4 y 5.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. FUNCIONES FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Pr medir ángulos se suelen usr dos sistems de medid:.- MEDIDA DE ÁNGULOS. - El sistem segesiml que us omo unidd de medid el grdo. Un grdo es l 90-v prte del ángulo reto. En este sistem el ángulo reto mide 90º y el ángulo llno 80º - El sistem irulr que us omo unidd de medid el rdián. Un rdián es el ángulo uyo ro es igul l rdio. Pr psr de grdos rdines o vievers, puedes usr l equivleni: 80º π rd L equivleni entre grdos y rdines de los ángulos más utilizdos es: grdos rdines 0º 0 80º π 360º π 90º π 45º π 4 60º π 3 30º π 6 Ejeriios del liro: Tem 5 : Pág 4 : y 3.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS DEL ÁNGULO α teto opuesto seno de α sen α hipotenus teto ontiguo oseno de α os α hipotenus tngente de α tg α teto opuesto teto ontiguo RAZONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS DEL ÁNGULO α osente de α ose α sente de α se α os α sen otngente de α otg α tg α α - -

2 º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 Rzones trigonométris de 30º, 45º y 60º. sen os tg 30º π 6rd 45º π 4rd 60º π 3rd Rzones trigonométris on l luldor Ls r.t. de un ángulo gudo tmién se pueden hllr on l luldor ientífi usndo ls tels sin, os y tn - Cálulo de l rzón trigonométri de un ángulo Pr lulr, por ejemplo, sen 30º telemos: sin 30 y otenemos 0.5. Luego sen 30º 0,5 De igul form se lul el oseno y l tngente usndo ls tels os y tn. En lguns luldors, en lugr de teler sin 30, se he l revés, pulsndo primero 30 y luego sin. - Cálulo del ángulo onoid l rzón trigonométri Pr lulr el ángulo gudo α que umple sen α 0,5 telemos SHIFT sin 0.5 y otenemos 30 ; luego α 30º De igul form se he si nos dn os α o tg α, usndo ls tels os y tn. En lguns luldors, en lugr de teler SHIFT sin 0.5, se he l revés, pulsndo primero 0.5 y luego SHIFT sin. Ejeriios del liro: Tem 4 : Pág 3: 4 Pág : 0,, 3, 4 y RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. Ls r.t. de un ángulo ulquier se deduen prtir de ls r.t. de un ángulo gudo estudids en el prtdo nterior. Pr ello trzmos un irunfereni de rdio on entro en el origen de oordends (est irunfereni se llm irunfereni goniométri o trigonométri). L irunfereni qued dividid en 4 udrntes - -

3 º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 Diujmos el ángulo de form que el vértie se el origen de oordends y el ldo iniil l prte positiv del eje (se die que estmos diujndo el ángulo en posiión norml). El ldo finl del ángulo ort l irunfereni en un punto P(,) Entones: sen teto opuesto hipotenus os teto ontiguo hipotenus tg teto opuesto teto ontiguo Est mism definiión se us pr lulr ls r.t. de un ángulo ulquier. Cundo el ángulo v mindo de udrnte, los vlores del seno, oseno y tngente vn mindo de signo, tomndo siempre vlores reles entre - y. os > 0 P(,) sen > 0 P(,) os < 0 sen > 0 P(,) os < 0 sen < 0 os > 0 P(,) sen < 0 Rzones trigonométris de ángulos espeiles 0º 0 rd 90º π rd 80º π rd 70º 3 π rd 360º π rd sen os 0-0 tg 0 No eiste 0 No eiste 0 Relión entre ls rzones trigonométris sen α os α tg α os e α se α otg α Usndo el teorem de Pitágors: Relión entre el seno, oseno, tngente y otngente: senα osα tg α osα senα otg α Demostrión senα osα tg α osα senα otg α - 3 -

4 º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 Relión fundmentl de l trigonometrí: sen α os α Demostrión: sen α os α (sen α) (os α) Fórmuls que se deduen de l relión fundmentl ) Si dividimos todos los términos entre os α, otenemos sen os α α os os α α os α De donde: tg α se α ) Si dividimos todos los términos entre sen α, otenemos sen sen α α os sen α α sen α De donde: otg α ose α Relión entre ls rzones trigonométris de dos ángulos omplementrios. Si α es un ángulo gudo, los ángulos α y 90º - α son omplementrios (sumn 90º) sen α os (90º - α) os α sen (90º - α) Ejeriios del liro: Tem 4 : Pág : y CÁLCULO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS POR REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE. Reduión de un ángulo l primer vuelt Pr reduir un ángulo l primer vuelt lo dividimos entre 360º pr ser uánts vuelts h ddo l irunfereni, el ldo finl del ángulo. El resto de l división es un ángulo de l primer vuelt uys r.t. son igules que ls del ángulo iniil. Por ejemplo, 580º º 7 vuelts 60º. Luego ls r.t. de 580º oiniden on ls de 60º (Ojo: No se pueden eliminr los eros del dividendo y divisor porque, unque el oiente no vrí, el resto sí vrí) Resumiendo: Ls r.t. de un ángulo myor de 360º oiniden on ls r.t. del resto de dividir diho ángulo entre 360º - 4 -

5 º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 Reduión de un ángulo l primer udrnte Cundo un ángulo está en el II, III ó IV udrnte, se pueden hllr sus r.t. omprándols on ls de otro ángulo del primer udrnte. A este proeso se le llm reduión del ángulo l I udrnte. Vemos omo se he: sen sen (80º - ) sen - sen ( - 80º) sen - sen (360º - ) os - os (80º- ) os - os (- 80º) os os (360º - ) Rzones trigonométris de dos ángulos opuestos Ejeriios del liro: Tem 4 : Pág : 4, 5 y 6 Tem 5 : Pág 4 : 6 y TEOREMAS DEL SENO DEL COSENO. Consideremos un triángulo ulquier de ángulos A, B y C y uyos ldos opuestos dihos ángulos representremos por, y. Teorem del seno: sen A sen B sen C. Este teorem se puede plir pr resolver triángulos undo onozmos: ) ldo y ángulos (o ldo y los 3 ángulos) ó ) ldos y ángulo (siempre que este ángulo no se el omprendido entre los ldos onoidos) Teorem del oseno:...os A Este teorem se puede plir pr resolver triángulos undo onozmos: ) Los 3 ldos ó ) ldos y el ángulo omprendido entre los ldos onoidos Ejeriios del liro: Tem 4 : Pág 3: 9, 3, 4, 5, 6, 8 y 3 Pág 5: 5 y 9-5 -

6 os sen tg os sen os sen os sen os sen os sen tg sen os os sen os os sen º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 6.- FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS. R.T. DE LA SUMA Demostrión sen ( y) sen os y sen y os En el liro de teto os ( y) os os y - sen sen y tg tgy tg ( y) tg tgy tg (y) sen os y os os y os os y os os y En el liro de teto os sen y y sen os y sen y os os os y sen seny sen y os os os y tg tgy sen sen y tg tgy os os y R.T. DE LA RESTA sen (- y) sen os y - sen y os os (- y) os os y sen sen y tg tgy tg (- y) tg tgy R.T. DEL ÁNGULO DOBLE Demostrión sen ( - y) sen [ (-y)] sen os (-y) sen (-y) os sen os y - sen y os os ( - y) os [ (-y)] os os(-y) - sen sen (-y) os os y sen sen y tg tg tgy tg (- y) tg ( (-y)) tg tgy tg Demostrión tg tg y y sen () sen os sen () sen ( ) sen os sen os sen os os () os - sen os () os ( ) os os - sen sen os - sen tg tg () tg tg () tg ( ) tg tg tg tg tg tg R.T. DEL ÁNGULO MITAD os en funión de r.t. de / : os os sen os os Demostrión. sen ± os El signo dependerá del udrnte en el que esté - os os os ± os ± os El signo dependerá del udrnte en el que esté os os os ± os ± os os El signo dependerá del udrnte en el que esté os ± os ± ± os os - 6 -

7 º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 Sum y rest de senos y osenos Sum de senos sen (y) sen os y sen y os sen (-y) sen os y - sen y os sen (y) sen (-y) sen os y Rest de senos sen (y) sen os y sen y os - sen (-y) sen os y - sen y os sen (y) - sen (-y) sen y os Sum de osenos os (y) os os y - sen sen y os (-y) os os y sen sen y os (y) os (-y) os os y Rest de osenos os (y) os os y - sen sen y - os (-y) os os y sen sen y os (y) - os (-y) -sen sen y Si hemos el mio de vrile: y A ; -y B y resolvemos el sistem sen A sen B sen sen A - sen B sen Ls 4 fórmuls nteriores quedrín de l siguiente form: os os os A os B os os A - os B - sen y A y B, otenemos: os sen, y Ejeriios del liro Tem 5 : Pág 33: 4, 5, 7 y 9 Pág 34 :, 3, 4 y 5 Pág 35: 7 y 8 Pág 4: Pág 44: 9, 30, 3, 3 y 37 ) sen, siendo ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. Si [-,] entones l euión no tiene soluión pues los vlores del sen siempre están entre - y Pr resolver este tipo de euiones, hllmos primero los ángulos α, α de l primer vuelt uyo seno vle. Ls soluiones serán los ángulos que se otengn l sumrle (o restrle) vuelts omplets dihos ángulos: S : 360º.k α,on k Z 360º.k α ) os, siendo - Si [-,] entones l euión no tiene soluión pues los vlores del os siempre están entre - y Pr resolver este tipo de euiones, hllmos primero los ángulos α, α de l primer vuelt uyo oseno vle. Ls soluiones serán los ángulos que se otengn l sumrle (o restrle) vuelts omplets dihos ángulos: S : 360º.k α,on k Z 360º.k α 3) tg Pr resolver este tipo de euiones, hllmos primero los ángulos α, α de l primer vuelt uy tngente vle. Ls soluiones serán los ángulos que se otengn l sumrle (o restrle) vuelts omplets dihos ángulos: S : 360º.k α,on k Z 360º.k α El resto de euiones trigonométris se resuelven hiendo trnsformiones pr llegr ls euiones nteriores. Ejeriios del liro: Tem 5 : Pág 37:,, 3, 4 y 5 Pág 43 : 8, 9, 0 y - 7 -

8 º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 8.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Funión seno: Es l funión uy fórmul es y sen ( en rd) y sen -π -3π/ -π -π/ π/ π 3π/ π Dom (sen) R - Re (sen) [-,] - Es ontinu - Es periódi de periodo π, porque se repite en intervlos de longitud π Funión ro-seno: Propieddes más importntes - Tiene máimo pr π kπ π y mínimo pr kπ - No tiene límite en ni en -. Si onsidermos sen: [-π/, π/] [-,], result ser inyetiv, luego tiene invers. Su funión invers se llm funión ro-seno rosen : [-, ] [-π/, π/], rosen () únio ángulo del intervlo [-π/, π/] uyo seno vle π/ Gráfi de y rsen() π/3 π/ π/6 -π/3 -π/ Propieddes más importntes - Dom (rsen) [-,] - Re (rsen) [-π/, π/] - Es ontinu - Es reiente - 8 -

9 º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 Funión oseno: Es l funión uy fórmul es y os ( en rd) y os -π -3π/ -π -π/ π/ π 3π/ π Dom (os) R - Re (os) [-,] - Es ontinu - Es periódi de periodo π, porque se repite en intervlos de longitud π Propieddes más importntes - Tiene máimo pr kπ y mínimo pr π kπ - No tiene límite en ni en -. Funión ro-oseno: Si onsidermos os: [0, π] [-,], result ser inyetiv, luego tiene invers. Su funión invers se llm funión ro-oseno ros : [-, ] [0, π], ros () únio ángulo del intervlo [-π/, π/] uyo oseno vle π 5π/6 π/3 Gráfi de y ros() π/ π/3 π/ Propieddes más importntes - Dom (ros) [-,] - Re (ros) [0, π] - Es ontinu - Es dereiente - 9 -

10 º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 Funión tngente: Es l funión uy fórmul es y tg ( en rd) y tg -3π/ -π -π/ π/ π 3π/ - Dom (tg) R { π kπ } - Re (tg) R - Es disontinu en π kπ, on disontinuidd sintóti - Tiene síntots vertiles en π kπ Propieddes más importntes - Es periódi de periodo π, porque se repite en intervlos de longitud π - Es reiente - No tiene límite en ni en -. Funión ro-tngente: Si onsidermos tg: (-π/, π/) R, result ser inyetiv, luego tiene invers. Su funión invers se llm funión ro-tngente rtg : R (-π/, π/), rtg () únio ángulo del intervlo (-π/, π/) uy tngente vle π/ Gráfi de y rtg() π/3 π/ π/6 -π/3 - Dom (rtg) R - Re (rtg) (-π/, π/) - Es ontinu -π/ Propieddes más importntes - Es reiente - L ret y π/ es un síntot horizontl en - L ret y - π/ es un síntot horizontl en - Derivd de ls funiones trigonométris FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS y sen y os y rsen y y os y - sen y ros y y tg y tg se os y rtg y Ejeriios del liro: Tem : Pág 308: 5 y 6 Pág 309 : 3, 5 y 0 Pág 30: 6 y 9 Pág 3: 3, 8 ), 3 ), 36, 37, 38 y 39 ) - 0 -

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