Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

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1 Material necesario: Escuadra Cartabón Regla Transportador de ángulos Compás Calculadora Libro de texto nuevo!!!!!!!!!!!!!! Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza 8.1 Teorema de Pitágoras Página 17 Actividades 1. Comparando el cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de los otros dos, comprueba si cada triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo. a) 6 cm, 4 cm, 10 cm lado mayor 6cm lados menores 10cm 4cm Comparamos: Entonces el triángulo es rectángulo. d) 15 dam, 17 dam, 8 dam lado mayor 17 dam lados menores Comparamos: Entonces el triángulo es rectángulo. g) 33 m, 8 m, 33 m lados mayores 15 dam 8 dam m 33 m lado menor 8 m Comparamos Entonces es un triángulo acutángulo Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 Página 173 Actividades Halla la longitud de la hipotenusa

2 Conocemos los dos catetos y queremos calcular la hipotenusa: 1. a b c La hipotenusa mide 39 cm 3 Halla la longitud del cateto desconocido. Conocemos un cateto y la hipotenusa, hemos de calcular el otro cateto. c a b cm Tareas : 4 y 5 de la página Aplicaciones del Teorema de Pitágoras Tareas : todos los ejercicios de la página Figuras semejantes Ejemplo Consideramos los siguientes triángulos rectángulos construidos con el cartabón.

3 Consideramos los siguientes cocientes de los lados respectivos: a a b c b c Este número fruto del cociente de los lados de la segunda figura entre los respectivos de la primera es la razón de semejanza que transforma la primera figura en la segunda. Calculamos la áreas de nuestro triángulos rectángulos: Área triángulo 1 base altura cm Área triángulo base altura cm Como antes hemos dividido grande entre pequeño, ahora hacemos lo mismo: Calculamos su raíz cuadrada Se cumple que la rázon de semejanza de las áreas es el cuadrado de la rázon de semejanza de los lados. Ejemplo Consideramos los siguientes prismas de base rectangular. Vamos a considerar los cocientes de los lados respectivos de los dos prismas (las medidas de los lados pequeños entre los grandes): 3

4 a a b 3 b c c Resulta que la razón de semejanza del primer prisma respecto del segundo es Vamos a calcular los volúmenes de los dos prismas: Volumen prisma pequeño cm 3 Volumen prisma grande cm 3 Ahora hacemos el cociente del pequeño entre el grande, pensando en volúmenes: Por otro lado, calculamos el cubo de la razón de semejanza: Se cumple que la razón de semejanza de sus volúmenes es el cubo de la razón de semejanza de los lados. Tareas : todas las actividades de la página 177 Tareas : todas las actividades de la página Planos, mapas, maquetas. Ejemplo de la página 179 Distancia Algeciras a Ceuta En el mapa 6 mm En la realidad 9 km 9 km mm mm 6 mm 6 No nos queda pues no hemos medido muy bien con la regla sobre el mapa. Distancia entre Ceuta y Melilla En el mapa 5 cm En la realidad 5 km 5 km cm cm 5 cm Aquí claramente hemos medido mejor sobre el mapa. Ejemplo de la página 180 Vamos a calcular la superficie de la cocina. La cocina es un rectángulo, por lo que su superficie será el largo por el ancho. El largo es 4 m en la realidad. El ancho? En el plano el ancho de la cocina es. 4 cm. En la realidad será cm. 40 m Por lo tanto, la superficie de la cocina será m PÁGINA 180 EJERCICIOS En este plano, la distancia real entre los puntos A y B es de 10 m. Obtén la escala a la que está el plano y las distancias reales entre BC, BD y CA. En el plano la distancia entre los puntos A y B es 5 cm. La escala saldrá de 10 m 1000 cm 5 cm 5 cm La escala es 1 : 400 Distancia real BC Distancia en el plano BC cm Distancia en la realidad es cm 48 m Distancia real BD Distancia en el plano BD 4. 3 cm Distancia en la realidad es cm 103. m 4

5 Distancia real CA Distancia en el plano CA 6. 1 cm Distancia en la realidad es cm m Tareas : 1,3 8.5 Teorema de Tales Página 181 Actividades Tareas : todos los ejercicios de la página Semejanza de triángulos Un criterio de semejanza de triángulos (página 18 triángulos a la izquierda) Triángulo Grande ángulo A 40º ángulo B 110º ángulo C 30º lado AB lado BC lado CA Triángulo pequeño ángulo A 40º ángulo B 110º ángulo C 30º lado AB lado BC lado CA Se comprobará de esa forma que: ángulo A ángulo A ángulo B ángulo B ángulo C ángulo C Y hemos de calcular las razones: AB AB BC BC CA CA Entonces la razón de semejanza es r 0. 6 Por lo tanto los tríangulos son semejantes. Tareas ; todos los ejercicios de la página 18 Ejemplo de semejanza de triángulos rectángulos 1º Ejemplo Vamos a construir dos triángulos rectángulos a partir de sus catetos: uno que tenga de catetos y 3 cm ABC siendo el ángulo recto A otro que tenga de catetos 6 y 9 cm ABC siendo el ángulo recto A 5

6 Vamos a comprobar que son semejantes, para ello vamos a medir uno de los ángulos agudos. Medimos triángulo ABC A 90º C 35º triángulo ABC A 90º C 35º Entonces como tienen dos ángulos respectivos iguales, son semejantes. º Ejemplo Vamos a construir dos triángulos rectángulos a partir de un cateto y la hipotenusa: uno que tenga de catetos 3 cm y de hipotenusa 5 cm ABC siendo el ángulo recto A uno que tenga de catetos 6 cm y de hipotenusa 10 cm ABC siendo el ángulo recto A Vamos a comprobar que son semejantes, para ello vamos a medir uno de los ángulos agudos. Medimos triángulo ABC A 90º B 53º triángulo ABC A 90º B 53º Entonces como tienen dos ángulos respectivos iguales, son semejantes. Tareas : todos los ejercicios de la página Aplicaciones de la semejanza de triángulos Tareas : todas las actividades de la página 184 PÁGINA 184 ACTIVIDADES 1. 6

7 Como estamos estudiando las sombras en el mismo momento, tenemos dos triángulos rectángulos que tienen la siguiente relación entre los ángulos respectivos: Â Â Ĉ Ĉ Entonces esos triángulos son semejantes. En particular se cumple que: AB AB CB CB Tareas : todas las actividades de la página Construcción de una figura semejante a otra Ejemplo 1 Construimos un cuadrilátero pequeño ABCD en la izquierda de la hoja, no al lado del margen. Pintamos un punto E junto al margen de la izquierda. Desde este punto trazamos semi-rectas que pasen por los vértices del cuadrilátero. Medimos los cuatro segmentos EA, EB, EC, ED para luego marcar puntos G, F, H, I sobre cada una de las semi-rectas respectivas de forma que se cumpla que: EG EA EF EB EH EC EI ED En ambos cuadriláteros medimos los lados. En el cuadrilátero ABCD medimos los lados: En el cuadrilátero FGHI medimos los lados: Se cumple que FG AB GH BC CD HI DA IF 1 es la razón de semejanza 7

8 Ejemplo Construimos un triángulo grande ABC en la derecha de la hoja, cerca del margen. Pintamos un punto D junto al margen de la izquierda. Desde este punto trazamos semi-rectas que pasen por los vértices del triángulo. Medimos los tres segmentos DA, DB, DC para luego marcar puntos E, F, G sobre cada una de las semi-rectas respectivas de forma que se cumpla que: DE DA 4 DF DB 4 DG DC 4 En el triángulo ABC medimos los lados: En el triángulo EFG medimos los lados: Se cumple que AB AB BC BC CA CA 4 es la razón de semejanza EJERCICIOS FINALES DEL TEMA 1. Calcula el área del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos: Como el triángulo ABC es rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras, es decir; hipotenusa cateto cateto En particular en nuestro caso es: hipotenusa cm es el área del otro cuadrado. Tareas : 1(figura derecha), 3 Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo u obtusángulo. a) 15 cm, 10 cm, 11 cm 8

9 Hay que calcular los cuadrados de los lados: entonces es obtusángulo b) 35 m, 1 m, 37 m Hay que calcular los cuadrados de los lados: entonces es rectángulo. Tareas : 3(c,d,e,f,g) 4 Calcula el lado desconocido en cada triángulo: Como el triángulo es rectángulo se puede aplicar el Teorema de Pitágoras: b a c c c c c mm Tareas : 4(figura izquierda), 5 7 Calcula el perímetro de un rectángulo cuya diagonal mide 5.8 cm, y uno de sus lados, 4cm. El triángulo ABC es rectángulo, por lo que podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. 9

10 AC AB BC 5. 8 AB AB 16 AB AB cm El perímetro es la suma de todos los lados: cm Tareas : 8 9 Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 13 dm y 19 dm, el lado oblicuo mide 10 dm. Calcula la altura. Podemos aplicar en el triángulo rectángulo BEC el Teorema de Pitágoras: BC BE CE 10 BE BE 36 BE BE 64 8 dm es la altura. Tareas : 10,11 1 Halla la longitud x en cada uno de las siguientes figuras. C) Tenemos el triángulo rectángulo GHB donde podemos aplicar el Teorema de Pitágoras: x sería la apotema del hexágono regular (perpendicular desde el centro del polígono a uno de sus lados) 10

11 GB GH HB x 1 4 x 1 x x km Atención: como se trata de un hexágono regular, el radio coincide con el lado. Además, la apotema divide al lado en dos partes iguales. Tareas :1(a,b,d) 13 En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que calcular la medida de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo,...). Si no es exacta, hállalo con una cifra decimal. a) Se trata de un trapecio rectángulo. Desconocemos uno de los lados, por lo que tendremos que calcularlo. Para poder aplicar el Teorema de Pitágoras, habremos de construir un triángulo rectángulo. Trazamos el tríangulo rectángulo AED; en el podemos aplicar el teorema de Pitágoras. AD AE DE. 9 DE DE DE DE m Entonces el perímetro P m Área area del triángulo rectángulo área del rectángulo base altura base altura m Tareas : 13(b),

12 Área de los cuatro segmentos circularesárea círculoárea cuadrado cm área círculo r cm área cuadrado l cm Como no lo conocemos, hemos de aplicar el Teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo. Como estamos trabajando en un cuadrado, el triángulo DCE es rectángulo isósceles (DE EC. DC EC DE DC DC cm Perímetro segmento circularperímetro círculoperímetro cuadrado cm Perímetro círculo r cm Perímetro cuadrado cm Tareas : 16,17,18 Tareas : 4 5 Dibuja en tu cuaderno una figura como la siguiente y amplíala el doble de su tamaño proyectándola desde el punto exterior, E: Trazamos semi-rectas partiendo de E y pasando por cada uno de los cuatro vértices de la punta de flecha. Medimos las distancias AE, BE, CE, DE. Sobre cada una de las semi-rectas determinamos,respectivamente, puntos F, G, H, I de forma que: 1

13 FE AE GE BE HE CE IE DE Al unir los cuatro puntos así determinados, nos queda la figura pedida. Tareas : 6 8 Sabemos que los siguientes triángulos son semejantes. Halla los lados y los ángulos que faltan. Triángulo grandefalta B Triángulo pequeñofalta B, Ĉ, a, b En el triángulo grande aplicamos que la suma de los ángulos interiores es 180º : B º Como los triángulos son semejantes se cumple que los ángulos respectivos son iguales. B B 96º Ĉ Ĉ51º Sólo nos falta por calcular los lados del triángulo pequeño. c c 51 0 producto de medios es igual a producto de extremos c m b b 73 0 producto de medios es igual a producto de extremos b m 9 Explica por qúe estos dos triángulos isósceles son semejantes: Se dice que un triángulos es isósceles si tiene dos lados iguales; por lo que, también se cumple que tiene dos ángulos iguales. En los triángulos que nos dan, se cumple que tienen el ángulo desigual que vale 0º. Por lo que la suma de los otros dos será º, por lo que cada uno de ellos mide º. Por lo tanto, tenemos dos triángulos que tienen sus tres ángulos respectivos iguales; entonces esos dos triángulos son semejantes. Tareas :30 3 La altura de la puerta de la casa mide 3 m. Cuál es la altura de la casa? Y la del árbol más alto? Cuál es la altura de la casa? En el dibujo la puerta mide 1 cm que en la realidad son 3 m. En el dibujo la casa mide.6 cm que en la realidad son m Y la del árbol más alto? En el dibujo el árbol más alto mide.5 cm que en la realidad son m 33 Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm por 15 cm. El lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 1 cm. Halla: a) La razón de semejanza para pasar del primer al segundo rectángulo. La razón de semejanza es Atención: se está pasando de una figura pequeña a otra más grande. b) El lado mayor del segundo. Como tenemos la razón de semejanza del pequeño al grande será cm c) Las áreas de ambos rectángulos. Área rectángulo pequeño cm Área rectángulo grande cm 13

14 Tareas : Se cae un poste de 14.5 m de alto sobre un edificio que se encuentra a 10 m de él. Cuál es la altura a la que lo golpea? Esquemáticamente tenemos el siguiente triángulos rectángulo: Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular el cateto que falta: AC CB AB CB 10 CB CB m es la altura a la que golpea el edificio. 36 En las fiestas de un pueblo, cuelgan una estrella de 1 m de altura en medio de una cuerda de 34 m que está atada a los extremos de dos postes de 1 m separados 30 m entre sí. A qué distancia del suelo queda la estrella? 14

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