IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2014 Reserva 2 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

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1 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 6 Septiembre 01 ['5 puntos] De entre todos los triángulos rectángulos de área 8 cm, determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud De entre todos los triángulos rectángulos de área 8 cm, determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud Función a minimizar: Hipotenusa = h = área rectángulo + área base = (πr)h + πr Relación entre las variables: Área rectángulo = 8 = (1/) cateto cateto = (1/) y Por otro lado por el teorema de Pitágoras, h = + y Como h es una longitud h = + + y De 8 = (1/) y, tenemos y = 16/, luego h() = + 56 Función a minimizar h() = Si h ( = 0 y h ( > 0, = a es un mínimo de h() 3 ( )( ) - ( + 56)() h () = ( ) + y = + = ()( - ( + 56)) ( )( - 56) De h () = 0 tenemos 56 = 0, luego = + 56 = = = ± 56 = ± Como es una longitud, = cm tenemos πr 3 = 50, y r = 50 3 π = 5 m 3 1 m 3 π Veamos que es un mínimo es decir h () > ( - 56) h () = ; h () = Como h () = 3 () () () numero positivo La longitud de la hipotenusa pedida es h() = ( + 56 ) = número positivo > 0, = es un mínimo + 56 = 3 cm 5 66 cm Las dimensiones del rectángulo pedido son = cm, y = cm, por tanto el triángulo rectángulo es isósceles (dos lados iguales), y la hipotenusa es h() = 3 cm 5 66 cm Ejercicio opción A, modelo 6 Septiembre 01 d [ 5 puntos] Calcula (Sugerencia: cambio de variable t = ) ( + ) 1

2 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna d Calcula I = = { t = t tdt dt dt = tdt = d} = = = ( + ) t (t + t) t(t)(t + 1) t (t + 1) = = {integral racional} = Adt + Bdt Cdt t + t = A ln t - B/t + C ln t+1 + K t + 1 Calculamos A, B y C 1 A B C At(t + 1) + B(t + 1) + Ct t (t + 1) = t + t + t + 1 = t (t + 1), igualando numeradores tenemos: 1 = At(t+1) + B(t+1) + Ct De t = 0 1 = B De t = -1 1 = C(-1) = C Tomando t = 1 1 = A() + 1() + 1(1) 1 = A + 3 A = -1 Luego I = A ln t - B/t + C ln t+1 + K = -1ln t - 1/t + ln t+1 + K = {quitando cambio} = = -1ln - 1/ + ln +1 + K, es decir la integral pedida es: d = -ln - 1/ + ln K ( + ) Ejercicio 3 opción A, modelo 6 Septiembre 01 Se sabe que el determinante de la matriz A = b d e es 3, haya los siguientes c e f determinantes, indicando, en cada caso, las propiedades que utilices: ( [1 punto] det(a 3 ), det(a -1 ) y det(a + A t ) (A t indica la traspuesta de A) a b c a b a-c ( [0 75 puntos] det c e f (c) [0 75 puntos] det b d b-e b d e c e c-f Se sabe que el determinante de la matriz A = b d e es 3, haya los siguientes c e f determinantes, indicando, en cada caso, las propiedades que utilices: ( det(a 3 ), det(a -1 ) y det(a + A t ) (A t indica la traspuesta de A) La matriz A que me han dado es simétrica y coincide con su traspuesta, luego A = A t (i) Sabemos que det( A n ) = () n det(a n ), det(a t ) = det(a), det(a B) = det(a) det(b) y que det(a -1 ) = 1/(det(A)), porque de A -1 A = I, aplicándole determinantes A -1 A = I = 1 = A -1 A, luego A -1 = 1/ A Luego det(a 3 ) = det(a) det(a) det(a) = = 7 det(a -1 ) = 1/(det(A)) = 1/3 det(a + A t ) = det(a + A) = det(a) = () 3 3 = 8 3 = ( a b c det c e f b d e (ii) Si una fila (column de un determinante esta multiplicada por un número, dicho número sale fuera multiplicando a todo el determinante (iii) Si intercambiamos entre si dos filas (columnas) de un determinante el determinante cambia de signo

3 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna a b c det c e f = {aplicamos (ii)} = () det c e f = {aplicamos (iii)} = b d e b d e = ()(-1) det b d e = ()(-1)(3) = -6 c e f (c) a b a-c det b d b-e c e c-f (iv) Si una fila (column un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante se puede descomponer en suma de dos determinantes colocando en dicha fila (column el premier y segundo sumando respectivamente (v) Si un determinante tiene dos filas iguales o proporcionales, dicho determinante vale 0 a b a-c a b a a b -c det b d b-e = {aplicamos (iv)} = det b d b + det b d -e = {aplicamos (ii), (iii) y c e c-f c e c c e -f (v)} = 0 + (-1) det b d e = (-1) (3) = -3 c e f Ejercicio opción A, modelo 6 Septiembre 01 = 1 + λ Sea r la recta definida por y = 1 + λ y s la recta dada por = y 1 = z z = λ [1 75 puntos] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s [0 75 puntos] Calcula la distancia entre r y s = 1 + λ Sea r la recta definida por y = 1 + λ y s la recta dada por = y 1 = z z = λ Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s Forma (1) de hacerlo Ponemos ambas recta en paramétricas o en forma vectorial con un parámetro distinto De la recta r punto A(1,1,0) y vector director u = (1,1,1) De la recta s punto B(1,0,1) y vector director v = (-,1,-) 3

4 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna r (,y,z) = (1,1,0) + λ(1,1,1) = (1+λ, 1+λ, λ) s (,y,z) = (1,0,1) + µ(-,1,-) = (1-µ, µ, 1-µ) De la recta r(a;u) tomamos un punto genérico X(,y,z) = X(1+λ, 1+λ, λ) De la recta s(b;v) tomamos un punto genérico Y(,y,z) = Y(1-µ, µ, 1-µ) El vector XY tiene que ser perpendicular al vector director de r u y al vector director de s v a la vez, es decir su producto escalar ( ) tiene que ser cero: XY = (1-µ-1-λ, µ-1-λ, 1-µ-λ) = (-µ-λ, -1+µ-λ, 1-µ-λ) XY u = 0 (-µ-λ, -1+µ-λ, 1-µ-λ) (1,1,1) = 0 = -µ-λ -1+µ-λ +1-µ-λ) = -3µ-3λ = 0 µ = -λ XY v = 0 (-µ-λ, -1+µ-λ, 1-µ-λ) (-,1,-) = 0 = -(-µ-λ) -1+µ-λ -(1-µ-λ) = µ+λ-1+µ-λ-+µ+λ = = -3+9µ+3λ = 0 = -1+3µ+λ = 0 Resolvemos el sistema µ = -λ -1+3µ+λ = 0-1-3λ+λ = 0-1-λ = 0 λ = -1/ µ = 1/ Entrando en el punto genérico X con el valor de λ = -1/, obtenemos el punto P que es P(1+(-1/), 1+(-1/), (-1/)) = P(1/, 1/, -1/) Entrando en el punto genérico Y con el valor de µ = 1/, obtenemos el punto Q que es Q(1-(1/), (1/), 1-(1/)) = Q(0, 1/, 0) La recta pedida t es la que pasa por los punto P y Q, es decir t(q;qp) Q(0, 1/, 0) QP = (1/-0, 1/-1/, -1/-0) = (1/, 0, -1/) La recta pedida es t (,y,z) = (0, 1/, 0) + δ(1/, 0, -1/) con δ R Calcula la distancia entre r y s La distancia entre las rectas r y s es d(r;s) = QP = ( (1/) +(0) +(1/) ) = ( 1/ ) u 1 Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s Forma () de hacerlo r (,y,z) = (1,1,0) + λ(1,1,1); s (,y,z) = (1,0,1) + µ(-,1,-) La recta t la vamos a dar como intersección de dos planos π 1 y π El vector uv es un vector perpendicular a la vez a las recta r y s, luego tiene la dirección de la recta pedida i j k uv = = i(--1) j(-+) + k(1+) = (-3,0,3) Plano π 1 det(a;u; uv) = 0, es decir plano que contiene a la recta r y al vector uv, es decir: -1 y-1 z π 1 det(a;u; uv) = 0 = = (-1)(3-0) - (y-1)(3+3) + (z)(0+3) = 3-6y + 3z + 3 = = - y + z + 1 = 0 Plano π det(b;v; uv) = 0, es decir plano que contiene a la recta s y al vector uv, es decir:

5 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna π det(b;v; uv) = 0 = = + y + z - = 0-1 y z = (-1)(3-0) - (y)(-6-6) + (z-1)(0+3) = 3 + 1y + 3z 6 = y + z + 1 = 0 La recta t pedida es t + y + z - = 0 Calcula la distancia entre r y s r (,y,z) = (1,1,0) + λ(1,1,1); s (,y,z) = (1,0,1) + µ(-,1,-) Distancia de un punto de una recta a un plano que contiene a la otra y es paralelo a la primera De r tenemos A(1,1,0) y u = (1,1,1) De s tenemos B(1,0,1) y v = (-,1,-) El plano π que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r tiene de ecuación: det(bx,v,u) = 0-1 y z-1 π = 0 = (-1)(1+) - (y)(-+) + (z-1)(--1) = 3-3z = 0 = - z = a0 + by0 + cz0 + d d(r;s) = d(a; π) = = (1) - (0) a + b + c = 1 u1 También podríamos calcular la distancia entre las rectas r y s por producto mito Formamos el paralelepípedo determinado por los vectores AB, u y v Volumen paralelepípedo = { AB, u, v } = área base por altura = uv d(r;s), de donde d(r;s) = ( [ AB, u, v ] ) / ( uv ) 5

6 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción B Ejercicio 1 opción B, modelo 6 Septiembre 01 a - si 1 Sea f: R R la función derivable definida por f() = b, donde ln denota + ln() si > 1 el logaritmo neperiano [1 5 puntos] Calcula a y b [1 5 puntos] Para a = 3 y b = calcula los etremos absolutos de f en el intervalo [0,e] (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) a - si 1 Sea f: R R la función derivable definida por f() = b, donde ln denota + ln() si > 1 el logaritmo neperiano Calcula a y b Como f() es derivable en su dominio, por tanto también es continua en su dominio; en particular es continua y derivable en = 1 Como es continua en = 1, f(1) = lim f() = lim f() f(1) = lim 1 f() = lim 1 (a - ) = a - 1; lim f() = lim b ln() 1 1 = b + ln(1) = b; 1 Igualando b = a - 1 a - si 1-1 si 1 f() = b ; f'() = -b 1 + ln() si > 1 + si > 1 Como es derivable en = 1, tenemos f (1 + ) = f (1 - ) Vamos a ver la continuidad de la derivada - + f '(1 ) = lim f '() = lim (-1) = -1; f '(1 ) = lim f '() = lim -b = -b + 1 Igualando tenemos -1 = -b+1 b = y a = + 1 = 3 Para a = 3 y b = calcula los etremos absolutos de f en el intervalo [0,e] (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) 3 - si 1-1 si 1 f() = ; f'() = ln() si > 1 + si > 1 Como la función es derivable los etremos absolutos se encuentran en = 0, = e (etremos del intervalo [0,e]) y en los puntos que anula f () Si < 1 f () = -1 = 0 Esto es absurdo Si > 1 f () = + = 0 = = - = 0 = ( ) = 0, de donde tenemos = 0 (ya lo teníamos) y = Si < 1 f() = 3 - f(0) = 3-0 = 3 Si > 1 f() = + ln() f() = + ln() 1 69 f(e) = + ln(e) 1 73 e Por tanto el máimo absoluto se alcanza en = 0 y vale f(0) = 3, y el mínimo absoluto se alcanza en = y vale f() = 1 + ln()

7 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Ejercicio opción B, modelo 6 Septiembre 01 Sea f : R R la función definida por f() = e cos() [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 0 [1 5 puntos] Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0, 0) Sea f : R R la función definida por f() = e cos() Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 0 La recta tangente en = 0 es y f(0) = f (0)( 0) f() = e cos(); f () = e cos() - e sen() Por tanto f(0) = e 0 cos(0) = 1 1 = 1 y f (0) = e 0 cos(0) e 0 sen(0) = = 1 La recta tangente pedida es y - 1 = 1( - 0) y = + 1 Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0, 0) Una primitiva es F() = I = e cos()d = {Integral por partes por partes udv = uv - vdz En nuestro caso u = e y dv = cos()d, de donde, du = e d y v = dv = sen() } = e sen() - e sen() = e sen() I 1 I 1 = e sen()d = = {Integral por partes por partes En nuestro caso u = e y dv = sen()d, de donde, du = e d y v = dv = -cos() } = - e cos() + e cos() = - e cos() + I Tenemos I = e sen() - I 1 = e sen() - (- e cos() + I) = e sen() + e cos() I, de donde: I = e sen() + e cos() I = ( e sen() + e cos() )/ + K Una primitiva es F() = ( e sen() + e cos() )/ + K, como dicen que pasa por (0,) tenemos: F(0) = 0 = ( e 0 sen(0) + e 0 cos(0) )/ + K = 1/ + K, de donde K = -1/ y la primitiva pedida es: F() = ( e sen() + e cos() )/ 1/ Ejercicio 3 opción B, modelo 6 Septiembre 01 Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, m - y + z = 1 - my + z = - - y + mz = 1 [1 75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro m [0 75 puntos] Si es posible, resuelve el sistema para m = - Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, m - y + z = 1 - my + z = - - y + mz = 1 Discute el sistema según los valores del parámetro m m - 1 La matriz de los coeficientes del sistema es A = 1 -m 1 y la matriz ampliada 1 - m m * A = 1 -m m 1 Estudiamos los rangos de A y A* para discutir el sistema Si det(a) = A 0, rango(a) = 3 7

8 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna det(a) = A = m - 1 m - 1 Adjuntos 1 -m 1 = 1 -m 1 tercera = 1 - m F -F 1-m 0 m-1 fila 3 1 = (1-m)(-+m) (m-1) (-m +) = (m-1)(-m) + (m-1) (-m +) = = (m-1) (-m-m +) = (m-1) (-m -m+) Resolviendo la ecuación A = 0= (m-1) (-m -m+) =0, tenemos m = 1 y -m -m+=0, de donde m -1± 1+8-1±3 + m = 0 m = =, de donde m = 1 y m = - Si m 1 y m -, det(a) = A 0, rango(a) = rango(a * ) = 3 = nº de incógnitas El sistema es compatible y determinado y tiene solución única Si m = * A = 1-1 y A = En A como la ª y 3ª filas son iguales entre si e igual a la primera, sólo tenemos una fila independiente, pues las demás dependen de ella, por tanto rango(a) = 1 En A * 1 1 como = = -3 0, tenemos rango(a*) = 1 - Como rango(a) = 1 rango(a*) = El sistema es incompatible y no tiene solución Si m = - (Apartado () * A = 1 1 y A = En A como = -8 + = -6 0, tenemos rango(a) = Adjuntos En A * como 1 - F 3+F 1= tercera = 1(0-0) = 0, rango(a*) = 1-1 F3-F columna Como rango(a) = rango(a * ) = El sistema es compatible e indeterminado, y tiene infinitas soluciones Como el rango es con dos ecuaciones es suficiente, tomamos la 1ª y 1ª ecuación, pues con ellas he formado el menor de la matriz A distinto de cero, y al ser rango, hay dos ecuaciones y dos incógnitas principales - - y = 1 - z - - y = 1 - z + y = - - z E E y = -3 6y = -3-3 y = -1/-/ Entrando en la 1ª ecuación - - (-1/-/) = 1 - z = 1 - z - = - z, luego = z, con lo cual y = -1/-/ = -1/-z/ Tomo z = b R, y las soluciones del sistema son (,y,z) = (b,-1/-b/, con b R Ejercicio opción B, modelo 6 Septiembre 01-5 Considera el plano π de ecuación +y - z + = 0, y la recta r de ecuación - = y = z [0 5 puntos] Determina la posición relativa de π y r [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es perpendicular a π 8

9 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna c) [1 punto] Halla las ecuaciones paramétricas del plano paralelo a π que contiene a r Considera el plano π de ecuación +y - z + = 0, y la recta r de ecuación Determina la posición relativa de π y r = y = z Ponemos la recta r en vectorial o paramétrica y entramos con ella en la ecuación del plano Resolvemos dicha ecuación con una incógnita y lo interpretamos De r punto el A(5,0,6) y vector director el u = (-,1,-3) Ecuación vectorial: (,y,z) = (5,0,6) + λ (-,1,-3) = (5-λ,λ,6-3λ) con λ R Sustituimos en π (5-λ) + (λ) - (6-3λ) + = λ + λ λ + = 0 0 λ + 6 = 0 0 = -6 Esto es absurdo, por tanto la recta es paralela al plano y no está contenida en él Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es perpendicular a π Para un plano π 1 necesitamos un punto y dos vectores independientes Como contiene a la recta r tomamos como punto el de la recta, el A(5,0,6), y uno de los vectores el director de la recta, el u = (-,1,-3) Como el plano es perpendicular al plano π el otro vector es el normal del plano π el n = (,1,-1) Ecuación general del plano π 1, puntos X(,y,z) tal que det(ax,u,n) = 0-5 y z-6 π 1 det(ax,u,n) = 0 = = 0 = (-5)(-1+3) - (y)(+6) + (z-6)(--) = 1-1 = - 8y - z +(-10+) = 0 = - 8y - z + 1 = 0 = - y - z + 7 = 0 c) Halla las ecuaciones paramétricas del plano paralelo a π que contiene a r La ecuación de un plano π, paralelo al plano π es de la forma +y - z + K = 0, porque tiene el mismo vector normal π Como me dicen que contiene a r y hemos visto en el apartado ( que r y π son paralelos y distintos, le imponeos la condición al plano de que contenga al punto A(5,0,6) (5) + (0) - (6) + K = 0, de donde K = - El plano pedido π +y - z - = 0 Me piden las ecuaciones paramétricas: Toma = λ R, z = µ R con lo cual y = - λ + µ Las ecuaciones paramétricas son: = λ π y = - λ + µ, con λ, µ R z = µ 9

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