Determinación del tamaño de una muestra (para dos o más muestras)

Transcripción

1 STATGRAPHICS Rev. 457 Determiació del tamaño de ua muestra (para dos o más muestras) Este procedimieto determia el tamaño de muestra apropiado para estimar o realiar pruebas de hipótesis respecto a alguo de las siguietes:. la diferecia etre las medias μ y μ de dos distribucioes ormales.. el radio de las desviacioes estádar σ y σ de dos distribucioes ormales. 3. la diferecia etre las proporcioes θ y θ de dos distribucioes biomiales. 4. la diferecia etre las tasas λ y λ de dos distribucioes de Poisso. 5. las diferecias apareadas etre las medias de más de dos distribucioes ormales. El procedimieto ecuetra u tamaño de muestra que logra alguo de los siguietes objetivos:. Geera u itervalo de cofiaa para la diferecia o radio del acho especificado.. Proporcioa la potecia deseada e ua prueba de hipótesis respecto a la diferecia o radio. StatFolio de Ejemplo: samsie.sgp Datos Muestrales: Niguo. Captura de datos El primer cuadro de diálogo mostrado por éste procedimieto es usado para especificar el problema de iterés del aalista. 5 by StatPoit, Ic. Determiació Tamaño de Muestra (Dos Muestras) -

2 STATGRAPHICS Rev. 457 Comparar: Se refiere al problema de iterés. Se asume que las muestras aleatorias de tamaño j será tomadas de j poblacioes que tiee ua distribució específica y fuero usadas para estimar o probar el valor de los parámetros idicados. El proceso determiará valores apropiados para j. Diferecia Hipotética: Se refiere al valor previsto para la diferecia o radio. Al realiar ua prueba de hipótesis éste valor forma la hipótesis ula (usualmete ). Al costruir u itervalo de cofiaa éste valor es usado solamete si la amplitud o acho de la bada deseado se especifica e térmios relativos (porcetaje). Sigmas Hipotéticas detro de Grupos: El valor esperado de la desviació estádar σ detro de cada ua de las j poblacioes muestreadas se asume que es el mismo para todas las poblacioes. Cuado comparamos o más medias, éste valor es ua parte crítica de la estimació y tedrá que ser coocido de forma precisa o ser u estimador cofiable de datos ateriores. Medias Hipotéticas: U valor aproximado para las medias μ j. Éste valor o es usado e los cálculos. Proporcioes Hipotéticas: U valor aproximado θ para las proporcioes biomiales. Éste valor es usado para determiar el error estádar probable de la diferecia etre dos proporcioes. Tasas Hipotéticas: U valor aproximado λ para las tasas de Poisso. Éste valor es usado para determiar el error estádar probable de la diferecia etre dos tasas. Número de Medias: El úmero de muestras k cuado comparamos más de dos medias. Porcetaje de Datos e la Primera Muestra: cuado comparamos dos muestras, se refiere al porcetaje de datos e la primera muestra: ρ = % () Excepto e alguos casos, el porcetaje debe ser fijado e 5%. Por ejemplo, el cuadro de diálogo de arriba idica u deseo de comparar las medias de distribucioes ormales, co ua media μ = y desviacioes estádar σ = 3. La hipótesis ula es tal que la diferecia etre las medias (μ - μ ) es igual a. Es deseable teer muestras del mismo tamaño. El segudo cuadro de diálogo proporcioa iformació acerca del propósito del aálisis: 5 by StatPoit, Ic. Determiació Tamaño de Muestra (Dos Muestras) -

3 STATGRAPHICS Rev. 457 Cotrol: especifica cuál es el propósito de etre las siguietes opcioes:. Error absoluto: Se costruye u itervalo de cofiaa para la diferecia o radio. Ese itervalo o debe desviarse del estimador putual de la diferecia o radio e igua direcció más que la distacia absoluta W idicada. Nota: cuado comparamos más de dos medias, el itervalo usado está basado e el método de comparació múltiple de medias de Tukey.. Error relativo: Se costruye u itervalo de cofiaa para la diferecia o radio. Ese itervalo o debe desviarse del estimador putual de la diferecia o radio e igua direcció más que el porcetaje relativo P idicado. Es idético al caso del error absoluto co W igual a P veces la diferecia especificada o radio. 3. Potecia: Se va a realiar ua prueba de hipótesis. La potecia de la prueba (-β) % debe igualar el porcetaje especificado cuado el verdadero valor de la diferecia o radio se desvía de la hipótesis ula por la = Diferecia a detectar idicada. La potecia es defiida como la probabilidad de rechaar la hipótesis ula cuado es falsa. Si se trata de realiar ua prueba de dos colas, etoces hay que obteer la potecia por arriba y por abajo del valor especificado por la hipótesis ula. Nota: cuado comparamos más de dos medias, la potecia se refiere a la prueba F para diferecias etre grupos e la tabla ANOVA y se refiere a la diferecia más grade etre dos medias cualquiera. 4. Tamaño de Muestra: el tamaño predetermiado de muestra se asume que es el mismo para todas las muestras. Ésta opció es usada para ilustrar la curva de la potecia para u tamaño de muestra que o fue calculado por este procedimieto. 5 by StatPoit, Ic. Determiació Tamaño de Muestra (Dos Muestras) - 3

4 STATGRAPHICS Rev. 457 Nivel de Cofiaa: Se refiere al ivel de cofiaa (-α)% usado cuado se costruye itervalos de cofiaa. El valor α tambié es empleado como el ivel del Error Tipo I cuado probamos hipótesis. U Error Tipo I ocurre cuado se rechaa equivocadamete la hipótesis ula. Hipótesis Altera: Selecccioar No igual para ua prueba de dos colas, Meor que si la hipótesis alterativa afirma que el parámetro es meor que el valor especificado por la hipótesis ula o Mayor que si la hipótesis alterativa afirma que el parámetro es mayor que el valor especificado por la hipótesis ula. Sigma: Cuado comparamos o probamos medias de curvas ormal, si se asume que la desviació estádar es coocida (Prueba Z) o si ésta será estimada a partir de los datos (Prueba t). Por ejemplo, el cuadro de diálogo de arriba idica que la siguiete prueba será realiada: Hipótesis ula H : μ μ = Hipótesis alterativa H A : μ μ La probabilidad de cometer el error Tipo I (rechaar ua hipótesis ula cuado es verdadera) se deota como α = 5%, mietras que la probabilidad de u Error Tipo II (o rechaar ua hipótesis ula cuado es falsa) se deota por β = % cuado la verdadera diferecia absoluta etre las medias es igual a 3. La siguiete tabla puede ser útil para recordar cómo se deota la probabilidad de los errores. No Rechaar H Rechaar H Decisió correcta Error Tipo I Riesgo = α H es verdadera H es falsa Error Tipo II Riesgo = β Decisió correcta potecia = -β Resume del Aálisis El Resume del Aálisis muestra el objetivo deseados y los tamaños de muestras que permitirá alcaarlos: Determiació del Tamaño de Muestra Parámetro a estimar: diferecia etre dos medias ormales Potecia deseada: 9.% para la diferecia =. versus diferecia = 3. Tipo de alterativa: o igual Riesgo alfa: 5.% Sigma: 3. (por estimar) El tamaño de muestra requerido es de 3 observacioes para la muestra y 3 observacioes para la muestra. 5 by StatPoit, Ic. Determiació Tamaño de Muestra (Dos Muestras) - 4

5 STATGRAPHICS Rev. 457 E el ejemplo actual, se requiere muestras de = 3 observacioes por cada població para alcaar la potecia deseada. Curva de la Potecia La Curva de la Potecia muestra el poder de la prueba de hipótesis especificada para los tamaños de muestras obteidos. Curva de Potecia alfa =.5, sigma = 3., =3, =3 Potecia ( - beta) Diferecia Verdadera Etre Medias Es posible observar que la potecia (probabilidad de rechaar la hipótesis ula) se ecuetra solamete alrededor de α cuado la diferecia verdadera es cercaa a cero y tiede a -β cuado la diferecia varía e algua direcció diferete a la especificada por la Diferecia a Detectar. Cálculos Media de la Normal Itervalo de Cofiaa Si se asume que σ es coocido, ecuetra los valores más pequeños de y tal que α σ W () Si σ será estimado de los datos, ecuetra los valores más pequeños de y tal que tα, σ W (3) Media de la Norma- Prueba de Hipótesis Si σ se asume como coocido, ecuetra los valores más pequeños de y tal que ( ) α δ β σ (4) 5 by StatPoit, Ic. Determiació Tamaño de Muestra (Dos Muestras) - 5

6 STATGRAPHICS Rev by StatPoit, Ic. Determiació Tamaño de Muestra (Dos Muestras) - 6 Si σ será estimado de los datos, ecuetra los valores más pequeños de y tal que ( ),, t t δ σ β α (5) Sigma de ua Normal Itervalo de Cofiaa Ecuetra los valores más pequeños de y tal que W F,, α (6) y ( ) W F,, α (7) Sigma de ua Normal Prueba de Hipótesis Ecuetra los valores más pequeños de y tal que ) l( = α β si > (8) o ) l( = α β si < (9) Proporció Biomial Itervalos de Cofiaa Ecuetra los valores más pequeños de y tal que ( ) W θ θ α ()

7 STATGRAPHICS Rev by StatPoit, Ic. Determiació Tamaño de Muestra (Dos Muestras) - 7 Proporció Biomial Pruebas de Hipótesis Ecuetra los valores más pequeños de y tal que ( ) si si θ θ β α () Tasa de Poisso Itervalos de Cofiaa Ecuetra los valores más pequeños de y tal que W λ α () Tasa de Poisso Pruebas de Hipótesis Ecuetra los valores más pequeños de y tal que ( ) ( )( ) λ λ β α (3) Más de Medias Normales Itervalo de Cofiaa Usado la T de Tukey, ecuetra el tamaño de muestra comú más pequeño tal que W T k k ) (,, σ α (4) Más de Medias Normales Prueba de Hipótesis Ecuetra el tamaño de muestra comú más pequeño para el cual la potecia de la Prueba F etre grupos e la tabla del aálisis de la variaa iguala o excede aquel valor especificado cuado la diferecia más grade etre dos medias cualquiera es igual a, basada e ua distribució F o cetrada co valores del parámetro de la distribució F desplaada.

8 φ = σ k STATGRAPHICS Rev. 457 (5) Nota: Para todas las pruebas de ua sola cola, se reemplaa α por α e las ecuacioes para las pruebas de hipótesis. 5 by StatPoit, Ic. Determiació Tamaño de Muestra (Dos Muestras) - 8