DEFINICIONES BÁSICAS

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1 1 CLASES DE ESTADÍSTICA II CLASE 14) INTRODUCCIÓN A LAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS. A menudo el analista debe tomar decisiones acerca de la investigación que se está desarrollando. En ese proceso de toma de decisiones existen varias metodologías que le permiten formarse un criterio sólido para sustentar la escogencia entre las distintas alternativa de decisión. La Estadística nos proporciona una de esas metodologías cuando se están analizando situaciones en las cuales se tiene incertidumbre acerca de las alternativas de decisión. Esta metodología se conoce como Pruebas de Hipótesis. Evidentemente, las pruebas de hipótesis tienen base en la teoría de las probabilidades pero poseen una terminología propia para denotar los procesos de decisión, que se presentará a continuación. DEFINICIONES BÁSICAS La primera definición de interés se refiere a qué es una Hipótesis en Estadística. Hipótesis Estadística: Sea una población X con función de densidad f X (x; θ), donde θ pertenece a un cierto espacio paramétrico Θ. Se define como Hipótesis Estadística, y la denotaremos H, sobre el parámetro θ a alguna afirmación de carácter cuantitativo sobre el valor de dicho parámetro. Por ejemplo, si estamos hablando de una población de la cual desconocemos el valor esperado μ, una afirmación será el valor de μ es igual a 4. Otra afirmación puede ser el valor de μ es mayor que 10. Ambas afirmaciones son hipótesis estadísticas. Nota importante: Una hipótesis estadística siempre será alguna proposición acerca de la población y sus parámetros, nunca será una proposición acerca de la muestra aleatoria de esa población. Espacio Paramétrico Asociado a la Hipótesis: Sea una población X con función de densidad f X (x; θ), donde θ pertenece a un cierto espacio paramétrico Θ. Se define como espacio paramétrico asociado a la Hipótesis H al subconjunto Θ H del espacio paramétrico Θ que incluye a todos los posibles valores del parámetro θ que están incluidos en la Hipótesis planteada. De las dos afirmaciones planteadas anteriormente, se podría decir que el espacio paramétrico asociado con cada hipótesis es {μ = 4} y {μ > 10}, respectivamente. En este momento el lector podría presentar una confusión acerca del significado de Hipótesis Estadística y Espacio paramétrico asociado a la hipótesis, el primer concepto es una afirmación mientras que el segundo es un conjunto de los posibles valores en los cuales se cumple la afirmación. Prueba de Hipótesis: Proceso de decisión a través del cual se desea probar si una hipótesis estadística se acepta como verdadera o no. Este proceso de decisión tiene base en las evidencias proporcionadas por una muestra aleatoria.

2 2 En una prueba estadística se pretende contrastar dos posibles hipótesis. Esto da pie a definir dos tipos de hipótesis. Hipótesis Nula: Aquella afirmación que queremos contrastar con miras a probar si la aceptamos como verdadera o no. Se le denota como H 0 y tiene asociado un espacio paramétrico Θ 0. Hipótesis Alterna: Aquella afirmación que aceptaríamos con verdadera si rechazamos la hipótesis nula. Se le denota como H 1 y tiene asociado un espacio paramétrico Θ 1. En relación a estas definiciones de Hipótesis nula y alterna vale la pena observar las siguientes tres notas importantes. Nota importante: Los espacios paramétricos asociadas a las hipótesis nula y alterna son excluyentes entre sí pero, no necesariamente, son complementarios. Nota importante: De las diversas formas como se pueden presentar los espacios paramétricos de las hipótesis, la hipótesis nula SIEMPRE se corresponderá con la opción que contiene la relación de igualdad. Nota importante: Si el espacio paramétrico asociado con la hipótesis alterna es del tipo, entonces la prueba de hipótesis se llama prueba de dos colas. En el caso de que incluya solo uno de los conjuntos anteriores, se hablará de una prueba de una sola cola. Ejemplo 14.1) Existe una analogía entre la prueba de hipótesis y el desarrollo de un juicio de carácter legal. Explíquela. Cuando una persona va a un juicio se presume su inocencia, este hecho es comparable con el planteamiento de la Hipótesis Nula. El propósito del abogado acusador es el de mostrar evidencias que demuestren que la hipótesis nula debe ser rechazada y, en consecuencia, que la hipótesis alterna, la persona es culpable, sea la que se decida como verdadera. Si las evidencias de culpabilidad presentadas no se consideran como suficientes, entonces la decisión será, se acepta la hipótesis nula ya que no se han presentado evidencias que hagan pensar lo contrario. En la explicación dada en el párrafo anterior el lector podrá comparar el procedimiento que se sigue en un juicio legal y el procedimiento que se sigue para realizar una prueba de hipótesis estadística. Son procesos similares. Del ejemplo anterior se desprende que el proceso a seguir en una prueba de hipótesis debe ser intentar rechazar la hipótesis nula. En este proceso sucederá una de dos posibles opciones: i. No encontramos evidencias para rechazar la Hipótesis Nula. ii. Sí encontramos evidencias para rechazar la Hipótesis Nula.

3 3 Evidentemente, la primera opción es una conclusión débil que lleva a seguir buscando evidencias para ver si se rechaza la hipótesis nula o aceptarla con reservas. Por lo contrario, la segunda opción es una decisión fuerte ya que la evidencia tiene que ser contundente. Si la decisión es la segunda opción se dice que la Prueba es Significativa. Nota importante: Es bueno recordar que la evidencia de la que se habla en los párrafos anteriores no es otra cosa que las mediciones estadísticas que podamos realizar y que, previamente, hemos conocido como la muestra aleatoria simple de la población bajo estudio. Una muestra aleatoria simple es un vector de variables aleatorias y, como tal, no incluye todos los posibles valores poblacionales por lo que las eventuales conclusiones que se desprendan de esa muestra podrían estar equivocadas. La nota anterior nos indica que, eventualmente, podríamos tomar la decisión incorrecta al realizar una prueba de hipótesis pero, esa eventualidad es poca, es mucha???. La respuesta a esta pregunta la podemos analizar a través de disponer de la probabilidad de equivocarlos en la decisión tomada. Qué posibles errores podemos cometer al realizar una prueba de hipótesis? Errores al realizar una prueba de hipótesis: En el proceso de toma de decisiones al pretender rechazar una hipótesis nula en una prueba de hipótesis es posible cometer dos tipos de error: 1. Error Tipo I: Cuando las evidencias muestrales indican que rechacemos la hipótesis nula siendo verdadera. 2. Error Tipo II: Cuando las evidencias muestrales nos indican que no podemos rechazar la hipótesis nula siendo falsa. Todas las decisiones posibles al realizar una prueba de hipótesis se resumen en la tabla siguiente Decisión Realidad H 0 es verdadera H 0 es falsa No se rechaza H 0 CORRECTO ERROR TIPO II Se rechaza H 0 ERROR TIPO I CORRECTO Ejemplo 14.2) Para la analogía entre la prueba de hipótesis y el desarrollo de un juicio de carácter legal explicada en el ejemplo 14.1, indicar que se corresponde con los errores tipo I y tipo II. Cuál de los dos errores considera Usted peor? Lo correcto sería que si el acusado es inocente sea declarado como inocente y que si es culpable sea declarado como tal. El error tipo I se correspondería con declarar como culpable a un inocente. El error tipo II se correspondería con dejar libre al culpable.

4 4 La respuesta a la comparación entre los posibles errores en el juicio del ejemplo anterior va a depender del punto de vista del que emite la opinión pero, más allá de esto y volviendo con el problema de la Estadística, debemos darnos cuenta que cualquiera sea la decisión tomada la hacemos con base en la muestra aleatoria simple de la variable poblacional bajo estudio. Ya que una muestra aleatoria simple es un vector de variables aleatorias la pregunta se puede plantear como Cuál es la probabilidad de equivocarnos? Con qué probabilidad cometeremos un error del tipo I, del tipo II? El análisis que sigue relaciona la teoría de probabilidades con el estudio estadístico de una prueba de hipótesis. Región Crítica o Región de Rechazo: Sea una muestra aleatoria simple (X 1, X 2,, X n ) de una población X con función de densidad f X (x; θ) y espacio paramétrico Θ. Sea Ω X el espacio muestral asociado con esa muestra aleatoria simple. Se define como Región Crítica de la prueba, y se representa con RC, al subconjunto de Ω X tal que si (X 1, X 2,, X n )Є RC, la decisión es rechazar la hipótesis nula. Ejemplo 14.3) Sea una muestra aleatoria simple de tamaño n = 10 de una población normal con valor esperado desconocido y varianza igual a 9. Considere las siguientes hipótesis nula y alterna, respectivamente, {H 0 : μ 1,5} y {H 1 : μ > 1,5}. Si la región crítica es RC = { 1,6}, Qué decisión se debe tomar para los dos grupos de datos muestrales dados a continuación? n Caso 1 1,1 2,2 1,0 0,9 0,8 1,5 1,3 0,7 1,0 2,0 Caso 2 1,8 2,1 1,3 1,9 2,0 1,7 0,8 2,3 1,8 1,2 Dado que la región crítica está asociada al valor que toma la media muestral habrá que conocer ese valor, en cada caso. Caso 1: 1,25. Dado que este valor no pertenece a la región definida como crítica o de rechazo, la decisión debe ser no rechazar la hipótesis nula. Caso 2: 1,69. Dado que este valor pertenece a la región definida como crítica o de rechazo, la decisión debe ser rechazar la hipótesis nula.

5 5 Asociada a la región crítica se tiene la probabilidad de que la muestra pertenezca a la región crítica, esto define la función de potencia de la prueba. Función de Potencia de la Prueba: Sea una muestra aleatoria simple (X 1, X 2,, X n ) de una población X con función de densidad f X (x; θ) y espacio paramétrico Θ. Sea Ω X el espacio muestral asociado con esa muestra aleatoria simple. Sea RC la región crítica asociada a la prueba de hipótesis {H 0 : θ Є Θ 0 } vs {H 1 : θ Є Θ 1 }. La función de potencia P asociada a esa región crítica se define como i. P: Θ Θ 0,1 ii. P(θ) = P{ {Rechazar H 0 0} = P{(X 1, X 2,, X n ) Є RC} } A la representación gráfica de la función de potencia se le denomina Curva de Potencia. Ejemplo 14.4) Sea una muestra aleatoria simple de tamaño n = 2 de una población exponencial con parámetro desconocido θ. Se desea contrastar las siguientes hipótesis nula y alterna, respectivamente, { H 0 : θ 1} y {H 1 : θ > 1}. Obtenga la función de potencia para la región crítica RC =. Halle la gráfica de la Curva de Potencia. Nótesee que la función P es una función de R + en el intervalo [0, 1]. Entonces, Pero, P(θ) ~, En definitiva, P(θ) 1 1, 0 Graficando la función resultante, Elaborado por: Rafael A. Díaz Chacón

6 6 Ejemplo 14.5) Sea una muestra aleatoria simple de tamaño n = 8 de una población uniformemente distribuida en el intervalo (0, θ). Se desea contrastar las siguientes hipótesis nula y alterna, respectivamente, {H 0 : θ 2} y {H 1 : θ < 2}. Obtenga la función de potencia para la región crítica RC = 20,05. Halle la gráfica de la Curva de Potencia. Nótese que la función P es una función de R + en el intervalo [0, 1]. Entonces, Pero, P(θ) 20,05 2 0,05 0, 0, 0 1, En definitiva, y evaluando en n = 8, 0, 20,05 0 0, 0 P(θ) 0,05 1, 0 1,375, 0 2 0,05 0,05 1, 20,05, 1,375 Graficando la función resultante,

7 7 Conocida la función de potencia de una prueba para una región crítica dada y de acuerdo a la definición de los errores tipo I y tipo II, se pueden establecer las probabilidades de cometer cada tipo de error. Estas serán probabilidades condicionales donde el evento condicionante es la correspondiente hipótesis verdadera. Probabilidad de cometer un error tipo I: Se define esta probabilidad como una función del parámetro desconocido θ que llamaremos α(θ) tal que Θ, Θ Probabilidad de cometer un error tipo II: Se define esta probabilidad como una función del parámetro desconocido θ que llamaremos β(θ) tal que Θ 1, Θ Conocidas estas probabilidades se define el nivel de significación de la prueba: Nivel de Significación o Tamaño de una Prueba de Hipótesis: El nivel de significación de una prueba, se denota como α, es el máximo valor que toma la probabilidad de cometer un error tipo I (α(θ)). Es decir, max Ejemplo 14.6) En el ejemplo 14.4 se obtuvo la función de potencia para la región crítica y prueba indicadas allí. Obtenga las probabilidades de cometer errores tipo I y tipo II. Halle el nivel de significación de la prueba. La función de potencia resultó ser P(θ) 1 1, 0 Entonces, las probabilidades solicitadas serán, respectivamente, Θ Θ 1 1 4, 01 3 Θ 1 Θ 1 4, 1 3 El nivel de significación de la prueba será max , Este valor ocurre cuando θ = 1 y se destaca en la curva de potencia del ejemplo 110.

8 8 Ejemplo 14.7) En el ejemplo 14.5 se obtuvo la función de potencia para la región crítica y prueba indicadas allí. Obtenga las probabilidades de cometer errores tipo I y tipo II. Halle el nivel de significación de la prueba. La función de potencia resultó ser 0, 20,05 0 0, 0 P(θ) 0,05 1, 0 1,375, 0 2 0,05 0,05 1, 20,05, 1,375 Entonces, las probabilidades solicitadas serán, respectivamente, Θ Θ 0,05 2, 2 0, 0 1,375 Θ 1 Θ 10,05 2, 1,375 2 El nivel de significación de la prueba será max 0,05 2 0,05 Este valor ocurre cuando θ = 2 y se destaca en la curva de potencia del ejemplo 111. Ejemplo 14.8) Sea X una variable aleatoria discreta que representa el resultado de una cierta experiencia aleatoria. Suponga que su función de masa de probabilidades cambia a consecuencia de un parámetro θ, como se indica en la tabla siguiente X p X (x i ; θ = 1) 0,02 0,03 0,05 0,05 0,35 0,50 p X (x i ; θ = 2) 0,04 0,05 0,08 0,12 0,41 0,30 Se desea contrastar las siguientes hipótesis, {H 0 : θ = 1} y {H 1 : θ = 2}.Para ello se dispone de una muestra de tamaño 1, X 1. Obtenga todas las regiones críticas posibles con un nivel de significación del 5% y, para cada región crítica, halle la función de potencia y la probabilidad de cometer error tipo II. Seleccione la mejor región crítica. Cuando una hipótesis está formada por un solo elemento se le denomina Hipótesis Simple. En este caso, ambas hipótesis son simples. Entonces, el nivel de significación será el valor de la función de potencia en dicho punto, en este caso se desea que α = 0,05.

9 9 En consecuencia, debemos ver cuáles valores de X 1 son tales que su probabilidad de ocurrencia sea igual a 0,05 cuando el valor del parámetro θ es igual a uno. Eso define las posibles regiones críticas a considerar. Es decir, RC 1 = {x 1 = 2} RC 2 = {x 1 = 3} RC 3 = {x 1 1} La función de potencia, en cada caso, resultó ser 0,05; 1 P 1 (θ) 2 0,08; 2 0,05; 1 P 2 (θ) 3 0,12; 2 0,05; 1 P 3 (θ) 1 0,09; 2 Entonces, las probabilidades de cometer el error tipo II solicitadas serán, respectivamente, ,08 0, ,120, ,090,91 Dado que el nivel de significación de la prueba es igual en los tres casos (5%) la mejor región crítica será aquella con menor error tipo II o, equivalentemente, aquella que tenga mayor potencia. La región crítica que cumple esta condición es la segunda, entonces, la mejor región crítica es RC 2 = {x 1 = 3}