8. Magnetostática Problema Problema Enunciado Un haz de protones q = 1, C se mueve a m s

Transcripción

1 Físic Guí de ejercicios 8 MAGNETOSTÁTCA 8. Mgnetostátic 8.1. Problem Enuncido Un h de protones q = 1, C se mueve m s trvés de un cmpo mgnético uniforme, con mgnitud = 2T dirigido lo lrgo del eje positivo, como se indic en l gur. L velocidd de cd protón se encuentr en el plno con un ángulo de 30 con respecto l eje +. Clcule l fuer sobre un protón. v Figur 8.1: Protón con velocidd v en un cmpo mgnético Respuest F = 4, N ǰ Solución F = q v Como los vectores v se encuentrn sobre el plno, el resultdo del producto vectoril v tendrá resultnte ǰ, de cuerdo l regl de l mno derech pr el producto vectoril. F = q v senθ ( ǰ ) F = ( q = 1, C ) ( m ) (2T ) sen (30 ) ǰ s F = 4, N ǰ 8.2. Problem Enuncido L gur muestr un vist en perspectiv de un supercie pln con áre de 3cm 2 en un cmpo mgnético uniforme. Si el ujo mgnético trvés de est áre es de 0, 90mW b, clcule l mgnitud del cmpo mgnético obteng l dirección del vector de áre. Perspectiv Corte lterl A 30º A Figur 8.2: Vists de l supercie Respuest = 6T 90 ng. Guillermo Gurnkel

2 Físic Guí de ejercicios 8.3 Problem Solución Se puede obtener l densidd de ujo mgnético prtir del vlor del ujo mgnético. ˆ Φ = d A ˆ Φ = da cosθ El cmpo densidd de ujo mgnético cosθ son constntes pr l integrción, por lo que l epresión se reduce. ˆ Φ = cosθ da = A cosθ = Φ A cosθ = 0, W b m 2 cos (60 ) = 6T 8.3. Problem Enuncido Movimiento helicoidl de prtículs. En un situción como l que se ilustr en l gur, l prtícul crgd es un protón q = 1, C, m = 1, kg el cmpo mgnético uniforme está dirigido lo lrgo del eje con mgnitud de = 0, 5T. Sólo l fuer mgnétic ctú sobre el protón. En t = 0, el protón tiene componentes de velocidd v = 1, m s, v = 0, v = m s ) En t = 0, clcule l fuer sobre el protón su celerción. b) Encuentre el rdio R de l trectori helicoidl, l velocidd ngulr del protón el vnce de l hélice (distnci recorrid lo lrgo del eje de l hélice en cd revolución, o pso d de l trectori helicoidl). Vist trser Perspectiv v F v v F v v v Figur 8.3: Prtícul crgd en un cmpo mgnético. 91 ng. Guillermo Gurnkel

3 Físic Guí de ejercicios 8 MAGNETOSTÁTCA Respuest ) F = 1, N ǰ = 9, m s ǰ 2 b) R = 4, 18mm ω = 47, s d = 19, 7mm Solución ) Se plic l le de l fuer de Lorent: F = q v F = q (v ǐ + v ǩ ) ( ǐ ) F = q v ǰ F = ( 1, C ) ( m ) (0, 5T ) ǰ s de cuerdo l le de l fuer de Newton: F = F = 1, N ǰ m ǰ = F = m 1, N 1, kg ǰ = 9, m s 2 ǰ b) F = q v = m ( ) v 2 q v = m R, en t = 0 l velocidd norml l cmpo es v : ( ) v 2 q v = m R ( v ) q = m R R = m v q ( 1, kg ) ( m s R = (1, C) (0, 5T ) R = 0, m ) L velocidd ngulr está dd por: R = 4, 18mm 92 ng. Guillermo Gurnkel

4 Físic Guí de ejercicios 8.4 Problem ω = v R = m s 0, m El pso de l hélice puede hllrse medinte: ω = 47, s d = v T T = 2π ω d = d = v 2π ω ( 1, m ) s d = 19, 7mm 2π ( 47, s ) 8.4. Problem Enuncido En l gur, el cmpo mgnético es uniforme perpendiculr l plno de l gur, puntndo hci fuer. De derech iquierd, el conductor tiene un segmento rectilíneo con longitud L perpendiculr l plno de l gur seguido de un trmo semicirculr de rdio R, por último, otro segmento rectilíneo con longitud L prlelo l eje. El conductor trnsport un corriente con el sentido indicdo en l gur. ) Obteng l epresión de l fuer mgnétic totl sobre el conductor. b) Obteng un conclusión prtir del resultdo obtenido que le permit generlir este tipo de problems. R L Figur 8.4: Conductor con corriente sumergido en un cmpo Respuest ) F = (2R + L) ĵ b) L fuer mgnétic totl que se gener en un conductor con corriente sumergido en un cmpo puede hllrse fácilmente independientemente de l complejidd de su trectori, que bst considerr l longitud resultnte de proectr l trectori irregulr sobre el plno norml l cmpo mgnético. Esto puede deducirse por l presenci del producto vectoril en l le de l fuer de Lorent. 93 ng. Guillermo Gurnkel

5 Físic Guí de ejercicios 8 MAGNETOSTÁTCA Solución ) Conviene seprr el problem en dos prtes, hciendo uso del teorem de superposición. Un prte será el primer trmo, de iquierd derech, totlmente recto norml l plno del cmpo, un segund prte, que es l medi circunferenci de rdio R. Se plic l le de l fuer de Lorent l primer trmo (l dirección sentido de l fuer resultnte se obtienen medinte l plicción de l regl de l mno derech, pr el producto vectoril): F 1 = L ( π ) F 1 = L.sen ĵ 2 F 1 = L ĵ Se plic l le de l fuer de Lorent l segundo trmo, pr un diferencil de longitud. Téngse presente que un diferencil de rco de circunferenci de rdio R es dl = R dθ. De est mner podemos epresr los diferenciles de fuer pr los ejes e, de cuerdo l digrm vectoril del gráco: df = (R dθ) cosθ df = (R dθ) senθ De cuerdo l gráco, el sentido de crecimiento del ángulo θ qued impuesto por el sentido de l corriente. De est mner, l integrción tendrá como límite inferior θ = 0 como límite superior θ = π. F = F = ˆ π 0 ˆ π 0 (R dθ) cosθ = R (R dθ) senθ = R ˆ π 0 ˆ π 0 cosθdθ = 0 senθdθ = 2 R Por lo tnto, pr este trmo circulr, sólo qued l componente de l fuer, cu notción vectoril es: F 2 = 2 R ĵ Pr cumplir con el teorem de superposición, summos mbs fuers obtenids F 1 F 2. F T = F 1 + F 2 = L ĵ + 2 R ĵ F T = F 1 + F 2 = (2R + L) ĵ Se observ que 2R es el diámetro de l circunferenci, o, visto de otr mner, l proección de l trectori portdor de corriente sobre el plno del cmpo mgnético. Est conclusión permite fcilitr el cálculo de l fuer generd por un cmpo eterno sobre un trectori irregulr con corriente, ddo que bst con clculr l proección de l mism sobre el plno norml l cmpo. 94 ng. Guillermo Gurnkel

6 Físic Guí de ejercicios 8.5 Problem 8.5. Problem Enuncido Un bobin circulr de 0, 05m de rdio 30 vuelts de lmbre está en un plno horiontl. Conduce un corriente de 5A en sentido ntihorrio, vist desde rrib. L bobin está en un cmpo mgnético uniforme dirigido hci l derech, con mgnitud de 1, 20T. Encuentre ls mgnitudes del momento mgnético del pr de torsión sobre l bobin. µ =1,2T r = 0,5m = 5A Figur 8.5: obin con corriente sumergid en un cmpo Respuest µ m = 1, 18 Am( 2 ) τ = 1, 41 Nm î Solución Pr hllr el momento mgnético de un espir: µ = A Por lo que pr un bobin de N espirs (de igul áre A considerndo tods ells ubicds en un mism posición, es decir, sin contemplr el pilmiento entre espirs): µ = N A Con lo que, pr los dtos del problem, reemplmos obtenemos: µ = (30) (5A) [π (0, 05m) 2] µ = 1, 18 Am 2 De cuerdo l gráco tomndo como eje verticl l eje, podemos epresr l momento dipolr mgnético en form vectoril: µ = 1, 18 Am 2 ˆk Pr hllr el pr de torsión de l bobin, procedemos relindo el producto vectoril entre momento dipolr mgnético µ densidd de ujo mgnético, que en form vectoril, de cuerdo l gráco, es = 1, 2T ĵ. τ = µ ) τ = µsenθ (ˆk ĵ τ = ( 1, 18 Am 2) ( π ) ( ) (1, 2T ) sen î 2 τ = 1, 41 Nm ( ) î 95 ng. Guillermo Gurnkel

7 Físic Guí de ejercicios 8 MAGNETOSTÁTCA 8.6. Problem Enuncido Efecto Hll. Se coloc un plc de cobre con 2mm de espesor (eje del gráco) 1, 5cm de ncho (eje del gráco), en un cmpo mgnético uniforme con mgnitud de 0, 4T, como se indic en l gur. Cundo ps un corriente de 75A en l dirección, se mide l diferenci de potencil entre los puntos b se obtiene un vlor de 0, 81µV. A prtir de est medición determine l concentrción de electrones libres en el cobre. b Figur 8.6: Efecto Hll Respuest n = 11, Solución Anliremos el fenómeno llmdo efecto Hll, que se observ sobre un conductor con corriente sumergido en un cmpo mgnético. jo ests condiciones, se observ que ls crgs en movimiento son desplds debido l fuer que el cmpo reli sobre ells, hst un condición de equilibrio, dd por l fuer de Lorent. Debido l desplmiento de ls crgs hbrá, sobre el conductor, dos crs con crg net opuest, lo que form un diferenci de potencil que puede medirse bjo determinds condiciones ser utilid, por ejemplo, pr l medición de l densidd de ujo mgnético l hcer circulr por el conductor un corriente continu conocid constnte o el cso inverso, como sensor de corriente en presenci de un cmpo constnte, como puede ser el generdo por un imán permnente en sus cercnís. El desplmiento de crgs su posterior medición son tnto más precible cunto más delgdo se hce el conductor cundo su geometrí hce posible suponer constntes sus tres dimensiones, que es el cso de un conductor del tipo lminr, de espesor (ncho) reducido, ltur precible un dd longitud. Este ejercicio en prticulr pretende utilir este fenómeno pr determinr l cntidd de crgs móviles en el cobre (electrones). Se nlirá el fenómeno en form genéric, hbiendo hlldo l ecución de equilibrio del sistem, se nlirán ls distints utiliddes de l mism, incluendo l que quí se pide. El siguiente gráco muestr un de ls crgs q que conformn l corriente. Se tendrá presente en los cálculos que tl crg es un electrón con un crg q = e, siendo e = 1, C. Note que es de fundmentl importnci relir un correcto digrm de ejes crtesinos pr nlir el problem. 96 ng. Guillermo Gurnkel

8 Físic Guí de ejercicios 8.6 Problem J - Fm vd h w Figur 8.7: Efecto Hll - Pso 1 L crg q, que se despl con un velocidd de deriv v d en el sentido opuesto l de l densidd supercil de corriente J, que por convención tiene el sentido de l corriente que originrín portdores con crg positiv. El conductor posee dimensiones dds: ncho w, ltur h un dd longitud que no result necesri pr nuestro propósito, teórico. Aplicndo l le de l fuer de Lorent podemos hllr el vlor de l fuer que el cmpo eterno que suponemos totlmente uniforme pr todo el espcio bjo nálisis ejerce sobre l crg q en movimiento. F m = q v d Que de cuerdo l sistem de ejes utilidos podemos reescribir como: ( )] ( ) F m = ( e) [v d î ĵ ( ) ( ) F m = (e) v d î ĵ Y siendo î ĵ = ˆk, F m = ev d ˆk Este vector de fuer está representdo en el gráco. Est fuer generrá un celerción sobre l ms de l crg provocrá un desplmiento verticl, en el sentido + de tl crg de tods ls crgs que conformn l densidd supercil de corriente J, cu denición repsmos: J = nq v d L eistenci de tl fuer F m provoc un cumulción de crgs en un de ls crgs delgds del conductor, en consecuenci, usenci de ls misms en l cr opuest. El siguiente gráco ilustr l situción. 97 ng. Guillermo Gurnkel

9 Físic Guí de ejercicios 8 MAGNETOSTÁTCA Fm - vd - - J h Fe E w Figur 8.8: Efecto Hll - Pso 2 L cumulción de crgs negtivs (electrones) en l cr superior de crgs positivs en l inferior (usenci de electrones) dn origen un cmpo eléctrico E dentro del conductor, ddo por E = E ˆk. Este cmpo eléctrico E tmbién gener un fuer sobre l crg bjo estudio, cu mgnitud, dirección sentido están dds por: F e = q E F e = ( e) E ˆk F e = e E ( ) ˆk Dd l oposición entre ls fuers mgnétics eléctrics, hbrá un punto de equilibrio en ls que mbs se nuln l fuer net sobre l crg se nul; l ecución de l fuer de Lorent en su form complet nos brind l herrmient pr nlir este estdo de equilibrio. F = F e + F m = q E + q v d = 0 q E = q v d E = v d E ˆk = v d ˆk Por otro lugr, l denición de densidd de corriente nos brind: E = v d (12) Que en vlor bsoluto result. J = nq v d J = nev d De donde podemos despejr l velocidd de deriv v d : v d = J nq (13) Utilindo ls ecuciones 12 13, obtenemos: 98 ng. Guillermo Gurnkel

10 Físic Guí de ejercicios 8.6 Problem E = (v d ) E = ( ) J ne E = J ne Est epresión result l fundmentl del fenómeno Hll. A prtir de ell, podemos obtener lo pedido por el ejercicio, que es el número de portdores (electrones) libres en el cobre, pr los vlores hlldos eperimentlmente pr ls demás vribles. n = n = n = (J) e (E) ( ) A e ( ) V h ( ) h w h ev (14) Reemplndo vlores, obtenemos n: n = wev (75A) (0, 4T ) n = ( m) (1, C) (0, V ) n = 11, m 3 Que es l cntidd de electrones libres en el cobre, por metro cúbico. A prtir de l ecución 14 pueden despejrse otrs vribles, como l diferenci de potencil entre ls rists del conductor lminr, que permiten, por ejemplo, l construcción de un medidor linel de cmpo mgnético, en l que l diferenci de potencil result directmente proporcionl l cmpo eterno, pr un determindo mteril medinte l plicción de un corriente continu constnte conocid. Dich epresión, despejndo decudmente, result: E = J ne V h = (w h) ne V = wne = V wne Siendo: : Densidd de ujo mgnético, medido en Tesl T V : Diferenci de potencil, tomd en los etremos opuestos de l ltur h, medid en volt V. w: espesor de l lámin de mteril conductor. n: densidd volumétric de portdores de crg libre en dicho mteril, en 1 m 3 e: Crg del electrón e = 1, C : ntensidd de corriente continu plicd, en Ampere A. (15) 99 ng. Guillermo Gurnkel

11 Físic Guí de ejercicios 8 MAGNETOSTÁTCA 8.7. Problem Enuncido Un bterí de 150V está conectd trvés de dos plcs metálics prlels con áre de 28, 5cm 2 seprds 8, 2mm. Un h de prtículs lf (crg de+2e ms de 6, kg es celerdo desde el reposo trvés de un diferenci de potencil de 1, 75kV entr l región entre ls plcs de mner perpendiculr l cmpo eléctrico. ¾Qué mgnitud dirección del cmpo mgnético se necesitn pr que ls prtículs lf slgn sin desvirse de entre ls plcs? Respuest = 0, 0445T, perpendiculr l cmpo eléctrico E. Pr crgs hci l derech cmpo E hci rrib, sle de l págin Solución Primero se estblece un sistem de ejes se elije un sentido pr el cmpo eléctrico E, dto necesrio pr estblecer luego el sentido del cmpo. A v E d V Figur 8.9: Esquem del problem. Hciendo uso de l le de conservción de l energí, se plnte l iguldd entre l energí potencil entregd l prtícul l energí cinétic l momento de ingresr l on entre ls plcs crgds. qv = 1 2 mv2 2eV = 1 2 mv2 v = 4eV v = m 4 (1, C) (1750V ) (6, kg) v = 4, m s î Como l prtícul posee un ciert velocidd está inmers en un cmpo eléctrico, éste generrá sobre ell un fuer eléctric F e = q E. Se pide hllr el cmpo mgnético tl que l fuer mgnétic F m = q v que el mismo generrí sobre l crg se de igul intensidd sentido opuesto l fuer eléctric, por ende, l prtícul vnce en el sentido positivo del eje (de cuerdo l sistem de ejes utilido) sin lterr su trectori. De est mner, se procede relir el digrm de cuerpo libre. 100 ng. Guillermo Gurnkel

12 Físic Guí de ejercicios 8.8 Problem + F e F m Donde F e = q E F m = q v. Figur 8.10: Digrm de cuerpo libre. q E = q v E = v ( ) V ( ) d ĵ = v i En este punto puede deducirse el sentido dirección del cmpo, que pr cumplir con l iguldd deberá ser el ddo por el versor ˆk, ) que ĵ = (î ˆk. ( ) V ( ) d ĵ = v i ˆk Ddo que v pr que el último cumpl lo solicitdo, psmos notción esclr pr obtener el vlor del mismo. V d = v = V vd 150V = ( ) 4, m s (8, m) Teng presente en este punto l iguldd de uniddes: V s = W b, mientrs que T = W b m 2. = 0, 0445T = 0, 0445T ˆk Como se present el sistem de ejes en el plno de este ppel, el cmpo tendrá dirección perpendiculr sliente l mismo Problem Enuncido ln mgnétic. El circuito que se ilustr en l gur se utili pr construir un bln mgnétic. L ms m por medir cuelg del centro de l brr que se hll en un cmpo mgnético uniforme de 1, 5T dirigido hci el plno de l gur. El voltje de l bterí se just pr hcer vrir l corriente en el circuito. L brr horiontl mide 60cm de lrgo está hech de un mteril de peso desprecible. L brr está conectd l bterí medinte lmbres delgdos verticles que no resisten un tensión precible; todo el peso de l ms suspendid m está soportdo por l 101 ng. Guillermo Gurnkel

13 Físic Guí de ejercicios 8 MAGNETOSTÁTCA fuer mgnétic sobre l brr. Un resistor con R = 5Ω está conectdo en serie con l brr; l resistenci del resto del circuito es desprecible frente este vlor. ) ¾Cuál punto, o b, deberí ser el terminl positivo de l bterí? b) Si el voltje máimo de l bterí regulble es de 175V, ¾cuál es l ms más grnde m que este instrumento es cp de medir? 5Ω Figur 8.11: ln mgnétic Respuest ) El terminl debe ser el positivo. b) m má = 3, 21kg Solución ) Se comien por relir el digrm del cuerpo libre, n de conocer l dirección sentido de l fuer mgnétic ctunte. F m m P Figur 8.12: Digrm de cuerpo libre del cuerpo pesr. Del digrm, se preci que l fuer mgnétic debe ser de idéntico vlor bsoluto dirección que l fuer peso, pero de sentido opuesto, es decir: F m = P L = m g 102 ng. Guillermo Gurnkel

14 Físic Guí de ejercicios 8.9 Problem F m F m L P P Figur 8.13: Análisis del producto vectoril. Nótese que el sentido del vector L es el que determin l corriente. Pr este cso se reli el nálisis inverso, en función de deducir el sentido ( ) de L se logr conocer el sentido de l corriente. Por lo tnto, ddo el sentido de l corriente +î, se deduce que el terminl positivo por ende el de mor potencil es el terminl. b) L máim ms será quell cuo peso pued ser contrrrestdo por l máim fuer mgnétic, que depende de l máim corriente del circuito, que su ve depende de l máim diferenci de potencil que pued entregr l fuente. F m = P L = m g L = mg m má = mál g = V mál R g m má = (175V ) (0, 6m) (1, 5T ) (5Ω) ( 9, 81 m s 2 ) Chequemos ls uniddes: (V ) m T (Ω) m s 2 = (A) T s 2 = ( C s m má = 3, 21kg ) ( ) W b s 2 m 2 = (C) ( (V s) m 2 ) s = ( C ) (( ) ) J s 2 C m Problem Enuncido J s2 m 2 = (N m) s 2 m 2 = ( ) kg m s 2 s 2 m = kg L gur ilustr un porción de un listón de plt con 1 = 11, 8mm e 1 = 0, 23mm, que trnsport un corriente de 120A en l dirección +. El listón se encuentr en un cmpo mgnético uniforme, en l dirección, con mgnitud de 0, 95T. Aplique el modelo simplicdo del efecto Hll. Si h 5, electrones libres por metro cúbico, encuentre: ) L mgnitud de l velocidd de deriv de los electrones en l dirección. b) L mgnitud l dirección del cmpo eléctrico en l dirección debido l efecto Hll. c) L fem de Hll. 103 ng. Guillermo Gurnkel

15 Físic Guí de ejercicios 8 MAGNETOSTÁTCA Δ Δ Figur 8.14: Efecto Hll Respuest ) v d = 4, 716 mm s b) E = 4, ˆk V m c) V = 53µV Solución ) De l denición de densidd de corriente J = nqv d, despejmos l velocidd de deriv v d : v d = J nq v d = v d = v d = Anq ( ) nq (120A) ((11, m) (0, m)) (5, ) (1, C) v d = 4, m s v d = 4, 716 mm s b) jo l condición de equilibrio entre ls fuers mgnétic eléctric que ctún sobre cd crg, como se observ en l gur siguiente, nlimos l iguldd en vlor bsoluto de ls misms Fm Fe v d - - Figur 8.15: Análisis vectoril. Donde F e = q E F m = q v. F e = F m 104 ng. Guillermo Gurnkel

16 Físic Guí de ejercicios 8.10 Problem q E = q v d E = v d E = v d î ĵ E = v d ˆk De donde se deduce primermente que el sentido del cmpo eléctrico E es el de hllr el vlor del cmpo, reemplmos vlores: ( E = 4, m ) (0, 95T ) s ( ) ˆk. Pr E = 4, V m E: c) L fuer electromotri propi del efecto Hll se deduce prtir del vlor del cmpo eléctrico V = E d = E = ( 4, V ) (0, 0118m) m V = 52, 87µV Problem Enuncido Le de iot-svrt. Deduc, hciendo uso de l le de iot-svrt, l epresión del cmpo mgnético generdo por un conductor recto, de lrgo L = 2, portdor de corriente, en un punto ubicdo sobre l meditri del conductor, un distnci del mismo, como se preci en l gur. Anlice l epresión resultnte pr el cso en que l distnci se mucho menor que l longitud del hilo. L Figur 8.16: Cmpo generdo por un hilo nito con corriente. 105 ng. Guillermo Gurnkel

17 Físic Guí de ejercicios 8 MAGNETOSTÁTCA Respuest ( ) = µ0 2π ĵ (De cuerdo l sistem de ejes del gráco sólo pr ese puntop, pr otros puntos ubicdos un distnci el versor socido será distinto). = µ0 ˆφ 2πr (En coordends cilíndrics, pr culquier punto un distnci rdil r del hilo) Solución Se hce uso de l le de iot-svrt, pr lo cul requiere nlirse el diferencil de cmpo que gener un diferencil de longitud dl por el cul circul un corriente. Vist lterl Vist superior d θ π-θ r 0 Figur 8.17: Análisis gráco del problem. L dirección sentido del cmpo en culquier punto ubicdo un distnci genéric del hilo se obtiene trvés de l regl de l mno derech, que plic l producto vectoril de l le de iot-svrt, como se preci en l vist superior. d = µ 0 dl ˆr 4π r 2 dl = d ˆk ˆr = î r 2 = ( ) ( ) dl ˆr = d sen(θ) ĵ = d sen(π θ) ĵ = d d = µ d 0 4π d = µ 0 4π ( ) d ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) ĵ ( ) ĵ ( ) ĵ = ˆ+ µ 0 4π d ( ) 3 2 ( ) ĵ = µ 0 4π ( ) ˆ + d ĵ ( ) ng. Guillermo Gurnkel

18 Físic Guí de ejercicios 8.11 Problem = µ 0 4π ( ) [ ] = ĵ 2 ( ) 1 2 = = µ ( 0 ĵ) 4π = µ ( ) 0 2 ĵ 4π ( ) 2 Con lo que el cmpo generdo por un hilo nito portdor de corriente un distnci del mismo, sobre su meditri, result: = µ 0 ) ( ĵ 2π Pr nlir el cso de un hilo innito con corriente, o el cso práctico, en el cul l longitud del mismo es mucho mor que l distnci l cul se nli el cmpo se obtiene: Pr : 2 = µ 0 2π 2 + = µ 0 2 2π 1 = µ 0 2π = µ0 2 2π Con lo que el cmpo generdo por un hilo innito con corriente un distnci genéric result: = µ 0 2π Epresdo en coordends cilíndrics, que resultn ls propids debido l geometrí del problem, el se epres como sigue: Problem Enuncido = µ 0 2πr ˆφ Dos lmbres rectos prlelos, seprdos por un distnci de 4, 5mm, conducen corrientes de 15, 000A en igul sentido. Deduc l epresión clcule el vlor de l fuer por unidd de longitud que eperimentn entre sí. Anlice qué sucede en cso de invertir el sentido de l corriente en uno de los conductores. Figur 8.18: Fuer entre conductores portdores de corriente. 107 ng. Guillermo Gurnkel

19 Físic Guí de ejercicios 8 MAGNETOSTÁTCA Respuest F 12 L = µ0 F 21 L 2πr (ˆk) = µ0 2πr ( ˆk) F L = 1000 N m Solución El cmpo mgnético debido uno de los conductores gener un fuer sobre l corriente que circul por el segundo conductor vicevers. Esto se muestr en l gur siguiente. 2 F21 2 L 1 F 12 L Figur 8.19: Fuer de Lorent entre dos conductores. El cmpo generdo por el conductor 1 un distnci genéric r, donde se encuentr el conductor 2 con corriente result el clculdo en el ejercicio nterior, que er el cso del conductor innito con corriente. 1 = µ0 2πr î con notción vectoril corde l sistem de ejes utilido pr este ejercicio. El cmpo generdo por el conductor 2 en un punto un distnci genéric r, donde se encuentr el conductor 1( con) corriente result entonces: 2 = µ0 2πr î L fuer generd por un cmpo mgnético sobre un condutor con corriente se clcul medinte l le de Lorent de l fuer, que se rige por el producto vectoril L, donde L tiene el sentido de l corriente. De est mner, puede clculrse l fuer sobre cd conductor con corriente generd por el cmpo origindo por el otro conductor con corriente. F = L F 12 : Fuer sobre el conductor 1 generd por el cmpo 2 del conductor 2. F 12 = L 1 ) ( ) 2 = L (ĵ 2 î = L 2 (ˆk) = L µ0 2πr (ˆk) Por lo tnto, l fuer sobre el conductor 1, por unidd de longitud, result: F 12 L = µ 0 2πr (ˆk) En form nálog, l fuer por unidd de longitud sobre el conductor 2 generd por el conductor 1 result: F 21 L = µ 0 2πr ( ˆk) El enuncido indic que mbs corrientes son idéntics de vlor = = 15000A que l distnci entre los conductores es r = 4, 5mm = 0, 0045m. Reemplndo vlores se obtiene el vlor de l fuer por unidd de longitud. 108 ng. Guillermo Gurnkel

20 Físic Guí de ejercicios 8.12 Problem F 12 L = F 21 L = µ ( 0 2 4π ) W b 2 2πr = 10 7 Am (15000A) 2π (0, 0045m) Se revis l iguldd de uniddes: ( W b Am ) (A) 2 (m) F 12 L = F 21 L = 10000N m ( ) ( = W ba ( (V s) C ) J s C s C m 2 = m 2 = s ) m 2 = J m 2 = N m m = N 2 m Problem Enuncido Deduc, hciendo uso de l le de iot-svrt, l epresión del cmpo mgnético generdo por un espir circulr de rdio por l que circul un corriente, como se preci en l gur, en un punto situdo sobre el eje de l espir, un distnci d de l mism. A prtir de l epresión hlld, nlice l epresión del cmpo en el centro de l espir. d P Figur 8.20: Cmpo generdo por un espir circulr con corriente Respuest = µ02 2(d ) 3 2 centro = µ0 2 ĵ ĵ Solución Se plic l le de iot-svrt prtir de un elemento diferencil de longitud dl. 109 ng. Guillermo Gurnkel

21 Físic Guí de ejercicios 8 MAGNETOSTÁTCA dl d r π/2-θ d θ d d d Figur 8.21: Análisis previo l plicción de l le de iot-svrt. d = µ 0 dl ˆr 4π r 2 dl =.dθ r 2 = 2 + d 2 dl,1.sen(90) =.dθ Al integrr trvés de l circunferenci se observ que ls componentes se nuln por l simetrí que presentn con respecto l eje, de cuerdo l sistem de coordends utilido. Por esto, nos concentrremos en hllr l componente que resultrá l únic componente no nul del cmpo l clculrlo en un punto sobre el eje del nillo con corriente. =.cos (θ) =. ( 2 +d 2 ) 1 2 Por lo tnto: d = µ 0..dθ 4π 2 cos (θ) ĵ + d2 d = µ 0..dθ 4π 2 + d 2 ĵ ( 2 + d 2 ) 1 2 d = µ 0 4π = θ=2π ˆ θ=0 = µ 0 4π = µ 0 4π. 2.dθ ĵ ( 2 + d 2 ) 3 2 µ 0 4π. 2.dθ ĵ ( 2 + d 2 ) ĵ ( 2 + d 2 ) 3 2 ˆ θ=2π θ=0. 2. ĵ 2π ( 2 + d 2 ) 3 2 = µ ( 2 + d 2 ) 3 2 En el centro del nillo d = 0, con lo que l epresión del cmpo pr ese punto se reduce : = µ 0 2 ĵ ĵ dθ 110 ng. Guillermo Gurnkel

22 Físic Guí de ejercicios 8.13 Problem Problem Enuncido Le de Ampere. Utilindo l le de Ampere, hlle l epresión del cmpo mgnético generdo por un hilo conductor recto mu lrgo, por el que circul un corriente de vlor constnte, en un punto ubicdo un distnci d del mismo. Compre l epresión obtenid con l que obtuvo medinte l le de iot-svrt. d P Figur 8.22: Cmpo generdo por un hilo innito con corriente Respuest ( ) = µ0 2πd î En ese punto sobre el eje de cuerdo l gráco. ( = ˆφ) µ0 2πr En coordends cilíndrics pr culquier punto ubicdo un distnci rdil r del conductor rectilíneo con corriente Solución Se plnte un trectori mperin simétric l geometrí del problem; pr este cso se plnte un trectori circulr de rdio d. dl dl dl d dl Figur 8.23: Trectori mperin utilid. dl = µ 0 enc Los vectores dl son prlelos lo lrgo de tod l trectori mperin, por lo que el producto punto se trnsform en un producto entre esclres ddo que l distnci l conductor 111 ng. Guillermo Gurnkel

23 Físic Guí de ejercicios 8 MAGNETOSTÁTCA no vrí lo lrgo de l trectori, el módulo de result constnte, por lo que no se retir de l integrl de trectori. 2π d.dφ = µ 0 0.d,2π = µ 0 = µ 0 2πd En notción vectoril sobre el punto ubicdo sobre el eje result: = µ ( ) 0 î 2πd Mientrs que en coordends cilíndrics el versor ˆφ es siempre tngente l trectori entonces prlelo l cmpo, con lo que result mucho más propido denir l cmpo generdo por un conductor con corriente un distnci genéric rdil r del mismo en este sistem de coordends. = µ 0 2πr ˆφ Problem Enuncido Un conductor cilíndrico con rdio R trnsport un corriente. L corriente está distribuid de mner uniforme sobre l supercie de l sección trnsversl del conductor. ) Encuentre el cmpo mgnético, como función de l distnci r desde el eje del conductor, pr puntos situdos tnto dentro (r < R) como fuer (r > R) del conductor. b) Anlice el cso de un conductor de igules dimensiones corriente pero hueco. c) Grque el módulo del cmpo en función del rdio r pr mbos csos (conductor sólido hueco). R Figur 8.24: Cmpo en el interior de un conductor lrgo cilíndrico. 112 ng. Guillermo Gurnkel

24 Físic Guí de ejercicios 8.14 Problem Respuest ) r < R = µ0 2πR 2 r ˆφ r > R = µ0 2πr ˆφ b) Pr el cso de un conductor hueco l le de Ampere rroj los siguientes resultdos: r < R = 0 No h corriente net encerrd. r > R = µ0 ˆφ 2πr Al igul que en el cso del conductor mcio pr r > R. c) Figur 8.25: Densidd de ujo mgnético pr mbos csos, en función de l distnci rdil Solución ) Pr nlir ls ons interior eterior del conductor se utilin trectoris mperins circulres simétrics con respecto l eje del conductor. Trectori mperin 1 dl r r dl R Trectori mperin 2 r > R Trectori mperin 1: Figur 8.26: Trectoris mperins utilids. dl = µ 0 enc Al igul que en el cso del conductor innito dl = cte sobre l trectori, por lo que l integrl de líne se reduce. L corriente encerrd por l trectori es l corriente totl. 2π r.dφ = µ ng. Guillermo Gurnkel

25 Físic Guí de ejercicios 8 MAGNETOSTÁTCA 2πr = µ 0 r < R Trectori mperin 2: = µ 0 2πr ˆφ Al igul que en el cso nterior dl = cte sobre l trectori mperin bjo nálisis, pero l corriente encerrd por l mism es l relción entre ls supercies de mbs circunferencis. enc = S tr.mp S conductor enc = πr2 πr 2 enc = r2 R 2 Con lo que l le de Ampere qued de l siguiente mner. 2π 0 r.dφ = µ 0 r2 R 2 2πr = µ 0 r2 R 2 = µ 0 2π r R 2 ˆφ Se comprueb que mbs epresiones del cmpo mgnético conformn un únic función continu dependiente de l distnci rdil r desde el centro del conductor mcio. Pr r = R mbs epresiones rrojn idéntico vlor: (r = R) = µ 0 2πR ˆφ b) Pr el cso de un conductor hueco, el cmpo en l on r > R result el mismo que el clculdo pr el conductor mcio, que l corriente net encerrd es l corriente totl que circul por el conductor enc =. Pr l on r < R l corriente net encerrd en el conductor hueco es nul, por lo que l le de Ampere segur que el cmpo tmbién es nulo pr dich on. (r > R) = µ 0 2πr ˆφ (r < R) = Problem Enuncido Solenoide. Utilindo l le de Ampere, hlle l epresión del cmpo mgnético en el centro de un solenoide portdor de corriente, de rdio longitud L (supong L, con lo que el cmpo en el centro del solenoide puede ser considerdo uniforme). El solenoide tiene n espirs de lmbre por unidd de longitud conduce un corriente. 114 ng. Guillermo Gurnkel

26 Físic Guí de ejercicios 8.15 Problem L 2 P Corte longitudinl Figur 8.27: Solenoide Respuest = µ 0 n î Solución Se propone l trectori mperin siguiente. d dl c dl =0 =0 dl dl dl dl b =0 =0 Figur 8.28: Trectori mperin propuest vectores socidos. El ncho de l trectori (trmo b) es de vlor genérico w (de width, ncho en inlgés). L ltur de l trectori (trmo bc) es de vlor genérico h (de height, ltur en inlgés). Se presupone que el cmpo fuer del solenoide es nulo dentro del solenoide result uniforme (igul módulo, sentido dirección en todos los putos dentros del solenoide), de cuerdo los ejes de coordends crtesins utilidos, de l form = î. Se plnte l le de Ampere se nlin ls prtes intervinientes. dl = µ 0 enc enc =.n.w dl = ˆb ˆc dl + ˆd dl + ˆ dl + dl b Nótese que l descomposición de l integrl de líne cerrd en l sum de integrles de líne bierts permite l seprción del problem en prtes independientes. Trmo b: dl b dl =.w c d 115 ng. Guillermo Gurnkel

27 Físic Guí de ejercicios 8 MAGNETOSTÁTCA Trmo bc: En l on dentro del solenoide, dl c b dl = 0 En l on fuer del solenoide, = 0 c b dl = 0 Trmo cd: Este trmo se encuentr fuer del solenoide, = 0 d c dl = 0 Trmo d: En l on fuer del solenoide, = 0 d dl = 0 En l on dentro del solenoide, dl d dl = 0 De est mner puede reducirse l integrl originl de l siguiente mner: dl = ˆb dl =.w Reemplndo en l le de Ampere lo nlido se obtiene: dl = µ 0 enc ˆb dl =.w = µ 0.n.w. w = µ 0.n. w = µ 0 n Y en notción vectoril de cuerdo l los ejes propuestos, = µ 0 n î Problem Enuncido Solenoide toroidl. L gur muestr un solenoide toroidl, tmbién llmdo toroide, devndo con N espirs de lmbre que conduce un corriente (en un versión práctic ls espirs estrín más pretds de lo que precen en l gur). El toroide tiene rdio interior r rdio eterior r b su sección es rectngulr, de ncho c. Encuentre el cmpo mgnético dentro del toroide. 116 ng. Guillermo Gurnkel

28 Físic Guí de ejercicios 8.16 Problem Figur 8.29: Toroide Respuest = µ0n 2πr ˆφ Cmpo dentro del solenoide, en culquier punto un distnci r del centro que cumpl r < r < r b Solución Se plnte l siguiente trectori mperin pr resolver el problem. dl r b r r Figur 8.30: Trectori mperin utilid. dl = µ 0 enc enc = N dl = r.dφ ˆφ Se cumple que dl en todos los puntos sobre l trectori mperin; el cmpo tiene sobre dich trectori un vlor constnte, por lo que el producto punto se reduce un producto entre esclres sle de l integrl por ser constnte pr l mism. 117 ng. Guillermo Gurnkel

29 Físic Guí de ejercicios 8 MAGNETOSTÁTCA 2π r.dφ = µ 0 N 0 2πr = µ 0 N Y en notción vectoril: = µ 0N 2πr = µ 0N 2πr ˆφ Problem Enuncido Lámin innit de corriente. Considérese un lámin innit de corriente en el plo = 0. Si quéll present un densidd de corriente uniforme K = K ĵ A m como se muestr en l gur, hlle l epresión del cmpo mgnético un distnci (ltur) h por encim por debjo de l lámin. K Figur 8.31: Lámin innit de corriente Respuest > 0 = µ0 2 K î < 0 = µ0 2 K î Solución Se plnte l siguiente trectori mperin. d K 2h b h -h c w Figur 8.32: Trectori mperin propuest. L siguiente imgen muestr un detlle de los vectores dl sobre l trectori. 118 ng. Guillermo Gurnkel

30 Físic Guí de ejercicios 8.17 Problem K d dl h dl dl c -h dl b Figur 8.33: Detlle. Se plnte l le de Ampere se nli cd prte de ell. dl = µ 0 enc enc = K.w dl = ˆb ˆc dl + ˆd dl + ˆ dl + dl b Nótese que l descomposición de l integrl de líne cerrd en l sum de integrles de líne bierts permite l seprción del problem en prtes independientes. Trmo b: dl b dl = 0 Trmo bc: dl c dl =.w b Trmo cd: dl d dl = 0 c Trmo d: dl dl =.w d De est mner puede reducirse l integrl originl de l siguiente mner: c d dl = ˆc ˆ dl + dl = 2.w Reemplndo en l le de Ampere: b d dl = µ 0 enc 2. w = µ 0 K. w = µ 0 2 K Y en notción vectoril debemos seprr el cmpo en dos prtes, ( > 0) ( < 0): ( > 0) = µ 0 2 K î ( < 0) = µ 0 2 K î 119 ng. Guillermo Gurnkel