CA LCULO Hoja 11. Integrales triples. Aplicaciones.

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1 CA LCULO Hoj.. Clculr ls siguientes integrles triles en los recintos indicdos: () xzy x yzdxdydz, = (x, y, z) R : x, y, z. () zxy (d) y dxdydz, = (x, y, z) R : x, y, z. (c) π. z y zx zx dxdydz, con el cuo unidd [, ] [, ] [, ]. Solucio n: x RRR dxdydz, siendo el tetredro limitdo or los lnos coordendos y el lno x y z =. (El vlor de l integrl es el volumen del tetredro). 6 y z / x ) dxdydz, l esfer unidd centrd en el origen. Indiccio n: (e) e( Cmir vriles esfe rics. Solucio n: π(e ). dxdydz (f), siendo el recinto limitdo or ls esfers x y z = / (x y z ) y x y z = con < <. π ln RRR y x z (g) yzdxdydz, siendo l regio n limitd or el elisoide de ecucio n c = y los semiescios x, y y z. Solucio n: 5c.. Exresr en l form = (x, y, z) R :... y hcer un esozo de los recintos sore los cules se est n clculndo ls siguientes integrles: Z Z y Z y Z π Z π Z Z Z x Z x6y () sen y dzdydx, () dzdydx. dzdxdy, (c) x Finlmente lnter lgun otr de ls integrles iterds y hllr el vlor de dich integrl. (Not: en este ejercicio el orden de integrcio n ddo or dx, dy y dz jueg un el fundmentl). () ; () ; (c).. Se el so lido limitdo inferiormente or el roloide z = x y y sueriormente or l esfer x y z = 6. Se ide: () Exresr medinte un integrl trile en coordends crtesins el volumen de dicho so lido. () Medinte un cmio de coordends roido clculr dicho volumen. π

2 . Hllr el volumen limitdo entre ls suerficies x y = z r x. x y = y Clcul el volumen interior l suerficie x 9y z 6 = y exterior l suerficie x 9y 9 =. π. 6. Hllr el volumen de l regio n = {(x, y, z) R : x y z, x y z, z }. 9π 7. Hllr el volumen limitdo or los roloides de ecuciones z = x y y z = x y. Solucio n: Vol= π. x y. Hllr el volumen del cuero definido como = (x, y, z) R : z. 9 π. 9. Hllr el volumen comrendido entre x y z = y x y = z, z. π.. Se W l regio n cotd or los lnos x =, y =, z = y l suerficie z = x y, R x, y. Clculr W xdxdydz.. 5. Hllr el volumen limitdo entre ls suerficies z = x y x y = 5 π.. Clculr el volumen del recinto interior l elisoide x y z = l que se le hn quitdo los dos csquetes cortdos en e l or el hieroloide x y z 5 =.. Hllr el volumen limitdo entre ls suerficies x y z = x y = z 7 π.. Clcul el volumen interior l suerficie x 9y z 6 = y exterior l suerficie x 9y 9 =. 5. Hllr el volumen de l regio n = {(x, y, z) R : x y z, x y z, z }. 9π 6. Clculr l ms del so lido = {(x, y, z) R x y x, x y x, z x y } situdo en el rimer octnte (x, y, z ), siendo l densidd m(x, y, z) = y.

3 7. Clculr el centro de grvedd de un cilindro circulr recto de rdio de l se R, de ltur h y cuy densidd vrı roorcionlmente su distnci l se. Sol::,, h.. Clculr l ms del so lido de densidd d(x, y, z) = z limitdo or ls suerficies z =, (x ) y = y x y = z. Z π Z π 5π π 6 Indiccio n: cos t dt = y cos t dt = π π 6 5π Clculr el momento de inerci con resecto l eje OZ del volumen del roloide de revolucio n z = x y, limitdo or el lno z =. π. Clculr el momento de inerci del so lido interior l cono z = x y r z resecto de los ejes coordendos y resecto l origen (densidd µ =constnte). Ix = Iy = 5πµ, Iz = Io = 7 5 πµ, 5 πµ.. Clculr l ms del so lido limitdo or el hieroloide x y z = y el cilindro z x y 9 =, y cuy densidd en cd unto es m(x, y, z) =. 6 6 π. ( z= x y. Clculr l ms M del so lido definido or siendo l densidd en z x y cd unto el cudrdo de l distnci de su royeccio n sore el lno OXY l origen de coordends. (Se recomiend sr coordends esfe rics). π 6 5. x y z. do el elisoide = cuy densidd en cd unto es m(x, y, z) = c xyz, c clculr su ms. c π 6. Hllr el volumen del so lido cotdo sueriormente or el roloide z = 5 x y, e inferiormente or el roloide z = x y. Hllr tmie n su ms y su centro de grvedd siendo l densidd en cd unto m(x, y, z) = z. 5. Se consider el so lido interior l cilindro x y =, limitdo sueriormente or l suerficie z = x y, e inferiormente or z = x y. Hllr su ms siendo que l densidd en cd unto es m(x, y, z) = 6 (x y )z. π Hllr l ms del so lido = (x, y, z) R x y z, x y x, z que tiene como funcio n de densidd en cd unto m(x, y, z) = z. 5π 7. Clculr l ms y los momentos de inerci resecto de los ejes X e Y del so lido limitdo or l suerficie z = x y y el lno z = si l densidd en (x, y, z) es roorcionl l distnci de (x, y, z) l lno z =. Ms= kπ, Ix = Iy = kπ.. Se consider el so lido limitdo or el cilindro x y y = en l regio n z x y ; hllr l ms de suoniendo que l funcio n densidd es f (x, y, z) = x. 5.

4 9. Hllr l ms de l dovel = {(x, y, z) R : x y, x y, 6 x, y, z } siendo l funcio n de densidd m(x, y, z) = xy. π 5.. Se consider el so lido S = {(x, y, z) R : (x ) y, x, y, z } con funcio n densidd δ(x, y, z) = y. Hllr el momento de inerci de S resecto del lno coordendo z =. 9 π. Clculr l ms del so lido S = {(x, y, z) x y R : l densidd en cd unto m(x, y, z) = x y z. π( ). z, z } siendo. Clculr l ms del so lido S = {(x, y, z) R : z, z x y9, z x y9 } siendo l densidd en cd unto m(x, y, z) = z. π. x y z. do el elisoide = cuy densidd en cd unto es m(x, y, z) = c xyz, c clculr su ms. Clculr l ms y el centro de grvedd del so lido limitdo or el hieroloide de dos hojs x y z = y el cilindro x y 9 =, y cuy densidd en cd unto es 5z m(x, y, z) =. (Mle).. 5. Clculr l ms del so lido limitdo or el hieroloide de dos hojs x y z = y l esfer x y z 9 = en el semiescio z, y cuy densidd en cd unto es m(x, y, z) = z. π Clcul l ms del so lido definido or = (x, y, z) R x y z 6, z x y que tiene como funcio n de densidd en cd unto m(x, y, z) = z x z y. Sol: π. 7. Se retende instlr un equio de ire condiciondo en un estdio de deorte de lnt elı tic de semiejes = y = y redes lns erendiculres l suelo (es decir, el recinto limitdo or el cilindro de ecucio n x y =, z ). Adem s, l cuiert es un orcio n del elisoide z x y = Se utilizr n comresores y evorizdores de ire segu n cierts crterı stics te cnics. Pr determinr el nu mero de dichos rtos, se recis conocer el volumen de ire que hrı que enfrir. Clculr, or tnto, el volumen del estdio. (Sol: V = π ).. Hllr l ms del so lido = (x, y, z) R : x y z 9, x y z, z que tiene como funcio n de densidd en cd unto m(x, y, z) = z.! 5 ). (π

5 9. Un edificio tiene form de hieroloide regldo, de lnt circulr y cuiert ln (similr l ctedrl de Brsili). L ecucio n de dicho hieroloide es x y (z ) =. 5 5 Clculr el volumen que encierr el edificio. 5

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