Universidad Diego Portales Facultad de Economía y Empresa

Transcripción

1 Unversdad Dego Portales Profesor: Carlos R. Ptta Hasta este momento nos hemos enfocado en juegos en los cuales cualquer nformacón que es conocda por un jugador es conocda por todos los demás (es decr, es de conocmento común, o públco), y los hemos denomnado juegos de nformacón completa. En la vda real, sn embargo, cas sempre los jugadores tenen algún tpo de nformacón prvada que no es compartda con los otros jugadores. Por ejemplo, cas nunca podremos magnarnos las preferencas y creencas de los otros jugadores (mentras qué, a menos que se trate de un esquzofrénco, el otro jugador las conoce muy ben). En dchos casos nos preocupamos por la dstrbucón de la nformacón. Consderaremos casos en los que la nformacón puede no ser compartda. Tales juegos se llaman de nformacón ncompleta, o de nformacón asmétrca. Las asmetrías nformatvas son modeladas el movmento de la naturaleza. Algunos jugadores podrán dstngur señales a partr de los movmentos de la naturaleza, y otros no. Ejemplo : Consderemos una stuacón en la que una frma se encuentra tomando la decsón de contratar un trabajador, sn saber qué tan bueno dcho trabajador es. La frma cree que el trabajador posee una habldad alta con probabldad (p), y una habldad baja con probabldad (-p). Más mportante aún, la frma cree que el propo trabajador conoce su propo nvel de habldad. Para modelar esta stuacón, dejaremos que la naturaleza escoja entre el nvel de habldad Alto o Bajo, con probabldades (p) y (-p), respectvamente. Después, dejamos que el trabajador observe la decsón de la naturaleza, pero no dejamos que la frma se entere aun. Este tpo de juegos son llamados juegos bayesanos. Llamaremos a la nformacón prvada de un trabajador su tpo. En nuestro ejemplo, en trabajador tene dos tpos, Alto y Bajo. Dado que la frma no tene nformacón prvada, solo tene un tpo. Estas stuacones son modeladas a través de juegos de nformacón mperfecta, en donde la naturaleza escoge el tpo de cada jugador y se lo nforma de manera prvada. Juegos Estátcos con Informacón Prvada

2 Unversdad Dego Portales Profesor: Carlos R. Ptta Secuenca del Juego: ) La naturaleza algúnt t t... tn T, 2, en donde cada t T es selecconado con una probabldad p(t). Aquí, cada t T es el tpo del jugador N {,2,..., n}. 2) Cada jugador observa su propo tpo, pero no el tpo de los demás. 3) Los jugadores escogen sus accones smultáneamente, cada uno conocendo su propo tpo Denotamos medante a a a... an A jugadores donde cuarteto (N, T, A, p)., 2 como una lsta de accones tomada por todos los a A es la accón tomada por el jugador. El juego se descrbe medante el Como sempre, una estratega de un jugador determna qué accón tomará en cada conjunto nformatvo. Aquí, los conjuntos nformatvos están dentfcados con tpos t T. Por lo tanto, una estratega del jugador es una funcón s : T A que mapea sus tpos a sus accones. Por ejemplo, en el juego anteror, el trabajador tene 4 estrategas: (Trabajar, Trabajar), lo que sgnfca que él trabajará sn mportar el tpo de habldad que posea; (Trabajar, Fngr), es decr, trabajará s tene habldad alta y fngrá s tene habldad baja; (Fngr, Trabajar) y (Fngr, Fngr). Un equlbro Bayesano de Nash es un equlbro de Nash para un juego Bayesano. Por ejemplo, s p>½, un equlbro Bayesano de Nash en el juego anteror es (Contratar, (Trabajar, Fngr)). Es decr, que la empresa contrata al trabajador y éste trabaja solo s es de alta habldad, y fnge s no lo es. Tambén exste otro equlbro de Nash, donde el trabajador elge fngr sn mportar su tpo, y la empresa no lo contrata. Los tpos de los jugadores pueden estar correlaconados, lo que sgnfca que un jugador puede actualzar sus creencas en relacón al tpo de otros jugadores cuando él se entera de su propo tpo. Dado que él conoce su propo tpo cuando toma su accón, puede maxmzar su utldad esperada con respecto a sus creencas actualzadas. Crítcamente, asummos que él actualza sus creencas usando la regla de Bayes: A B) A B) B) En donde A B) es la probabldad de que A y B ocurran smultáneamente, mentras que B) es la probabldad (no condconal) de que ocurra B. Ahora, sea p t t ) la creenca de que los tpos de los otros jugadores son ( ' ' ' ' ' ' ' ' t t, t2,... t, t, t2,..., tn dado que su propo tpo de t. Puede ser que necestemos usar la regla de Bayes s los tpos están correlaconados. Pero s son ndependentes, entonces nuestro análss se faclta: los jugadores no actualzan sus creencas. Juegos Estátcos con Informacón Prvada 2

3 Unversdad Dego Portales Profesor: Carlos R. Ptta Con los elementos anterores podemos defnr un equlbro Bayesano de Nash. Un conjunto de estrategas s s,..., s s es un Equlbro Bayesano de Nash en un juego estátco con, 2 n nformacón ncompleta de n personas s y solo s para cada jugador con tpo t T ocurre: Donde u es la utldad del jugador, y a denota su accón. Esto sgnfca que, para cada jugador, cada posble tpo t escoge una accón que es óptma dadas las creencas condconadas p t t de ese tpo en relacón a las estrategas de los otros jugadores. Note que la funcón de utldad u del jugador depende tanto de las accones de los jugadores como de sus tpos. Note tambén que un equlbro Bayesano de Nash es un Equlbro de un juego Bayesano con la propedad adconal de que cada jugador juega su mejor respuesta. Ejemplo 2: Verfquemos s la estratega (Hre, ((work, shrk)) es un equlbro Bayesano de Nash en nuestro ejemplo cuando p>½. Dada la estratega (work, shrk) del trabajador, la utldad esperada de la frma por contratarlo es: Dada la estratega (work, shrk) del trabajador, la utldad esperada de la frma al no contratarlo es: Cuando p>½ tenemos que 2p->0 y por lo tanto la estratega HIRE maxmza el pago esperado de la frma. Para el trabajador, necestamos verfcar la optmaldad de cada tpo de manera separada. Para el tpo HIGH, tenemos qué: Mentras que para el tpo LOW tenemos: Juegos Estátcos con Informacón Prvada 3

4 Unversdad Dego Portales Profesor: Carlos R. Ptta Ejemplo 3: Consdere la sguente matrz de pagos: L R X Φ, γ,2 Y -, γ Φ, 0 Donde Φϵ{0,2} y γ ϵ{,3}. Cada jugador conoce sus propos pagos, es decr, el jugador conoce el valor de Φ, y el jugador 2 conoce el valor de γ. Independentemente del valor de Φ, el jugador encuentra ambos valores de γ (es decr, 0 y 2) gualmente probables. De la msma forma, ndependentemente del valor de γ, el jugador 2 encuentra ambos valores de Φ gualmente probables. En este juego, cada jugador tene dos tpos: El jugador tene tpos 0 y 2, mentras que el jugador 2 tene tpos y 3. Todos los perfles de tpo son gualmente probables, es decr, p(0,)p(0,3)p(2,)p(2,3)/4. Para calcular el equlbro Bayesano de Nash, note que para el tpo Φ0 del jugador, la accón X domna estrctamente a la accón Y, es decr, ndependente de lo que el jugador pense que el jugador 2 hará, es una mejor respuesta para el jugador jugar X cuando su tpo es 0. Por lo tanto, para cualquer equlbro Bayesano de Nash s tenemos qué: s (0) X Igualmente, la accón L es estrctamente domnante para el tpo γ3 del jugador 2, y por lo tanto para cualquer equlbro Bayesano de Nash tenemos qué: s (3) L 2 Tambén tenemos que determnar las accones del tpo Φ2 para el jugador, y del tpo γ para el jugador 2. Consdere el tpo Φ2 para el jugador. Para este tpo, la accón X es la mejor respuesta s y solo s la probabldad de que el jugador 2 juegue L es por lo menos ¼. Veamos porqué: S Φ2, el pago esperado de X es: Juegos Estátcos con Informacón Prvada 4

5 Unversdad Dego Portales Profesor: Carlos R. Ptta Mentras que el pago esperado de Y es: El pago esperado Pr(s 2 L) + de X es mayor que el pago esperado de Y, 2-3Pr(s 2 L), s y solo s Pr(s 2 L)>¼ Pero para el tpo Φ2, en equlbro, la probabldad de L es al menos ½. Para ver porqué, defna p como la probabldad que el tpo γ juegue L en un equlbro que posblemente nvolucre estrategas mxtas. Entonces: Por lo tanto, en cualquer equlbro Bayesano de Nash s, el tpo Φ2 del jugador juega X, es decr: s (2) X Fnalmente, necestamos determnar la accón de equlbro del tpo γ. En cualquer equlbro, para el tpo γ, el pago esperado de L es γ. Su pago esperado de R es: Por lo tanto, en cualquer equlbro Bayesano de Nash s, el tpo γ juega R, es decr: s () R 2 Con lo que hemos demostrado que exste un únco equlbro Bayesano de Nash s en donde s (0) s (2) X, s2 () R y s2 (3) L Juegos Estátcos con Informacón Prvada 5