CÁLCULO NUMÉRICO ( )

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1 CÁLCULO NUMÉRICO (808068) Tma. Fudamtos d la Toría d Errors Octubr 0. Al studiar l fómo diario d la variació qu primta las codicios mtorológicas, s suprim muchas variabls qu dbría d itrvir los cálculos. A qué tipo d rrors prtc tals simplificacios?. La solució d ua cuació f() = 0 por l método d Nwto cosist u procso itrativo qu covrg cuado l úmro d itracios s hac ifiito. Qué tipo d rror s comt al fializar l procso dspués d u úmro limitado d itracios?. Supoga qu s ha rdodado 9676 millas, la distacia mdia tr la tirra y l sol, a millas. Ecutr: El rror absoluto d la aproimació El rror rlativo d la aproimació. Ecutr l itrvalo más grad l cual p* db qudar para aproimar a p co u rror rlativo a lo sumo 0 si p s: c. 7 d f. π 5. A ua cita métrica dfctuosa l falta l primr ctímtro. Dspués d mdir ua logitud co la misma, s obti 5 cm. Dtrmi: La vrdadra logitud d la magitud mdida El rror absoluto d la mdició c. El rror rlativo y l porctaj 6. Para los siguits valors actos y sus aproimacios dtrmi: El rror absoluto El rror rlativo = ; ɶ = = ; ɶ = = 0 ; ɶ = 0 = ; ɶ = 0. = ; ɶ = Para l valor acto = 900. y su aproimació ɶ = 900., dtrmi: El rror absoluto El rror rlativo 8. La calificació d u studiat s 9.5 putos. Supoga qu s ha rdodado a 0 putos, calcul l rror rlativo. 9. Al dtrmiar la costat gasosa dl air s obtuvo R = 9.5. Sabido qu l límit dl rror rlativo d tal dtrmiació s d /000, cotrar los límits dtro d los qu s cutra l valor vrdadro d R. Prof. José Luis Quitro

2 0. Complt l siguit cálculo / / d 6 ( )d = p ˆ.!! 0 0 Dtrmi l rror rlativo si s sab qu p = Sabido qu / d = = p, 0 hall la prcisió d la aproimació obtida al rmplazar l itgrado sri d Taylor trucada dada por 6 8 8!!! P() =. f() = por la. Hall l itrvalo dod s cutra l valor acto positivo si ɶ = 500 y ua cota suprior dl rror rlativo ɶ s 0.. Rspoda cada ua d las siguits afirmacios co ua y sólo ua d las posibls rspustas: simpr, uca o alguas vcs, acompañada d ua justificació: Si aproima a, tocs los rrors absoluto y rlativo comtidos so iguals Si R s muy pquño y s aproima co = 0, s comt u rror rlativo dl 00%.. Supoga qu para stimar l valor f() = k, k R, s ti tal qu. Hall ua cota al rror rlativo cuado f() s aproima por f(). 5. U trascriptor d datos db icorporar l valor rlativo porctual comtido s d ( ) 0% ( ) 9% ( ) 90% ( ) 0.9% p ac 0 y trascrib 6. Sa P u poliomio d grado y ξ u úmro ral. S dsa valuar Dmustr qu si s usa valuació tradicioal l úmro d opracios stá acotado por ( )( 5) 6 l método d Horr l úmro d opracios stá acotado por ( ) p bc 0. El rror (k) P () ξ, 0 k. 7. Sugira cómo s podría rtrasar la pérdida d dígitos sigificativos los siguits cálculos: l( ) log( ) log() c. d.. f. g. ( cos())/ ( )/ (s() ) h. i. Prof. José Luis Quitro

3 j. s() cos() k. s() tg() l. / / m. cos() 8. Sa los siguits cojutos d úmros rals dados por,..., y y,...,y. Prub qu l úmro d opracios csarias para platar l sistma d cuacios lials dado por vi dada por la prsió m 0 i i m i = yi a a... a i= i= i= i= m 0 i i i m i = y i i a a a... a i= i= i= i= i= m 0 i i i m i = y i i a a a... a i= i= i= i= i= m m m m m 0 i i i... a m i = y i i i= i= i= i= i= a a a N(m,) = (5m 5m ) (m ). =, 9. Sa cos() f() =. s() Ecutr los primros trs térmios difrts d cro l dsarrollo d Taylor alrddor d cro para f() Idiqu algua vcidad d para la cual f'() ti pérdida d dígitos sigificativos 0. La solució gral d la cuació poliomial a b c = 0 s b b ac b b ac = y =. a a Dmustr qu. = c Dmustr qu ua forma altrativa para cotrar las raícs d a b c = 0 s c c = y = b b ac b b ac c. Dsd l puto d vista computacioal, qué casos rsulta útils las fórmulas dl iciso b?. Justifiqu su rspusta ilustr co u jmplo. Sa la cuació a = Ralic u aálisis d codicioamito para los distitos valors d Prof. José Luis Quitro

4 . Dada ( ) f() =, s dsa valuar f valors d d la forma = p. Qué problma pud prstars?. Epliqu brvmt Solucio l problma platado ua prsió altrativa. El úmro d codició d la fució f() α = s idpdit d. Cuál s?. Cuáls so los úmros d codició d las siguits fucios? Dód alcaza u valor grad? ( ) α l() c. s() d.. arccos() f. arcs() 5. Sa f() =. Idiqu para qu valors d hay risgo d caclació catastrófica Aalic dos situacios dod s db tr cuidado co l rror absoluto comtido al aproimar los valors d 6. Sa R() = P()Q(), dod P() y Q() so poliomios d grado y ξ u úmro ral cualquir Dmustr qu la difrcia dl úmro d opracios para hallar R'() ξ, utilizado l procdimito tradicioal y l algoritmo d Horr s igual a ( ) Ecutr la difrcia dl úmro d opracios para hallar R''() ξ utilizado la valuació tradicioal y l algoritmo d Horr y úslo para l caso dod R() = c. Hall l úmro d codició para R() y comt al rspcto 7. E Estadística, la fució d dsidad f() d ua distribució pocial d parámtro λ 0 vi dada como λ λ 0 f() =. 0 < 0 Dtrmi los valors d para los cuals l úmro d codició rlativo d f() s mayor qu. 8. E Estadística, la fució d dsidad f() d ua distribució ormal vi dada por f() = π ( ) Prof. José Luis Quitro.

5 Hall los valors d para los cuals l úmro d codició d f() s mor o igual qu. 9. Marqu co ua la rspusta corrcta, acompañada d ua justificació. El úmro d codició d ua fució s igual a. S trata d la fució ( ) ( ) ( ) l( ) ( ) Dada la matriz A =, 7 5 s sab qu A = 5. S pud afirmar qu ( ) A = A ( ) A = A ( ) A A ( ) = ( ) A = A 0. Qué clas d matrics ti úmro d codició igual a?. Usado la orma matricial A, calcul l úmro d codició d la matriz Usado la orma matricial A = má a, j i= calcul l úmro d codició d la matriz ε, ε co ε > 0.. Calcul los úmros d codició usado las ormas c. a a a a 0 0 α Obsrvació. Si A s ua matriz simétrica t ij A, A = má{ λ:dt(aa λ I) = 0} = ρ (AA) t (A = A) la fórmula s rduc a A y A : A = má{ λ:dt(a λ I) = 0} = ρ (A) t. La dmada ( toladas) d u dtrmiado producto pud aproimars como logt D(t) = k k t, dod k y k so costats y t s l timpo mss. S sab qu la dmada ro s d 0 toladas y fbrro s d 5 toladas. Plat y rsulva u sistma d cuacios para cotrar los valors d k y k Ecutr d forma acta l úmro d codició d la matriz dl sistma (us orma ifiita) idiqu si l sistma stá mal codicioado Prof. José Luis Quitro 5

6 5. Sa l poliomio p() d grado dado como p() = ( i). i= Si s dsa valuar p() u úmro ral cualquira, hall l úmro d opracios csarias si l poliomio s cutra i. factorizado ii. forma aidada iii. si factorizar Para l caso =, hall l úmro d codició rlativo y stablzca coclusios 6. Sa l poliomio p() d grado dado como p() = ( c), c R. Si s dsa valuar p() u úmro ral cualquira, hall l úmro d opracios csarias si l poliomio s cutra i. factorizado ii. forma aidada iii. si factorizar Hall l úmro d codició rlativo y stablzca coclusios 7. Sa cos() f() =, s() s( ) p() =, s() s() q() = y cos( ) r() =! 5! Prub qu p() = f(), q() = f() idiqu para qué valors d so útils p() y q() Calcul l úmro d codició rlativo para f() (dotado por κ r () ) idiqu la rlació qu ti r() co κ r (). 8. Sa l sistma d cuacios lials A = b, dod A s ua matriz triagular ifrior d tal qu i > j 0 j > i aij = i = j ; a = = y cada compot dl vctor b s obti como ij i j 0 i < j i j j < i i i b =, i. Ecutr l úmro d codició rlativo d A para =, usado la orma uclidiaa y stablzca coclusios Calcul la orma y la orma ifiita para l vctor b para cualquir 9. Ejcut l siguit código MATLAB: format log a = / b = a c = *b d = - c D fctuars los cálculos aritmética acta, cuál dbría sr l valor d d? Pud idtificar l valor qu ha obtido y plicarlo? Justifiqu su rspust 0. U primto umérico itrsat cosist calcular l producto scalar d los siguits dos vctors: T T =.56, y = Prof. José Luis Quitro 6

7 Calcul la sumatoria d las cuatro formas siguits: E ord ascdt E ord dscdt c. D mayor a mor d. D mor a mayor y i i i= y i i i=. Sum los úmros positivos, d mayor a mor, lugo sum los úmros gativos d mor a mayor, y lugo sum ambos rsultados parcials f. Ivrsamt a como s ralizó la suma l ítm atrior g. Rpita todos los ítms atriors, pro limi l 9 fial d y l 7 fial d 5. Qué fctos provoca st pquño cambio los rsultados? Compar los rsultados obtidos co l valor corrcto co sit dcimals Justifiqu sus rsultados.. La sucsió { X} 0 satisfac qu cuado. dfiida como A X = ; X = ; X = AX X 9 0 X = Escriba u programa qu prmita obtr l valor d 50, utilizado la sucsió atrior, tomado valors d A = 0.0 ρ y A = 00 ρ, dod ρ s la dad dl lctor. Para cada caso obtga l rror absoluto. Epliqu los rsultados.. Cosidr la rlació rcursiva 0 =, =. = ( ) Por otra part, cosidr la fórmula crrada 5 5 = ( ). 5 5 Al calcular para dsd hasta 0 l valor d, tato co la rlació rcursiva como co la fórmula corrspodit s obti la famosa sucsió d Fiboacci. Program ua rutia para cada rlació y pliqu lo obsrvado.. Sa las fucios f() = g() = ((((((( 8) 8) 56) 70) 56) 8) 8) h() = ( ) 8 Obsrv qu las trs fucios so idéticas. Para cada ua imprima los valors d 0 putos igualmt spaciados y qu cubra l itrvalo 0.99,.0. Epliqu lo obsrvado. Prof. José Luis Quitro 7

8 . Cosidr la fució cos() f() =. Vrifiqu qu f( 0) =, aalítica y gráficamt Dmustr las siguits prsios quivalts para f(): s() f() = y ( cos()) s( ) f() = c. Obtga ua prsió quivalt para f() a partir dl siguit poliomio d Taylor d la fució cos(), alrddor d = 0: i= 0 i 6 8 i cos() = ( ) =... (i)!!! 6! 8! d. Evalú las dos prsios para f los valors = 0,0,0,0,0. Justifiqu los rsultados obtidos mcioado la istcia d dificultads uméricas prsts las fórmulas (si las hubira) para l rago d valors cosidrados (caclació catastrófica, divisió por cro, tc) f. Cocluya cuál d stas prsios rsulta más stabl uméricamt Prof. José Luis Quitro 8

9 . Errors dl modlo. Error por trucamito millas c. [ 0, 0 ] RESPUESTAS [ 0, 0 ] [ 7 7 0, ] d. [9.985,50.05]. [89.99,90.009] f. [ π 0 π, π 0 π ] cm cm c = 7.% , , ,, , ɶ = = 0.0 = 0.0 ɶ 0.0 = = Error rlativo = = = % [9.,9.8] , , Alguas vcs. Alguos casos dod s cumpl: = Ea = = Er = =, = Ea = = Er = = Caso dod o s cumpl: 0 Simpr. Er = = quival al 00%. Ea = Ea = Er = =. Prof. José Luis Quitro 9

10 % 6. Dmostració 7. l( ( )) 8. Dmostració k k k k 6 5 ( ) ( ) (k)! k!......!! 6!!!! 5! k = 0 k = 0 f() = = 5 k k ( )...! 5! (k )! k = ! 6!......! 5!! 6! = =! 5! ! 5!! 5! ( s())s() (cos() )cos() s() cos() f'() = = s() s() Para valors d crcaos a cro, f () ti pérdida d dígitos sigificativos.. Cuado p f() s ti ua idtrmiació dl tipo 0/0 ( ) ( ) ( ) f() =. = = ( ) ( ) ( ) ( ). α. α( ), l(), c. ctg(), π d., s grad si s grad. (arccos()) f...arcs() Para próima a, arcs() π, y l úmro d codició s vulv ifiito coform s acrca a, ya qu s aproima mdiat ( π ). Por lo tato, pquños rrors rlativos pud coducir a grads rrors rlativos arcs() crca d = 5. Los valors d dod ist risgo d caclació catastrófica so los valors 0 y Prof. José Luis Quitro 0

11 6. E las asítotas vrticals d cuacios = y = Dmostració 6 c. El úmro d codició tid a sr alto para valors d crcaos a y a 7. (, ) λ A = A ( )..( ).f'() π f() ( ) π. 7. ( ε) ε = ( ε ) cuado ε 0. ( ) ( ) [, ] κ (A) = [má{a a,a a }] = κ (A) κ (A) = má{a a,a a } κ (A) = κ (A) = κ (A) = κ (A) = [má{ α,}] /( α ) = κ (A) c. κ (A) = má{ ( α ) α α 5 /, ( α) α α 5 /}. D la iformació sumiistrada s obti: D() = k k = 0, D() = k k = 5 5. k k = 0 5 5( ) k =, k =, k k = 5 por lo tato 5 logt 5( ) D(t) = t - ( )( ) A =, A = κ (A) =. > 0 Como úmro d codició s mayor qu 0 tocs s dic qu l sistma stá mal codicioado Sa f() l úmro d opracios csarias. S ti qu Si p() s cutra factorizado, tocs f() = =. Si p() s cutra forma aidada, tocs f() =. Si p() s cutra si factorizar, tocs ( ) f() =. Sa p() = ( )( ) y κ r () l úmro d codició rlativo. S ti qu Prof. José Luis Quitro

12 6. 7..p'() ( ) ( ) κ r() = = = p() ( )( ) ( )( ) Coclusios: El úmro d codició s hac grad si s valúa valors d crcaos a y a qu rprsta las raícs dl poliomio, d modo qu hallar las raícs d st poliomio rprsta u problma mal codicioado. Para valors d muy grads magitud s obsrva qu l úmro d codició tid a. Sa f() l úmro d opracios csarias. S ti qu Si p() s cutra factorizado, tocs f() = =. Si p() s cutra forma aidada, tocs f() =. Si p() s cutra si factorizar, tocs ( ) f() = Sa κ r () l úmro d codició rlativo. S ti qu.p'() ( c) κ r() = = = p() ( c) c Coclusios: El úmro d codició s hac grad si s valúa valors d crcaos a c qu rprsta la raíz dl poliomio, d modo qu hallar las raícs d st poliomio rprsta u problma mal codicioado. Para valors d muy grads magitud s obsrva qu l úmro d codició tid a. Usado la idtidad trigoométrica s ti qu Usado la idtidad trigoométrica cos() s( ) = s( ) cos() p() = = = f() s() s() s() cos() = y la cojugada s ti qu s() s() s()( cos()) cos() q() = = = = = f() cos( ) cos() s() s() Las prsios atriors rprsta altrativas para vitar la caclació catastrófica cuado s dsa valuar f() para k π, (k Z) Cálculo dl úmro d codició rlativo (dotado por κ r ()): s() ( cos()) cos() s() ( cos()) cos() cos() f'() = = = = s() s() s() cos() Ahora bi κ.f'().s().s() r() = f() = ( cos())( cos()) = s() = s() κ () = = = = = r() r s() 5 k k ( )! 5!! 5!! 5! (k )! k = 0 lo qu idica qu r() rprsta ua aproimació al úmro d codició rlativo, 0 Prof. José Luis Quitro

13 8. D acurdo al uciado y cosidrado propidads coocidas s ti qu a = 0 a = A.A = I 0 a 0 = 0 0 a a = 0 a = a a a = 0 a = Por lo tato 0 0 A = 0 Usado la orma uclidiaa s ti qu κ (A) = A A = 6. Eprsió qu prmit hallar la orma dl vctor b: i N() = = = = ( ). Eprsió qu prmit hallar la orma ifiita dl vctor b: i= { } N () = ma,,..., = Prof. José Luis Quitro