UNIDAD I. Introducción al Análisis Numérico

Transcripción

1 UNIDAD I Introduccón al Análss Numérco

2 Métodos Numércos Son técncas medante las cuales es posble formular problemas matemátcos, de tal forma que puedan resolverse utlzando operacones artmétcas. Requeren de un gran número de cálculos artmétcos. El desarrollo de las computadoras a propcado el uso de métodos numércos para la solucón de problemas de ngenería.

3 Métodos Numércos Anterormente los problemas de ngenería se soluconaban: Usando métodos eactos o analítcos. Proporconan una comprensón ecelente del comportamento de los sstemas. Solo se aplcan a un número lmtado de problemas generalmente lneales y con un número lmtado de dmensones. Analzando el comportamento de los sstemas usando solucones gráfcas. Los resultados no son muy precsos y están lmtadas a 3 dmensones. Utlzando calculadoras y reglas de cálculo solo que los cálculos manuales son lentos.

4 Métodos Numércos Planteamento del problema Solucón Implantacón Ahora Antes Ahora

5 Ventajas de los Métodos Numércos Herramentas poderosas capaces de manpular grandes sstemas de ecuacones, cálculos con sstemas no lneales y solucón de geometrías complcadas. Desarrollo de sstemas dedcados a la solucón de problemas especalzados basados en métodos numércos. El conocmento de los métodos numércos permte el desarrollo de sstemas mas complcados sn tener que nvertr en software costoso. El estudo de los métodos numércos permte reforzar la comprensón de las matemátcas.

6 Modelos Matemátcos Son formulacones o ecuacones que epresan las característcas esencales de un sstema físco o de un proceso en térmnos matemátcos. En general, un modelo matemátco se representa medante una relacón funconal Varable Dependente = f( Varables, Parámetros, Independentes Funcones ) de Fuerza

7 Modelos Matemátcos La varable dependente refleja el comportamento del sstema Las varables ndependentes generalmente son varables dmensonales como espaco o tempo, a través de las cuales se representa el comportamento del sstema. Los parámetros son el reflejo de las propedades del sstema Las funcones de fuerza son nfluencas eternas que actúan sobre el sstema.

8 Proceso de Solucón de Problemas de Ingenería Defncón del Problema Modelo Matemátco Resultados Numércos o Gráfcos Implantacón Teoría Datos Métodos Numércos Computadoras Análss Optmzacón

9 Segunda Ley de Newton F ma a Varable dependente que refleja el comportamento del sstema F Funcón de fuerza m Parámetro del sstema No hay varable ndependente hasta que no se establezca como varará la aceleracón con respecto al tempo o al espaco. a F m

10 Segunda Ley de Newton La ecuacón de la Segunda Ley de Newton posee característcas típcas de los modelos matemátcos de fenómenos físcos: Descrbe un fenómeno natural en térmnos matemátcos. Representa una dealzacón, una smplfcacón de la realdad, es decr, gnora detalles nsgnfcantes de la naturaleza. Conduce a resultados reproducbles y se puede utlzar para hacer refleones.

11 Modelos Matemátcos Esten modelos matemátcos mucho más complejos y que puede ser muy eactos o que requeren de técncas matemátcas más sofstcadas. El modelo de la Segunda Ley de Newton srve para calcular fenómenos más complejos como el cálculo de la velocdad fnal en caída lbre de un cuerpo que se encuentra cerca de la superfce terrestre.

12 Ejemplo: Paracadsta En este caso se obtene el modelo epresando la aceleracón como la razón de cambo de la velocdad con respecto al tempo (dv/dt) de forma que: F arrba donde dv dt F m F abajo F F arrba F abajo

13 Ejemplo: Paracadsta F arrba cv F abajo m g Fuerza negatva debda a la resstenca del are. c coefcente de resstenca del are en Kg/s v velocdad en m/s Fuerza postva debda a la gravedad. g constante gravtaconal de 9.8 m/s 2 m masa del cuerpo en Kg

14 Ejemplo: Paracadsta dv dt F m dv dt m g m cv dv dt g c m v Ecuacón dferencal que modela la relacón que este entre la aceleracón de un cuerpo que cae con las fuerzas que actúan sobre él.

15 Ejemplo: Paracadsta Para obtener la velocdad fnal es necesaro ntegrar la ecuacón dferencal para obtener una solucón eacta o analítca, s ncalmente v=0 y t=0 entonces ntegrando se obtene g m v( t) 1 e c c m v(t) es la varable dependente t es la varable ndependente c y m son los parámetros del sstema g es la funcón de fuerza t

16 Solucón Analítca del Problema del Paracadsta Un paracadsta con masa de 68.1 Kg salta de un globo aerostátco fjo. Calcular la velocdad antes de que se abra el paracaídas. Consdere un coefcente de resstenca del are de 12.5 Kg/s. g m v( t) 1 e c (9.8) (68.1) 1 e t e c m t t

17 Velocdad (m/s) Solucón Analítca del Problema del Paracadsta t (seg) Vel (m/s) Tempo (seg)

18 Solucón Numérca Problema del Paracadsta Los Métodos Numércos son aquellos en los que se reformula un problema matemátco para lograr resolverlo medante operacones artmétcas. dv dt lm t0 v t dv dt v t v( t t 1 ) v( t ) 1 t Apromacón por dferenca dvdda fnta

19 Solucón Numérca Problema del Paracadsta ) ( ) ( ) ( 1 1 t v m c g t t t v t v t t t v m c g t v t v 1 1 ) ( ) ( ) ( Valor nuevo = Valor anteror + pendente ntervalo

20 Método de Euler

21 Solucón Numérca del Problema del Paracadsta Intervalos de 2 seg. Incar con t = 0 y t +1 = v( 2) Segunda teracón con t = 2 y t +1 = v( 4) t velocdad Sol. Anal. velocdad Sol. Num

22 Apromacones Las apromacones numércas presentan dscrepancas. En muchos de los problemas de ngenería no es posble obtener una solucón eacta para cuantfcar con eacttud las dscrepancas o errores de los métodos numércos. En estos caso debemos usar estmacones del error.

23 Errores Numércos Qué tanto error se presenta? Cuál es la toleranca? Las tareas a desarrollar para la estmacón del error son: Identfcar el tpo de error Cuantfcarlo Mnmzarlo

24 Tpos de Errores Numércos Comunes Errores por Redondeo.- Se deben a que las computadoras solo representan cantdades con un número fnto de dígtos. Errores de Truncamento.- Son la dferenca entre una formulacón matemátca eacta de un problema y su apromacón obtenda por un método numérco. Otros tpos de error son debdos a equvocacones, errores de formulacón o del modelo y la ncertdumbre en la obtencón de los datos, entre otros.

25 Cfras Sgnfcatvas El concepto de cfras o dígtos sgnfcatvos se ha desarrollado para desgnar formalmente la confabldad de un valor numérco. Las cfras sgnfcatvas de un número son aquellas que pueden utlzarse en forma confable. Son el número de dígtos que se ofrecen con certeza, mas uno estmado.

26 Cfras Sgnfcatvas Velocímetro: Lectura 49 Km/hr. 3 cfras sgnfcatvas Odómetro: Lectura Km 7 cfras sgnfcatvas

27 Cfras Sgnfcatvas Determnar las cfras sgnfcatvas de un número es sencllo pero puede causar confusón en algunos casos, como por ejemplo: , , tene 4 cfras sgnfcatvas puede tener 3, 4 ó 5 cfras sgnfcatvas dependendo s los ceros se conocen o no con eacttud. La ncertdumbre se puede elmnar utlzando la notacón centífca , y tenen 4 cfras sgnfcatvas , y muestran respectvamente 3, 4 y 5 cfras sgnfcatvas.

28 Cfras Sgnfcatvas Las mplcacones de las cfras sgnfcatvas en el estudo de métodos numércos son: Los métodos numércos dan resultados apromados, por lo que se deben desarrollar métodos para determnar que tan confables son dchos resultados, una manera de hacerlo es utlzando cfras sgnfcatvas., e ó 7 representan cantdades específcas, pero no se pueden epresar eactamente con un número fnto de dígtos. Ejemplo: π = Las computadoras solo pueden representar un número fnto de dígtos, a la omsón del resto de las cfras sgnfcatvas se le conoce como error por redondeo.

29 Eacttud y Precsón Los errores en cálculos y meddas se pueden caracterzar con respecto a su eacttud y precsón. Eacttud: Que tan cercano esta el valor calculado o meddo del valor verdadero. Precsón: Que tan cercanos se encuentran, unos de otros, dversos valores calculados o meddos. La neacttud o sesgo es una desvacón sstemátca del valor verdadero. La mprecsón o ncertdumbre es la magntud en la dspersón delos datos. El error en los métodos numércos consdera ambas, la neacttud y la mprecsón en las apromacones.

30 Eacttud y Precsón Ineacto e mprecso Eacto e mprecso Ineacto y precso Eacto y precso

31 Cuantfcacón del Error Valor Verdadero = Valor Apromado + Error E t = Valor Verdadero Valor Apromado (t - true) E t Error numérco verdadero Desventaja: Orden de magntud del valor Error relatvo fracconal verdadero = error verdadero/valor verdadero (entre 0 y 1) Error relatvo porcentual verdadero = E t = (error verdadero/valor verdadero)100%

32 Ejemplo: Cuantfcacón del Error Meddo Real Puente 9999cms 10000cms Remache 9cms 10cms Puente: E t = = 1cm E t = (1/10000)100% = 0.01% Remache: E t = 10 9 = 1cm E t = (1/10)100% = 10%

33 Estmacón del Error Cuando no se tene nformacón del valor verdadero se procede a normalzar el error, usando la mejor estmacón posble al valor verdadero, es decr, la apromacón msma. Error normalzado al valor apromado error apromado a 100% valor apromado En muchos casos los métodos numércos son teratvos, por lo que se hace una nueva apromacón consderando una apromacón anteror. En estos casos la apromacón se calcula como: a apromacón actual - apromacón anteror apromacón actual 100%

34 Estmacón del Error Estas ecuacones pueden arrojar errores negatvos, lo que realmente mporta es la magntud del error, por lo que se toma en cuenta que el valor absoluto porcentual sea menor a una toleranca porcentual defnda E s de modo que los cálculos se repten hasta que a s Es convenente relaconar estos errores con el número de cfras sgnfcatvas en la apromacón. Se puede comprobar que s E s = ( n )% se tendrá la segurdad de que el resultado es correcto en al menos n cfras sgnfcatvas.

35 Ejemplo: Cuantfcacón del Error Sere Infnta - Epansón en Seres de Maclaurn e = ! + 3 3! + + n n! Entre más térmnos se agreguen a la sere (n mayor ) la apromacón será más cercana al valor verdadero de e. Estmar el valor de e 0.5.Calcular los errores relatvo porcentual verdadero y normalzado al valor apromado después de cada teracón. Observe que el valor verdadero es e 0.5 = Agregar térmnos hasta que el valor absoluto del error apromado ε a sea menor que un crtero de error preestablecdo ε s con tres cfras sgnfcatvas.

36 Ejemplo: Cuantfcacón del Error Prmera Iteracón: Segunda Iteracón: t ε s = % = 0.05% e e % 9.02% % 1.5 Térmnos Resultado E t (%) E a (%) a 33.3%

37 Error de Redondeo Las computadoras representan números en base 2, por lo que no pueden representar eactamente algunos números en base 10. Esta dscrepanca por la omsón de cfras sgnfcatvas se llama error por redondeo La undad fundamental es la palabra (word) que es una cadena de dígtos bnaros (bts). Los números se guardan en una o más palabras.

38 Sstemas Numércos Base 10 Usa 10 dígtos (Decmal). Ejem. Valor posconal o notacón posconal: ( 86409) Base 2 Usa 2 dígtos (Bnaro) (7 10 ( 111) 2 ) Base 8 Octal, Base 16- Headecmal

39 Valor Posconal

40 Representacón Entera Método de Magntud con Sgno: Emplea el prmer bt de una palabra para ndcar el sgno (0-postvo, 1- negatvo) y los demás bts representan la magntud. En una computadora de 16 bts el número -173 es Cuál es el rango de números enteros de base 10 que se pueden representar en una computadora de 16 bts? Como los números puedes ser postvos o negatvos, entonces el rango de valores es de a Este método es representatvo, en realdad las computadoras mplementan el método de complemento2 que ncorpora en forma drecta el sgno dentro de la magntud.

41 Representacón de Punto Flotante El número de punto flotante se epresa como Parte Fracconara.- Mantsa o sgnfcado. Parte Entera.- Eponente o característca. e mb m=mantsa b=base numérca e=eponente Ejemplo: El número se representa como en sstema base 10 de punto flotante. En una computadora los bts de una palabra se dvden de la sguente forma Bt de sgno Eponente con Sgno Mantsa

42 Representacón de Punto Flotante 1/34= se representa como: en sstema base 10 de punto flotante con 4 decmales con mantsa normalzada. Al normalzar la mantsa se obtenen mas cfras sgnfcatvas, la consecuenca de la normalzacón es que el valor absoluto de m queda lmtado por 1/b m<1. En base 10 de 0.1 m<1 y en base 2 de 0.5 m<1 La representacón de punto flotante ntroduce errores debdo a que la mantsa conserva solo un número fnto de cfras sgnfcatvas, por lo que se produce un error por redondeo.

43 Ejemplo: Conjunto Hpotétco de Números de Punto Flotante Determnar el conjunto de números de punto flotante para una máquna de 7 bts por palabra con 1 bt de sgno del número, 3 bts para el sgno y la magntud del eponente y 3 bts para la mantsa. Sgno del número Sgno del eponente Magntud del eponente Magntud de La mantsa

44 Ejemplo: Conjunto Hpotétco de Números de Punto Flotante Número postvo mas pequeño = (0.0625) Magntud del eponente: (12 1 )+(12 0 )=3 Mantsa: (12-1 )+(02-2 )+(02-3 )=0.5 Se toma una mantsa de 100 y no 000 ó 001 ó 010 ó 011 por la restrccón de normalzacón 1/b m<1. S ncrementamos la mantsa tenemos:

45 Ejemplo: Conjunto Hpotétco de Números de Punto Flotante Para contnuar aumentando las cantdades se debe reducr el eponente, entonces tenemos: Y así sgue aumentando hasta llegar al número postvo más grande

46 Lmtacones de la Representacón de Punto Flotante El rango de cantdades que puede representarse es lmtado Error de desbordamento (overflow): Números fuera de rango. Agujero en el cero (underflow): Números entre el cero y el prmer número. Número fnto de cantdades que pueden representarse dentro de un rango. El rango de precsón es lmtado. Error de cuantfcacón: Los números no pueden representarse eactamente. Corte y Redondeo

47 Lmtacones de la Representacón de Punto Flotante El ntervalo entre los números ( ) aumenta conforme los números crecen en magntud. Esta característca ndca que los errores de cuantfcacón serán proporconales a la magntud del número. Para normalzar los números de punto flotante, esta proporconaldad se epresa como: Corte 2 Redondeo

48 Épslon de la Máquna - Ɛ 1-t b b base t número de dígtos sgnfcatvos en la mantsa Ejemplo: Determnar el épslon de la máquna de 7 bts suponendo que se usa el corte de cfras sgnfcatvas. b=2 t=

49 Precsón Etendda Las computadoras que utlzan el estandar IEEE permten 24 bts para la mantsa que sgnfca tener cerca de sete cfras sgnfcatvas de prescón en dígtos de base 10 con un rango apromado de a Aún así, en algunas aplcacones se requere mayor precsón por lo que muchas computadoras permten la especfcacón de precsón etendda. La más común es la doble precsón, en la cual se duplca el número de palabras para almacenar un número de punto flotante. Esto permte tener de 15 a 16 cfras sgnfcatvas de precsón en base 10 y un rango apromado de a

50 Errores de Truncamento Resultan al usar una apromacón en lugar de un procedmento matemátco eacto. Para caracterzar el comportamento de estos errores se consderan las Seres de Taylor, que son una formulacón matemátca eacta que permte epresar funcones de forma apromada. Sere de Taylor.- Permte predecr el valor de una funcón en un punto en térmnos del valor de la funcón y sus dervadas en otro punto. En partcular, el teorema de Taylor establece que cualquer funcón suave puede apromarse por un polnomo.

51 Térmnos de la Sere de Taylor El prmer térmno nos proporcona una apromacón de orden cero, funcona muy ben s se quere apromar una constante. f f 1 S la funcón camba en el ntervalo, entonces se requeren térmnos adconales en la Sere de Taylor para obtener una mejor apromacón. La apromacón de prmer orden se obtene sumando otro térmno a la sere, éste térmno representa una línea recta y permte predecr un ncremento o decremento lneal entre y +1. f f f 1 ' 1 La apromacón de segundo orden permte tener algo de curvatura que pudera presentar la funcón. f f f ' 1 1 f '' 2! 2 1

52 Sere de Taylor Así se van agregando térmnos para apromar funcones más complejas y llagar a la epresón fnal de la Sere de Taylor. Donde R es un térmno resdual que resulta de n sgnfca que es el resduo de la apromacón de n-ésmo orden y Ɛ es un valor de que se encuentra en algún punto entre y +1. La Sere de Taylor se smplfca defnendo un tamaño de paso h=( +1 - ) de manera que n n n R n f f f f f f 1 ) ( 3 1 (3) ! 3! 2! '' ' n n n R h n f h f h f h f f f! 3! 2! '' ' ) ( 3 (3) ) ( 1! n n n n f R

53 Ejemplo: Apromacón de un polnomo medante una Sere de Taylor Utlzar una Sere de Taylor de orden cero hasta orden cuatro para apromar la funcón: f ( ) donde = 0 con h=1, esto es, predecr el valor en +1 = 1. Valor verdadero f(0)=1.2 y f(1)=0.2 Sere de Taylor con n=0 f ) 1.2 Et 0.2 con n=1 ( f '(0) 0.25 f ( 1) h 0.95 E t

54 Ejemplo: Apromacón de un polnomo con n=2 medante una Sere de Taylor f ''(0) 1.0 f ( 2 1) h 0.5h 0.45 Et con n=4 tenemos la msma ecuacón ncal f ( ) (5) f 5 y el térmno resdual es R n h 0 5!

55 Propagacón del Error Se nvestga como los errores en los números puede propagarse a través de las funcones matemátcas, como cuando se multplcan dos números que tenen errores, poder estmar el error de este producto. Funcones de una sola varable.- La funcón f() es dependente de la varable ndependente. Consderar que ẍ es una apromacón de. Evaluar la dferenca entre y ẍ, esto es, f(ẍ)= f()-f(ẍ), el problema de evaluar f(ẍ) es que no se conoce f() porque no se conoce. Esto se puede hacer s ẍ esta cerca de y f(ẍ) es contnua y dferencable. S se satsfacen esta condcones se utlza una Sere de Taylor para calcular f() cerca de f(ẍ) f ''( ) f ( ) f ( ) f '( )( ) ( ) 2!

56 Propagacón del Error en Funcones de una Sola Varable Qutando el tercer térmno y los de orden superor se tene f ( ) f ( ) f '( )( ) o f ( ) f '( ) ( ) donde f(ẍ)= f()-f(ẍ) representa una estmacón del error de la funcón y ẍ= -ẍ representa una estmacón del error de.

57 Ejemplo: Propagacón del Error en Funcones de una Sola Varable S ẍ=2.5 y ẍ=0.01 estmar el error resultante en la funcón f()= 3. f(ẍ) 3(2.5) 2 (0.01)= Ya que f(2.5)= se pronostca que f(2.5)=15.625± o que el valor verdadero se encuentra entre y

58 Funcones de Mas de Una Varable Sere de Taylor para 2 varables ) ( ) )( ( 2 ) ( 2! 1 ) ( ) ( ), ( ), ( v v v f v v u u v u f u u u f v v v f u u u f v u f v u f S no se consderan los térmnos de segundo orden y superor v v f u u f v u f ), ( ü y ϋ son estmacones del error de u y v respectvamente. Para n varables ndependentes ẍ 1, ẍ 2,, ẍ n, tenendo errores ẍ 1, ẍ 2,, ẍ n se satsface la sguente relacón general: n n n f f f f ),,, (

59 Establdad y Condcón La Condcón de un problema matemátco determna su sensbldad a los cambos en los datos de entrada. Se dce que un cálculo es numércamente nestable s la neacttud de los valores de entrada se aumenta por el método numérco. Usando una Sere de Taylor de prmer orden f ( ) f ( ~ ) f '( ~ )( ~ ) se puede estmar el error relatvo de f() como f ( ) f ( ~ ) f '( ~ )( ~ ) f ( ) f ( ~ ) El error relatvo de esta dado por ~ ~

60 Establdad y Condcón Un número de condcón puede defnrse como la razón entre estos errores relatvos ~ f '( ~ ) Número de condcón f ( ~ ) El número de condcón proporcona una medda de que tanto una neacttud de se aumenta por f(). Un valor de 1 nos ndca que el error relatvo de la funcón es déntco al error relatvo de. Un valor mayor a 1 nos señala que el error relatvo se amplfca, mentras que un valor menor que 1 no dce que se atenúa. En funcones con valores muy grandes de dce que están mal condconadas.

61 Error Numérco Total Es la suma de los errores de truncamento y de redondeo. La únca forma mnmzar los errores de redondeo consste en ncrementar el número de cfras sgnfcatvas en la computadora, y aumentará s se ncrementa el número de cálculos. En contraste, el error de truncamento se reduce dsmnuyendo el tamaño del ncremento. Entonces notamos que una dsmnucón en el tamaño del ncremento aumentará el número de cálculos y por consecuenca el error de redondeo. Por lo que conclumos que los errores de truncamento dsmnuyen conforme los errores de redondeo aumentan.

62 Error Numérco Total Lo más mportante entonces es determnar el tamaño de ncremento apropado para un cálculo en partcular. Se debe dentfcar el punto de regreso dsmnudo donde los errores de redondeo ya no muestran los benefcos de la reduccón del tamaño del ncremento.