Las medias como promedios ponderados

Transcripción

1 Misceláne Mtemátic 8 (009) 1 6 SMM Ls medis como promedios ponderdos Alfinio Flores Peñfiel University of Delwre lfinio@mth.udel.edu Resumen Tres de ls medis que se usn frecuentemente en mtemátics (medi cudrátic, medi geométric, y medi rmónic) se otienen como promedios ponderdos utilizndo ciertos segmentos prlelos ls ses de un trpecio. 1. Un interpretción geométric de promedios ponderdos L medi ritmétic de dos números y es simplemente +, pero cundo uno de los números se repite, como cundo queremos otener el promedio de,,,, necesitmos otener el promedio ponderdo 3+. En est expresión los coeficientes de y nos dn el peso de cd número y el denomindor es l sum totl de los pesos. En este rtículo vmos considerr números y que stisfcen 0 <. El segmento que une los puntos medios de los ldos de un trpecio con ses y d un interpretción geométric de l medi ritmétic de dos números +. Si tommos un segmento que equidiste de este segmento y un de ls ses, podemos encontrr su longitud tomndo el promedio del segmento prlelo medio y l se correspondiente, por ejemplo (Figur 1) ( ) = 3 +. Pr el segmento en l curt prte inferior de l ltur su longitud serí +3. Vemos que l longitud de los nuevos segmentos está dd por un promedio ponderdo de los dos números y. El peso que corresponde un de ls ses es menor si el segmento está más lejos de est se que de l otr.

2 Alfinio Flores Peñfiel Figur 1: Promedios ponderdos En generl, si l distnci de un segmento prlelo l se es n, y l distnci l se es m (Figur ), el peso correspondiente será m y el peso correspondiente será n. L longitud del segmento está dd por m + n m + n Pr pror esto, denotmos por x l longitud del segmento, expresmos el áre totl del trpecio como l sum de ls áres de los dos trpecios menores, n +x + m +x = + (m + n), y encontrmos x. O se que pr un segmento ddo prlelo ls ses, si h es l ltur del trpecio que contiene, y es l ltur del trpecio que contiene, entonces los pesos p nd p socidos con y stisfcen l relción invers (1) h = p p. () Notmos que si reemplzmos m y n por km y kn en l expresión (1) no se cmi su vlor. Esto es, pr ses dds y, y un cierto vlor de l rzón h entre ls lturs de los trpecios menores, el vlor correspondiente de x será el mismo pr culquier trpecio con ses y, y l mism rzón de ls lturs h, independientemente de l ltur del trpecio originl. Otr mner de pensr cerc de esto es imginr que si un trpecio se estir uniformemente en l dirección verticl tl trnsformción no fectrá ls longitudes de los segmentos horizontles. O se que no necesitmos ser ls lturs de los trpecios menores, todo lo que necesitmos ser es su rzón. Dd est rzón, l longitud del segmento se puede clculr como un promedio ponderdo de y.

3 Ls medis como promedios ponderdos 3 Los pesos pr y pueden ser culesquier dos vlores que stisfgn l ecución (). n m m+n m+n Figur : Pesos y lturs. Áres igules Un segmento prlelo ls ses que es interesnte es el que divide el trpecio en dos trpecios de áres igules (Figur 3). Si ls ses +x +x son y, l longitud x de este segmento stisfce h = h, o equivlentemente h = +x. Por tnto el peso socido con serí +x +x, el peso socido con serí +x, y tenemos que x = (+x)+(+x) +. Este (+x)+(+x). Resolviendo l ecución otenemos x = +, o x = número es llmdo l medi cudrátic de los dos números y. Figur 3: Áres igules

4 Alfinio Flores Peñfiel 3. Dos trpecios semejntes Otro segmento prlelo ls ses que es interesnte es el que divide el trpecio originl en dos trpecios que son semejntes entre sí. Ls lturs de los dos trpecios menores son proporcionles sus ses myores, kx y k (Figur ). kx x k Figur : Trpecios semejntes El segmento x es sí un promedio ponderdo de y donde el peso de es, y el peso de es x, y por tnto x = +x. Resolviendo l x+ ecución otenemos x =, o x =. Est es l medi geométric de y. Desde luego, dd l semejnz de los trpecios podemos comprr ls ses y ver que l longitud x del segmento stisfce = x. x. Intersección de ls digonles Otro segmento prlelo ls ses que es interesnte es el que ps por l intersección de ls digonles del trpecio (Figur 5). Los triángulos ABE y DCE son semejntes. Sus lturs son proporcionles ls ses del trpecio. Podemos hcer que el peso de se y el peso de se. L longitud del segmento es s + =. Este número es l + + medi rmónic de los dos números y. Otro segmento interesnte prlelo ls ses ps donde l medi rmónic se otiene como un promedio ponderdo, por ejemplo, l clculr l velocidd promedio de un ojeto que trvies l mism distnci d un vez con velocidd y l segund vez con velocidd.

5 Ls medis como promedios ponderdos 5 A B k E k C D Figur 5: Segmento por l interesección de ls digonles L velocidd promedio será d d + d = + = + +. (3) Como el ojeto ps más tiempo vijndo l velocidd menor, el vlor de est velocidd tendrá un peso myor. Podemos ver en l ecución (3) que el peso de es y el peso de es. 5. Comentrios finles Desde luego, l ide de usr un trpecio pr representr ls diferentes medis no es nuev (Beckench y Bellmn 1975). Colocndo todos los segmentos en el mismo trpecio (Figur 6) podemos ver fácilmente el orden entre ls diferentes medis Si pensmos en términos de los pesos podemos logrr un comprensión dicionl de este orden. Pr, ls rzones de los pesos pr ls medis rmónic, geométric, ritmétic, y cudrátic stisfcen x 1 + y + y, donde tnto x como y son números entre y. Ls rzones de los pesos p p pr ls diferentes medis nos permiten entender de otr mner por qué l medi rmónic es l más cercn l menor de los dos números,

6 6 Alfinio Flores Peñfiel Figur 6: Vris medis por qué l medi geométric está entre l medi rmónic y l medi ritmétic, y por qué l medi cudrátic está más cerc del myor de los dos números. Referencis [1] Beckench, E. y Bellmn, R. (1975). An introduction to inequlities. Wshington, DC: Mthemticl Assocition of Americ.