Anova unifactorial Grados de Biología y Biología sanitaria
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- Arturo Murillo Arroyo
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1 Anova unifactorial Grados de Biología y Biología sanitaria M. Marvá marcos.marva@uah.es Unidad docente de Matemáticas, Universidad de Alcalá 29 de noviembre de 2015
2 El problema Analizaremos la relación entre una variable cualitativa y una cuantitativa C (respuesta) F (explicativa) Ejemplo: El exceso de ozono es una señal de contaminación. Se toman 6 muestras de aire de concentraciones de ozono (en partes por 10 mil) en cuatro estaciones instaladas en una cuidad. Hay diferencias significativas en la concentración media medida en cada estación? Cuántas estaciones superan el valor umbral de alerta? En este caso: Variable explicativa (factor): estación en que se recoge la muestra. Niveles: cda una de las estaciones Variable respuesta: concentración de ozono capítulo 11 del libro
3 El problema Ejemplo: Cortesía del Hospital Ramón y Cajal Se quiere evaluar la eficacia de distintas dosis de un fármaco contra la hipertensión arterial y comparárla con la de una dieta sin sal. Se seleccionan al azar 25 hipertensos y se distribuyen aleatoriamente en 5 grupos. Al primero no se le suministra ningún tratamiento, al segundo una dieta con un contenido pobre en sal, al tercero una dieta sin sal, al cuarto el fármaco a una dosis determinada y al quinto el mismo fármaco a otra dosis. Tras el experimento, hay diferencias significativas en tensión arterial media de cada grupo? En este caso: Variable explicativa (factor): tipo de tratamiento seguido (incluido el no-tratamiento). Niveles: cada uno de los tratamientos Variable respuesta: tensión arterial (en las unidades adecuadas)
4 El problema Se quiere determinar cuál de los remedio Alirón plus Vuelagra Plumiprofeno Elevantolín es mejor para combatir el alicaimiento en los frailecillos. Se seleccionan 4 muestras aleatorias independientes de 100 frailecillos alicaídos, y cada una se trata con un remedio diferente. Los resultados, en aleteos por minuto de cada individuo, están an la siguiente tabla Aliron Elevantolin Plumiprofeno Vuelagra Recuerda que este no es el mejor formato para los datos. Un ejemplo, una referencia y
5 El problema La pregunta que queremos responder es Qué tratamiento es mejor? La responderemos en dos etapas: llamaremos µ i al número de aleteos medio con cada tratamiento 1.- Son todos los tratamientos igual de efectivos? frente a H 0 : {µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 } H 1 : {alguna de las medias es diferente de las demás} Se trata de la comparación simultáanea de 3 o más medias Veremos que comparar dosa dos las medias aumenta (sorprendentemente) deprisa la probabilidad de error de tipo I. 2.- Si no son todas las medias iguales: ordenarlas
6 Un poco de notación Consideramos un factor con k niveles t 1, t 2,, t k (tratamientos) Los individuos de cada nivel representan k poblaciones independientes X 1, X 2,, X k Hay n j datos para el tratamiento t j. Si n j n i Anova no equilibrado. Nivel del tratamiento (j de 1 a k) t 1 t 2 t 3 t k x 11 x 12 x 13 x 1k Respuestas x 21 x 22 x 23 x 2k (i de 1 a n j ) x 31 x 32 x 33 x 3k x n1 1 x n2 2 x n3 3 x nk k Trabajaremos con experimentos equilibrados (n i = n j, i, j) Llamaremos X(i, j) = x ij individuo i del nivel/tratamiento j N = n 1 + n n k
7 Consideramos, además, Un poco de notación La media del conjunto de todas las observaciones La media de cada nivel X = n k j j=1 X j = i=1 N n j Ejemplo: con los datos obtenidos para los 400 frailecillos: X 1 = 78.40, respuesta media muestral para t 1, Alirón Plus X 4 = 80.40, respuesta media muestral para t 4, Elevantolín X 3 = 84.40, X 2 = 72.10, i=1 x ij x ij n j respuesta media muestral para t 3, Plumiprofeno respuesta media muestral para t 2, Vuelagra y la media muestral total es X = 78.82
8 La idea Al comparar el efecto del tratamiento en cada individuo con el resultado medio x ij X intervienen (al menos) dos aspectos el tratamiento concreto (nivel del factor) aplicado a ese individuo (modelo) las características particulares de ese individuo (azar) es posible separar el efecto de ambos aspectos? Podemos escribir x ij X = ( ) ( x ij X j + X j X ) resulta ( X j X ) ( x ij X j se llama residuo es común a todos los del nivel j: modelo ) es distinto para cada individuo del nivel j: azar. Este término
9 La idea Ejemplo Para el cuarto frailecillo de los que se les administró Plumiprofeno x 43 X = = 9.3 El número de aleteos medio para los tratados con Plumiprofeno es = X j Entonces x ij X = ( ) ( x ij X j + X j X ) = Es decir ( X j X ) ) ( x ij X j 9.3 = ( ) + ( ) = 1.52 es común a todos los del nivel 4: modelo = 7.72 es distinto para cada individuo del nivel j: azar
10 La identidad Anova Identidad de la suma de cuadrados para Anova n k j (x ij X) 2 = j=1 i=1 } {{ } SST j=1 i=1 Es decir SST = SS residual + SS modelo. n k j (x ij X j) k 2 + n j ( X j X) 2 } {{ } SS residual j=1 } {{ } SS modelo (1) SST es la dispersión total (no se distinguen niveles, población única) SS modelo dispersión atribuida al hecho de utlizar k tratamientos distintos. Es la dispersión entre grupos. También se dice que es la parte de la dispersión o de la varianza explicada por el modelo SS residual es la dispersión debida al azar o ruido. Se suele llamar dispersión dentro de los grupos o intra-grupo, porque se debe a las circunstancias individuales de cada aplicación de un nivel del tratamiento. qué sucede si SS residual = 0?
11 Hay que cuantificar el peso de cada sumando SST = SS residual + SS modelo, Contraste Anova se dan los mismos problemas (sensibilidad a unidades, a cambios de escala,... ) que en la recta de regresión lineal. Solución: dividir entre SS residual SST = 1 + SSmodelo SS residual SS residual Manipulando ese término, se llega a que 1 numerador y denominador son suma de normales estándar al cuadrado, es decir, χ 2 2 por tanto, el cociente es una F de Fisher-Snedecor Para ello es necesario las muestras de cada población X 1 N(µ 1, σ), X 2 N(µ 1, σ),, X k N(µ 1, σ) Varianzas iguales (también se dice homocedasticidad)
12 Contraste Anova Distribución muestral de los componentes del Anova unifactorial para el caso de un modelo equilibrado. Supongamos que la hipótesis nula H 0 = {µ = µ 1 = µ 2 = = µ k } es cierta, que el diseño es equilibrado con k niveles del tratamiento (n 1 = n 2 = = n k ). Entonces: Ξ = SS modelo k 1 SS residual N k = k j=1 n ( X j X) 2 k 1 k nj j=1 i=1 (x ij X j) 2 N k F k 1;N k donde F k 1;N k es la distribución de Fisher-Snedecor con k 1 y N k grados de libertad, N es el total de observaciones (como el diseño equilibrado es, N = k n) El p-valor del contraste es P (F k 1;N k > Ξ)
13 La tabla Anova La forma habitual de presentar los cálculos del contraste de igualdad de medias en el modelo Anova es mediante la llamada tabla Anova Fuente de Suma de Grados de Cuadrado Estadístico p-valor variación cuadrados libertad medio k SS modelo n ( k X) 2 n ( X j X) 2 j=1 k 1 k 1 j=1 Ξ P(F > ) SS residual n k j (x n ij k ) 2 j (x ij X j ) 2 j=1 i=1 n k n k j=1 i=1 Ejemplo: continuación del ejemplo de los frailecillos. Cálculos directos dan SST = 14881,38, SS modelo = 7896,76, SS residual = 6984,41, Ξ = Y el p-valor del contraste es SS modelo k 1 SS residual N k podemos rechazar la hipótesis nula = 7896, , ,24 p-valor = P (F 4 1;400 4 > Ξ) 0
14 Terminología El modelo descrito es Anova unifactorial, completamente aleatorio y de efectos fijos 1 unifactorial: sólo tenemos en cuenta cómo depende X del tratamiento aplicado sin contar otras variables: edad, género, dieta,... 2 Completamente aleatorio porque los pacientes son asignados de forma aleatoria a cada grupo, sin agruparlos de ninguna manera 3 Efectos fijos porque hemos seleccionado los tratamientos (niveles) que queremos analizar sin elegirlos al azar de entre un posible conjunto más amplio de tratamientos Existen modelos Anova más avanzados: por ejemplo los Anova de doble o triple vía (Anova de dos o tres factores) diseños no equilibrados ver apéndice Más allá de este libro
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