Universidad Simón Bolívar Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 2008

Transcripción

1 Universidad Simón Bolívar Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana y/o Ejercicios sugeridos para la semana y/o. Cubre el siguiente material: Propiedades de la integral denida, primer y segundo teorema fundamental del cálculo, regla de sustitución para integrales indenidas y denidas. Material Adicional: Cálculo de Area y Teorema de simetría.. Resuelva las siguientes integrales indenidas a sen(x dx. sen (x Utilizando la igualdad sen (x = cos (x obtenemos que sen (x = + cos (x. Si realizamos el cambio de variable u = cos(x, du = sen(xdx. Asi, sen(x dx = du = arctan(u + C sen (x +u = arctan(cos(x + C. b sen(4x dx. cos(x cos(x Encontrar un cambio de variable apropiado, no siempre es evidente. Por tanto, no debemos olvidar que existe la posibilidad de resolver un problema con propiedades trigonometricas. Utilizando la igualdad sen(mx = sen(mx cos(mx obtenemos que sen(4x = sen(x cos(x y sen(x = sen(x cos(x. Asi, sen(4x dx = sen(x cos(x dx = sen(x dx cos(x cos(x cos(x cos(x cos(x = sen(x cos(x dx = 4 sen(xdx cos(x = 4 cos(x + C. c cos (x sen(xdx. cos (x sen(xdx = cos (x cos(x sen(xdx = ( sen (x cos(x sen(xdx Realizando el cambio de variable u = sen (x y du = 6 sen(x cos(xdx, obtenemos que ( sen (x cos(x sen(xdx = udu = u 6 + C = ( sen (x + C.. Halle las siguientes integrales denidas:

2 MA- a g(tdt con g(t = t. t si t > Como g(t = t = t si t b 4 dw. w g(tdt = tdt = t = + 4 =. 4 c (x x dx. Como f(x = x x = (x x dx = w + dw = w + 4 = w 4 = 4 = 4. x si x < x si x xdx + xdx = x + x = 7. d π sen (x cos(xdx. Realizando el cambio de variable r = sen(x, dr = cos(xdx y el limite de integración superior e inferior seran respectivamente: a = sen( = y b = sen(π/ =. Asi, π = sen (x cos(xdx = r dr = ( r r dr = 9. e t dt. f(x = + t si t < t = t si t Dado que f es una función par (por ser f( t = f(t, podemos utilizar el Teorema de simetría t dt = tdt tomando el cambio de variable u = t (du = dt, tdt = udu = udu

3 MA- Es decir, 4u / t dt = udu = = 4. f π π (x5 + sen(x dx. sen(x si π x Como f(x = sen(x = sen(x si x π Claramente, f es una función par y x 5 una funcion impar. Entonces, π π (x 5 + sen(x dx = π π x 5 dx + = x6 π π π sen(x dx 6 π π + sen(xdx = cos(x π = ( + = 4. g π/ π/ sen5 (θdθ. La función sen(θ es una función impar, f(θ = sen 5 (θ tambien lo es; ya que, f( θ = sen 5 ( θ = sen 5 (θ = f(θ. Luego, por el Teorema de simetría π/ π/ sen5 (θdθ =. Solución Alternativa: π/ π/ sen 5 (θdθ = = π/ π/ π/ π/ sen(θ(sen (θ dθ sen(θ( cos (θ dθ. Utilizando el cambio de variable u = cos(θ, du = sen(θdθ con a = cos( π/ = / y b = cos(π/ = /. Asi, h t dt. (t 4t+ π/ π/ sen 5 (θdθ = π/ π/ = sen(θ( cos (θ dθ / / ( u du =. Utilizando el cambio de variable u = t 4t +, du = (t 4tdt = (t dt con a = 4 y b = 8. Asi, t dt = 8 du (t 4t+ 4 u = = 4 8 du u ( u 4 8 = ( + =

4 MA-. Halle la derivada de las siguientes funciones: 4 a x x t sen(tdt. F (x = x x t sen(tdt = x t sen(tdt + x = x x t sen(tdt + t sen(tdt t sen(tdt Aplicando el primer Teorema Fundamental del Cálculo, obtenemos que ( x ( x D x (F (x = D x t sen(tdt + D x t sen(tdt = x sen( x + x x sen(x. b x (t + dt. x F (x = x (t + dt = (t + dt + x (t + dt x x = x (t + dt + x (t + dt Aplicando el primer Teorema Fundamental del Cálculo, obtenemos que ( ( x D x (F (x = D x (t + dt x + D x (t + dt = (x + + x(x +. c x x dt. x t F (x = x x x dt = x dt + x x dt t x t t = x x dt + x x dt t t Aplicando el primer Teorema Fundamental del Cálculo, obtenemos que ( ( x x D x (F (x = D x dt x x + D t x dt t = x + x = x. 4. Halle f ( π si f(x = x x x sen(5tdt. f(x = x x x sen(5tdt = x x sen(5tdt + x x sen(5tdt = x x sen(5tdt + x x sen(5tdt

5 MA- Aplicando el primer Teorema Fundamental del Cálculo, obtenemos que ( ( f x (x = D x x x sen(5tdt + D x x sen(5tdt = x sen(x + x sen(5x. 5 Asi, f ( π = π π 5π sen(5π + sen(. Dado que sen(x + kπ = sen(x, k Z sen(5π = 4 sen(π = y sen(5π/ = sen( π/ =. Tenemos que, f ( π = π 5. Halle la integral denida de cada una de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: g(t, sí t < a f(t = h(t, sí < t donde g(t = (t + + y h(t = t +. En el intervalo [, ]. sí no. f(tdt = int g(tdt + h(tdt dado que g(t = (t + + = (t + t y que h(t = t para t [, ], tenemos que b f(x = f(tdt = (t tdt tdt = =, sí x < x, sí x < 4 x sí x 4 en el intervalo [, 4]. 4 f(xdx = dx + xdx + 4 (4 xdx = Hallar el área de la región limitada por las grácas de las siguientes funciones. a f(x = x y g(x = x

6 MA- Para calcular el area de la region limitada, debemos hallar primero los puntos para los cuales se cumple que x = x. Es decir, x = ±, entonces el area de la region limitada es ( x dx b f(x = x, g(x = x y x =. ( x dx = ( x dx = (x x = El area de la region limitada es x dx + ( x 4 xdx = 4 + x = 4. c f(x = x x, g(x = x +, los ejes coordenados y la recta x = Para calcular el area de la region limitada, debemos hallar primero el punto (positivo para el cual f(x = x x =. Esto se satisface para x =, entonces el area de la region limitada es A(R = (x + dx ( x xdx + ( x xdx = (x + dx ( x xdx = ( (x + x + dx x = + x + x = 8.

7 MA- d f(x = { (x + +, sí x < (x +, sí x y g(x = x Para calcular el area de la region limitada, debemos hallar primero los puntos para los cuales se cumple que x + = (x + + y x + = (x +. Es decir, hallar los puntos para los cuales x + x + = (x = o x = y x x + = (x = o x =. Entonces el area de la region limitada es ( A(R = ( x + dx ((x + + dx ( + ((x + + dx ( x + dx ( + ((x + dx (x + dx ( + (x + dx ((x + dx A(R = + ( x x dx + (x x + dx + Dado que las regiones son simetricas, ( A(R = (x x + dx + (x + x + dx ( x + x dx ( x + x dx =. 7. Calcule 4 (4x + dx como límite de sumas de Riemann (Al tomar la partición que divide a [, 4] en n subintervalos de igual longitud, seleccione a x k como el extremo izquierdo de cada intervalo. f(x = 4x + es una función continua en [, 4], entonces f es integrable en [, 4]. P = {a =

8 MA- 8 x, x,..., x n, x n = b} una partición regular del intervalo [, 4] donde cada x k = + k x = + k n con k =,,..., n y x = n. Si seleccionamos x k = x k, f(x k = f(x k = 4x k +. Es decir, Asi, n k= f(x k x = n f(x k = 4( + (k n 8(k + = +. n ( ( n + 8 ( n n k= k 8 = n + 8 n(n+ 8 n n = n = n 4 n. (5n 4 Luego, lím n n k= f(x k x = lím n n 4 n = el límite existe, entonces 4 (4x + dx = lím n n f(x k x =. k= Para aportar cualquier sugerencia o comentario, por favor escriba a mdiaspar@usb.ve.