Potencias de exponente entero o fraccionario y radicales sencillos

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Eva María Carrasco Méndez
hace 7 años
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1 Potencias de exponente entero o fraccionario y radicales sencillos I. Potencias de exponente entero La potencia es una operación matemática que sirve para representar la multiplicación de un número por sí mismo un número determinado de veces. Por ejemplo: 5 4 = = 625 El número anterior se leería como 5 elevado a 4 o 5 a la cuarta, y como se puede apreciar, su resultado se calcula multiplicando 5 por sí mismo 4 veces. En este ejemplo el 5 sería la base y 4 el exponente. De una manera más general, podríamos decir que una potencia se compone de dos elementos: Base: es el número que se va a multiplicar por sí mismo un número determinado de veces. Exponente: es el número que determina cuántas veces se va a multiplicar la base por sí misma. Las potencias de exponente entero son aquellas en las que su exponente puede tomar cualquier valor que pertenezca al conjunto de los números enteros. Por tanto, para calcular potencias de exponente entero, podríamos contemplar los siguientes 4 casos: Exponente mayor que 1: x n = x x x x, n veces, siendon > 1 Exponente iguala 1: x 1 = x Exponente igual a 0: x 0 = 1 Exponente menor que 0: x n = 1, por ejemplo: x n 2 = 1 =

2 1. Propiedades de las potencias de números reales Las potencias de números reales tienen las siguientes propiedades en función de la operación a realizar y la naturaleza de sus elementos: 1. Multiplicación de potencias de la misma base: se mantiene la base y se suman los exponentes. a m a n m +n = a 2. División de potencias de la misma base: se mantiene la base y se restan sus exponentes. a m a n = a m n. Multiplicación de potencias del mismo exponente: se mantiene el exponente y se multiplican las bases. a m b m = (a b) m 4. División de potencias del mismo exponente: a m b m = ( a b )m 5. Potencia de una potencia: (a m ) n m n = a II. Potencias de exponente fraccionario Las potencias de exponente fraccionario se pueden expresar como raíces en las que el numerador del exponente pasa a ser el exponente del radicando y el denominador se convierte en el índice de la raíz. a m n n = a m Por ejemplo: = 2 2

3 1 2 = 1 = = Las potencias de exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que las de números reales. III. Radicales sencillos Las expresiones radicales son aquellas que, como su propio nombre indica, contienen un radical, o lo que es lo mismo, una raíz. Pueden ser sencillas y contener un radicando simple como puede ser 2, o más complejas. Como ya se introdujo en la sección anterior, los radicales guardan relación con las potencias, ya que los radicales pueden expresarse como potencias y viceversa. Por ejemplo, dado el siguiente radical: 49 Estamos ante la raíz cuadrada de 49. O lo que es lo mismo, cuál es el número que elevado a 2 da como resultado 49? Es decir, ambas operaciones son inversas: 49 = = 49 Las raíces tienen dos elementos fundamentales: Índice: denota a qué número debemos elevar la solución para que obtengamos como resultado el radicando. Si el índice es 2 (lo más común), hablamos de raíz cuadrada. No obstante, también nos podemos encontrar raíces cúbicas (índice ), cuartas (índice 4), quintas (índice 5), y así sucesivamente. Radicando: se refiere al número sobre el que se va a realizar la raíz. Para dar solución a una raíz debemos realizar una factorización. Una factorización consiste en determinar el número que multiplicado por sí mismo un número de veces igual al índice de la raíz nos dé como resultado el radicando. Por ejemplo: 27

4 Debemos encontrar el número que multiplicado por sí mismo veces dé como resultado 27. En este caso vemos que: = = Pero, qué pasa si no encontramos un número exacto que sea la solución a la raíz? En ese caso podemos intentar simplificar el resultado. Por ejemplo: 12 No hay ningún número entero que multiplicado por sí mismo dé como resultado 12, ya que =9 y 4 4=14. No obstante, sí podemos decir que: 2 2 = = = 2 2 = 2 1. Operaciones con radicales Para poder sumar y restar radicales se debe cumplir la condición de tener el mismo índice y radicando. En caso de que se den esas condiciones, la suma y resta de radicales se reduce a sumar o restar los factores que acompañan a cada radical (en caso de ausencia de éste se interpreta 1): = 2 En cambio, la siguiente operación no la podríamos realizar: En el caso de la multiplicación y la división, las restricciones son menores, ya que bastará con que el índice sea igual para que la operación se pueda realizar. Así, dado el último ejemplo para el que no se podía calcular la suma, sí podríamos en cambio multiplicar de la siguiente manera: = =

5 15 5 = 15/5 = TEST 1. Qué operación matemática representa la multiplicación de un número por sí mismo varias veces? a. Potencia. b. División. c. Ecuación. d. Raíz cuadrada. 2. En la potencia 4, qué nombre recibe cada uno de los términos? a. 4 es el radical y el radicando. b. 4 es el dividendo y el divisor. c. 4 es el exponente y la base. d. 4 es la base y el exponente.. Señala el resultado correcto de la potencia 2? a. 6 b. c. 9 d Calcula el resultado de la siguiente división de potencias: a. No se puede calcular b. 25 c. 125 d Cuál es el resultado de la siguiente operación? /2 a. 16 b. 4 c. 256 d. 1/2 6. Cuál es el resultado de la siguiente operación? (5 2 ) 5

6 a. 5 b. 25 c. 625 d Calcula el resultado de la siguiente operación: a. 2 b. 6 c. 2 d Cuál es la raíz cuadrada de 24? a. 11 b. 112 c. 19 d Cuál es el resultado de la siguiente operación? a. No se puede calcular b. 0 c. 1 d Calcula el resultado de la siguiente multiplicación de radicales: a b c d Respuestas: 1 a/2 d/ c/4 c/5 b/6 d/7 c/8 d/9 b/10 a

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