Serie 4. Dinámica de Procesos

Transcripción

1 Sri 4 Dinámica d Proco

2 unción d ranfrncia S dfin como G Y / X prna un modlo normalizado d un proco, dond Y la variabl d alida y X una d la nrada. Y and X án xprada como variabl dviación. La forma d la función d ranfrncia rprna l comporamino dinámico dl proco. X POCESO G Y / X Y

3 Pao para allar la G Planar l balanc corrpondin Enrada Salida± Gnración Acumulación Ecuación difrncial ED

4 Ecuación difrncial ED Sí Linal? No Linalizar Ecuación difrncial linal

5 Linalizar con xpanión n ri d aylor Si la cuación difrncial no linal, ay qu linalizar lo érmino no linal d la mima por jmplo, xpa, a, a*b, b /. y x y dy x x x dx x x... Ea xprión prov una aproximación linal d la función yx alrddor d xx. Cuano má crcano a x a x, má xaca rá la aproximación. Cuano mno linal a la cuación original, mno xaca rá la aproximación.

6 Ecuación difrncial linal ar balanc n ado acionario Ecuación difrncial Sí linal n No variabl dviación Aplicar ranformada d Laplac Ecuación algbraica n Y f X, Z, W,

7 Ecuación algbraica n Y f X, Z, W, Aplicar principio d uprpoición Ecuación Sí algbraica Y No f X ordnar unción d ranfrncia G Y / X

8 unción d ranfrncia G Y / X Aplicar cambio n X y aniranformar Sípua mporal No y Aplicar VI Aplicar V y y

9 orma dl Valor inal [ f ] lim [ ] lim Prmi uar la ranformada d Laplac d una función para drminar l valor final d ado acionario d a función.

10 orma dl Valor Inicial [ f ] lim [ ] lim Prmi uar la ranformada d Laplac d una función para drminar l valor inicial d a función.

11 pua Dinámica G a A Y a b c B b c C d a p y A B in C ω d d Sindo a, b, c y d, conan poiiva, la función d ranfrncia mura rpua d caída xponncial, ocilaoria y crcimino xponncial, rpcivamn.

12 Polo n l plano compljo aíc érmino para > a,b 3,b 3 4 a 4,b 4, 3, 3 a a ± co b nb a ± cob 3 ± 4 nb 3 3 -a, 6, 5 a 5, 4, co b 4 6 nb 4 a ± 4 a a,-b 3,-b 3 4 a 4,-b 4 a i y b i on conan poiiva. i on conan arbiraria y pudn drminar por xpanión n fraccion impl.

13 aíc y rpua al ngaiva Caída xponncial Complja conjugada con par ral ngaiva Sinuoid Amoriguada Complja conjugada con par ral poiiva Sinuoid crcin inabl

14 Comporamino Inabl Si la alida d un proco crc ilimiadamn para una nrada acoada, l proco inabl. Si la par ral d cualquir polo d una función d ranfrncia poiiva, l proco inabl. Si algún polo á localizado n l plano drco, l proco inabl.

15 Ejmplo d d M θ θ θ θ Balanc Ec. dif. Linalización θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ d d M / / d d d d θ θ θ θ θ θ θ Mzcla d do corrin con cp. Nivl conan. Ө v. Ө? Variabl dviación ar BEE. ED linalizada n variabl dviación.

16 Aplicar ranformada d Laplac para obnr una cuación algbraica f,. θ θ θ [ M ] Uar principio d uprpoición y rordnar para allar la función d ranfrncia. Drminar l ordn dl ima. G θ θ M Ganancia alida nrada Τ Conan d impo Vlocidad d rpua C Capaciancia Τ C incia dfurza impulora dflujo

17 Concpo d rincia Difrncia d poncial - incia Innidad d / d dv / di Alura Difrncia d poncial urza impulora rincia Caudal innidad d corrin

18 cribindo l balanc ando l balanc n.. y ranformando G Sima d primr ordn d A d A f d d d b d b b d A d A

19 Sima capaciivo puro A d d f A A Aplicando l principio d uprpoición, quda: G A G A

20 ardo puro f f L G L

21 Sima d primr ordn n ri a Sima no inracuan Balanc A d A d b A Balanc d A d b

22 d d Linalizando, quda: d d b b b b b b

23 d d A Balanc linalizado, xprado n variabl dviación - ranformada d Laplac d d A A unción d ranfrncia A G

24 Balanc linalizado, xprado n Variabl dviación ranformada d Laplac A unción d ranfrncia A G d d A - d d A

25 unción d ranfrncia dl ima d gundo ordn A A A A G A A G G G

26 b Sima inracuan Balanc Balanc d A d d A d b b

27 d d d d Linalizar idm cao a b b b b

28 d d A Balanc linalizado, xprado n variabl dviación - ranformada d Laplac d d A A # A

29 Balanc linalizado, xprado n Variabl dviación ranformada d Laplac d d A - d d A * A A

30 Eliminando d * y #, quda: A A A A A τ τ τ τ τ τ Son olamn la olución mamáica. No inn nido fíico. llaman conan d impo fciva. τ τ y

31 Lo ima d gundo ordn cribn gnéricamn n función d la frcuncia naural y l facor d amoriguamino G ξ ω ω n n ξ> ξ ξ< aíc ral y diina aíc ral igual aíc complja conjugada

32 ξ ω n ω n n ξ ω ω n ξ Como la mdia ariméica impr mayor qu la mdia gomérica, l facor d amoriguamino n ima d gundo ordn formado por do ima d primr ordn n ri rá impr mayor qu.

33 Ejmplo: Manómro n U D Diámro d la columna P Prión mayor P Prión mnor L Longiud d la columna d líquido H Nivl por ncima d la lína d quilibrio Sima d gundo ordn Balanc macrocópico d furza: Inrcial Exrior Vicoa - Hidroáica d ma ρla d P A P P A d A d ρag 3Lµ A D d d para flujo laminar

34 d d gd L d d g L g P g d d D L d d L P Ag d d A D L A P d d LA ρ µ ρ ρ µ ρ ρ µ ρ Sima d gundo ordn ranformando, quda: 6 gd L g L g P n ω n ξ ω ρ µ ρ

35 Sobrvalor y oro parámro / SV SV Sobrvalor máximo ovroo ME impo d máxima lvación E impo d lvación vz qu llga al valor final η lación d dcaimino P πξ ME ω n π ξ SV M ξ SVn η SV n πξ ξ E ME

36 pua d ima Τ Τ X Y G Τ X Y G Τ X y Τ Τ y A X Y G X A y Τ X Y G Τ Τ Τ y Τ X Y G Τ Τ y

37 Idnificación d ima Lo ima ral pudn claificar n r grand grupo:.- E rolubl analíicamn y pudn calcular lo parámro. Por lo ano, conoc l comporamino dinámico..- E rolubl analíicamn, pro no pudn calcular lo parámro. Hay qu rcurrir a la xprincia para allarlo. 3.- No rolubl analíicamn ó rolubl con olución complja. S oma l ima como caja ngra y upon un modlo. Vamo a analizar ima como lo dl grupo.

38 Sima d primr ordn G Y X Τ Ecalón Τ y X Si, y y.63* X y X 63.% X

39 Sima d primr ordn y X Τ X Y G X x y Τ X y Ecalón Drivada n l orign

40 Sima d primr ordn. rca cuya pndin obin una, v. ln X y Graficando Τ X Y G X y ln Τ X y Ecalón Eliminar xponncial

41 Sima d primr ordn G Y X Τ ln [ y ] Impulo X ln X Τ y Τ Si, y y.368* X,,8,6 y,4.368,,,4,6,8,,4,6,8,,4,6,8 3

42 Sima d primr ordn G Y X Τ ampa y Τ a Τ x y a a Τ Τ El rror dinámico la difrncia nr la rpua, cuando xinguió la par xponncial., x,8,6 y,4 Error dinámico x y a a Τ x, y,,,9,8,7,36,45,55,64,73,8,9,

43 Sima d primr ordn con rardo puro y y 63 G L y.63 y f 63 y y u f f y u L

44 Sima d gundo ordn G Y X ω ξ ω n n ω n rcuncia naural ξ acor d amoriguamino ξ > ξ Sgundo ordn obramoriguado. aíc ral y diina. Sgundo ordn cíicamn amoriguado. aíc ral igual En ambo cao, la función d ranfrncia dl ima pud cribir como do ima d primr ordn n ri, inracuan ó no inracuan. G Y X Τ Τ ω n ΤΤ ξ Τ ω n Τ ξ < Sgundo ordn ubamoriguado. aíc complja conjugada

45 pua d ima d gundo ordn ubamoriguado An alo calón ξ < ξ < ξ < ξ. ξ. ξ.4 ξ ξ.4.7

46 y Obnción d parámro A y u ω P f f y u n ω ω ξ P π ω ξ u Valor inicial d nrada u f Valor final d nrada y Valor inicial d alida y f Valor final d alida A A Ampliud d pico A n Ampliud d pico n ω impo nr do pico ucivo ω P rcuncia propia rcuncia con qu ocila l ima. 4π ln A n / A ln A n n / A n

47 Obnción d parámro y SV Sobrvalor SV Sobrvalor P impo nr do pico ucivo η lación d dcaimino A SV 3 P ω n π P ξ SV η SV 3 ξ πξ ξ 4π SV ln SV SV ln SV

48 pua d ima d gundo ordn obramoriguado An alo calón > ξ ξ. ξ ξ > ξ 5

49 Méodo d la curva complmnaria * Τ Τ > X y Aplicabl a ima d gundo ordn obramoriguado, dond conoc la rpua dl ima oal an un alo calón. La xprión d la mima : Prndmo allar lo valor d amba conan d impo. Eablcmo la condición d qu aprciablmn mayor qu. A mdida qu l impo va aumnando, l gundo xponncial dcrc má rápido. Habrá un impo dd l cual nga: * * * * * * * Τ Τ Τ Τ X y X y

50 Méodo d la curva complmnaria * ln * * * X y X y Τ Τ prnando gráficamn, obndrá una rca qu rá ainóica a la curva d la función oal para impo grand. El puno dond la rca cora al j d ordnada rá, Y. En l cao paricular d, l valor d la ordnada rá.368y. Eo prmiirá obnr.

51 Méodo d la curva complmnaria La difrncia nr la rca y la curva d la función oal, rá: d Τ * prnando n l mimo gráfico d v., obndrá una rca. La coordnada dl puno para, rán,y. En l cao paricular d l valor d la ordnada rá.368y. Eo prmiirá obnr. E méodo pud uilizar para ima d ordn uprior.

52 Méodo d la curva complmnaria y ln,8 * X,6 Y Y,4,.368 Y,8,6,4.368 Y, Difrncia Aínoa unción oal

53 Méodo d Harrio Aplica a ima obramoriguado o críicamn amoriguado. G Aplicando un calón d magniud A y graficando y/a v. /, obrvó qu n oda la curva alcanzaba l 73% dl cambio n la alida para.3. O a, qu oda la curva coraban n un puno qu nía coordnada.3,.73. Lugo, drminó qu la curva aban má parada nr í o, prmiían mjor aprciación cuando /.5. Harrio ralizó un gráfico normalizado d y/a v. / para un valor d /.5.

54 Méodo d Harrio y y u f f y u u Valor inicial d nrada u f Valor final d nrada 73 y.6 Valor inicial d alida y f Valor final d alida y Valor d alida a impo impo n qu aparc l calón 73 impo n qu la alida alcanza l 73%

55 Méodo d Harrio y A.73 y A y y impo

56 Méodo d Harrio y A.5

57 Méodo d Harrio El procdimino coni n lo iguin: D la rpua mporal dl ima, obin gráfica o analíicamn, l impo para l cual la rpua l 73% dl cambio n la alida. D aí obinn 73 y. y y / A y

58 Méodo d Harrio S calcula l impo.5. D la rpua mporal l l valor d alida y.5 y calcula y.5 / A. y y / A y.5 y.5 / A 73.73

59 Méodo d Harrio Con l valor d y.5 / A nra al gráfico normalizado d Harrio y obin /. Como ya conoc, pudn obnr lo valor d y. Si la ordnada dl gráfico normalizado d Harrio, y.5 / A, rula mayor a.39 ó mnor a.6, ignifica qu la rpua no corrpond a un ima d gundo ordn obramoriguado, pudindo r probablmn d gundo ordn ubamoriguado, ó d ordn uprior.