La integral. 1.7 Teorema Fundamental del Cálculo I

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1 CAPÍTULO L integrl.7 Teorem Funmentl el Cálculo I Presentmos l primer prte el teorem Funmentl el Cálculo (TFC I), teorem importnte que permite clculr integrles efinis e mner irect. Aemás, este teorem revel l relción que existe entre los procesos e erivción e integrción; Isc Newton (6 77) y Gottfrie Leinitz (66 76) escurieron y pulicron e mner inepeniente este resulto, por lo que se les consier los pres funores el cálculo. Comenzremos quí por estuir lo que sucee l integrr l eriv e un función conoci. Pr otener el resulto que uscmos hremos uso el teorem el Vlor Meio pr erivs, por lo que conviene recorr su enuncio: Teorem. el Vlor Meio pr erivs. Si y F.x/ es un función continu en un intervlo Œ; y iferencile pr too punto en su interior.; /, entonces pr lgún número c Œ; : F./ F./ F.c/; o equivlentemente: F./ F./ F.c/. /: L siguiente figur reflej el resulto e este teorem:. cnek.zc.um.mx: / / 7

2 Cálculo integrl II y F./ m F.c/ F.c/ F./ Si ien el teorem el Vlor Meio no ice en one exctmente se encuentr el punto c que cumplirá l igul nterior, sí grntiz que tl punto c existe y se encuentr entro el intervlo, es ecir, c : Supongmos hor que y F.x/ es un función continu y iferencile en un intervlo Œ; y consieremos un prtición culquier c x x < x < : : : < x i < x i < : : : < x n < x n el intervlo Œ;. Entonces poemos escriir, usno un sum telescópic: F./ F./ F.x n / F.x / F.x n / F.x n / C F.x n / : : : F.x / C F.x / F.x / n F.x i / F.x i /: i Como F.x/ es continu y iferencile en c suintervlo Œx i ; x i, el teorem el Vlor Meio grntiz que existe en icho suintervlo un xi tl que e moo que F./ F./ F.x i / F.x i / F.x i /.x i x i /; n ŒF.x i / F.x i / i n F.xi /.x i x i / est últim es un sum e Riemnn que, l tomr el límite sore prticiones que cumpln i n! & x i! ; converge l integrl n F.xi /x ii (.) i F.x/x: o que el extremo izquiero e ls igules (.) no epene e l prtición (o e n), concluimos: F./ F./ F.x/x: Result conveniente reescriir el resulto nterior como sigue: F.x/x F./ F./ F.x/ Pr referencis futurs escriimos continución el enuncio el teorem Funmentl el Cálculo. Teorem Funmentl el Cálculo, primer prte (TFC I) Se l función f.x/ continu en el intervlo Œ;. Si F.x/ es un función efini y iferencile en Œ; tl que F.x/ f.x/; :

3 .7 Teorem Funmentl el Cálculo I entonces f.x/ x F.x/ F./ F./: (.) A l función F.x/ se le enomin primitiv o ntieriv e f.x/, por l relción que gur con l función el integrno. Ejemplo.7. emostrr que ls funciones F.x/ x C & F.x/ x 5 son primitivs e f.x/ x; Z emplerls pr clculr f.x/ x. Pr compror, solo tenemos que erivr: x F.x/ x.x C / x f.x/ Oserve que l iferenci entre F.x/ & F.x/ es un constnte: & x F.x/ x.x 5/ x f.x/: Ahor, l integrl pei es, usno F.x/: f.x/ x F.x/ F.x/ F.x/.x C /.x 5/ 6:.x C / Otenemos el mismo resulto usno F.x/: f.x/ x F.x/.x 5/ Œ./ C Œ./ C Œ C Œ C : Œ./ 5 Œ./ 5 Œ 5 Œ 5 5 C 5 : L utili el TFC I estri en que con su yu poemos evlur l integrl efini e culquier función pr l cul conozcmos (o pomos encontrr) un primitiv. El siguiente resulto ee tenerse en cuent: Si F.x/ y si G.x/ son primitivs e f.x/, entonces F.x/ G.x/ C. Como F f.x/ y G f.x/, l función h.x/ F.x/ G.x/ cumple: h.x/ F.x/ G.x/ f.x/ f.x/ ) h.x/ C ) F.x/ G.x/ C ) ) F.x/ G.x/ C C: Tos ls fórmuls e iferencición nos pueen servir pr encontrr ichs primitivs y evlur integrles como se ve en los siguientes ejemplos. Z Ejemplo.7. Sieno que F.x/ x 8x C 5 ) F.x/ 6x 8, clculr.6x 8/ x..6x 8/ x F.x/ x F.x/ F./ F. / Œ./ 8./ C 5 Œ. / 8. / C 5 Œ 6 C 5 Œ7 C C 5 55:

4 Cálculo integrl II Ejemplo.7. L eriv e F.x/ x x es F.x/.x /x.x / x x C ;.x /.x / Z 6 x x C clculr x..x / 6 x x C.x / x F.x/ x F.x/ 6 6 F.6/ 9 F./ 5 8 : Vle l pen clrr que el integrno f.x/ x x C.x / es un función no cot en x, sí que no poemos plicr el TFC I en un intervlo que conteng x. Se ee verificr, l plicr el TFC-I, que el integrno se un función continu en too el intervlo e integrción pr evitr resultos contrictorios, como se muestr en el siguiente ejemplo. Ejemplo.7. L función F.x/ x. x/ es primitiv e F.x/. x/. /. x/ ; Z clculr. x/ x. Si plicmos el TFC I sin poner tención ls hipótesis el teorem, otenemos:. x/ x x : El resulto nterior es incorrecto. Vemos por qué. L función el integrno f.x/ gráfic siguiente: y tiene l. x/ y. x/ x Si interpretmos l integrl como un áre, el resulto que clculmos nos ice que el áre jo l curv sore el eje x entre x & x es, cuno en reli o ien no está efini, o ien es infinit. L explicción e est contricción es que el integrno es un función con un iscontinui e tipo infinito en x, vlor que que entro el intervlo e integrción. En este cso no es posile plicr el TFC I.

5 .7 Teorem Funmentl el Cálculo I 5 Z 5 Ejemplo.7.5 Clculr.x x C / x. L función F.x/ x x C x es un primitiv el integrno, pues F.x/ x x C, por lo tnto: 5.x x C / x.x x C x/ C 5/. C /.5 5 C 5/.8 C / : A iferenci e los ejemplos nteriores, en este último se pie clculr un integrl sin hcer referenci previ un función primitiv; est se otuvo sánonos en conocimientos previos sore erivs, ser x x x I x x x & x x ; junto con l conoci propie e que l eriv e un sum e funciones es l sum e ls erivs. Este tipo e rzonmiento es el que usremos en lo sucesivo pr clculr integrles; uscremos en c cso un primitiv, usno iferentes meios nuestro lcnce y terminremos evluno F.x/. Pr encontrr l función primitiv, necesitmos esrrollr ciert hili, l cul se consigue prtieno e un conocimiento completo e ls fórmuls e erivción uno un sistemtizción e técnics que se presentrán en ls secciones y cpítulos siguientes. Por el momento cerrmos est sección presentno os resultos elementles que nos permitirán integrr por lo menos culquier función polinomil. Integrción e funciones potenci Si f.x/ x k con k primitiv e f.x/. Al erivr vemos: F.x/ x y si f.x/ es continu en el intervlo Œ;, entonces F.x/ xkc es un k C ( x kc ) k C k C x xkc k C.k C /xk x k : En consecuenci, x k x xkc k C kc k C kc I con k : (.) Oserve que est fórmul es váli pr too exponente k (ún cuno k se rcionl, negtivo o irrcionl). L únic conición es que f.x/ x k se continu en too el intervlo Œ;. Vemos lgunos ejemplos: Ejemplo.7.6 Ls siguientes integrles se evlún por plicción irect e l integrción e funciones potenci:.. Z 7 x x x Z x x x ( ). / :5. 5

6 6 Cálculo integrl II.. 5. Z 5 x x x Z Z x p x xp C p C x x xc C 5 ( ) 5. p 5 C p /. p C p C p p C p. C C C C. Ejemplo.7.7 Cuno el exponente k en f.x/ x k se negtivo, es preciso cuir que el intervlo e integrción no conteng, one est función es no cot. Así por ejemplo ls integrles. y. siguientes son corrects, pero l. no lo es: x x x. / ( ) ( ) ( ) 9 ( ) : x x x ( 5 x x x : 5 9 ( ).5 9 / p p9 5 ) ( ) / / ( 5 ( ) 5 : ) ( C ) Este último resulto es incorrecto. Puee el lector explicr por qué? Por l propie e lineli enunci en l sección nterior, pr funciones integrles f.x/; g.x/ sore el intervlo Œ; y constntes r; s culesquier: Por ejemplo: Œrf.x/ C sg.x/ x r f.x/ x C s g.x/ x:.x x C 7/ x x x x x C 7 x x C 7x. / 5. / C 7. / 7 5 C 7 : Es posile integrr un polinomio sore culquier intervlo, o ien un sum e potencis (istints e ) sore un intervlo en one se continu usno l fórmul: ( ).rx k C sx`/ x r xkc x`c k C C s ` C : 6 x

7 .7 Teorem Funmentl el Cálculo I 7 Por ejemplo: 9.x x / x x [ 9 x.9/ 9 ] [ ]./ 5 6 9: Ejercicios.7. TFC I. Soluciones en l págin 8 Clcule ls integrles siguientes utilizno l lineli y l integrl e funciones potencis:. 5. p x C 5x / x. 6. x C 7 x C x.. 8 x x p x. x 7. x p x p x...x x / x. 8. x 9 p x C x.. x x x. 9. p x.x x C / x x x 8 x x.. x x C p x.x / x. Clcule el áre compreni entre el eje x y l gráfic e l función entre los límites inicos:. f.x/ x, entre x & x 8.. g.x/ x 5 x, entre x & x.. h.x/ x C x, entre x & x.. ˆ.x/ x n con n un número nturl impr, entre x & x. Compruee ls fórmuls e erivción propuests y complete l fórmul e integrción; inique ls coniciones necesris sore el intervlo Œ;, pr su vliez x x ( x ) C x Z x x x ; clcule x. x.x /.x / ( x x ) x C x Z x x C x x ; clcule x. x C.x C /.x C /.x C x C / x x xp x C x C Z p x C ; clcule Z x C.x C x C / ; clcule x C p x C x. x C.x C x C / x. 7

8 8 Cálculo integrl II Ejercicios.7. TFC I. Pregunts, págin 7 Evlúe ls integrles solicits utilizno l lineli y l integrl e funciones potencis:. 8:6.. 8: ». / C : :6. 9. :88.. :7. Clcule el áre compreni entre el eje x y l gráfic e l función entre los límites inicos:. 8:6.... : Compruee ls fórmuls e erivción propuests y complete l fórmul e integrción, no ls coniciones necesris sore el intervlo Œ;, pr su vliez Z x x.x / x x C x one Œ;. Z x C x x.x C / x x x x ; C x Œ;. Z x C p.x C x C / x p.x C x C / one & Œ;. Z x C p x C x xp x C one Œ;. ; /. 8

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