OPCIÓN A. 1. (1 punto) Representa en la recta real el conjunto de valores reales x tales que 2 x y determínala mediante un intervalo.

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Virginia Vera Silva
hace 7 años
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1 EXAMEN: TEMAS 1 y BCT 1º 30/11/010 OPCIÓN A 1. (1 punto) Representa en la recta real el conjunto de valores reales x tales que x y determínala mediante un intervalo. En primer lugar, desarrollamos la desigualdad, será: 1 x ; x ; 3 x 4 3 ; 6 x 4 6 ; 1 3 x 3 La doble desigualdad determina el intervalo: x [ 1 3, 3 ]. (1 punto) Simplifica la expresión: n e n 1 en n! n! Desarrollamos la expresión teniendo en cuenta los números combinatorios, los factoriales y las propiedades de las potencias. Será: n n! e en n! n 1 n! =! n! en n! e n 1 n! = n!! n! e n 1 en n! n! = en n 1 = e 1 3. (1 punto) Halla el término cuya parte literal es x 4 en el desarrollo del binomio x 1 10 x. Un término cualquiera del desarrollo del binomio tiene la forma: 10 k 1 x10 k k x k x Para cumplirse la condición pedida tiene que darse: x 10 k 1 = x 10 k x k = x 10 k k 0 3 k = x = x k Es el término 5 º del desarrollo y tiene la expresión: 10 4 x 4 = 10! 6! 4! x 4 = 10 x 4 = 4 ; 0 3k = 8 ; 3k = 1 ; k = 4 4. (1 punto) Resuelve la inecuación: x 1 x 0 La expresión del numerador, x 1, es un polinomio primo de segundo grado y, por tanto, no tiene soluciones reales, es decir, no corta el eje real, en este caso, siempre es positiva. En definitiva, la inecuación no se anula nunca para valores reales. 5

2 EXAMEN RECUPERACIÓN: TEMAS 1 Y BCT 1º 18/01/011 Por tanto, pasamos a resolver la desigualdad de la inecuación: x 1 x 0 {, 5. (1 punto) Resuelve la siguiente ecuación: 3log x log x 4 = 5 Aplicando diferentes propiedades de los logaritmos y, al final, la definición, resolvemos esta ecuación. Será: 3log x log x 4 = 5 ; log x 3 log x = 5 ; log x 3 = 5 ; log x 5 = 5 x 5 = 5 ; x 5 = 1 5 de donde, x = (1 punto) Calcula el valor de k para que las raíces de la ecuación x kx 1 = 0 sean una triple de la otra. Sean, t y 3 t, las soluciones dadas. Por tanto, podemos expresar la ecuación de segundo grado como sigue: x t x 3t = 0 ; x 4t x 3t = 0 Realizando la comparación con la ecuación dada, tendremos que: 3t = 1 ; t = 4 ; t = ± k = 4t = ±8 7. ( puntos) Halla tres números sabiendo que el primero es igual a dos veces el segundo más la mitad del tercero, que la suma del segundo y el tercero es igual al primero más 1, y que, si se resta el segundo de la suma del primero con el tercero, el resultado es 5. Sean, x, y, z, el primero, el segundo y el tercero, respectivamente, de los tres números pedidos. Con la información que contiene el problema planteamos un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas que resolvemos. x = y z 5} x 4 y z = 0 } x y z = F F y z = x 1 x y z = 5 F x z y = x y z = 1 y z = z = 6 } z = 6 = 3 y = z = 1; y = 1 x = 1 y z = = 5 Los número son, 5, 1 y 3. 6

3 EXAMEN RECUPERACIÓN: TEMAS 1 Y BCT 1º 18/01/ ( puntos) La diagonal de un cubo mide exactamente 1,5 cm. Halla la superficie del cubo aproximando su diagonal por 1,5 cm. Calcula el error relativo cometido. Sean, a, la arista del cubo, D, su diagonal y S, la superficie. Tenemos que calcular la superficie del cubo, 6a, con las dos medidas, la real y la aproximada. El cociente del error absoluto de las superficies del cubo entre la superficie real, es el error relativo. Po otra parte, sabemos que la relación entre la diagonal del cubo y su arista es D = a a a = 3 a ; D = 3a Por tanto, la superficie del cubo es dos veces la diagonal del cubo al cuadrado, es decir: S = 6 a = D En consecuencia, el error relativo que se comete con la aproximación, será: E relativo = 1,5 1,5 1,5 = 1,5 1,5 1,5 = 0,

5 EXAMEN: TEMAS 1 y BCT 1º 30/11/010 OPCIÓN B 1. (1 punto) Calcula el coeficiente de x n en el producto de los binomios 1 x n x 1 n. Aplicamos las propiedades de las potencias para realizar el producto, el binomio que resulta establecemos el término que nos dará como parte literal x n. 1 x n x 1 n = [ 1 x x 1 ] n = [ x 1 ] n = x 1 n El término que buscamos tiene la expresión: n n xn n 1 n = n n x n n = n n xn. (1 punto) Racionaliza y simplifica: Coeficiente: n n! n! = = n n! n! n! 1 3 En este caso, como el denominador tiene dos raíces cuadradas tendremos que realizar la racionalización dos veces. Será: = 1 3 = 3 [ 3] [ 3] = = = = = = = (1 punto) Desarrolla la expresión x 1 x. La expresión tiene dos valores absolutos y discriminaremos con x = 1 y x = 0 que los anulan. Tendremos, por tanto, la siguiente situación: Si x 0: E x = x 1 x = 3 x 1 Si 0 x 1 : E x = x 1 x = x 1 Si x 1 : E x = x 1 x = 3 x 1 Si x = 0 : E 0 = 1 Si x = 1: E 1 = 4. (1 punto) Opera y simplifica: 1 1 x 1 1 : x 1 x = x 1 x 1 x : x 1 x x x x 1 1 : x 1 x x 1 x 1 x 1 = : x 1 x x x = x 1 x x x 1 x = x 1 x 5. (1 punto) Resuelve la ecuación: x 1 x 3 = 5 Para resolver esta ecuación con radicales, despejamos uno de ellos, siempe en positivo, y elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación. Así las veces que hagan falta hasta eliminar los signos de radical de toda la ecuación. 9

6 EXAMEN: TEMA 3 y 4 BCT 1º 1/0/011 x 1 x 3 = 5 ; x 3 = 5 x 1 ; x 3 = 5 x 1 x 3 = 5 x 1 10 x 1 ; 10 x 1 = 3 x ; 10 x 1 = 3 x 100 x 1 = 59 x 46 x ; 100 x 100 = 59 x 46 x ; x 146 x 49 = 0 x = 146± = 143 = = 6 = 3 Se comprueba, en la ecuación original, que la única solución válida es x = (1 punto) Resuelve el sistema de ecuaciones: x 4 y = 10 x 3 xy = 8} Sistema de ecuaciones de segundo grado que resolvemos por el método de sustitución. x 4 y = 10 x 3 xy = 8} y = 10 x 4 x 3 xy = 8} x 3 x 10 x 4 = 8 ; 4 x 30 x 6 x = 3 ; x 30 x 3 = 0 ; x 15 x 16 = 0 x = 15± 89 = = = 16 y = = 1 y = 10 4 = 4 = 11 = 3 7. ( puntos) Las bases de un trapecio miden 10 y 0 cm, respectivamente, y la altura, 8 cm. Calcula la altura del triángulo que resulta al prolongar los dos lados no paralelos del trapecio. En primer lugar, realizamos el gráfico de la situación, con el fin de identificar, más claramente, datos e incógnitas. Una vez realizada la prolongación de los lados no paralelos del trapecio, resulta el triángulo ECD, su altura h es la que calcularemos. Por otra parte, h = 8 h', y para calcular h' tenemos en cuenta la semejanza de los triángulos ECD y EAB. Luego, se cumple: h h' = 0 10h ; h' = 10 0 = h Y, sustituyendo en la igualdad anterior, tendremos que: h = 8 h ; h = 16 h ; h = 16 La altura del triángulo es de 16 cm. 10

7 EXAMEN: TEMA 3 y 4 BCT 1º 1/0/ ( puntos) El radio de la rueda de una bicicleta tiene una longitud comprendida entre 19 y 0 cm. Calcula los números máximo y minimo de vueltas completas que dará al recorrer una distancia de 0 km. Cada vuelta de la rueda la bicicleta recorre la longitud de la misma, y el número mínimo de vueltas se dará cuando el radio de la rueda sea de 0 cm y el máximo, cuando el radio sea de 19 cm. Pasemos a realizar los cálculos: Con radio de 0 cm: L = 0 = 40 ; Nº vueltas = Con radio de 19 cm: L = 19 = 38 ; Nº vueltas = = = 15915, = 16753, En consecuencia, las ruedas darán entre y vueltas completas. 11

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