Tema 3. Magnitudes escalares y vectoriales

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1 1 de 13 09/07/ :51 Tema 3. Magnitudes escalares y vectoriales Algunos derechos reservados por manelzaera Como sabes, una magnitud es todo aquello que se puede medir. Por ejemplo, la fuerza, el tiempo, la temperatura, la distancia, el ángulo, etc. Algunas magnitudes como la masa o el tiempo no están relacionadas con la dirección y se definen con una cantidad y una unidad de medida. Por ejemplo, la masa de un cuerpo es 3 kg y su temperatura 22ºC. A estas magnitudes las llamamos escalares. Otros ejemplos de magnitudes escalares son: el tiempo, la energía, la carga eléctrica, la masa, etc. Otras magnitudes como la velocidad o la fuerza no podemos describirlas con una cantidad y una unidad de medida sino que debemos además dar información sobre la dirección y el sentido. Por ejemplo, una persona camina a 6 km/h hacia el norte o una fuerza de 12 N actúa hacia abajo. A estas magnitudes las llamamos vectoriales y las representamos mediante vectores. Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son: el desplazamiento, la aceleración, el momento de una fuerza, etc. En este tema vamos a hablar de vectores: qué características tienen? cómo se representan? cómo se suman y restan? qué son las componentes? cómo se trabaja con vectores?...

2 2 de 13 09/07/ :51 1 Escalares y vectores Si nos dicen que un avioneta vuela durante dos horas a 300 km/h no podemos saber en qué lugar se encontrará al cabo de ese tiempo porque no sabemos la dirección en la que ha viajado. Podría encontrarse en cualquier punto de una circunferencia de 600 km de radio alrededor del punto de origen. Hay muchas magnitudes físicas, como por ejemplo la velocidad, en las que hay que especificar una dirección para describirlas completamente. Por ejemplo, si sabemos que el coche anterior se movía hacia el Norte, ya no tenemos el problema de antes. Por supuesto hay también muchas magnitudes, como la masa, que no dependen de la dirección. Así, diciendo que la masa de un cuerpo es 24 kg describimos completamente esta magnitud. Importante Las magnitudes escalares se describen con un valor y una unidad. Las magnitudes vectoriales se describen usando un valor, una unidad y una dirección. Las magnitudes vectoriales se representan a través de vectores, que tienen las siguientes características: Presentación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons

3 3 de 13 09/07/ :51 2 Coordenadas de un punto Muchos aspectos de la física tienen que ver de una u otra forma con la determinación de la posición de un objeto. Por ejemplo, para describir matemáticamente un cuerpo en movimiento necesitamos describir su posición en varios instantes. Esta descripción se logra con el uso de coordenadas, que nos permiten conocer la posición de un punto en relación con un sistema de referencia. Una dimensión Imagina un cuerpo que se mueve por una recta, es decir que realiza un movimiento en una dimensión. Para determinar su posición sólo necesitamos indicar a qué distancia del origen se encuentra. Observa en el siguiente simulador que la posición del cuerpo puede ser positiva o negativa según se encuentre a la derecha o a la izquierda del orígen respectivamente. Imagen de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons Pulsa en la imagen para ver la simulación Un punto en una recta podemos representarlo como P(x). Representa en el simulador anterior los siguientes puntos: P(3.8) P(-2.6) P(0) Dos dimensiones Si el cuerpo que queremos estudiar se mueve en dos dimensiones, necesitamos dos coordenadas para determinar su posición. En muchas ocasiones nos interesa utilizar un sistema de coordenadas cartesianas, en el que los ejes horizontal y vertical se cruzan en un punto considerado como el origen. En el caso de las coordenadas cartesianas se utiliza la notación P (x,y) es decir, las distancias a los dos ejes acompañadas de los signos (+) ó (-). Por ejemplo P (3,-5) A veces es más conveniente para describir un punto en un plano representarlo como P (r, ). En este sistema de coordenadas polares, r es la distancia desde el origen hasta el punto que tiene coordenadas cartesianas (x, y), y es el ángulo entre r y la parte positiva del eje horizontal. El sistema de coordenadas polares nos puede facilitar, por ejemplo, el estudio del movimiento de un

4 4 de 13 09/07/ :51 objeto que gira. Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons AV - Pregunta Verdadero-Falso El valor de la coordenada y de todos los puntos situados en el eje X es cero. Verdadero Falso AV - Pregunta de Elección Múltiple

5 5 de 13 09/07/ :51 P (5.65, 45º) P (3, 6º) Tres dimensiones En el caso de un cuerpo que siguiera una trayectoria de tres dimensiones, necesitaríamos tres coordenadas para determinar su posición en un instante dado. También en este caso se pueden utilizar coordenadas polares y coordenadas cartesianas. En el siguiente simulador puedes ver un sistemas de ejes cartesianos tridimensional: Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons Por lo tanto un punto en el espacio podemos representarlo mediante sus coordenadas perpendiculares como P(x,y,z).

6 6 de 13 09/07/ :51 3 Componentes de un vector Como has visto en el apartado anterior un punto puede representarse con una, dos o tres coordenadas según el sistema de referencia que estemos usando. Si trazamos un vector desde el origen de coordenadas hasta nuestro punto obtendríamos lo que se llama el vector de posición del punto. Según estuviéramos en un sistema de referencia de una, dos o tres dimensiones nuestro punto quedaría definido por una, dos o tres componentes. Lo más habitual en este curso es que estudiemos fenómenos físicos que tienen lugar en la recta o en el plano, por lo que nos vamos a centrar en el estudio de las componentes de un vector en dos dimensiones. Cualquier vector en un plano puede ser considerado como resultado de la suma de dos vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados. En el siguiente simulador puedes observar que cualquier vector puede descomponerse en sus componentes y de manera que la suma vectorial de estas dos componentes es el vector : Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons Expresión mediante vectores unitarios. Matemáticamente nos resulta más cómodo expresar los vectores situados sobre los ejes de referencia como un múltiplo de los vectores, y que son los vectores unitarios (de valor 1) en los ejes, y. De esta forma resulta muy fácil describir los vectores: El vector es un vector en el eje cuya componente x es +3. El vector es un vector en el plano con componente x = +2 y componente y = -5. El vector es un vector en el espacio con componente x = -4, componente y =

7 7 de 13 09/07/ :51 +3 y componente z = +1. En la figura están representados los vectores,,, y. Exprésalos como suma de sus componentes utilizando los vectores unitarios. Gráfico de elaboración propia

8 8 de 13 09/07/ :51 4 Módulo de un vector Recuerda que el teorema de Pitágoras establece la relación que existe entre los lados de un triángulo rectángulo. Observa que en un sistema de ejes cartesianos cualquier vector es la hipotenusa de un triángulo rectángulo en el que los catetos son sus dos componentes y por lo tanto podemos utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el módulo del vector a partir de sus componentes (las dos líneas verticales se utilizan para indicar que se trata del módulo, es decir de la longitud del vector. Utiliza el siguiente simulador moviendo el extremo del vector módulo de un vector. para observar cómo se calcula el Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons AV - Pregunta de Elección Múltiple Qué valor tiene el módulo del vector?

9 9 de 13 09/07/ :51 5 Operaciones con vectores Imagen de elaboración propia Cómo será el efecto combinado si aplicamos simultáneamente sobre un cuerpo una fuerza hacia el norte y otra hacia el este? El resultado será como si aplicásemos una sola fuerza equivalente a la suma vectorial de las dos fuerzas originales. Hay muchas operaciones que se pueden hacer con vectores, pero en este apartado vamos a aprender a sumarlos, a restarlos y a multiplicarlos por un número.

10 10 de 13 09/07/ : Suma de vectores Podemos sumar vectores de dos maneras: matemáticamente o gráficamente. Supongamos que tenemos los vectores y. Para conocer el vector suma y las componentes Y: sólo tenemos que sumar, respectivamente, las componentes X Si tenemos más de dos vectores procedemos de la misma forma. Por ejemplo vamos a sumar los vectores,, y : Para sumar vectores gráficamente utilizamos la llamada regla del paralelogramo: Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons La regla del paralelogramo consiste en trazar por el extremo de cada vector que queremos sumar una paralela al otro vector con lo que la resultante es el vector que une el origen de coordenadas con el punto de corte de las dos paralelas que hemos trazado. Observa que la regla del paralelogramo es equivalente a unir el origen de un vector con el extremo del otro. Cuando tenemos más de dos vectores para sumar gráficamente, es mejor hacer esto último. Como ves en la figura de la izquierda, si hacemos coincidir el extremo de un vector con el origen del siguiente, el vector resultante tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del último.

11 11 de 13 09/07/ :51 Imagen de elaboración propia Escribe el vector suma de los vectores, y

12 12 de 13 09/07/ : Resta de vectores Vamos a considerar los vectores y. Si queremos calcular el vector diferencia lo que hacemos es cambiar de signo el vector que queremos sustraer y luego los sumamos tal como has visto. Por ejemplo: En el siguiente simulador puedes ver cómo se hace gráficamente la resta de dos vectores: Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons Tenemos los vectores y. Calcula la diferencia de y la diferencia

13 13 de 13 09/07/ : Producto de un vector por un escalar Cuando multiplicamos un vector por un número, el resultado es otro vector con la misma dirección que el original y con un módulo igual al producto del módulo del vector original por el número. Supón que tenemos el vector. Si lo queremos multiplicar por 3, multiplicamos ambas componentes por 3: Imagen de elaboración propia Observa que ambos vectores tienen la misma dirección y que el módulo del vector es tres veces mayor que el módulo del vector. En general, si multiplicamos un vector por un escalar, nos resulta un vector que podemos expresar como: El módulo de este vector será el resultado de multiplicar el vector por el escalar : También puedes comprobar que la pendiente es la misma para los vectores y, es decir que ambos tienen la misma dirección.