TEMA 4: CONTROL POR VARIABLES Hoja de ejercicios (Entregar el 7 -problema de examen-)
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- Laura Jiménez Chávez
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1 MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE LA CALIDAD INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES TEMA 4: CONTROL POR VARIABLES Hoja de ejercicios (Entregar el 7 -problema de examen-) 1. Un proceso industrial fabrica un sensor de velocidad para un controlador electrónico para frenos ABS. Las especificaciones de dicho sensor requieren que su impedancia sea de 30 kohms ± 10 kohms. Para realizar el control estadístico de ese proceso se recogen muestras de 6 sensores cada media hora. Con los datos de un total de 30 muestras se obtiene la siguiente información: x =30.11 R =5.40 s =1.82 ŝ T =2.00 (a) Construye todos los gráficos de control que sepas. (b) Suponiendo que el proceso está bajo control, estima la capacidad con los tres estimadores de la dispersión que se tienen. (c) Utilizando el estimador ŝ T, calcula los índices de capacidad que conozcas (excepto el C pm ) ycomenta sus valores. (d) Si se produjese un cambio en la media de +3 kohms, cuánto tiempo se tardaría, por término medio, en detectarlo con el gráfico de la media basado en ŝ T? SOLUCIÓN: (a) Gráfico de control para la media: El gráfico teórico es LCS = μ +3 σ n Línea central = μ LCI = μ 3 σ (1) n donde μ se estimará con la media total x y n =6. Para estimar σ se tiene tres alternativas: s, ŝ T y R. El gráfico de control utilizando s es: s LCS = x +3 c 2 n Línea central = x s LCI = x 3 c 2 n (2) donde c 2 = Por tanto: 1.82 LCS = =32.60 Línea central = LCI = =27.54 (3)
2 El gráfico de medias, utilizando el estimador ŝ T es LCS = x +3 ŝt c 4 n Línea central = x LCI = x 3 ŝt c 4 n (4) donde c 4 = Se tiene entonces que 2.00 LCS = =32.69 Línea central = LCI = =27.54 (5) El gráfico de medias utilizando el estimador R es R LCS = x +3 d 2 n Línea central = x R LCI = x 3 d 2 n (6) donde d 2 = Por tanto, 5.40 LCS = =32.72 Línea central = LCI = =27.50 (7) El gráfico de control para la dispersión utilizando ŝ T es: Como B 3 =0.030 y B 4 =1.970, se tiene que LCS = B 4 ŝ T Línea central = ŝ T LCI = B 3 ŝ T LCS = = 3.94 Línea central = 2.00 LCI = = 0.06 El gráfico de control para la dispersión utilizando R es Como D 3 =0,D 4 =2.004, se tiene LCS = D 4 R Línea central = R LCI = D 3 R LCS = = Línea central = 5.40 LCI = 0
3 (b) La capacidad es 6σ. Si se utiliza s como estimador de σ se tiene que ˆσ 1 = s = 1.82 =2.10 Capacidad=12.6 c Con el estimador ŝ T resulta ˆσ 2 = ŝt = 2.00 =2.10 Capacidad=12.6 c y con el rango: ˆσ 3 = R = 5.40 =2.13 Capacidad=12.8 d (c) Indice de capacidad C p : C p = LTS-LTI = 20 6ˆσ 12.6 =1.58 Es mayor que 1, luego el proceso es capaz. Además es mayor que 1.33, por lo que el proceso tiene un nivel de calidad aceptable. Indices de capacidad unilaterales. Si utilizamos la distancia de cada extremo a x obtendremos una idea de lo centrado que está el proceso en cada lado comparado con la distancia 3σ. Puede interpretarse como el índice de capacidad a cada lado de x. x LTI C pl = = =1.60, 3ˆσ 6.3 C pu = LTS- x = = ˆσ 6.3 Ambos coeficientes son similares. El C pl es algo superior, indicando que las especificaciones inferiores se están cumpliendo con más holgura que las superiores. Si se usa el valor nominal μ N =30obtendremos un indice de capacidad a cada lado del nominal. Si el proceso está muy descentrado, este índice será menos informativo que si se calculase con x. C pl = μ N LTI = =1.58, 3ˆσ 6.3 C pu = LTS-μ N = = ˆσ 6.3 Como el nominal está en el centro de las tolerancias se obtiene de nuevo el índice de capacidad C p Indice de capacidad unilateral mínimo C pk. Dadas las características del proceso, es más interesante utilizar en los índices unilaterales el valor x. Por tanto C pk =min(c pl,c pu )=1.57. Indice de capacidad recíproco: C r = 1 C p =0.63 Como es menor que 1 es capaz. Además, como es menor que 0.75 puede considerarse que el nivel de calidad es bastante satisfactorio. Coeficiente K: x μ N K = 1 = = (LTS-LTI) 10 El proceso está bastante centrado. El sesgo es muy pequeño y hacia el límite de tolerancias superior. El proceso está desplazado hacia el límite de tolerancia superior una distancia equivalente al 1.1% de la distancia que hay entre el nominal y el LTS (esta interpretación se hace al coincidir el nominal con el centro del intervalo de tolerancias).
4 Para calcular el valor de n del coeficiente n-sigma se ha de expresar el intervalo de tolerancias en función de la estimación de σ. Por tanto se tiene que LTS-LTI =20=2n 2.10 n =4.76 Podemos decir, entonces que, aproximadamente, la calidad del proceso tiene un nivel 5-sigma. El nivel es bueno, pero no llega al mítico six-sigma. (d) Con los datos que se poseen, y suponiendo normalidad, la media muestral sigue la distribución x N µ30.11, N 30.11, Si se produce un cambio en la media de +3 ohms, las nuevas medias muestrales (ȳ) tiene la distribución (estimada) ȳ N(33.11, ) mientras que los límites de control siguen siendo LCS=32.69, LCI= Se detectará el cambio si la media muestral se sale de los límites. La probabilidad de que eso ocurra es P (fuera de límites) =1 P (dentro de límites) =1 P (27.54 ȳ 32.69) µ =1 P z =1 P ( 6.50 z 0.49) = = Luego la probabilidad de detectar el cambio en una muestra es p = El número medio de muestras para detectar el cambio será: Número medio de muestras= 1 p =1.45 Como se recoge una muestra cada media hora, se tardará en detectar el desajuste una media de 43 minutos 2. Para controlar el proceso de fabricación de piezas metálicas se establece un control para la longitud mediante gráficos de control de medias y rangos. Se ha comprobado que la variable tiene una distribución normal. Para diseñar los gráficos de control se han tomado 30 muestras de tamaño n =6con los siguientes resultados: 30X i=1 x i = 6000; 30X i=1 R i = 150. donde x i y R i son la media y el rango, respectivamente, de cada muestra. Se pide: (a) Calcular los límites de control de los gráficos de media y rango. (b) Si ambos gráficos indican que el proceso está bajo control y las especificaciones o límites de tolerancia para la longitud son de 200±5; determinar el índice de capacidad C p del proceso y el porcentaje de piezas defectuosas que fabricará en estado de control. (c) Si se desajusta el proceso y fabrica con media igual a 199 cuál es la probabilidad de detectar el cambio con el diagrama de la media en la muestra siguiente? (Tomar como varianza del proceso, la estimada en los apartados anteriores). (d) Cuántas muestras habrá que tomar, por término medio, para detectar este desajuste?
5 SOLUCIÓN: (a) El gráfico para la media es: R x i x ± 3, d 2 n y para el rango: (D 3 R, D4 R), donde los valores d 2,D 3 y D 4 se obtienen de las tablas.la media total y el rango medio son x = = 200; R = =5. Como d 2 =2.534 setieneque,paralamedia: LCS = 202.4, LCI = Para el rango se tiene que D 3 =0y D 4 = Por tanto R i (0, 10.02) (b) El índice de capacidad es C p = LT 2 LT 1, 6ˆσ donde LT 2 = 205 ylt 1 = 195. Para estimar σ se utulizará que ˆσ = R = 5 d = Operando: C p = Si se denomina X a la variable aleatoria resistencia a la tensión de la pieza, y tomando ˆσ = y μ = 200 se tiene que, cuando el proceso está bajo control El porcentaje de piezas defectuosas será: X N(200, ). P (defectuosas) = 1 P (195 < X < 205) =1 P ( 2.53 <z<2.53) = =1.14%. (c) Lo que se pide es pero utilizando que Estandarizando: p = P (197.6 > x i > 202.4) = 1 P (197.6 < x i < 202.4), " µ # x i N 199,. 6 µ p =1 P 1.97/ <z< / = = = 4.09%
6 (d) Si la probabilidad de detectar el desajuste es de p =0.0409, serán necesarias, por término medio: número medio de muestras para detectar el desajuste= 1 p = En una fundición se efectúa un control de procesos por variables haciendo mediciones de la dureza de lingotes X. SesuponequeX se distribuye normalmente con media μ y desviación típica σ, ambas conocidas. Si se toman muestras de tamaño n, se pide: (a) Calcular cuántos lingotes (n) debemos emplear si queremos detectar cambios en la dureza media de magnitud +2σ, con probabilidad 0.8, manteniéndose la varianza constante. (b) Si las muestras se obtienen cada media hora, calcular el tamaño muestral mínimo necesario para detectar el anterior desajuste en menos de una hora, por término medio. SOLUCIÓN: (a) Hay que calcular n tal que P (fuera de los límites)=1 P (dentro de los límites) =0.8. Por tanto P (μ 3σ/ n x μ +3σ/ n μ 0 = μ +2σ) =0.2. µ (μ 3σ/ n) (μ +2σ) P σ/ z (μ +3σ/ n) (μ +2σ) n σ/ n = P 3 2 n z 3 2 n P z 3 2 n =0.2 El valor z 0 tal que P (z z 0 )=0.2 es Por tanto 3 2 n = 0.84 n>3.68 = n =4 (b) Si el tiempo medio hasta la detección ha de ser menos de una hora, se tendrá que detectar el desajuste, por término medio, en menos de dos muestras. Por tanto, el suceso que se ha de detectar ha de tener una probabilidad mínima de p =0.5. El problema es similar al del apartado anterior con p =0.5 en lugar de p =0.8. Si se detecta el desajuste cuando la media muestral está fuera de los límites de control, el problema consiste en encontrar n tal que P (μ 3σ/ n x μ +3σ/ n μ 0 = μ +2σ) =0.5 P 3 2 n z 3 2 n P z 3 2 n =0.5 El valor z 0 tal que P (z z 0 )=0.5 es 0. Por tanto 3 2 n =0 n>2.25 = n =3. 4. Un proceso produce un componente eléctrico cuya principal característica viene medida por la variable x. Cuando el proceso se encuentra bajo control, la variable x sigue una distribución normal de media 200 y varianza 25. Un ingeniero (ingeniero A) de la empresa propone controlar la calidad del proceso evaluando el valor de cada componente y comparándolo (cada uno) con un intervalo que contenga al 99,7% de la población. Si algún valor se encuentra fuera del intervalo se interpretará como señal de que el proceso está fuera de control. Se pide: (a) Construir un intervalo de confianza que contenga al 99.7% de los componentes que se fabrican. SOLUCION: El intervalo corresponderá a 3 desviaciones típicas. Sea x i el valor de un componente genérico. Entonces x i 200 ± 3 25 = 200 ± 15 x i (185, 215)
7 5. En la misma empresa del problema anterior, otro ingeniero (ingeniero B) propone controlar la calidad promediando lo valores de x obtenidos en muestras de 25 componentes, en lugar de hacerlo con las observaciones individuales. Sea x a la media muestral de estas 25 medidas. Se considerará que el proceso está fuera de control si el valor de x está fuera de un intervalo de confianza que contenga al 99.7% de los valores posibles de x. (a) Construir un intervalo de confianza que contenga el 99.7% de estas medias cuando el proceso está bajo control. (b) Por qué este intervalo es diferente al del problema 4? SOLUCION: (a) La media muestral tiene distribución x N Un intervalo de tres desviaciones típicas es µ 200, 25 = N (200, 1). 25 x 200 ± 3 1 x (197; 203). (b) Es más estrecho pues cuanto más datos se agrupen la media se estima mejor 6.Elprocesomencionadoenelproblema4sedesajustaypasaaproducircomponentescuyavalordex tiene una media de 195 y la misma varianza. Después de producir 25 componentes, los ingenieros A y B comprueban si el proceso ha estado bajo control. Con el fin de comparar la efectividad de cada procedimiento se pide lo siguiente. (a) Cuál es la probabilidad de detectar el desajuste si comprobamos los componentes uno a uno? Es decir, que algun componente de los 25 se encuentre fuera del intervalo construido en el ejercicio 4 (método del ingeniero A) (b) Cuál es la probabilidad de detectar el desajuste utilizando la media de los 25 componentes?. Es decir, que la media muestral se encuentre fuera del intervalo del ejercicio 5 SOLUCION: (a) La variable x tiene ahora la siguiente distribución x i N (195, 25). La probabilidad de que se encuentre fuera del intervalo (185;215) es P (x i < 185 x i N (195, 25)) + P (x >215 x i N (195, 25)) = Y la probabilidad de que se encuentre dentro será, entonces, P (185 <x i < 213) = =
8 Si examinan los 25 componentes uno a uno, la probabilidad de detectar el desajuste será igual a la probabilidad de que alguno de ellos esté fuera del intervalo. Entonces P (detectar desajuste) = P (algun componente fuera del intervalo) =1 P (ninguno fuera del intervalo) =1 P (todos dentro del intervalo) =1 {P (185 <x i < 213)} 25 =0.44 Luego el ingeniero A detecta que se está bajo control con probabilidad p A =0.44. (b) La nueva media muestral seguirá la distribución µ x N 195, 25 = N(195, 1). 25 La probabilidad de que esta variable aleatoria esté fuera del intervalo (197;203) es igual a P ( x<197) + P ( x>203) = = Por tanto, el ingeniero B detecta la desviación con una probabilidad p B =0.977 que es muchísimo más alta que haciendo el análisis individual. Este ejercicio demuestra que es mucho más eficaz basar la detección de un desajuste utilizando medias que valores individuales. A mayor tamaño muestral, mayor será la probabilidad de detectar el desajuste y más eficaz será el control estadístico.
9 Nombre(s): 7. En un proceso de producción que se encuentra en estado de control se toman muestras de n =4artículos cada 10 minutos para construir con ellas gráficos de control. La variable que interesa en cada artículo es su peso x, que sigue una distribución normal x N(μ, σ 2 ). En cada muestra se anota el valor medio de las cuatro mediciones x i y el rango R i. Después de inspeccionar 24 muestras se tiene que la media de todas las mediciones es = x = y la media de los 24 rangos es R =4.82. Sepide (a) Estimar la media μ y la desviación típica σ de la distribución de x (1 punto) μ = ; σ = ; (b) Estimar la capacidad del proceso (1 punto) Capacidad= (c) Obtener el gráfico para visualizar la evolución de las medias (1 punto) LCS= ; l.c.: ; LCI= ; (d) Obtener el gráfico para visualizar la evolución de la dispersión (1 punto) LCS= ; l.c.: ; LCI= ; (e) Si se produjese un aumento del peso medio de 3 unidades Cuál es la probabilidad de detectarlo en la siguiente muestra? (1 punto) Probabilidad de detectarlo= (f) Cuánto tiempo se tardará, por término medio, en detectar dicho desajuste? (1 punto) Tiempo medio= (g) Utilizando las estimaciones de μ y σ del apartado (a) calcula el tamaño muestral mínimo n que sería necesario para, por término medio, detectar un desajuste de 3 unidades en menos de una hora. Tamaño muestral= (h) Obtener el gráfico de control para las medias que se utilizaría en el caso de usar el tamaño muestral del apartado anterior LCS= ; l.c.: ; LCI= ;
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