Problemas de Complementos de Matemáticas. Curso 01/02

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1 Problemas de Complementos de Matemáticas. Curso /2.- Resolver las E.D.O. lineales de primer orden siguientes y los problemas de condiciones x + 3x/t = 6t 2 x + 3x = 3t 2 e 3t t 4 x + 2t 3 x = tx + (tx + x ) = tx + ( x = t ) + t 3 x x = sin(2t), x() = x 2t+ + t x = e 2t x + x t t2 t x + x = (t + ) 2, x() = tx 2x = 2t 4, x(2) = Se calienta un cuerpo a o C y se coloca en un ambiente a o C (se supone que un cuerpo caliente se enfría a un ritmo proporcional a la diferencia de temperatura respecto del ambiente que le rodea). Al cabo de una hora su temperatura es de 6 o C. Hallar su temperatura en función de t. Desde el punto de vista físico, es lógica esta solución? Cuánto tiempo tardará en llegar a 3 o C? 3.- Se tiene un depósito de volumen igual a 5 l con 5 g de sal. A partir de un cierto instante, se introduce un caudal de agua de 2 l/min con una concentración constante de c g/l y al mismo tiempo se desagua por el otro extremo con el mismo caudal (es decir, en el depósito hay siempre 5 l). Se pide: (i) Plantear la ecuación diferencial que controla la cantidad de sal presente en el depósito. (ii) Resolverla suponiendo que la concentración del agua de entrada se mantiene siempre constante. Es lógica la solución que se obtiene? (iii) Resolverla suponiendo que la concentración del agua de entrada se mantiene constante hasta t = 25 min y a partir de este instante se hace cero (es decir, entra agua limpia). 4.- Un depósito contiene 3l de agua y l de contaminates. Se vierte agua fresca en el tanque a un gasto de l/min y la mezcla homogénea sale del recipiente con la misma intensidad. Cuánto tiempo es necesario para que la concentración de contaminates disminuya a / de su valor original? 5.- Un paracaidista de masa 75 Kg se lanza desde un helicóptero a 2 m de altura. Se supone que la fuerza de rozamiento debido a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad de caída. La constante de proporcionalidad es k =25 Kg/s cuando el paracaídas está cerrado y de k 2 =5 Kg/s cuando el paracaídas está abierto. El paracaídas se abre cuando la velocidad de caída es de 2 m/s. Se pide:

2 (i) Hallar la expresión de la velocidad de caída en función del tiempo. (ii) Hallar la expresión de la distancia recorrida en la caída en función del tiempo. (iii) Comentar cómo se calcularía el tiempo que tardaría el paracaidista en llegar al suelo. 6.- Sean k, p, p 2, α, > con α + =. i) Demostrar que para cada x [, + ) el siguiente problema de valores iniciales (reacción de dos sustancias) x (t) = k (p α x(t)) (p 2 x(t)) ; x() = x tiene solución única y hallarla. ( Distinguir los casos p α < p 2 y p α = p 2 ). ii) Si x p 2, comprobar que la única solución x del problema está definida en [, + ) y satisface que lim x(t) = p t + α. Interpretar el resultado. iii) Si x > p 2, demostrar que existe t [, + ) tal que la única solución x del problema está definida en [, t ) y satisface que lim x(t) = +. Interpretar el t t resultado. 7.- Sean k, ε IR {}. Demostrar que para cada x [, + ) el siguiente problema de valores iniciales (ecuación logística) x (t) = ( k ε 2 x(t) ) x(t); x() = x tiene solución única y hallarla. Comprobar que si x es la única solución entonces está definida en [, + ) y si además x >, entonces satisface que x(t) = si k < mientras que lim t + x(t) = k ε 2 si k >. Interpretar los resultados. lim t Una población inicial de 5. habitantes vive en un microcosmos con una capacidad de transporte para.. Después de cinco años la población se ha incrementado a 6.. Demostrar que la tasa natural de crecimiento de esta población es de 5 ln( 3 2 ). 9.- Hallar la solución general de los siguientes sistemas de ecuaciones (se supone que x, y son funciones de t): (a) x = y, y = 2x + y; (a2) x = x, y = 2y; (b) x = 6x + 3y, y = 3x + 4y; (b2) x = x, y = y; (c) x = x + y, y = 2x + y;

3 (c2) x = x + y, y = 4x y; Para cada uno de los sistemas anteriores representar esquemáticamente, en el plano x, y, algunas curvas x(t), y(t) (parametrizadas en t), obtenidas para condiciones iniciales arbitrarias. El plano x, y se llama plano de fases y las curvas pedidas trayectorias..- Hallar la solución general del sistema de ecuaciones x = 2x + 4x 2 + 3x 2 + 3e t cos(t) 2e t sin(t) x 2 + x + 2x 2 + 2x 2 = e t sin(t).- Hallar la solución general del sistema: x = x + e t, y = 2x y, z = x 3y z. 2.- Resolver los correspondientes sistemas homogéneos para las siguientes matrices: 6 3 A = 2 A 4 = A 7 = A = A 3 = A 6 = A 2 = A 5 = A 8 = A = A 4 = A 3 = A 6 = ( 2 ) 4 6 A 7 = A 9 = A 2 = A 5 = A 8 = 2

4 3.- Resolver los siguientes problemas de valores iniciales: (i) x = x, x() = 4 3 (iii) x = (v) x = ( 2 3 ) x, x() = x, x() = (ii) x = x, x() = x, x() = 2 (iv) x = (vi) x = x, x() = 4.- Con las notaciones del problema 2, resolver: i) x (t) = A 6 (t)x(t); x() = (,, ) t. ii) x (t) = A 8 (t)x(t) + f(t); x() = (,, ) t ; f(t) = (t,, ) t. iii) x (t) = A 9 (t)x(t) + g(t); x() = (,, ) t ; g(t) = (t 2,, ) t. iv) x (t) = A 3(t)x(t) + h(t); x() = (,, ) t ; h(t) = (,, sin(5t)) t. 5.- Resolver las E.D.O. lineales homogéneas de segundo orden siguientes y los problemas de condiciones (i) y + y + y = (vii) y + y + 2y = ; y() =, y () = 2 (ii) 2y + 3y + 4y = (viii) y + 2y + 5y = ; y() =, y () = 2 (iii) y + 2y + 3y = (ix) 2y y + 3y = ; y() =, y () = (iv) 4y y + y = (x) 3y 2y + 4y = ; y(2) =, y (2) = (v) y 6y + 9y = (xi) 9y + 6y + y = ; y() =, y () = (vi) 4y 2y + 9y = (xii) 4y 4y + y = ; y() =, y () = Resolver las E.D.O. lineales de segundo orden siguientes y los problemas de condiciones (i) y + y = sec t, π 2 < t < π 2 (v) 3y + 4y + y = sin te t ; y() =, y () = (ii) 2y 4y + 4y = te 2t (vi) y + 4y + 4y = t 5/2 e 2t ; y() = y () = (iii) 2y 3y + y = (t 2 + )e t (vii) y 3y + 2y = t + ; y() = y () = (iv) y 3y + 2y = te 3t + (viii) y y = f(t); y() = y () =

5 7.- Un pequeño objeto de masa igual a kg se encuentra sujeto a un resorte con constante de restitución igual a 2N/m. El sistema masa-resorte está inmerso en un medio viscoso con constante de amortiguamiento igual a 3N s/m. En el tiempo t =, la masa se encuentra /4 m por debajo de la posición de equilibrio, desde donde se suelta. Demostrar que la masa regresará a la posición de equilibrio conforme t tiende a infinito. 8.- Un elemento radiactivo A se descompone en otro elemento también radioactivo B. Sean k y k 2 las constantes de desintegración de los elementos A y B respectivamente (se recuerda que la desintegración es proporcional a la cantidad de masa presente en cada momento y que esta constante de proporcionalidad es k ó k 2 ). Denotemos por x (t) e y (t) las cantidades de elemento de A y B respectivamente. Si la cantidad inicial de A es x y la de B es cero, hallar x e y en función de t. 9.- Una masa, m está suspendida mediante un muelle de constante recuperadora k. Desde la parte inferior de la masa m se suspende otra masa m 2 mediante un muelle de constante recuperadora k 2. Ambos muelles pueden suponerse sin amortiguamiento. Se pide: a) Determinar la ecuación del movimiento de ambas masas si no actúa ninguna fuerza exterior aparte de la gravedad. b) Si inicialmente el desplazamiento de la masa m de su posición de equilibrio era, y la correspondiente de m 2 era -, hallar la evolución de los desplazamientos de ambas masas. Representar la trayectoria en el plano de fases de los desplazamientos de ambas masas. c) A la masa m 2 se le aplica una fuerza dada por cos(ωt). Representar las amplitudes de la oscilación de m y m 2 en estado estacionario cuando varía ω. 2.- Resolver las E.D.O. lineales homogéneas siguientes y los problemas de condiciones (i) y 2y y + 2y = (ii) y 6y + 5y + 2y = (iii) y (iv) 5y + 6y + 4y 8y = (iv) y y + y y = (v) y (iv) + 4y + 4y 2y + 25y = ; y() = y () = y () =, y () = (vi) (vii) y (iv) y = ; y() =, y () = y () =, y () = y (v) 2y (iv) + y = ; y() = y () = y () = y () =, y (iv) () =