Métodos de Integración I n d i c e

Transcripción

1 Métodos de Integrción I n d i c e Introducción Cmbio de Vrible Integrción por prtes Integrles de funciones trigonométrics Sustitución Trigonométric Frcciones prciles

2 Introducción. En est sección, y con l yud del Teorem Fundmentl del Cálculo, desrrollremos ls principles técnics de Integrción que nos permitirán encontrr ls integrles indefinids de un clse muy mpli de funciones. En cd uno de los métodos de integrción, se presentn ejemplos típicos que vn desde los csos más simples, pero ilustrtivos, que nos permiten llegr de mner grdul hst los que tienen un myor grdo de dificultd. estudiremos los principles métodos de integrción, consistiendo todos ellos en reducir l integrl buscd un integrl y conocid, como por ejemplo un de ls de l tbl, ó bien reducirl un integrl más sencill. Regresr l índice

3 El Método de Cmbio de Vrible. ntes de ver l fórmul de cmbio de vrible, resolveremos lgunos ejercicios sencillos que nos llevrán de mner nturl l menciond fórmul. Tomemos l primer fórmul de l tbl de integrles del cpítulo nterior: α α d k α si α prtir de ést podemos encontrr integrles como d k, d k k k, etc. Sin embrgo, si l vrible no prece de mner sencill en l función integrr, podemos firmr que d k? L respuest es NO, pues l derivr el ldo derecho no obtenemos el integrndo d d lo correcto serí o bien d k

4 d k nálogmente podemos firmr que cos cos d k? De nuevo l respuest es NO, pues l derivr el ldo derecho no obtenemos el integrndo lo correcto serí d d En el cálculo de ests dos integrles cos sencos cos sen cos d k d k cos sen cos d k como un vrinte de l fórmul α α d k α si α dvertimos que si l vrible se reemplz por un función u, pr que l integrl se clcule sustituyendo u por, en el integrndo debe precer u' multiplicndo u α, es decir [ u ] α u' d [ u ] α α En generl, si prtimos de un integrl conocid k si α f d g k y cmbimos l vrible por l función derivble u, tl que u' es continu, obtenemos L FORMUL DE CMBIO DE VRIBLE

5 f [ u ] u' d g[ u ] k Podemos comprobr fácilmente su vlidez, derivndo el ldo derecho d d [ g[ u ] k] g' [ u ] u' f [ u ] u' este último pso utilizndo el hecho de que g es un primitiv pr f. Si en l fórmul nterior escribimos u u y u'd du, l fórmul de cmbio de vrible nos quedrí como: f u du g u k En todos los ejemplos que veremos continución, trtremos de reducir el grdo de dificultd de l integrl medinte un cmbio de vrible, de tl mner que l integrl resultnte se más fácil de integrr ó que se un integrl conocid. Pr que l fórmul de cmbio de vrible teng posibiliddes de éito, debemos identificr en el integrndo un función u y u', su derivd. Ejemplo. Encuentre d Solución. En este cso sencillo podemos observr que est integrl "se prece" lo cul nos sugiere tomr el cmbio de vrible u - u du, u - du d d /du Sustituyendo en l integrl, u u d u du / u du c c c coincidiendo con el resultdo nterior. Ejemplo. Encuentre cos sen d

6 Solución. En este cso podemos observr que est integrl "se prece" nos sugiere tomr el cmbio de vrible u cos u du, lo cul u cos du -sen d sen d -du Sustituyendo en l integrl, u sen d u du cos cos u du c c coincidiendo con el resultdo nterior. ln Ejemplo. Encuentre d Solución. dvertimos l presenci de l función ln y su derivd /, lo cul nos sugiere tomr el cmbio de vrible: Sustituyendo en l integrl, u ln du d/ ln d u du su vez est integrl tendrí que resolverse por cmbio de vrible, tomndo w u-, como se hizo en el ejemplo, obteniendo: ln u ln d u du c c Sin embrgo pr evitr tomr dos o más cmbios de vrible, debemos perctrnos de que lo importnte es que prece l epresión / que es l derivd de ln, que tmbién lo es de ln-, slvo constntes. Más precismente, podemos tomr el cmbio de vrible: y l sustituir en l integrl originl: u ln- du d/, ò bien d/ du/, ln u d u du c ln c

7 Observción: De lo nterior podemos concluir que el cmbio de vrible procede cundo en el integrndo prece un función u y su derivd multiplicd por un constnte. demás que l integrl de l vrible u se posible resolverl. Ejemplo. Encuentre 6 7 d Solución. En este cso prece l función u - 7 y su derivd -7 6 multiplicd por l constnte -/7, precisndo: u - 7 du -7 6 d Como en l integrl tenemos que sustituir 6 d, du -7 6 d 6 6 d du 7 d du 7 / 6 7 u / 7 / d u du c u c c, 7 7 / 7 7 sí pues d c, 7 Nótese que un vez identificdo el cmbio de vrible u, vemos que l integrl por resolver es u du, es decir, resolver nuestr integrl d 6 7 se reduce resolver u du medinte el citdo cmbio de vrible ó en otrs plbrs nuestr integrl de l vrible es similr u du Eisten otrs situciones en que el cmbio de vrible no es tn evidente en términos de l función u y su derivd, por lo cul tenemos que echr l vist delnte y ver que función fácil de integrr es similr nuestr función. Ejemplo. Encuentre 6 d Solución. En un primer vist no dvertimos l presenci de un función u y su derivd, y que l derivd de 6 6 y en el integrndo no prece sino. No debemos

8 perder de vist que l hcer un cmbio de vrible es por que nuestr integrl es similr ó se puede reducir otr fácil de resolver. Si pensmos que d será el nuevo diferencil, entonces u tendrí que ser, es decir u du d como se ve l epresr l integrl de l siguiente mner: du d rctnu c rctn c u Ejemplo 6. Encuentre 9 8 d Solución. En nlogí l ejemplo nterior, podemos decir que est integrl se reduce du du, y que si tommos el cmbio de vrible u 9 8, ó equivlentemente u u du d, es decir d /du, y sustituyendo: 9 8 d du u rcsen u c rcsen c Podemos utilizr el método de cmbio de vrible pr encontrr ls integrles de lguns funciones conocids Ejemplo 7. Encuentre d tn Solución. sen tn d cos d u cos du -sen sen du d lnu c lncos c cos u Como -lncos ln - lncos ln/cos lnsec Podemos epresr

9 tn d ln sec C nálogmente cot d ln sen C d Ejemplo 8. Encuentre 9 du Solución. Debemos poder reducir est integrl u por l similitud de ls epresiones. medinte un cmbio de vrible, Primermente vemos que en el denomindor l vrible l cudrdo est sumd, lo cul nos sugiere fctorizr el 9 pr tener lgo similr, es decir: d d 9 9 d 9 / 9 / y esto nos sugiere tomr el cmbio de vrible u / du d/ d d du 9 9 / 9 u rctn u c rctn / c En generl podemos deducir l fórmul que englob todo este tipo de integrles. d Ejemplo 9. Encuentre Solución. En nlogí l problem nterior: d y tomndo el cmbio de vrible u / y por lo tnto du /d d

10 es decir: d d du u rctnu c rctn c d rctn c I reserv de probrlo más delnte, ceptremos l siguiente fórmul: d ln c II y probremos lo siguiente: d Ls integrles de l form b c II medinte cmbio de vrible., con 0, se reducen ls fórmuls I ó El procedimiento consistirá en completr trinomio cudrdo perfecto y tomr el cmbio de vrible decudo. d Ejemplo 0. Encuentre 0 Solución. Completemos el trinomio cudrdo perfecto. 0 [ 6 ] [ ] [ ] [ - ] sustituimos en l integrl e identificmos con l fórmul II d d d 0 ln c

11 es decir d ln 0 8 c Obsérvese que no import cul se el trinomio cudrdo, l completrlo nuestr integrl siempre se reducirá un de ls dos fórmuls. Un vez visto lo nterior, veremos un procedimiento que nos permitirá clculr integrles de l form B b c d con 0 d Ejemplo. Encuentre Solución. Por supuesto que el tipo más sencillo de este tipo de integrles es cundo en el numerdor prece l derivd del término cudrático del denomindor. 6 d ln c Prtiremos de est función y modificremos el numerdor pr obtener un epresión fácil de integrr d d d d d L primer de ls integrles y está resuelt y l segund se resuelve con el procedimiento descrito en el ejemplo nterior. [ / /] [ / /9 /-/9] [ / /9] En consecuenci : d d rctn 9 c

12 d ln rctn c 6 Regresr l índice El método de Integrción por prtes Este método nos permitirá resolver integrles de funciones que pueden epresrse como un producto de un función por l derivd de otr. Más precismente, deduciremos l fórmul de integrción por prtes prtir de l regl pr derivr un producto de dos funciones. integrndo en mbos ldos obtenemos: y despejndo l segund integrl: [fg]' f 'g fg' [ fg ] ' d f 'g d f g' d f g f 'g d f g' d f g f f g' 'g obtenemos finlmente l FORMUL DE INTEGRCIÓN POR PRTES. continución veremos en lgunos ejemplos como utilizr est fórmul. Ejemplo. Encuentre cos d d d Solución. Con el fin de utilizr l fórmul nterior, tomremos f y g' cos, es decir el integrndo cos f g' f f ' g ' cos g sen

13 cos d sen sen d sen cos c Observe que tmbién hubiérmos podido hcer l siguiente elección de f y g': f cos g ' f ' -sen g / sólo que l función por integrr en el ldo derecho tiene un myor grdo de dificultd pr resolverse que l originl. cos d cos sen d NOTCIÓN. Con el fin de ser congruentes con l notción utilizd en l myorí de los libros del mercdo, le llmremos u f y v g y en consecuenci du f 'd sí como du g 'd. Con est nuev notción resolveremos los siguientes ejercicios. Ejemplo. Encuentre e d Solución. Utilizremos el siguiente cudro u du d v e dv e d obsérvese que con est notción, en vez de tomr g' e, tommos su diferencil dv e k d y nálogmente con f, permitiendo que un prte del integrndo se u y el resto se dv. e d e e d e e c En estos primeros dos ejemplos, un decud elección de u y dv nos llev en un solo pso resolver nuestr integrl reduciéndol un integrl más fácil de resolver. Eisten otrs situciones, como se verá en los siguientes ejemplos, en que si bien l integrl del ldo derecho tiene un menor grdo de dificultd, no es un integrl inmedit, requiere de un nuevo proceso de integrción por prtes ó resolverl por cmbio de vrible, ó lgún otro procedimiento.

14 Ejemplo. Encuentre e d Solución. Utilizremos el siguiente cudro u du d v e dv e d e d e e d l integrl del ldo derecho se resuelve por prtes Ejemplo, obteniendo: e d e e e c Observción: L elección u e, dv d nos llev un integrl con un myor grdo de dificultd. Ejemplo. Encuentre rctn d Solución. Utilizremos el siguiente cudro u rctn d du v dv d rctn d rctn d En este cso, l integrl del ldo derecho se resuelve por un cmbio de vrible, obteniendo: y en consecuenci: d d ln c rctn d rctn ln c

15 Ejemplo. Encuentre sen d Solución. Utilizremos el siguiente cudro u sen du cos d v -cos dv sen d sen d sen cos cos d sen cos cos d L integrl del ldo derecho, l precer tiene el mismo grdo de dificultd que l integrl originl, incluso es de l mism nturlez que l originl, lo que nos sugiere utilizr de nuevo el método de integrción por prtes u cos du -sen d v sen dv cos d cos d sen cos sen d sen cos sen d que l sustituirse nos d: sen d sen cos cos d sen cos sen cos obteniendo l identidd sen d sen cos sen cos sen d sen d en l que si dejmos en el ldo izquierdo ls integrles, obtenemos 0 0, que no nos yud encontrr el vlor de nuestr integrl. L lterntiv en este cso es utilizr l identidd trigonométric sen cos inmeditmente después de l primer integrción por prtes. sen d sen cos cos d sen cos sen d

16 d sen cos sen sen d. Si bien nos vuelve precer l mism integrl, est vez prece con distinto signo, lo que nos permite despejrl, es decir si dejmos del ldo izquierdo ls integrles, obtendremos: O bien sen d sen cos. sen cos sen d c. Ejemplo 6. Encuentre e sen d Solución. Utilizremos el siguiente cudro u e du e d v -cos dv sen d e sen d e cos e cos De nuevo como en el ejemplo nterior, l integrl del ldo derecho es de l mism nturlez y del mismo grdo de dificultd, por lo que podrímos intentr utilizr de nuevo el método de integrción por prtes. u e du e d v sen dv cos d e cos d e sen e sen d Sustituyendo, obtenemos:

17 e sen d e cos e cos e sen e cos e sen de donde podemos despej l integrl e sen d e sen e cos e sen y en consecuenci e sen d e sen e cos e sen e e sen d cos c continución bordremos unos ejemplos en que, debido l grn cntidd de posibiliddes debe tenerse un criterio preciso pr decidir sobre l elección de u y dv. Ejemplo 7. Encuentre e d Solución. En este tipo de funciones integrr, hy muchs mners de epresr l integrndo como un producto: u, dv e d ; u, dv e d ; u, dv e d ; u, dv e d ; u e d, dv d, etc. Cuál de ests opciones elegir? Lo primero que debemos hcer es segurrnos que en nuestr elección, dv se un función fácil de integrr. Si eminmos con detlle ls opciones, sólo l opción u, dv e vrible: d cumple con esto y que dv es fácil integrr por un simple cmbio de v e d e d e c sí pues el cudro pr l integrción por prtes será: u v e du d dv e d

18 e d e e d e e c Ejemplo 8. Encuentre 6 d 9 Solución. Con un criterio similr l del cso nterior, tommos l siguiente elección: u v 6 du d dv 6 d donde v dv 6 d 6 d d 6 6 d d 6 6 c sí pues: 9 6 d 6 6 c 67 Regresr l índice

19 Integrles de funciones trigonométrics continución veremos lguns regls pr integrr cierto tipo de funciones trigonométrics, que posteriormente se utilizrán en el método de sustitución trigonométric. n n I. Potencis de senos y cosenos sen d cos d Pr resolver este tipo de integrles, considerremos dos csos: Si n es impr, es decir n k, fctorizmos el integrndo, por ejemplo sen n d sen k d sen k sen d Utilizmos l identidd sen cos y tommos el cmbio de vrible u cos. De mner nálog en el cso de ls potencis del coseno, tomndo el cmbio de vrible u sen. b Si n es pr, es decir n k, fctorizmos el integrndo, por ejemplo ó en el cso del coseno y utilizmos ls identiddes trigonométrics: Ejemplo. Resolver Solución: sen n sen k sen k cos n cos k cos k cos cos cos sen d sen sen d sen ó sen d cos sen d

20 se u cos, entonces du -sen, y l sustituir en l integrl obtenemos: u cos sen d cos sen d u du u c cos c Ejemplo. Resolver Solución: cos d cos d cos cos d sen cos d se u sen, entonces du cos, y l sustituir en l integrl obtenemos: u u sen sen d u du cos u u du u c sen c Ejemplo. Resolver sen d Solución: cos sen d sen d d cos cos d cos d d cos d II. Productos de potencis de senos y cosenos sen m cos n d. Si m y n son pres, utilizremos ls identiddes: cos cos cos sen b Si m ó n es impr, utilizremos l identidd sen cos y II. Productos de potencis de tngentes y secntes tn m sec n d. Si n es pr, utilizmos l identidd: sec tn.

21 b Si m es impr, utilizmos l identidd: tn sec -. c Si n es impr y m pr usmos lgún otro método como por ejemplo integrción por prtes. Regresr l índice El Método de Sustitución Trigonométric Este método, el cul es un cso especil de cmbio de vrible, nos permitirá integrr cierto tipo de funciones lgebrics cuys integrles indefinids son funciones trigonométrics, como por ejemplo nuestr conocid fórmul: d rcsen c l cul "resolveremos" con el fin de motivr el uso del método. Observe que si tommos el cmbio de vrible senθ donde -π/ < θ < π/ pues - < < y en consecuenci d cosθ dθ y sen θ cos θ cosθ cosθ pues cosθ > 0 en el intervlo -π/<θ<π/ Sustituyendo en términos de θ, obtenemos un integrl en l vrible θ, l cul resolvemos fácilmente y del cmbio de vrible l epresmos en términos de. d dθ cosθ cosθ dθ θ c rcsen c Como podemos precir, l bordr este tipo de integrles siempre tendremos que resolver un integrl trigonométric, como ls que se resolvieron en l sección nterior. Primer cso. Si en el integrndo prece un rdicl de l form vrible tommos el cmbio de

22 senθ, con > 0. Como se preció nteriormente, l vrición de en el intervlo -, se corresponde con l vrición de θ en el intervlo -π/, π/ En este primer cso l epresión del rdicl en términos de θ será: sen θ sen θ cos θ cosθ cosθ est últim iguldd pues cosθ > 0 en el intervlo -π/, π/ Tmbién del cmbio de vrible obtenemos el vlor de θ rcsen, pues l función invers de f sen se encuentr definid precismente en el intervlo -, y con vlores en -π/, π/. Ejemplo. Encuentre el áre del círculo de rdio. Solución. L ecución de l circunferenci de rdio y centro en le origen es: cuy gráfic es: y - Evidentemente est gráfic no corresponde un función, pero podemos restringirnos l intervlo [0, ], clculr el áre bjo l grfic y multiplicrl por pr obtener el áre desed.

23 L función de l figur l obtenemos despejndo y en términos de, en l ecución de l circunferenci: y sí pues el áre buscd será: 0 d Primermente encontrremos d En est integrl, tommos el cmbio de vrible trigonométrico senθ por lo cul d cosθ dθ y cosθ. sustituyendo en l integrl originl, en términos de l nuev vrible θ, e integrndo, obtenemos: d cosθ cosθ dθ cos θ dθ θ senθ cosθ c Del cmbio de vrible senθ obtenemos que senθ /, es decir, θ rcsen/. simismo del cmbio de vrible, podemos construir el triángulo: θ

24 En este cso prticulr senθ / y cosθ. sí pues l integrl resuelt en términos de l vrible θ, l epresmos en términos de l vrible originl,. d θ senθ cosθ c rcsenθ c Clculemos hor l integrl definid d rcsenθ c 0 d rcsen 0 rcsen0 0 rcsen π / π y finlmente el áre será: d π 0 d Ejemplo. Encuentre 9 Solución. Tomemos el cmbio de vrible trigonométrico: senθ por lo cul d cosθ dθ y 9 cosθ. sustituyendo en l integrl originl, en términos de l nuev vrible θ, e integrndo, obtenemos: d 9 cosθ dθ senθ cosθ dθ senθ cscθdθ ln cscθ cotθ c Del cmbio de vrible senθ obtenemos que senθ /, y, podemos construir el triángulo: θ 9

25 prtir del cul podemos encontrr culquier función trigonométric de θ. En este cso prticulr cscθ / y cotθ 9. sí pues l integrl resuelt en términos de l vrible θ, l epresmos en términos de l vrible originl,. d 9 ln cscθ cotθ c ln 9 c d 9 ln 9 c d Ejemplo. Encuentre 6 Solución. Tomemos el cmbio de vrible trigonométrico: senθ por lo cul d cosθ dθ y 6 cosθ. sustituyendo en l integrl originl, en términos de l nuev vrible θ, e integrndo, obtenemos: d 6 senθ cosθ dθ cosθ senθ dθ cosθ c Del cmbio de vrible senθ obtenemos que senθ /, y, podemos construir el triángulo: θ 6

26 Y prtir de él clculr cosθ 6. sí pues l integrl resuelt en términos de l vrible θ, l epresmos en términos de l vrible originl,. d c 6 6 cosθ c 6 c Observción: Est integrl puede resolverse tmbién con un sencillo cmbio de vrible lgebrico u 6 -. Compruebe este resultdo como ejercicio. Ejemplo. Encuentre d 9 Solución. Nótese que pr verlo como un integrl del primer cso, debemos hcer un cmbio de vrible ó sencillmente fctorizr el 9 en el rdicl: 9 9 / 9 / 9. continución tommos el cmbio de vrible: senθ por lo cul d cosθ dθ y / 9 cosθ. sustituyendo en l integrl originl, obtenemos: d 9 senθ cosθ dθ cosθ 8 8 sen θ dθ 8 8 cos θ cosθ c Del cmbio de vrible triángulo: senθ, obtenemos que senθ, y podemos construir el θ 9

27 Y prtir de él, clculr cosθ Finlmente: 9. d 8 8 c cos θ cosθ c Segundo cso. Si en el integrndo prece un rdicl de l form vrible tommos el cmbio de tnθ, con > 0. En este tipo de rdicles l vrición de es en tod l rect rel, rzón por l cul se tom l tngente, l cul vrí tiene est mism vrición en el intervlo -π/, π/ En este segundo cso l epresión del rdicl en términos de θ será: tn θ tn θ sec θ secθ secθ y l igul que en el cso nterior como cosθ > 0 en el intervlo -π/, π/, tmbién lo será secθ. Tmbién del cmbio de vrible obtenemos el vlor de θ rctn. Pues l invers de l función f tn se encuentr definid en todos los reles y con vlores en -π/, π/ Ejemplo. Encuentre d Solución. Tommos el cmbio de vrible: tnθ por lo cul d sec θ dθ y secθ. sustituyendo en l integrl originl, obtenemos:

28 d secθ sec θ dθ sec θ dθ secθ tnθ ln secθ tnθ c Del cmbio de vrible triángulo: tnθ, obtenemos que tnθ, y podemos construir el θ Y prtir de él clculr secθ obtenemos: y tnθ, que l sustituir en l integrl d c secθ tnθ ln secθ tnθ ln c En generl el método de sustitución trigonométric se utiliz cundo prece un rdicl de ls forms señlds en los csos, lo cul no signific que debe precer solo elevdo l potenci. En el siguiente ejemplo clculremos un integrl en l que el rdicl prece elevdo l cubo. d Ejemplo 6. Encuentre Solución. Tommos el cmbio de vrible: tnθ por lo cul d sec θ dθ sustituyendo en l integrl originl, obtenemos: y sec θ. Del cmbio de vrible d sec θ dθ cosθ dθ senθ c sec θ tnθ, podemos construir el triángulo:

29 prtir del cul clculmos senθ θ. d senθ c c continución encontrremos l integrl de un función en l que no prece eplícitmente el rdicl. Ejemplo 7. Encuentre d Solución. Obsérvese que el integrndo lo podemos epresr como Tommos el cmbio de vrible: tnθ por lo cul d sec θ dθ sustituyendo en l integrl originl, obtenemos: d sec d θ θ d cos sec θ y sec θ. θdθ θ senθcosθ c Del cmbio de vrible tnθ, construimos el triángulo: θ prtir del cul clculmos senθ Obteniendo finlmente: y cosθ.

30 d θ senθ cosθ c rctn c Tercer cso. Si en el integrndo prece un rdicl de l form vrible secθ, con > 0. tommos el cmbio de En este tipo de rdicles l vrición de es en -, -,, rzón por l cul se tom secθ, l cul tiene est mism vrición en 0, π/ π/, π, justmente donde l función secnte tiene invers. En este tercer cso l epresión del rdicl en términos de θ será: sec θ sec θ tn θ tnθ solmente que en este dominio, l tngente tom vlores positivos y negtivos, por lo que no podemos quitr impunemente el vlor bsoluto. Pr resolver este conflicto, sociremos ls vriciones de y de θ, de l siguiente mner: > k 0 < θ < π/ < - π < θ < π/ siendo l función tngente, positiv en estos intervlos pr poder tomr tnθ tomremos el vlor de θ de l siguiente mner: θ rc sec si > θ π rcsec si <

31 d Como ejercicio, encuentre. 9 Regresr l índice El Método de ls Frcciones Prciles Este método nos permitirá integrr ciert clse de funciones rcionles cociente de polinomios mner de ilustrción consideremos l siguiente integrl:. d. Obsérvese que difícilmente podrímos bordrl con lguno de los métodos que disponemos. Procederemos efectundo l división de los polinomios: Posteriormente plicmos el lgoritmo de l división y obtenemos: - 9 Pr obtener en el ldo izquierdo de l iguldd l función que queremos integrr, dividimos en mbos ldos entre - :

32 9 descomponiendo de est mner nuestr frcción "complicd" en un sum de frcciones "sencills" ls que llmremos frcciones prciles, ls cules son fáciles de integrr. 9 d d d 9ln c P En generl si queremos integrr un cociente de polinomios en el que el grdo de P Q es myor o igul l grdo de Q, procederemos como en el cso nterior, plicndo el lgoritmo de l división q Q P r Donde r 0 ó grd r < grd Q Dividiendo entre Q, obtenemos: P Q q r P Q r q Q en donde l integrl buscd, P d q d Q r d Q con gr r < gr Q se reduce clculr l integrl de un polinomio q y l integrl de un función rcionl en l cul el numerdos tiene grdo menos que el denomindor. continución describiremos vrios csos de descomposición de frcciones rcionles en ls cules el polinomio del numerdor tiene grdo menor que el denomindor como un sum de frcciones prciles ls cules son fáciles de integrr. Primer cso.

33 [Q tiene tods sus ríces reles y distints] Cundo l fctorizción del polinomio Q es en fctores lineles y distintos, es decir: Q n, hcemos l siguiente descomposición: n n Q P... donde,,,... n son constntes reles. Nótese que un vez efectud l descomposición, l integrción es inmedit pues: c d k k k ln y por lo tnto: d d d d d Q P n n... c d Q P n ln... ln ln ln Ejemplo. Clculr 6 d Solución: En este ejemplo Q L descomposición en frcciones prciles serí: 6 B, en l que bstrá determinr ls dos constntes y B pr poder encontrr nuestr integrl. Procederemos l determinción de ls constntes, efectundo l sum del ldo derecho: 6 B B B B B,

34 Observmos que l primer y l últim frcción son igules y tienen el mismo denomindor, por lo que sus numerdores forzosmente son igules, es decir: o bien B B- 0 B B- de donde obtenemos el siguiente sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits: que resolviéndolo nos qued B 0 B - B 0 B - 8B por lo que B /8, y sustituyendo en l primer ecución, -B -/8. Un vez determinds nuestrs constntes y B, ls sustituimos en l descomposición inicil, obteniendo: quedndo finlmente l integrción: B /8 /8 6, d /8 / 8 d d ln ln c o bien, utilizndo ls propieddes de los logritmos: d ln 6 8 c Observción: Est integrl es un cso prticulr de l fórmul presentd sin demostrción en el método de cmbio de vrible

35 du u u ln u c l cul puede hor probrse con el método de frcciones prciles como un ejercicio. Ejemplo. Clculr d Solución: En este ejemplo, Q L descomposición en frcciones prciles serí: B, y siguiendo el procedimiento del ejemplo nterior B B B B, igulndo coeficientes, obtenemos el sistem: B -B que l resolverlo nos d: B -B 8 7 obteniendo el vlor de 7/8. Pr encontrr B, l despejmos en l primer ecución B - - 7/8 /8 sí pues, l descomposición en frcciones prciles es: 7 /8 /8,

36 y nuestr integrl: 7 / 8 / 8 7 d d d ln ln c 8 8 Observción: En cd uno de los csos de este método se firm que se puede dr un descomposición en frcciones prciles, lo cul es un resultdo del álgebr y que por lo tnto deberí probrse lgebricmente, y que podrí surgir l dud de que en un de ests descomposiciones se produjer un sistem de ecuciones sin solución. No dremos quí l demostrción pero veremos que por lo menos en el primer cso siempre será posible encontrr ls constntes, es decir los sistems resultntes si tendrán solución. Otro método pr determinr ls constntes: Trtemos de "despejr" l constnte de l descomposición desed: Multiplicmos en mbos ldos de l ecución por - B obteniendo: B despejmos l constnte B evlumos en y obtenemos 7/8 Obsérvese que estos psos pr determinr se pueden comprimir en uno solo: Determinndo ls constntes por otro método: De l epresión descomponer en frcciones prciles, se elimin del denomindor el fctor linel correspondiente est constnte y finlmente se evlú en el punto donde este fctor elimindo se nul. Es decir evludo en, resultndo 7/8.

37 Similrmente pr obtener el vlor de B, multiplicmos en mbos ldos de l ecución originl por, despejmos B y evlumos en -, obteniendo: B evludo en - B /8. Ejemplo. Clculr 6 8 d Solución: En este ejemplo, Q L descomposición en frcciones prciles serí: B C, siendo los vlores de ls constntes: evludo en 0 /8 B evludo en B /8 sí pues C evludo en C -/ 6 8 d 8 d 8 d d es decir: d ln ln ln c Segundo cso.

38 [Q tiene tods sus ríces reles pero puede hber repetids] Cundo l fctorizción del polinomio Q es en fctores lineles no necesrimente distintos, es decir: m m m m Q... n Por cd fctor linel precerán tnts frcciones prciles como multiplicidd teng este fctor, por ejemplo pr el fctor - k mk hbrá m k frcciones prciles: n k k mk... k m k donde,,,... mk son constntes reles. De nuevo como en el cso nterior l integrción de ls frcciones prciles es sencill y se reduce clculr integrles de l form: d ls cules, pr n >, se resuelven por un sencillo cmbio de vrible. n Ejemplo. Clculr 8 d Solución: En este ejemplo, Q - -. L descomposición en frcciones prciles serí: 8 B C l desrrollr e igulr los polinomios del numerdor, como en los ejemplos nteriores, obtendremos ls constntes de resolver un sistem de tres ecuciones con tres incógnits. Si observmos con detlle l iguldd nterior nos dremos cuent que l constnte B no puede determinrse por el método "corto", pero sí ls otrs dos, es decir del sistem de tres por tres y hbremos determindo dos de ls incógnits y de culquier de ls ecuciones en que prezc B l despejmos. 8 evludo en 0 nos d

39 C 8 evludo en nos d C 7 Efectundo ls operciones y fctorizndo y, tenemos:... 8 C B B C B igulndo los coeficientes de los numerdores, obtenemos el siguiente sistem de ecuciones: B B C 8 Como sólo flt determinr l constnte B, l despejmos de l primer ecución, obteniendo B -. Sustituyendo e integrndo: d d d d 7 8 c d 7 ln ln 8 Ejemplo. Clculr d 6 8 Solución: En este ejemplo, Q Q L descomposición en frcciones prciles serí: 8 F E D C B Por el método corto podemos fácilmente encontrr que B 8, D 7/ y F 9/.

40 Pr determinr el resto de ls constntes tenemos que plnter el sistem de ecuciones: 8 C B F E D conduciéndonos l siguiente sistem de 6 ecuciones con 6 incógnits C E 0 B - C D E F C D - E F 0 -B C D - E F 0 B 8 Como y tenemos los vlores, B 8, D 7/ y F 9/, sustituyéndolos en ls primers dos ecuciones, encontrremos los vlores de C y E resolviendo el sistem: C E - -C E - cuy solución es C / y E -/. El vlor de l integrl, entonces será: c d 9 ln ln 8 ln 8 6 Tercer cso. [Q tiene ríces complejs distints] Cundo en l fctorizción del polinomio Q precen fctores cudráticos de l form b c con b - c < 0

41 cd uno de estos fctores le corresponderá un frcción prcil de l form B donde y B son constntes reles. b c Ejemplo 6. Clculr d Solución: En este ejemplo, Q Con b - c -0-6 < 0 L descomposición en frcciones prciles serí: el sistem resolver: B C B C y l solución: /, B -/ y C / B 0 C d d d d d ln d d 0 d ln ln 0 ln ln rctn c 0

42 Curto cso. [Q tiene ríces complejs repetids] Cundo en l fctorizción del polinomio Q precen fctores cudráticos repetidos de l form b c n con b - c < 0 cd uno de estos fctores le corresponderán n frcciones prciles de l form B B b c b c... n B n b c n donde k y B k son constntes reles pr k,... n. Ejemplo 7. Clculr d Solución: En este ejemplo, Q Con b - c < 0 L descomposición en frcciones prciles serí: B C D B B C D plnteándose el sistem de ecuciones: 0 B C 0 B D 0 Con solución 0, B, C 0 y D - sí pues l integrl

43 d d d donde l primer integrl es l invers de l tngente y l segund se resuelve medinte el segundo cso de sustitución trigonométric. Regresr l índice