Límites: tipos de indeterminaciones 6

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1 Índice Páginas Cálculo de límites. Tipos de Indeterminación. Límites cuando tiende a ±. Posibilidades : a) Obtenemos solución directamente. b) Indeterminación c) Indeterminación - d) Indeterminación 5 Límite de una función en un punto. Posibilidades : a) Obtener solución directamente. 6 b) Obtener la indeterminación Matemáticas º de Bachiller Tema 6 Límites, tipos de indeterminación.

2 Límites Estudiar el límite de una función en un punto es ver "a que tiende" esa función en ese punto "". Notación f() b límite cuando tiende a de f() es igual a b. Los valores de pueden ser finitos o infinitos. Los que toma la función también. CÁLCULO DE LÍMITES. TIPOS DE INDETERMINACIÓN - Debemos sustituir el valor de por el valor que me diga el límite. Podemos obtener solución o una indeterminación que hay que resolver. Según sea el tipo de indeterminación se va a resolver de una manera u otra. Veremos estas: Polinomios y raices P() Funciones racionales Q Polinomios y raices k Normalmente funciones irracionales - Funciones tipo potencial-eponencial Operaciones de números (los representamos por k) y ±. Regla de los signos. Comparar un número (por muy grande o muy pequeño que sea) con el + o el -, es como comparar una gota de agua (el número) con el mar ( el infinito). Se supone que el infinito es lo más grande o lo más pequeño que hay pero nunca podemos alcanzarlo. En realidad el infinito se ha establecido para poder poner fin. Suma y resta k ± ± a) 8 + b) c) 8 ( + ) 8 d) + 5 e) - 6 Pr oducto k ( ) ± ± a) 5 b) - (- ) c) d) - 8 e) 5 - Cociente ± ± k k a) b) - c) - d ) ,5 a) b) c), k ( ±) a) ( ± ) b) c) ( ) k > a) b) P otencia + ( ± ) k < k < a) b) Matemáticas º de Bachiller Tema 6 Límites, tipos de indeterminación.

3 LÍMITES CUANDO X TIENDE A ±. POSIBILIDADES QUE NOS PODEMOS ENCONTRAR. a) Obtenemos solución directamente. b) Indeterminación c) Indeterminación - d) Indeterminación a) Ejemplos de límites que nos dan solución directa. Nos quedamos con el término de mayor grado. Debemos poner el límite hasta que pongamos el resultado final ( ) ( ) b) Indeterminación P() Racionales polinómicas Q() Racionales con radicales Casos Sustituimos por para ver que indeterminación es. Nos quedamos con los términos de mayor grado. Al resolver nos pueden aparecer casos.. Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, nos da + o -. a) 5 5 INDETERMINACIÓN 5 Resolvemos: + *** En los siguientes ejemplos, el paso de ver que tipo de indeterminación es no aparece. Hay que ponerlo siempre. Matemáticas º de Bachiller Tema 6 Límites, tipos de indeterminación.

4 5 5 b)... - grado c)... grado. Cuando son del mismo grado. La solución es el cociente de los coeficientes del mismo grado a) INDETERMINACIÓN b) c).... Cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador. La solución es cero + + ) ) grado 5 grado c) Indeterminación - Se resuelve multiplicando y dividiendo por e l conjugado de la raíz. Utilizamos la igualdad notable suma por diferencia para conseguir quitar la raíz. (a+b)(a-b) a. + Indeterminación. Nos dan a - b el conjugado será a + b b ( + )( + + ) ( + ) Matemáticas º de Bachiller Tema 6 Límites, tipos de indeterminación.

5 . - Indeterminación Nos dan (a-b) el conjugado será (a + b) a b a b a b + + ( + )( + + ) ( + + ) Indeterminación + ( + )( + + ) d) Indet er minación Función tipo potencial-eponencial (número e sucesiones) g() g() g() f() Aplicamos [ f() ] [ f() ] e ± puede ser nº real 5. resolvemos el nos da indeterminación e e + e 6 e e +. [ + ] [ + ] indeterminación [ + ] e ( + ) e e 6 Matemáticas º de Bachiller Tema 6 Límites, tipos de indeterminación. 5

6 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. POSIBILIDADES a) Obtener solución directamente. b) Obtener la indeterminación k c) Indeterminación Con polinomios: factorizamos y simplificamos.. Tipos Con raices: utilizamos el conjugado. Límites laterales, solución ±. Asíntotas verticales. d) Funciones definidas "a trozos". Limites laterales finitos. Lo vemos en continuidad. a) Obtener solución directamente b) Indeterminación Funciones racionales con polinomios: descomponemos en factores y simplificamos indeterminación ( )( 6) ( ). + + Funciones racionales con raices: multiplicamos y dividimos por el conjugado de la raíz.. ( + ) ( + ) ( ) indeterminación ( + 5 ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( + ) ( + + ) ( + )( ) ( ) Matemáticas º de Bachiller Tema 6 Límites, tipos de indeterminación. 6

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