DIPLOMADO EN FINANZAS CORPORATIVAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y PORTAFOLIOS

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1 DIPLOMADO EN FINANZAS CORPORATIVAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y PORTAFOLIOS Por: Gelacio Martín Sánchez OCTUBRE 19, 2012

2 1. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

3 CONTENIDO 1.1 DEFINICIÓN DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 1.2 INTERÉS SIMPLE 1.3 INTERÉS COMPUESTO 1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA Y EQUIVALENTE

4 1.1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS DEFINICIÓN Es una derivación de las matemática aplicadas que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo, para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Son una herramienta básica para analizar e interpretar la operación de los mercados financieros y el impacto en los diferentes instrumentos, tanto para los intermediarios, como para los inversionistas y emisores. 4

5 1.2 INTERÉS SIMPLE ELEMENTOS CONCEPTUALES Capital Es la cantidad de dinero tomada en préstamo o invertida a un determinado plazo y con una tasa de interés pactada. Generalmente está representada por la letra «C» y se expresa en términos monetarios. El capital también se le conoce como principal, Valor Presente o Valor Actual. 5

6 1.2 INTERÉS SIMPLE ELEMENTOS CONCEPTUALES Plazo o Tiempo Se refiere al número de días u otras unidades de tiempo que transcurren entre las fechas inicial y final en una operación financiera, y se representa por la letra n o t. Tasa de Interés Es la razón entre el interés I y el capital C por unidad de tiempo, generalmente está expresado en porcentaje. La tasa de interés está dado por: i = I C 6

7 1.2 INTERÉS SIMPLE ELEMENTOS CONCEPTUALES La tasa de interés por lo regular se expresa en términos anuales, pero se puede expresar en unidades de tiempo menores a un año. Cuando la tasa de interés se da en porcentaje, sin especificar la unidad del tiempo, se considerará que la tasa es anual, a menos que se diga lo contrario: Mensual; Bimestral; Trimestral; Semestral; etc. 7

8 1.2 INTERÉS SIMPLE ELEMENTOS CONCEPTUALES Interés El interés es el cambio en el valor del dinero en el tiempo, se representa con I. Es el pago que se realiza sobre el préstamo de una cantidad monetaria durante determinado tiempo. El interés es el rendimiento que se tiene al invertir el dinero y se expresan en términos monetarios. Si C es el capital de préstamo inicial y S el monto que se paga al término del periodo de préstamo, el interés se expresa como: I = S C 8

9 1.2 INTERÉS SIMPLE DIAGRAMA CONCEPTUAL TASA DE INTERES CAPITAL INTERESES MÁS CAPITAL = MONTO FECHA INICIAL FECHA FINAL PLAZO 9

10 1.2 INTERÉS SIMPLE EJEMPLO Un empresario invierte en una institución financiera $40,000 y al término de 1 año recibe $50,000 por su inversión. C = $40,000 M = $50,000 T = 1 Año Obtenga: Intereses = I = 50,000 40,000 = 10,000 Tasa de Interés = i = 10,000 / 40,000 = 0.25 ó 25% Monto = M= 40, ,000 = 50,000 Capital = C = 50,000 10,000 = 40,000 10

11 1.2 INTERÉS SIMPLE DEFINICIÓN Es la operación financiera donde interviene un capital, un tiempo determinado de pago y una tasa de interés, para obtener un beneficio llamado intereses, sin que éste último se reinvierta. El interés es simple cuando sólo el capital gana intereses por todo el tiempo que dura la transacción. El interés simple se utiliza principalmente en inversiones y créditos a corto plazo, de un año o menos. 11

12 1.2 INTERÉS SIMPLE FÓRMULA GENERAL La fórmula general para calcular el Interés Simple es el siguiente: Donde: I = Interés I = C i n C = Capital o Valor Actual i = Tasa de Interés n = Plazo o periodo Es importante que la tasa de interés y el plazo estén expresados en las mismas unidades de tiempo. 12

13 1.2 INTERÉS SIMPLE MONTO SIMPLE Es la suma del capital más el interés simple ganado. También se le denomina Monto o Valor Futuro y se simboliza con la letra M o S. M = C + I Sustituyendo I por C i n se tiene: M = C + (C i n) Factorizando se tiene la fórmula general del monto a interés simple: M = C(1 + i n) Donde: M = Monto; C = Capital Inicial; i = Tasa de Interés y, n = Periodo. 13

14 1.2 INTERÉS SIMPLE VALOR PRESENTE SIMPLE Llamado también Valor Actual, representado por VA o VP, de un monto, M, que vence en fecha futura. Es la cantidad de dinero que, invertida hoy a una tasa de interés dada producirá el M. De la expresión, M = C(1 + i n) despejamos C, para obtener el VA: C = VA = M (1 + i t) 14

15 1.2 INTERÉS SIMPLE EJEMPLO Un empresario tiene una deuda de $75,000 que deberá pagar dentro de 5 meses. La operación esta pactada a una tasa de interés simple del 18%. C = $75,000 T i Obtenga: = 5 Meses = 18% Anual; 1.5% Mensual Intereses = I = 75,000 * (18% / 12) * 5 = 5,625 Monto = M = 75,000 * [1+(18% / 12)*5] = 80,625 Monto = M = 75, ,625 = 80,625 Valor Presente = VP = 80,625/[1+(18% / 12)*5] = 75,000 Tasa de Interés = i = 5,625/75,000 =0.075/5 = ó 1.5% 15

16 1.2 INTERÉS SIMPLE DESCUENTO SIMPLE REAL En el Interés Simple existen dos tipos de Descuento Simple: Real y Comercial. Descuento Real Se calcula con base en al fórmula del interés simple: Donde: M = C(1 + i n) M = Además de ser el Valor Futuro, es el Valor Nominal. Ejemplo: Pagaré C = Capital Inicial i = Tasa de Interés n = Periodo 16

17 1.2 INTERÉS SIMPLE DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL Descuento Comercial o Bancario Se calcula restando al Valor Nominal un Descuento. La adquisición de CETES es el mejor ejemplo de inversiones a Descuento Comercial, el cual se obtiene multiplicando el Valor Nominal del documento por el plazo y la tasa de descuento. De lo anterior se tiene: D = M n d Donde: D = Descuento del Documento; M = Valor Nominal, n = plazo en años y d = Tasa de Descuento Simple Anual. 17

18 1.2 INTERÉS SIMPLE EJEMPLO El descuento comercial de un documento con Valor Nominal de $8,500 tres meses antes de vencer, es decir n = 3/12 (plazo en años) con un descuento del 10.40% simple anual es: De acuerdo a la fórmula: D = M n d D = $8,500*(3/12)*(0.1040) = $221 Si al valor nominal se le resta este descuento, entonces se obtiene el Valor Comercial o Valor Descontado P. P = M D ó P = M(1 n d) P = $8,500 $221 = $8,279 18

19 1.2 INTERÉS SIMPLE INTERÉS SIMPLE EXÁCTO Y ORDINARIO Interés Simple Exacto o Real Se calcula sobre la base del año de 365 días o 366 en años bisiestos. Interés Simple Ordinario o Comercial Se calcula sobre la base del año de 360 días, también es llamado año comercial o bancario. 19

20 1.2 INTERÉS SIMPLE EJEMPLO Calcule el interés ordinario y exacto de una deuda por $28,500 a una tasa de interés simple anual del 22%, durante el periodo 6 de junio al 15 de diciembre de Interés Simple Exacto o Real I = 28,500 * 22% / 365 * 192 = 3,298.2 I = 28,500 * 22% / 365 * 189 = 3,246.7 Interés Simple Ordinario o Comercial I = 28,500 * 22% / 360 * 192 = 3,344.0 I = 28,500 * 22% / 360 * 189 = 3,

21 1.2 INTERÉS SIMPLE CETES: DEFINICIÓN Los Certificados de la Tesorería de la Federación, son Títulos de Crédito que emite el Gobierno Federal a través de la Secretaría de Hacienda y Crédito Público, y que coloca Banxico entre los inversionistas por medio de subastas semanales que se realizan cada martes. La ganancia que obtiene el tenedor de CETES es precisamente la diferencia entre el precio pagado al adquirirlo y su valor nominal al vencimiento. 21

22 1.2 INTERÉS SIMPLE CETES: CARACTERÍSTICAS Características principales: Valor nominal: $10 pesos Plazo: En días Emisiones: 28, 91, 182 y 364 días Rendimiento: A descuento Garantía: son los títulos de menor riesgo, ya que están respaldados por el Gobierno Federal Amortizables en una sola exhibición al vencimiento del título 22

23 1.2 INTERÉS SIMPLE CETES: EJEMPLO Calcular el descuento y valor comercial de un Cete con vencimiento a 28 días cuyo valor nominal es de $10.00 y la tasa de descuento anual del 4.39%. Descuento: D = M * n * d D = (10 * 28/360 * 4.39%) = Valor Comercial o Precio: P = M - D P = = Obtener la Tasa de Rendimiento: TR = VN P 1 36,000 DV TR = , = % 23

24 1.3 INTERÉS COMPUESTO DEFINICIÓN Es la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada periodo por adición de los intereses vencidos. Una transacción trabaja a interés compuesto cuando el capital inicial y los intereses generados en cada periodo ganan intereses en periodos subsiguientes. El interés compuesto es el interés devengado por el principal al final de un período y que devenga interés en el período o períodos subsiguientes. 24

25 1.3 INTERÉS COMPUESTO PERIODO Y FRECUENCIA DE CONVERSIÓN El tiempo entre dos fechas sucesivas, en las que los intereses se agregan al capital, se denomina periodo de capitalización o periodo de conversión. El número de veces por año en las que los intereses se capitalizan se denomina, frecuencia de conversión. En las transacciones financieras que implican interés compuesto, es importante tener presente los conceptos siguientes: 1) Capital Original: C 25

26 1.3 INTERÉS COMPUESTO CONCEPTOS FUNDAMENTALES 2) Tasa de Interés por Periodo: ip = i fc 3) Número de Periodos de Conversión: Donde: tpc = fc t ip = Interés por Periodo i = Tasa de Interés; fc = Frecuencia de Conversión tpc = Total de Periodos de Conversión; t = Tiempo Total de la Transacción Financiera. 26

27 1.3 INTERÉS COMPUESTO FÓRMULA GENERAL El interés compuesto se deduce de la forma siguiente: Tenemos que: M = C + I Sabemos que: I = C i t Cuando t = 1, I = C i Por lo tanto: M = C + C i Factorizando: M = C(1 + i) Es notorio que el monto de un capital, al final de un periodo, se obtiene multiplicando por el factor 1 + i. Al final del segundo periodo se tiene: M = C(1 + i)(1 + i) M = C(1 + i) 2 27

28 1.3 INTERÉS COMPUESTO FÓRMULA GENERAL Al final del tercer periodo se tiene: M = C(1 + i) i M = C(1 + i) 3 Generalizando para n periodos de capitalización, la formula general del monto a interés compuesto está dada por: M = C(1 + i) n Donde: M = Monto o Valor Futuro; C = Capital Original; i = Tasa de Interés por Periodo de Capitalización; y, n = Número Total de Periodos de Capitalización. Es importante mencionar que la definición de periodo debe ser la misma para i y n. 28

29 1.3 INTERÉS COMPUESTO VALOR PRESENTE COMPUESTO El Valor Presente o Valor Actual, en una inversión a interés compuesto, es el capital que invertido ahora, a una tasa de interés dada, alcanzará un monto determinado después de un cierto número de periodos de capitalización. Permite obtener el valor que tiene en el momento actual un conjunto de cantidades que han de vencer en el futuro. Su fórmula es la siguiente: VA = M (1 + i) n 29

30 1.3 INTERÉS COMPUESTO FÓRMULAS FUNDAMENTALES Monto Compuesto: Interés: M = C(1 + i) n I = M C Capital Original o Valor Actual: M VA = (1 + i) n Tasa de Interés: Plazo o Tiempo: i = M C 1 n 1 n= Log(M) Log(C) Log(1+i) 30

31 1.3 INTERÉS COMPUESTO EJEMPLO Un empresario tiene una deuda de $100,000 que deberá pagar dentro de 1 año. La operación esta pactada a una tasa de interés compuesto del 12%, capitalizable semestralmente. C = $100,000 T i Obtenga: = 1 Año = 12% Anual, capitalizable semestralmente. M = 100,000* (1+12% / 2)^2 = 112,360 I = 112, ,000 = 12,360 VP = 112,360 / (1+ 12% / 2)^2 = 100,000 i = [(112,360/100,000)^(1/2)]-1 = 0.06 * 2 = 0.12 ó 12% n = [ln(112,360) ln(100,000)] / ln(1+12% / 2) = 2 31

32 1.3 INTERÉS COMPUESTO CAPITALIZACIÓN CONTINUA Los periodos de capitalización pueden ser tan pequeños como se quiera, llegando a tasas de capitalización instantánea. Aunque no es muy común su uso, se presenta la fórmula de cálculo: Donde: M = Monto C = Capital Original e = M = C e (i n) i = Tasa de Interés por Periodo de Capitalización n = Número Total de Periodos de Capitalización 32

33 1.3 INTERÉS COMPUESTO EJEMPLO: CAPITALIZACIÓN CONTINUA Calcule el monto con la fórmula de capitalización continua; considere un capital inicial de $8,000, una tasa de interés anual del 22%, capitalizable semestralmente durante dos años. Capital = $8,000 e = i = 22% t (Años) = 2 S = C*e^(i*t) S = 8,000 * ^(22% / 2*4) = 12,

34 1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA Y EQUIVALENTE Si un capital invertido a interés compuesto se capitaliza cada año, el monto compuesto al final del primer año es igual al interés simple a un año. Si la capitalización se efectúa más de una vez al año, el monto compuesto al final de un año es mayor que el obtenido por interés simple. Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual, esta tasa aplicable a una inversión o aun préstamo a interés compuesto se denomina Tasa de Interés Nominal. 34

35 1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA Y EQUIVALENTE TIN = (Tasa de Interés)*(Núm. Periodos) Ejemplo: Una tasa de interés del 2.5% mensual, se expresa como el 7.5% nominal trimestral o 30% nominal anual; Una tasa de interés del 6% trimestral le corresponde el 24% nominal anual; Una tasa de interés del 10% semestral, se expresa como el 20% nominal anual. La tasa de interés nominal facilita que el público pueda controlar su depósitos mediante la aplicación de la formula de interés simple. 35

36 1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA Y EQUIVALENTE Si el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual, la cantidad efectiva pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. Cuando esto sucede, se puede determinar una Tasa Efectiva de Interés. La tasa efectiva por periodo es la tasa de interés que efectivamente se aplica en cada periodo de capitalización, se obtiene al dividir la tasa nominal anual entre el número de periodos de capitalización que hay en un año. i ep = i m 36

37 1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA Y EQUIVALENTE La tasa de interés efectiva se determina con base en la formula de interés compuesto. La fórmula de calculo para la Tasa de Interés Efectiva Anual es: Donde: i e = 1 + i m m 1 i e = Tasa de Interés Efectiva Anual i = Tasa de Interés Nominal Anual m = Número de periodos de capitalización al año La tasa efectiva es independiente del capital invertido y del tiempo que dura la inversión. 37

38 1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA Y EQUIVALENTE Ejemplo: Cuál es la tasa efectiva que se recibe de un depósito bancario de $10,000 pactada al 20% de interés anual capitalizable mensualmente? M = 10,000 * (1 + 20% / 12)^12 = 12,193.9 I = 12, ,000 = 2,193.9 Tasa Efectiva: i = 2,193.9 / 10,000 = ó 21.94% Comprobación: Tasa Efectiva = [(1 + i/m)^m 1] Tasa Efectiva = [(1+(20%/12))^12)-1] Tasa Efectiva = ó % A una tasa nominal del 20%, se recibe de un deposito bancario una tasa efectiva del 21.94%. 38

39 1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA Y EQUIVALENTE Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán Equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto. 39

40 1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA Y EQUIVALENTE Ejemplo Un inversionista desea colocar un capital de 10,000 USD a una tasa de interés del 8% anual convertible trimestralmente durante un año. Calcule la tasa de interés efectiva anual. C = 10,000 i = 8% Anual. Capitalizable Trimestralmente = 2% T = 1 Año S = 10,000 * [(1 + 8% / 4)^4] = 10,824.3 T.N. = [(10,824.3/10,000)^(1/4)]-1 = 0.02 * 4 = 0.08 ó 8% T. E. = [(10,824.3/10,000)^1]-1 = ó 8.24% S = 10,000*(1 + 8% / 4)^4 = 10,824.3 S = 10,000*( %)^1 = 10,

41 BIBLIOGRAFÍA 1) Vidaurri Aguirre, Héctor Manuel. Matemáticas Financieras. CENGAGE. 2) Villalobos, José L. Matemáticas Financieras. Editorial Prentice Hall, México. 3) Díaz Mata, Alfredo y Aguilera Gómez, Víctor M. Matemáticas Financieras. Editorial Mc Graw Hill, México. 4) Baca Urbina, Gabriel. Fundamentos de Ingeniería Económica. Editorial Mc Graw Hill, México. 5) Guzmán Plata, Ma. de la Paz. El Modelo Portafolio Aplicado a la BMV. UAM-Azcapotzalco. 6) Markowitz, Harry. Portfolio Selection. Cowles Foundation for Research in Economics at Yale University. 7) Instituto Panamericano de Alta Dirección de Empresa, México. Introduction to Portfolio Theory. IPADE 41

42 DATOS DE CONTACTO: Web: Nota: Los conceptos presentados en esta presentación fueron tomados de la bibliografía señalada y las imágenes fueron bajadas de Internet.