= x. o bien: De este modo, 3 6. Esto es un ejemplo de FUNCIÓN.
|
|
- Óscar Gallego Salas
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 8 FUNCIONES.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Recuerda que hay distintas ormas de epresar una unción. Enunciado o descripción verbal: A cada número se le hace corresponder su doble. Tabla de valores: Epreón analítica de la relación Gráica: o órmula matemática: Número () Su doble (y) y - -4 o bien: - - ( ) De este modo, 6 ( ) 4, ( 4) ( 4) 8 Esto es un ejemplo de FUNCIÓN. y Son distintas ormas de epresar una relación entre dos magnitudes de manera que a cada valor de la variable le corresponde un ÚNICO valor de la variable y. Al único valor de y que le corresponde a se le llama imagen de. Al valor de cuya imagen es y, lo llamamos original de y o antiimagen de y. En el ejemplo anterior: La imagen de 9 es8 (9) 8 La antiimagen de8 es 9 Una FUNCIÓN entre dos conjuntos numéricos A y B es una correspondencia que agna a cada elemento de A, a lo sumo, un único elemento y de B. Variable independiente. y Variable dependiente (depende de ). A Conjunto inicial (donde toma valores la variable independiente). B Conjunto inal (donde toma valores la variable dependiente). Dominio de una unción: Conjunto de valores que toma la variable independiente. Se denota por Dom() y es un subconjunto de A. También se llama campo de eistencia de la unción. Recorrido o imagen de una unción: Conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Se denota por Rec() o también Im(). Es un subconjunto del conjunto inal B. Si el conjunto inicial y inal de una unción es R, se llama unción real de variable real. Se escribe: : Dom( ) R Dom a y ( ) Nos ocuparemos ecluvamente de este tipo de unciones. Ejemplo: a) : R R a ( ) ( ) R [ 0, + ) a Notación: R ( + ) + 0, R [ + ) + 0, R (,0) R ( ],0 0 0 Ejercicio: Dada la unción ( ) +. a) Calcula la imagen de y. b) Calcula la antiimagen de 4 y de 5. R ( ) Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro b) : R R \{} 0
2 IES Padre Poveda (Guadi) TIPOS DE FUNCIONES: POLINÓMICAS ( ) + 7 RACIONALES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS ( ) + IRRACIONALES ( ) 7 FUNCIONES EXPONENCIALES ( ) TRASCENDENTES LOGARÍTMICAS ( ) ln( + ) TRIGONOMÉTRICAS ( ) tg( + 4) A las unciones racionales raccionarias se les llama mplemente racionales. ln( 4) + e Podemos tener unciones como ( ) mezcla de varios tipos de trascendentes. cos Recuerda: Una gráica corresponde a una unción cuando cada recta paralela al eje de ordenadas corta a la gráica, a lo sumo, una sola vez. Sí es unción No es unción Sí es unción No es unción CÁLCULO DE DOMINIOS: Si la unción viene dada por su epreón matemática es conveniente obtener su dominio para así saber dónde está deinida. El dominio de una unción debe estar ormado por los valores de para los que tiene sentido sustituir en su epreón analítica. En el cálculo de dominios debemos evitar los valores de que: Anulan denominadores (divión por cero). Dan lugar a raíces de índice par de números negativos. Dan lugar a logaritmos de números no potivos. Ejemplos: a ) ( ) + + b) ( ) c ) ( ) + 7 d) ( ) ( )( 5) 4 5 e ) ( ) ) ( ) g) ( ) h) ( ) i ( ) ) 4 j) ( ) 4 ( ) ( ) k ) 7 l ) m ) ( ) ( ) n) + 7 ñ) ( ) o ) ( ) 5 ( ) 5 p) + 0 q) ( ) ( ) 7 ( ) 7 r) + s) + t) ( ) 7 + u ) ( ) 4 + v) ( ) 5 w) ln 5 ) y ) ( ) ( ) ( ) log 9 ( ) + ln Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
3 IES Padre Poveda (Guadi). MONOTONÍA Y EXTREMOS. ACOTACIÓN... MONOTONÍA. es estrictamente creciente en un intervalo abierto ( a, b), para cualquier pareja de números reales c, d ( a, b) se cumple que c < d ( c) < ( d ). es estrictamente decreciente en un intervalo abierto ( a, b), para cualquier pareja de números reales c, d a, b se cumple que c < d () c > ( d ). ( ).. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS. Si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en un intervalo abierto ( a, b), diremos que es estrictamente monótona en ( a, b). tiene un máimo relativo (o local) en a eiste un entorno de a, ( a r, a + r), en el que: < a ( ) < ( a) > a ( ) < ( a) tiene un mínimo relativo (o local) en a eiste un entorno de a, ( a r, a + r), en el que: < a ( ) > ( a) > a ( ) > ( a) Si presenta un máimo o un mínimo relativo en a diremos que presenta un etremo relativo en a. tiene su máimo absoluto (o global) en a : a Dom ( ) ( ) ( ) tiene su minino absoluto(o global) en a : ( a) ( ) Dom( ) Si presenta un máimo o un mínimo absoluto en a diremos que presenta un etremo relativo en a. Fíjate: Podemos encontrar mínimos relativos con valor mayor que máimos relativos y viceversa. Un etremo absoluto puede alcanzarse en uno o varios puntos distintos o bien no alcanzarse. Etremos relativos Concepto local Etremos absolutos Concepto global.. FUNCIONES ACOTADAS. está acotada superiormente eiste un número real M tal que: ( ) M Dom( ) Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
4 IES Padre Poveda (Guadi) está acotada ineriormente eiste un número real N tal que: N Dom ( ) ( ) está acotada lo está superior e ineriormente, es decir, eisten dos números reales M y N tales que: N ( ) M Dom( ) Observa: En las iguras anteriores, la menor de las cotas superiores (llamada supremo) coincide con el máimo absoluto de la unción. Del mismo modo, la mayor de las cotas ineriores (llamada ínimo) coincide con el mínimo absoluto. Sin embargo, puede que una unción esté acotada superiormente y/o ineriormente y n embargo no tener máimo ni mínimo absolutos como en el guiente ejemplo. Cota superior: M.8 Cota inerior: N -.8 Sin embargo no tiene etremos absolutos ni relativos.. SIMETRÍA Y PERIODICIDAD... FUNCIONES SIMÉTRICAS. ( -) ( ) es métrica respecto del eje de ordenadas (OY) : ( ) ( ) Dom( ) - ( ) - ( -) Se dice que es una unción par. es métrica respecto del origen de coordenadas O(0,0) : ( ) ( ) Dom( ) Se dice que es una unción impar. Ejemplo: Estudia las metrías de las guientes unciones: a) b) c) Ejemplo: Estudia, analíticamente, estas unciones presentan algún tipo de metría. 6 a) b) ( ) c) ( ) 5 + d) ( ) ( ) Departamento de Matemáticas 4 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
5 IES Padre Poveda (Guadi).. FUNCIONES PERIÓDICAS. es periódica de periodo T, eiste un número real T tal que: + T Dom Fíjate: T, T también son periodos de T. A T se le llama periodo principal. ( ) ( ) ( ) Esta unción ( ) cos es periódica de periodo T π 4. OPERACIONES CON FUNCIONES. Dadas dos unciones y g, se deine: Suma de y g: ( + g)( ) ( ) + g( ) Dom( + g) Dom( ) Dom( g) Dierencia de y g: ( g)( ) ( ) g( ) Dom g Dom Dom g Producto de k R y : ( k )( ) k ( ) Dom( k ) Dom( ) g g Dom g Dom Dom g ( ) ( ) ( ) Producto de y g: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cociente de y g: ( ) ( ) Dom Dom( ) Dom( g) con g ( ) 0 g g( ) g + Ejemplo : Si ( ) 5 y ( ) + 4, g calcular: a ) + g b) g c) d) e) g + 4 Ejemplo : Si ( ) y ( ), g calcular: a ) + g b) g c) g d) 5. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. Conderemos las unciones ( ) y g( ) ) g) + g g e) ) 5 g g g A 6 le hemos aplicado : ( ) 4 ( ) A 4 le hemos aplicado g: ( ). 4 ( ) g / g ( 6) 4 g( ( 6) ) g( 4) 6 4 h) g) h) g g /4 g o 6 Pretendemos construir una nueva unción que transorme 6 en /4 directamente: ( ) g( ( ) ) g( ) g ( ( 6 )) ( g o )( ) 6 4 Esta nueva unción se representa por g o y se denomina compoción de y g. /4 ( g o )( ) g( ( ) ) Dom( g o ) { Dom( )/ ( ) Dom( g) } Observación: g o Se lee compuesta con g. o g Se lee g compuesta con. En general, o g g o, es decir, no cumple la propiedad conmutativa. Departamento de Matemáticas 5 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
6 IES Padre Poveda (Guadi) Ejemplo: Si ( ) 5 g ( ). a) Obtén ( )( 9) ( g o )( 9) g( ( 9) ) Ejercicio: Obtén g o n calcular la unción g o. ( ) 6 g 6 6 ( 9) 6 g o 9 obteniendo previamente g o. b) Calcula ( )( ) ( o )( ) g ( ) g 5 ( g o )( 9) ( ) ( ) 5 ( g )( ) g o 5 c) Calcula o g. ( o g)( ) g( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 Observa: o g g o o g, g o, o y g o g en los guientes casos: a) ( ) + g ( ). b) ( ) 4 + g ( ). g c) ( ) + g ( ). d) ( ) + ( ). 6. FUNCIÓN INVERSA. Dada la unción ( ) busco otra unción que actúe al revés. 4 5 ( ) ( ) 4 5 ( )? 5? 4 Recuerda: inyectiva ( ) ( y) y Para obtenerla seguimos los guientes pasos: º) Escribo: y º) Despejo : y + º) Cambio por y y viceversa: y + 4º)Cambio y por + ( ): ( ) A se le llama unción inversa (o recíproca) de la unción. No todas las unciones tienen inversa. Únicamente las que son inyectivas. Inyectiva Propiedad : Las gráicas de y son métricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. (Observa la gráica del ejemplo anterior). No inyectiva Propiedad : ( o )( ) ( o )( ) En el ejemplo anterior: ( o )( ) ( ). En este caso la compoción es conmutativa. + + ( ) / + ( o )( ) / + / / ( o )( ) ( ( ) ) ( ) ( o )( ) Departamento de Matemáticas 6 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro / /
7 IES Padre Poveda (Guadi) Ejemplo : Calcula o. Recuerda: i ( ) es la unción identidad. en los guientes casos y comprueba que o i a) ( ) 6 y 6 y + 6 y + 6 ( ) + 6 Veamos que o o i ( o )( ) ( ) y + 6; ( ) ( 6) 6/ + 6/ ( o )( ) ( ( ) ) ( + 6) ( + 6) 6 + 6/ 6/ b) ( ) 5 c) ( ) + 6 d) ( ) + + e) ( ) - Ejemplo : Si ( ) No es una unción obtén, es poble,. ( ) ( ) y y y Cuál elegimos? y y Esto ocurre porque no es inyectiva. En este caso podemos descomponer en dos tramos en los que sí lo es y tendrá su inversa respectiva en uno de ellos: ( ) en [ 0,+ ) ( ) ( ) en (,0] ( ) Observa las gráicas en cada tramo: - - Fíjate: ( a) b ( b) a 7. FUNCIONES ELEMENTALES. 7.. FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO. Son de la orma: ( ) m n + m Pendiente. n Ordenada en el origen. Gráica: Recta que pasa por el punto ( 0, n ). Si m > 0 Estrictamente creciente Si m < 0 Estrictamente decreciente ( 0, n) () m+n ( 0, n) () m+n Departamento de Matemáticas 7 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
8 IES Padre Poveda (Guadi) En ambos casos Dom ( ) R, ( ) R Rec. No está acotada ni superior ni ineriormente. n 0 Función lineal o de proporcionalidad directa. Si ( ) m Su gráica es una recta que pasa por ( 0,0). Si m 0 ; n 0 () m + n Función aín. Si m ( ) n 0 Función constante (en este caso no es polinómica de primer grado). Su gráica es una recta paralela al eje de abscisas que pasa por ( 0, n ). () n ( 0, n) En este caso: Dom ( ) R Rec n. ( ) { } 7.. FUNCIONES CUADRÁTICAS O POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO. Son de la orma: ( ) a + b + c con a, b, c R 0 Dom Gráica: Parábola. Mayor valor de a Más estilizada (cerrada) es la parábola. Recuerda: > Convea a ( ) R Si a 0 ( ) Si a < 0 Cóncava ( ) Ejemplo: Representa la unción ( ) etremos y acotación.. Estudia su dominio, recorrido, monotonía, º) Curvatura: a > 0 Convea ( ) D om( ) R º) Puntos de corte con los ejes: P(, 0) Eje OX: y 0 0 Q(, 0) Eje OY: 0 ( 0) R( 0, ) º) Vértice: (Mínimo absoluto y relativo por ser convea) b b v ; () 4 V, 4 a a Rec ( ) [ 4, + ) Estr. decreciente en (,); Estr. creciente en (, + ). Acotada ineriormente (N-4), pero no superiormente. y v ( ) 7.. FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR. Función polinómica de grado n: n n ( ) an + an a + a + a0 con a i R a n 0. Propiedades: Dom ( ) R, Rec ( ) depende de cada unción. Continua en R. A lo sumo corta n veces al eje de abscisas. El resto de propiedades son especíicas de cada unción y se estudiarán en guientes unidades. Ejemplos de gráicas: Si a n > 0 Si a n < 0 n par n impar n par n impar Departamento de Matemáticas 8 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
9 IES Padre Poveda (Guadi) 7.4. FUNCIONES RACIONALES. Son de la orma: P ( ) ( ) con Q( ) P ( ), ( ) Dom ( ) R \{ R/ Q( ) 0}. Ejemplos: 4 Q unciones polinómicas. a) ( ) Dom ( ) R \{, } b) g ( ) Dom ( g) R + [ 0, + ) + 0 g Rec ( ) R Rec ( g) R + ( 0, + ) Sus propiedades son dierentes para cada unción. CASO PARTICULAR: FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: Son de la orma: k ( ) con k R k 0. Gráica: Hipérbola equilátera. Ejemplos: a) ( ) b) g( ) c) h( ) g h Observa: Si Si k > 0 Ramas tuadas en el primer y tercer cuadrante. k < 0 Ramas tuadas en el segundo y cuarto cuadrante. Propiedades: Dom ( ) R \{ 0 }, Rec ( ) R \{ 0 }. Si k > 0 Estrictamente decreciente en ( 0) ( 0, + ) Si k < 0 Estrictamente creciente en (, 0) ( 0, + ). No tiene etremos absolutos ni relativos. No está acotada ni superior ni ineriormente. Impar (metría respecto al origen). y 0 es una asíntota horizontal. 0 es una asíntota vertical. Puntos de la gráica:,. () k P(, k) ( k) P( k, ) k P, k k P k, ( ) ( ) ( ) ( ) Departamento de Matemáticas 9 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
10 IES Padre Poveda (Guadi) También tienen como gráica una hipérbola las unciones racionales del tipo: a + b ( ) Dom ( ) R \{ d / c} Asíntota vertical: d / c c + d Rec ( ) R \{ a / c} Asíntota horizontal: y a / c Aunque tendremos que tener en cuenta algunos casos como el ejemplo b). Ejemplos: 5 a) () b) Dada la unción ( ) 7.5. FUNCIONES IRRACIONALES. Son de la orma: n g Dom ( ) R \{ } Rec ( ) R \{ } Asíntota vertical: Asíntota horizontal: y. Estrictamente decreciente en: (, ) (, + ). No acotada ni superior ni ineriormente. No presenta etremos absolutos ni relativos. No es impar. 5 Fíjate: ( ) + Qué observas? 6 g su gráica es una hipérbola? por qué? ( ) ( ) con ( ) g polinómica o racional. Si n es par Dom ( ) { Dom( g) / g( ) 0} Si n es impar Dom ( ) Dom( g) Ejemplos: a) () ( ) R + Dom [ 0, + ) b) g ( ) + Dom ( g) R () g() g Rec ( ) R + [ 0, + ) Rec ( g) R FUNCIONES EXPONENCIALES. Son de la orma: a con a R; a > 0 y a Ejemplos: a) ( ) y g( ) ( ) b) () Departamento de Matemáticas 0 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro y g( ) () /4 / 4 8 () 4 / /4 /8 g() /9 / 9 7 g() 9 / /9 /7
11 IES Padre Poveda (Guadi) a > g() () ()(/) g()(/) 0 < a < Fíjate: Las gráicas de ( ) a y g( ) son métricas respecto al eje OY. a g() (/) () Propiedades: Dom ( ) R, Rec ( ) ( 0, + ). Su gráica pasa por los puntos: 0, 0 a P ( ), es decir, ( ) o. P (, a), es decir, ( ) a a. P (, / a), es decir, ( ) a / a. Convea en R. No tiene etremos absolutos ni relativos. Está acotada ineriormente por N0, pero no está acotada superiormente. Si a > es estrictamente creciente en R. Si 0 < a < es estrictamente decreciente en R. Su gráica no presenta metrías. Es continua en R. y 0 es una asíntota horizontal. Una unción eponencial muy especial: ( ) e ( ) e Función eponencial de base e Recuerda que: e Pasa por: 0, P, e P, / e. P ( ); ( ); ( ) Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
12 IES Padre Poveda (Guadi) 7.7. FUNCIONES LOGARÍTMICAS. Son de la orma: log con a R; a > 0 y a Ejemplos: log ( ) a a) ( ) y ( ) log b) ( ) y g( ) g log log 4 8 / /4 () / /9 g() / /4 () / /9 g() a > ()log g()log 0 < a < Fíjate: Las gráicas de ( ) log y g( ) a log son métricas respecto al eje OX. a g()log / ()log / g()log ()log / Propiedades: Dom ( ) ( 0, + ), Re c( ) R. Su gráica pasa por los puntos:, 0 log P ( ), es decir, ( ) a 0 P ( a,), es decir, ( a) log a a P ( / a, ), es decir, ( / a) log / a a No tiene etremos absolutos ni relativos. No está acotada, ni superior ni ineriormente. Si > Si 0 < Su gráica no presenta metrías. Es continua en ( 0, + ). 0 es una asíntota vertical. a es estrictamente creciente y cóncava en ( 0, + ). < a es estrictamente decreciente y convea en (, + ) 0. Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
13 IES Padre Poveda (Guadi) Observación: ( ) a y g( ) log son unciones inversas. a Por tanto, sus gráicas son métricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. a > 0 < a < g - g - Una unción logarítmica muy especial: ()ln ( ) ln Función logaritmo neperiano Recuerda que: ln loge Pasa por:, 0 e, P / e, P ( ); P ( ); ( ) 7.8. FUNCIONES CIRCULARES Y SUS INVERSAS. sen ( ) 0 π /4 π / π /4 π π / π () 0 / / 0-0 ( ) cos 0 π /4 π / π /4 π π / π () / 0 - / - 0 ( ) tg ()cos ()sen 0 π /4 π / π /4 π 5π /4 π / 7π /4 π () 0 / - 0 / - 0 Propiedades () sen : Dom ( ) R; Re c ( ) [, ]. Periódica con T π rad. Monotonía en [, π ) 0. Estr. creciente en: ( 0, π / ) ( π /, π ) Estr. decreciente en: π /, π / ( ) Curvatura en [ 0, π ). Convea en: ( π, π ) Cóncava en: ( 0, π ) Etremos relativos y absolutos: Máimo absoluto y relativo en: π / con valor ( π / ) Mínimo absoluto y relativo en: π / π / Función impar. Acotada. M; N-. Continua con valor ( ) Estudia las propiedades de ()cos Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
14 IES Padre Poveda (Guadi) Propiedades () tg : π Dom ( ) R \ + k π / k Ζ Rec ( ) R. Periódica con T π rad. Estudia el resto de sus propiedades. ()tg Análogamente se pueden obtener las gráicas de la unciones cosecante, secante y cotangente: cosec ( ) sec ( ) ( ) cotg Observa las gráicas anteriores y estudia sus propiedades. FUNCIONES ARCO: Son las inversas del seno, coseno y tangente (en el sentido de la compoción de unciones) tomando intervalos en los que son inyectivas. Por tanto sus gráicas son métricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. ( ) arcsen ( ) arccos ( ) arctg ()arcsen g() sen ()arccos g() tg ()arctg Dom ( ) [, ]; Rec ( ) [ π, π ] Dom ( ) [, ]; Rec ( ) [ 0, π] ( ) R; g() cos Dom Rec ( ) ( π, π ) Departamento de Matemáticas 4 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
15 IES Padre Poveda (Guadi) 7.9. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Están deinidas por varias epreones algebraicas. Ejemplos: Representa estas unciones deinidas a trozos. < ( ) ( ) ( ) + a) ( ) < Dom ( ) R () ()- () (, ) Rec ( ) b) g ( ) < < 4 4 g ( ) + + g ( ) g ( ) 0 4 Dom (g) R g() g() g Primer trozo: Arco de parábola º) Curvatura: a > 0 Convea ( ) º) Puntos de corte con los ejes: Eje OX: y P(, 0) ( Coincide con el vértice). Eje OY: 0 g( 0) Q( 0,) (Fin arco parábola). º) Vértice: b b v ; g g( ) 0 V, 0 a a c) h ( ) y v ( ) [,0) [ 0, ] (, 7) Comprueba que en el caso c) se obtiene esta gráica y estudia su dominio y recorrido. Rec (g) [ 0 + ), h Departamento de Matemáticas 5 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
16 IES Padre Poveda (Guadi) OTRAS FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS: a) Función parte entera. E() Dom(E) R ; Rec(E) Z Función parte entera E()... E ( ) 0... < < < 0 0 < < < < 4 b) Función parte decimal. Dom(D) R ; Rec(D) [ 0,) Periódica con T D() -E() D ( )... < < 0 0 < < < c) Función gno. Dom(Sig) R ; Rec(Sig) {,0,} Sig( ) Sig ( ) 0 < 0 0 > 0 Ejercicio: Representa estas unciones epresándolas previamente como una unción deinida a trozos. a ) Sig( ) > 0 > / < / Es inmediato que 0 / Sig ( ) 0 / < 0 < / > / Sig(-) Sig( -8+) b ) Sig( 8 + ) Comprueba que obtienes la gráica del margen. Departamento de Matemáticas 6 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
17 IES Padre Poveda (Guadi) 7.0. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. Se deine la unción valor absoluto como la unción deinida a trozos: ( ) < 0 0 () Dom ( Rec ( ) R ), [ 0 + ) Fíjate: Podemos deinir la unción gno como: Sig ( ) 0. Ejemplo : Representa y epresa como unción deinida a trozos: a ) () 4 Se representa: y 4. () -4 () Corte con eje OX: ( no se ha obtenido en la tabla) y P(,0) Como unción a trozos queda: + 4 < ( ) 4 Dom ( ) R; Rec ( ) [ 0, + ) b ) () Se representa y () -5+4 º) Curvatura: a > 0 Convea ( ) º) Puntos de corte con los ejes: Eje OX: ( ) P, 0 y Q( 4, 0) Eje OY: 0 R( 0, 4) º) Vértice: b 5 v.5; y.5 v a ( ) R; Rec ( ) 0, + V (.5,.5) ó < < 4 Dom [ ) Como unción a trozos queda: ( ) c ) () Comprueba que en el caso c) se obtiene esta gráica. () Departamento de Matemáticas 7 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
18 IES Padre Poveda (Guadi) Ejemplo : Representa estas unciones y observa las metrías que presentan algunos casos: a ) sen b ) () sen c) ( ) cos d ) ( ) tg e () ln ) ln ( ) ) ( ) ( ) ln h ) () e i ) ( ) e j) ( ) e k) ( ) e l) ( ) g) e a) () sen Periódica con T π b) () sen No periódica c) () - cos Periódica con T π d ) () tg Periódica con T π e) () ln ) () ln g) () -ln Cuál es su dominio? Departamento de Matemáticas 8 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
19 IES Padre Poveda (Guadi) h) () e Coincide con y e! i) () e j) () e - k) () -e l) () - e - Ejemplo : Epresar como una unción deinida a trozos y representar: a) ( ) ( ) < 0 0 () Ya que < 0 0 b) g ( ) < < ; + < < Departamento de Matemáticas 9 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
20 IES Padre Poveda (Guadi) Por tanto: < g ( ) 6 < ya que: < + < g() c) h () Comprueba que, en este caso, su gráica es: h() OTRAS TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES. a) TRASLACIONES VERTICALES. ( ) k > 0 Traslación vertical de k unidades en la gráica de en sentido potivo ( hacia arriba ). + k k < 0 Traslación vertical de k unidades en la gráica de en sentido negativo ( hacia abajo ). Ejemplos: a) Observa las gráicas de la derecha obtenidas al trasladar la unción (). ( ) ( ) + g( ) + g Traslación vertical de dos unidades hacia arriba. g() + () () h() h Traslación vertical de una unidad hacia abajo. () h() - Departamento de Matemáticas 0 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
21 IES Padre Poveda (Guadi) b) Observa ahora estas gráicas obtenidas por traslación de la unción () sen. ( ) ( ) + g( ) sen + g Traslación vertical de dos unidades hacia arriba. ( ) ( ) h( ) sen h Traslación vertical de tres unidades hacia abajo. g() sen + () sen h() sen - b) TRASLACIONES HORIZONTALES. ( + k ) k k > 0 < 0 Traslación horizontal de k unidades en la gráica de en sentido negativo ( hacia la izquierda ). Traslación horizontal de k unidades en la gráica de en sentido potivo ( hacia la derecha ). Ejemplos: a) Presta atención a estas gráicas obtenidas por traslación de () log. () ( ) g () log ( ) g Traslación horizontal de una unidad hacia la derecha. ( ) ( + ) h ( ) log( + ) h Traslación horizontal de dos unidades hacia la izquierda. h() log ( +) () log g() log ( - ) Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
22 IES Padre Poveda (Guadi) b) Fíjate ahora en estas traslaciones de la unción () sen. ( ) ( + π / ) g( ) sen( + π / ) g Traslación horizontal de π/ unidades hacia la izquierda. ( ) ( π ) h( ) sen( π ) h Traslación horizontal de π unidades hacia la derecha. Observa: g( ) sen ( + π / ) cos g() sen ( + π/ ) () sen h() sen (-π) c) DILATACIONES Y CONTRACCIONES SOBRE EL EJE OY. k ( ) Si k > Dilatación de la gráica de sobre el eje OY. Si 0 < k < Contracción de la gráica de sobre el eje OY. Ejemplo: Presta atención a estas gráicas obtenidas por dilatación y contracción de () sen sobre el eje OY. ( ) ( ) g Dilatación sobre el eje OY (se dilata el doble ). ( ) ( ) h Dilatación sobre el eje OY (se dilata el triple ). ( ) / ( ) i ( ) Contracción sobre el eje OY (se contrae a la mitad ). 0 π / π π / π g()sen h()sen i()(/)sen 0 / 0 -/ 0 i() (/)sen () sen g() sen h() sen Observa: Los puntos de corte con el eje OX son los únicos que permanecen ijos y el periodo, en este ejemplo T π, se mantiene. Si k < 0 se obtiene la unción métrica respecto al eje OX de la obtenida al representar k. ( ) Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
23 IES Padre Poveda (Guadi) d) DILATACIONES Y CONTRACCIONES SOBRE EL EJE OX. ( k) Si k > Contracción de la gráica de Si 0 < k < Dilatación de la gráica de sobre el eje OX. sobre el eje OX. Ejemplo: Fíjate en estas gráicas obtenidas por dilatación y contracción de () sen sobre el eje OX. ( ) ( ) g( ) sen( ) g Contracción sobre el eje OX (se contrae a la mitad ). h ( ) h( ) sen Dilatación sobre el eje OX (se dilata el doble ). h() sen(/) () sen g() sen Observa: En este caso los periodos sí han cambiado. Para hacer las representaciones gráicas anteriores hemos tenido en cuenta que: ( ) sen( ) g h ( ) sen Periodo: π π T π Periodo: π 4π T 4π 0 0 g() 0 sen h() 0 sen 0 0 π π π π π π g sen π h( π ) sen 4 4 π π π π h( π ) senπ 0 π g sen π 0 π π π π π π π h π sen g sen 4 4 π π g( π ) senπ 0 π 4π h( 4π ) sen π 0 ( ) Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro
= x De este modo: Esto es un ejemplo de FUNCIÓN.
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 6 FUNCIONES REALES. PROPIEDADES GLOBALES.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. DOMINIO Y RECORRIDO. Recuerda que hay distintas ormas de epresar una unción. Enunciado o descripción verbal:
Más detallesn Ordenada en el origen. Gráfica: Recta que pasa por el punto ( 0, Si m > 0 Estrictamente creciente Si m < 0 Estrictamente decreciente f(x) = mx+n
IES adre oveda (Guadi) UNIDAD 7 FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES OLINÓMICAS FUNCIONES OLINÓMICAS DE RIMER GRADO Son de la orma: ( ) m n = + m endiente n Ordenada en el origen Gráica: Recta que pasa por
Más detallesTEMA 0 FUNCIONES ***************
TEMA 0. Definición y terminología.. Funciones conocidas. 3. Operaciones con funciones. 4. Funciones inversas. FUNCIONES ***************. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable
Más detallesFunción es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama x e y. Viene representado por: y f (x)
TEMA 9: :.- CONCEPTO DE FUNCIÓN: Función es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama e y. Viene representado por: y (, donde es la variable independiente e y es la variable
Más detallesFUNCIONES FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO UNO Y CERO. Funciones de proporcionalidad directa
Funciones de ecuación: ( ) FUNCIONES = m + n ; m y n son números reales Dom = R. Es continua en su dominio. Gráica: una recta m es la pendiente de la recta La pendiente de una recta es el cociente entre
Más detallesSi se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,
Más detallesUNIDAD 6: PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES
UNIDAD 6: PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES 1. EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN - Epresión mediante una tabla de valores La tabla de valores de una unción está ormada por dos ilas o columnas. En la primera
Más detallesUNIDAD 6.- Funciones reales. Propiedades globales (temas 6 del libro)
(temas 6 del libro). EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN - Epresión mediante una tabla de valores La tabla de valores de una unción está ormada por dos ilas o columnas. En la primera ila o columna iguran los valores
Más detallesTEMA 0: REPASO DE FUNCIONES
TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES Recordamos que una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los números reales A en el conjunto de los números reales de forma que a cada elemento
Más detallesFUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES
. NOCIONES INTRODUCTORIAS.. Concepto de función. Dominio e Imagen. Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente x, le asocia un único valor de
Más detallesFUNCIONES. La variable x se denomina variable independiente y la variable y es la variable dependiente. x y
. DEFINICIÓN FUNCIONES Una unción real de variable real es una relación entre dos variables numéricas e y de orma que a cada valor de la variable le corresponde un único valor del la variable y. La variable
Más detallesFunciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x
Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que
Más detallesf: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).
TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:
Más detallesApuntes de Funciones
Apuntes de Funciones El concepto de función es un elemento fundamental dentro del análisis matemático, así como en sus aplicaciones. Esta idea se introdujo con el objetivo de matematizar la transformación
Más detalles, 0 ; Decrece: 0 2, 0 ; 0, 2. d f x x x x. a f x. b f x. Solucionario tema 9: Estudio de Funciones. Ejercicio 1. Ejercicio 2
Solucionario tema 9: Estudio de Funciones Ejercicio Estudia la gráica siguiente: Dominio Recorrido 0, 4 Puntos de corte con los Ejes Con el Eje Y: 0, 4 Puntos máimos y mínimos: Máimo absoluto: 0, No hay
Más detallesFUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Pag. 1 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 1.- Aplicaciones y Funciones. Definiciones. 2.- Tipos de funciones. 3.-Operaciones con funciones. 4.-Composición de funciones. 5.- Función identidad y funciones
Más detallesUNIDAD 3: FUNCIONES -PROPIEDADES GLOBALES -OPERACIONES -FUNCIONES ELEMENTALES -INTERPOLACIÓN
UNIDAD 3: FUNCIONES -PROPIEDADES GLOBALES -OPERACIONES -FUNCIONES ELEMENTALES -INTERPOLACIÓN 46 OBJETIVOS DIDÁCTICOS En esta unidad aprenderás a:. Analizar si una gráfica es o no función.. Analizar las
Más detalles1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los nº reales ( R ) en otro subconjunto de R f : D R R Se representa de la siguiente forma: Una
Más detallesEsta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2 Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)
FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.
Más detallesTEMA 8: FUNCIONES. Primer Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s. Fuentesaúco.
2009 TEMA 8: FUNCIONES. Primer Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s. Fuentesaúco. Manuel González de León. mgdl 01/01/2009 1º E.S.O. TEMA 08: Funciones. TEMA 08: FUNCIONES. 1. Correspondencia.
Más detallesAlonso Fernández Galián
Alonso Fernández Galián TEMA 3: ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Para representar gráficamente una función deben estudiarse los siguientes aspectos: i) Dominio. ii) Puntos de corte con los ejes de
Más detallesLa variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.
Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 7: FUNCIONES 1º BACHILLERATO 1 ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN...3 1.1. CONCEPTO DE FUNCIÓN...3. Definición de Dominio...3.1. CÁLCULOS DE DOMINIOS...3 3. Composición de funciones...4
Más detallesBloque 3. Análisis. 2. Tipos de funciones
Bloque 3. Análisis 2. Tipos de funciones 1. Función lineal Es una función polinómica de primer grado y tiene una ecuación del tipo: y = mx. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas,
Más detallesFUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO
FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO 2007-2008 Funciones reales Definición Clasificación Igual de funciones Dominio Propiedades Monotonía Extremos relativos Acotación. Extremos absolutos Simetría
Más detallesTEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES
TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES 4.1. Funciones lineales, cuadráticas y polinómicas 4.1.1. Funciones lineales. Las unciones lineales o aines tienen por epresión analítica ( m n. Si m > 0, la unción aín tiene
Más detallesSOLUCIÓN. BLOQUE DE FUNCIONES.
SOLUCIÓN. BLOQUE DE FUNCIONES. Análisis de funciones 1. a) y c) son funciones, porque para cada valor de hay un único valor de y. b) no es una función, porque para cada valor de hay dos valores de y. 2.
Más detallesFUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =
Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.
Más detallesUNIDAD 9 DERIVADAS Y APLICACIONES. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b]
IES Padre Poveda (Guadi UNIDAD 9 DERIVADAS Y APLICACIONES. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se deine la tasa de variación media de una unción y en un intervalo [ b] T. V. M. [ a, b] a, como: ( ( a b a ( a, a,
Más detalles5.1 DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES LINEALES
Tema 5 : Funciones elementales - Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES 5.1 DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES LINEALES 3º 5.1.1 - FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD: y = mx Las funciones de proporcionalidad
Más detallesREPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se
Más detallesFUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD: y = mx. Su pendiente es 0. La recta y = 0 coincide con el eje
Funciones elementales - Matemáticas B 4º E.S.O. FUNCIONES ELEMENTALES DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES LINEALES FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD: y = mx FUNCIÓN CONSTANTE: y = n Las funciones de proporcionalidad
Más detallesCARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
. DOMINIO CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN inio de o campo de eistencia de es el conjunto de valores para los que está deinida la unción, es decir, el conjunto de valores que toma la variable independiente.
Más detallesf : R R Definición 2. Se llama dominio de una función f (lo denotaremos por Dom f) al conjunto de valores para los que está bien definida f(x) :
Resumen Tema 2: Funciones Concepto de función. Gráficas Definición. Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R que a cada número le hace corresponder otro valor f(). f() Definición
Más detallesm = 0 constante m > 0 creciente m < 0 decreciente n es la ordenada en el origen (donde la función corta al eje Y, imagen de x=0)
1. FUNCIONES POLINÓMICAS. D(f) = R A. FUNCIONES LINEALES: n = 1 Su gráfica es una recta. D (f) = R. Im (f) = R m = 0 constante m es la pendiente (inclinación) m > 0 creciente y = mx + n m < 0 decreciente
Más detallesFUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
Juan Antonio González Mota Proesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley
Más detallesel blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 1
el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 1 FUNCIONES LINEALES 1.- FUNCIÓN CONSTANTE Una función constante es aquella en la cual el valor de la variable dependiente siempre
Más detalles12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo
Más detallesDEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder un único número real, f(x):
1 FUNCIONES ELEMENTALES CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder un único número real, f(x): Lo denotamos por : f : Dom -----> R x
Más detalles10.1 LAS FUNCIONES DESCRIBEN FENÓMENOS REALES
TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 LAS FUNCIONES DESCRIBEN FENÓMENOS REALES Las funciones describen fenómenos cotidianos, económicos, psicológicos,
Más detallesPrincipios de graficación
Graicación Principios de graicación En algunas oportunidades tenemos que graicar una unción que es casi igual a las que a sabemos graicar, llamadas básicas, sólo que estas presentan elementos adicionales
Más detallesTema 7.0. Repaso de números reales y de funciones
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 47 Tema 70 Repaso de números reales y de funciones El conjunto de los números reales El conjunto de los números
Más detallesEl subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.
Concepto de función Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real (uno y sólo uno).
Más detallesFUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se denota por : A B A
Más detallesConcepto de función y funciones elementales
Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante
Más detallesUNIDAD 8.- Funciones racionales (tema 8 del libro)
(tema 8 del libro). FUNCIÓNES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA k Las funciones de proporcionalidad inversa son funciones cuya epresión es de la forma f ( ) Las gráficas de estas funciones son o se llaman hipérbolas
Más detallesTEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R
TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Concepto de función. Definición Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R f() que a cada número le
Más detallesTema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
UAH Funciones reales de variable real 1 Tema FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B es una relación (una ley) que asigna a cada elemento
Más detallesTEMA 7. FUNCIONES ELEMENTALES
TEMA 7. FUNCIONES ELEMENTALES 8.1. Funciones cuya gráfica es una recta. - Función constante. - Función de proporcionalidad. - Función lineal. - Pendiente. 8.2. Función cuadrática. - Representación gráfica
Más detallesUnidad 6: Funciones reales de variable real.
Funciones reales de variable real 1 Unidad 6: Funciones reales de variable real. 1.- Concepto de función. Expresión analítica de una función. Variables x e y Existe relación entre x e y No hay relación
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,
Más detallesGráfico Exponencial, Polinominal y Cuadrático. Grafico de la funcion exponencial F(x)=a^ x, con a > 1. F(x)= 2^x
Gráfico Exponencial, Polinominal y Cuadrático Grafico de la funcion exponencial F(x)=a^ x, con a > 1 F(x)= 2^x Rec: R+ F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha) Asintótica
Más detallesPropiedad importante: Si una recta pasa por los puntos ( a, 1. FUNCIÓNES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO
1. FUNCIÓNES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO Son funciones de la forma mx n ó y mx n donde: m : se llama pendiente de la recta n : se llama ordenada en el origen. La recta pasa por el punto 0,n Ya sabemos
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. APLICACIONES.
EJERCICIOS RESUELTOS TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. APLICACIONES. Ejercicio 1 Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones y simplifícalas: a) f ( ) sine b)
Más detallesTEMA FUNCIONES 4º ESO
TEMA FUNCIONES 4º ESO 1) Definiciones: Concepto de función. Dominio y recorrido de una función. Función inyectiva. Gráfica de una función. (pág. 158) 2) Cálculo del dominio de una función 3) Cálculo de
Más detallesUNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.. Límite de una función en un punto... Límites laterales... Límite de una función en un punto.. Límites en el infinito... Comportamiento
Más detallesUna función constante es aquella que tiene la forma y=f(x)=c, donde c es un número real fijo.
3.1. Función constante Una función constante es aquella que tiene la forma yf()c, donde c es un número real fijo. El dominio de una función constante es IR, y su recorrido es {c}. Su gráfica es una recta
Más detallesSoluciones a los ejercicios propuestos Unidad 5. Funciones reales de variable real Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad. Funciones reales de variable real Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I CONCEPTO DE FUNCIÓN. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA FUNCIÓN. A partir de los
Más detallesx y = x x y = x
FUNCIONES ELEMENTALES: Indice: Algebraicas Polinómicas Racionales Irracionales Trascendentes Exponencial Logarítmica Trigonométrica Trigonométricas recíprocas Algebraicas Funciones polinómicas: X f(x)=
Más detallesUNIDAD 2 DERIVADAS Y APLICACIONES. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b]
IES Padre Poveda (Guadi UNIDAD DERIVADAS Y APLICACIONES.. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se deine la tasa de variación media de una unción ( y en un intervalo [ b] T. V. M. [ a, b] a, como: ( ( a b a ( a, a,
Más detalles7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el
Más detallesFunciones en explícitas
Funciones en eplícitas.- Sea la función f() e, se pide:. Dominio.. Signo de f() en función de.. Asíntotas. 4. Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. 5. Concavidad y conveidad. Puntos
Más detallesTEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial
TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial En este tema vamos a hacer un estudio preliminar de las funciones de una variable real y el importante concepto de derivada. Comenzaremos recordando las funciones
Más detallesTEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bac TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación
Más detallesFunciones, límites y continuidad
8/0/016 Funciones, límites y continuidad C U R S O 0 1 5-0 1 6 Funciones, limites y continuidad Los puntos rojos son los que entran en el eamen de º evaluación 1) Concepto de función. Dominio y recorrido.
Más detallesApellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 2- III- 16 CURSO
EXAMEN DE MATEMÁTICAS GRÁFICAS E INTEGRALES Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Día: - III- 6 CURSO 05-6. [ punto] Estudia si las siguientes funciones presentan simetría par (respecto del eje de ordenadas)
Más detallesTipos de funciones. Clasificación de funciones. Funciones algebraicas
Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,
Más detallesUNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b]
IES Padre Poveda (Guadi UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA Se deine la tasa de variación media de una unción ( y en un intervalo [ b] T V M [ a, b] a, como: ( ( a b a ( a, a, B (
Más detallesSe calcula cada término de la igualdad por separado y a continuación se iguala. Lím f. x 1
Modelo. Ejercicio A. Caliicación máima: puntos. Dada la unción < a ; e > se pide: a) ( punto) Determinar el valor de a para que sea continua en. b) ( punto) Para ese valor de a, estudiar la derivabilidad
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 4 Funciones de una y varias variables
Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 4 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2017 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.
Más detallesRESUMEN DE FUNCIONES. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
RESUMEN DE FUNCIONES. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I 1.- INTRODUCCIÓN Definición: Una función real de variable real es una aplicación entre dos subconjuntos de los números reales, de modo
Más detallesContenido. Prefacio 13
Contenido Prefacio 13 Los números reales y la recta numérica Los números na turales: N Los números enteros: Z.. Los números racionales: Q Números irracionalcs: II.. Números reales: lr Propiedades de los
Más detallesDERIVADAS. Dada una función y =f(x), llamamos derivada de la función f en el punto x = a, f (a), al límite f '( y es un número real.
.-Deinición DERIVADAS Dada una unción y (), llamamos derivada de la unción en el punto a, (, ( a + ) al límite '( y es un número real. 0 Cuando eiste este límite, decimos que la unción es derivable en
Más detallesTipos de funciones. Clasificación de funciones
Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,
Más detallesTema 1. Funciones: Límites y Continuidad. Raúl González Medina. I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 1
Tema Funciones: Límites y Continuidad.- Introducción.- Deinición de Función..- Funciones elementales..- Operaciones con unciones...- Composición de unciones...- Función inversa o recíproca.- Transormaciones
Más detallesFunciones reales de variable real
Tema Funciones reales de variable real Introducción El objetivo fundamental de este tema es recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real.. Conceptos Generales Definición.
Más detalles3º ESO FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa FUNCIONES
º ESO FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. FUNCIONES.- CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Definición: Una función es una relación entre dos variables de tal forma que a cada valor de la primera (variable
Más detallesFunciones. Rectas y parábolas
0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo de la figura, calcula: el perímetro. el área. P I E N S A C A L C U L A Perímetro = ( + ) = 6 Área = = Indica cuál de las siguientes gráficas
Más detallesProfesor: Fco. Javier del Rey Pulido
FUNCIONES.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.- Una función es una relación entre dos magnitudes e y (variables), de forma que a cada valor de le corresponde un único valor de y. y Ejemplo: y 5 y 5 4 5. Doy valores
Más detallesTema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real En la primera parte de este tema vamos a tratar con funciones reales de variable real, esto es, funciones
Más detallesTEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES
Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO EJERCICIO : Halla la tasa de variación
Más detalles6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría
6 Funciones 1. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica cuál de las siguientes funciones es polinómica y cuál racional: 2 + 5 f() = f() = 3 5 2 + 6 4 2 4 Racional. Polinómica. Aplica la teoría
Más detalles9 Continuidad. Solucionario ACTIVIDADES INICIALES EJERCICIOS PROPUESTOS. 9.I. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones.
Solucionario 9 Continuidad 9.I. Dibuja la gráfica de las guientes funciones. ACTIVIDADES INICIALES a) < f( ) > b) f ( ) a) Si (, ). El segmento de recta pasa por el punto (, ) y se acerca al (, ). Si [,
Más detalles{ 0} - Dominio de. f(x) f(x) g(x) g(x) = f(x) = g(x) x 16. f g. Solución: Para hallar el punto de equilibrio basta resolver el sistema: + =
Funciones Se ha hecho un estudio de mercado en el que la curva de oferta de un determinado producto viene dada por la función,7 8 la curva de demanda por, -. Si el punto de corte de ambas curvas es el
Más detallesSi x lr y > 1-x lr, y lr Dom( R2) = lr, Ran( R2) = lr. X y : y > 1-x. 1 y : y > 0. 2 y : y > RELACIONES. EN EL PLANO CARTESIANO.
R = { (, y) A B / + y > } Si lr y > - lr, y lr Dom( R) = lr, Ran( R) = lr Funciones en una variable Real Para aproimar el gráfico realizamos una tabulación: X y : y > -. y y : y > 0. y : y > -.. RELACIONES.
Más detallesApellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: Día: CURSO
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO (ANÁLISIS) Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: Día: CURSO 56 Instrucciones: a) Duración: HORA y MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios
Más detallesEje OY (Vertical) => Se hace la x = 0, y se despeja la y. Corte (0,y)
Estudio de funciones y su representación gráfica. TIPO I. Funciones Polinómicas. Ejemplo: y 4 1º. Dominio. El dominio de una función es el conjunto de valores para los que está definida la función. En
Más detallesCálculo de derivadas
0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula La gráfica f() representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa
Más detallesIES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Ejercicios de continuidad y derivabilidad. Selectividad de 008, 009, 00 y 0 Anális 008 Ejercicio.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f() = + a + b y g() = c e -(+). Se sabe que las gráficas
Más detallesTema 5: Funciones, límites y Continuidad
Tema 5: Funciones, límites y Continuidad 0.- Introducción.- Definición de Función..- Funciones elementales..- Operaciones con funciones...- Composición de funciones...- Función inversa o recíproca 3.-
Más detallesDerivadas 1 1. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.
Derivadas. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.. Función derivable en un punto, derivada de una función en
Más detallesINTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES
INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. a) Eplicar el concepto de función primitiva. b) Sea f () = e + 8, justificar si es primitiva de alguna de las siguientes funciones: g () = e + 8 h
Más detallesFUNCIONES y = f(x) ESO3
Las correspondencias entre conjunto de valores o magnitudes se pueden expresar de varias formas: con un enunciado, con una tabla, con una gráfica, o con una fórmula o expresión algebraica o analítica.
Más detallesCONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Continuidad. Derivabilidad. 1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: Lim f( ) = f( a) a Para que una función sea continua en un punto
Más detallesA) IMÁGENES Y ANTI-IMÁGENES. DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIÓN. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Y FUNCIÓN INVERSA. ( (
A) IMÁGENES Y ANTI-IMÁGENES. DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIÓN. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Y FUNCIÓN INVERSA. 1. Calcula el dominio de las siguientes funciones: ( ( ( ( ( ( 2. Calcula la imagen de las siguientes
Más detalleshttp://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17
http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la
Más detallesRepartido 5. Profesor Fernando Díaz Matemática A 3ro E.M.T. Iscab DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.
Repartido 5 Proesor Fernando Díaz Matemática A ro E.M.T. Iscab 6.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. Deinición: Se llama derivada de una unción en un punto =a, y se representa
Más detallesFunciones, Límites y Continuidad
Tema Funciones, Límites y Continuidad Introducción El objetivo fundamental de este tema es recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real, así como de los límites en dichas
Más detalles