FUNCIONES DE GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS NÚMEROS ALEATORIOS UNIFORMES

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1 FUNCIONES DE GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS Hay muchos problemas de ingeniería que requieren números aleatorios para obtener una solución. En algunos casos, esos números sirven para crear una simulación de un problema complejo. La simulación puede probarse una y otra vez para analizar los resultados, y cada prueba representa una repetición del experimento. También usamos números aleatorios para aproximar secuencias de ruido. Por ejemplo, la estática que escuchamos en una radio es una secuencia de ruido. Si estamos probando un programa que usa un archivo de datos de entrada que representan una señal de radio, tal vez nos interese generar ruido y agregarlo a una señal de voz o de música a fin de obtener una señal más realista. NÚMEROS ALEATORIOS UNIFORMES Los números aleatorios no se definen mediante una ecuación; más bien, se caracterizan por la distribución de valores. Por ejemplo, los números aleatorios que tienen la misma probabilidad de ser cualquier valor entre un límite superior y uno inferior se denominan números aleatorios uniformes. El histograma de la parte superior de la figura 3.10 muestra la distribución de un conjunto de valores uniformes entre 2 y 4. La función rand de MATLAB genera números aleatorios distribuidos uniforme-valor de semilla mente en el intervalo [0,1]. Se emplea un valor de semilla para iniciar una sucesión aleatoria de valores; este valor de semilla es inicialmente O, pero se puede cambiar con la función seed rand(n) Genera una matriz n x n que contiene números aleatorios entre O y 1. rand(m, n) Genera una matriz m x x que contiene números aleatorios entre 0 y 1. rand( seed,n) Asigna n como valor de la semilla, rand (' seed') Devuelve el valor actual de la semilla del generador de números aleatorios.

2 La función rand genera la misma sucesión de valores aleatorios en cada sesión de trabajo si se usa el mismo valor de semilla. Los siguientes comandos generan y exhiben dos series de diez números aleatorios uniformemente distribuidos entre O y 1; la diferencia entre las dos series se debe al uso de semillas distintas: rand('seed 1,0) setl = rand(10,1); rand('seed 1,123) set2 = rand(10,1); [setl set2] Los valores que se exhiben con estos comandos son: Con frecuencia se requieren sucesiones aleatorias con valores dentro de intervalos distintos del de O a 1. Por ejemplo, supongamos que queremos generar valores entre -5 y 5. Primero generamos un número aleatorio r (que está entre O y 1) y luego lo multiplicamos por 10, que es la diferencia entre el límite superior y el inferior (5 - (-5)). Ahora le sumamos el límite inferior (-5) para obtener un valor que tiene la misma probabilidad de ser cualquier valor entre -5 y 5. Por tanto, si queremos convertir un valor r que está uniformemente distribuido entre O y 1 en un valor uniformemente distribuido entre un límite inferior a y un límite superior lo, usamos la siguiente ecuación: x = (b-a).r + a

3 La sucesión data_1, graneada en la figura 3.10 de la página 94, se generó con esta ecuación: data_l = 2*rand(l,500) + 2; Por tanto, la sucesión contiene 500 valores distribuidos uniformemente entre 2 y 4. La semilla de los números aleatorios fue 246. PRACTIQUE! Escriba instrucciones MATLAB para generar 10 números aleatorios en el intervalo especificado. Verifique sus respuestas ejecutando las instrucciones e imprimiendo los valores generados en los vectores. 1. Números aleatorios uniformes entre O y Números aleatorios uniformes entre 1 y Números aleatorios uniformes entre -20 y Números aleatorios uniformes entre 4.5 y Números aleatorios uniformes entre -π y π. NÚMEROS ALEATORIOS GAUSSIANOS Cuando generamos una sucesión aleatoria con una distribución uniforme, todos los valores tienen la misma probabilidad de ocurrir. A veces necesitamos generar números aleatorios usando distribuciones en las que algunos valores tienen mayor probabilidad de ser generados que otros. Por ejemplo, suponga que una sucesión aleatoria representa mediciones de temperatura exterior tomadas durante cierto tiempo. Veríamos que las mediciones de temperatura tienen cierta variación, pero por lo regular no son igualmente verosímiles. Por ejemplo, podríamos encontrar que los valores varían en unos cuantos grados, aunque ocasionalmente pueden ocurrir cambios mayores a causa de tormentas, nublados y cambios del día a la noche. Las sucesiones aleatorias que tienen algunos valores con mayor probabilidad de ocurrir que otros a menudo pueden modelarse con números aleatorios gaussianos (también llamados números aleatorios normales). Un ejemplo de conjunto de valores con una distribución gaussiana es el representado por la segunda gráfica de la figura 3.10.

4 La media de esta variable aleatoria corresponde a la coordenada x del pico de esta distribución, que es aproximadamente 3. A partir del histograma de la figura 3.12 podemos ver que la mayor parte de los valores están cerca de la media. Mientras que una variable aleatoria uniforme tiene límites superior e inferior específicos, una variable aleatoria gaussiana no se define en términos de límites superior e inferior: se define en términos de la media y la varianza de los valores. Para los números aleatorios gaussianos, puede demostrarse que aproximadamente el 68% de los valores caen a menos de una desviación estándar de la media, el 95% caen a menos de dos desviaciones estándar de la media, y el 99% caen a menos de tres desviaciones estándar de la media. Estos datos son útiles cuando se trabaja con números aleatorios gaussianos. MATLAB genera valores gaussianos con una media de cero y una varianza de 1.0 si se especifica una distribución normal. Las funciones para generar valores gaussianos son: randn (n) randn (m, n) Genera una matriz de n x n que contiene números aleatorios gaussianos (o normales) con una media de O y una varianza de l. Genera una matriz de m x n que contiene números aleatorios gaussianos (o normales) con una media de O y una varianza de l. Si desea modificar valores gaussianos con una media de O y una varianza de 1 de modo que tengan otra distribución gaussiana, multiplique los valores por la desviación estándar de la distribución deseada y súmeles la media de la distribución deseada. Así pues, si r es un número aleatorio con una media de O y una varianza de 1.0, la siguiente ecuación generará un número aleatorio con una desviación estándar de a y una media de b: X= a. r + b La sucesión data_2, graneada en la figura 3.10, se generó con esta ecuación: data_2 = randn (1,500) + 3;

5 Así, la sucesión contiene 500 valores aleatorios gaussianos con una desviación estándar de 1 y una media de 3. La semilla para números aleatorios que se usó fue 95. PRACTIQUE! Use MATLAB para generar 1000 valores con las características especificadas. Calcule la media y la varianza de los 1000 valores, y compárelas con los valores especificados. Prepare también el histograma de los valores usando 25 intervalos. 1. Números aleatorios gaussianos con una media de 1.0 y una varianza de Números aleatorios gaussianos con una media de -5.5 y una desviación estándar de Números aleatorios gaussianos con una media de -5.5 y una desviación estándar de 1.25.