Serie de ejercicios de Cinemática MOVIMIENTO CURVILÍNEO

Transcripción

1 Serie de ejercicios de Cinemática MOVIMIENTO CURVILÍNEO 1. En cierto instante, el segmento de recta AB gira en el plano del papel alrededor de un eje que pasa por el punto O, con rapidez y aceleración angulares de 5 rad/seg y 20 rad/seg 2, respectivamente. Determine, para el mismo instante, la rapidez y la aceleración lineales de los extremos A y B. 2. La distancia que recorre una partícula, medida a lo largo de una trayectoria curvilínea, en ft, es s = t 3 16t, donde t está en seg. Cuando t = 4 seg, la partícula se encuentra en un tramo cuyo radio de curvatura es de 32 ft. Calcule la magnitud de la aceleración lineal de la partícula en dicho instante. 3. Un avión vuela horizontalmente a 900 km/h, a m de altura, describiendo un arco de circunferencia de 1250 m de radio. Cuál es la magnitud de su aceleración lineal? 4. Un ciclista da una vuelta completa a una pista circular en un lapso de 40 seg. Su rapidez se muestra en la gráfica de la figura, y se desea conocer: a) el radio de la pista; b) la magnitud de la aceleración lineal del ciclista cuando t = 2 y cuando t = 30 seg. 5. Si mientras un automóvil recorre una pista circular de un cuarto de milla de radio, reduce su rapidez lineal uniformemente de 60 a 30 mi/h en 16 seg, cuáles son las magnitudes de la aceleración lineal del automóvil al principio y al fin de dicho lapso? Qué distancia recorrió en esos 16 seg? 6. Un automovilista ingresa en una curva vertical con una velocidad de 72 km/h y aplica los frenos de modo que, reduciendo su rapidez uniformemente, se detiene 50 m adelante. Sabiendo que el radio de curvatura es constante en ese tramo y que la aceleración del automóvil al aplicar los frenos es de 6 m/seg 2, determine: a) el radio de la curva; b) la magnitud de la aceleración del automóvil al detenerse. 7. Un ciclista recorre una pista circular horizontal con una rapidez constante de 12 m/seg. Si en una longitud de 80 m el ciclista se desvía un ángulo de 30º, diga: a) cuál es el radio de la pista; b) cuáles son las magnitudes de las componentes normal y tangencial de su aceleración; c) cuál es la magnitud de su aceleración lineal.

2 8. La aceleración lineal del carro de una montaña rusa alcanza los 9 m/seg 2 al pasar por la cima de una curva vertical de 12 m de radio. Cuál es la rapidez del carro en ese instante? (Tenga en cuenta que al pasar por la cima la rapidez del carro es menor que inmediatamente antes y que inmediatamente después.) 9. La figura representa unas canastillas de feria. El juego gira alrededor de un eje vertical con una velocidad angular de 2 rad/seg y sin aceleración angular. Cuáles son las magnitudes de la velocidad y de la aceleración lineal de cualquiera de las canastillas? 10. Suponiendo que la Tierra estuviera dotada exclusivamente de movimiento de rotación, cuál sería la aceleración de un cuerpo situado en la ciudad de México? Considere que la latitud de México es 19º norte, que la Tierra da una vuelta en 24 h y que un meridiano cualquiera mide km. 11. Un péndulo cuya cuerda mide 1.6 m alcanza su máxima rapidez de 8 m/seg al pasar por su posición más baja (θ = 0º). Para ese instante: a) Cuál es la aceleración del péndulo? b) Qué rapidez angular tiene la cuerda? 12. La razón del cambio de la rapidez al tiempo del péndulo de la figura, es directamente proporcional a la distancia s que guarda respecto a su posición más baja, y se puede expresar como 9s (donde si s se da en in, dicha razón resulta en in/seg 2 ). Cuál es la aceleración del péndulo cuando comienza a moverse, si entonces s = 5 in? 13. Un pequeño jet que viaja horizontalmente con rapidez constante de 540 km/h tarda 4 seg en desviar su curso 45º. a) Determine la rapidez angular del vector velocidad lineal del jet. b) Calcule la aceleración del jet durante dicho lapso. c) Diga cuál es el radio del arco de circunferencia que describe al virar. 14. El brazo OA de la figura gira alrededor de O conforme a la ecuación θ = t 2 /2, donde si t está en seg, θ resulta en rad. El collarín P se aleja de O según la expresión r = 4 + t 2, en la que r está en mm y t en seg. Determine la velocidad y la aceleración del collarín cuando t = 2 seg.

3 15. En cierto instante del movimiento curvilíneo de una partícula, los parámetros de sus componentes polares alcanzan los siguientes valores: r = 20 mm, dr/dt = 30 mm/seg, d 2 r/dt 2 = 300 mm/seg 2, θ = 45º, dθ/dt = 2 rad/seg y d 2 θ/dt 2 = 16 rad/seg 2. Determine la rapidez de la partícula y la magnitud de las componentes radial y transversal de su aceleración. 16. Un niño camina sobre el radio de un tiovivo, alejándose del centro, a razón constante de 8 ft/seg. El tiovivo lleva una aceleración angular, también constante, de 5 rad/seg 2. Calcule las magnitudes de la velocidad y aceleración lineales del niño cuando se encuentre a 4 ft del centro, si en ese instante la rapidez angular del tiovivo es de 3 rad/seg. 17. Un jet que vuela horizontalmente con velocidad constante a una altura de 8 km es rastreado por un radar situado exactamente debajo de su trayectoria. Cuando la inclinación del radar es de 60º respecto a la horizontal, dicho ángulo decrece a razón de rad/seg. Tomando el radar como polo del sistema de referencia, determine para dicho instante: a) la componente transversal de la velocidad del avión; b) la rapidez del avión; c) la componente radial de la velocidad del avión; d) la aceleración angular del radar, y e) la aceleración con que el jet se aleja del radar. 18. Un punto se mueve sobre la trayectoria cuya ecuación es y = x 3, de acuerdo con la ley x = 2t + 1/t, en donde tanto x como y están en in y t en seg. Cuál es su rapidez cuando t = 4 seg? 19. Una partícula se mueve sobre la curva y = 2x 3 3x conforme con la relación x = t 2 t, donde si t está en seg tanto x como y resultan en cm. Calcule su velocidad y su aceleración cuando t = 3 seg. 20. Un avión de pruebas describe, inmediatamente después de despegar, una trayectoria cuya ecuación cartesiana es y = Cx 2, en donde C es una consstante que vale 5 x Sabiendo que el avión tiene una rapidez constante de 300 ft/seg, determine su aceleración cuando x = 2000 ft. 21. Un muchacho situado al borde de un precipicio lanza una piedra con una velocidad de 25 m/seg formando un ángulo de 30º abajo de la horizontal. Si la profundidad del lugar en que cae la piedra, respecto al nivel del que fue lanzada, es de 100 m, diga: a) qué tiempo tarda la piedra en caer; b) el alcance de la piedra; c) con qué velocidad llega la piedra al suelo. Considere constante la gravedad y de 9.81 m/seg 2.

4 22. De una bala que ha sido disparada a 480 ft/seg formando un ángulo de 25º respecto a la horizontal, se desea saber: a) el tiempo que tarda en llegar al suelo; b) su alcance; c) la altura máxima a la que llega; d) la ecuación cartesiana de su trayectoria. Desprecie la resistencia del aire y considere que la aceleración de la gravedad es de 32.2 ft/seg Un bombardero que vuela a 1500 m de altura y a 900 km/h ha de soltar una bomba que caiga en la isla de la figura. Despreciando toda resistencia del aire, y considerando constante la gravedad y de 9.81 m/seg 2, determine: a) la distancia D desde la que debe soltarse la bomba; b) la velocidad con que la bomba llega a la isla; c) la magnitud de la componente normal de la aceleración de la bomba, en el instante en que llega a la isla; d) el radio de curvatura de la trayectoria de la bomba en ese mismo instante. 24. Un jugador de futbol es capaz de imprimir a un balón una velocidad inicial de 90 ft/seg. Si desea que el alcance del balón sea de 180 ft, con qué ángulo respecto a la horizontal debe iniciar el balón su movimiento? 25. Un aficionado patea un balón de futbol, y le imprime una velocidad inicial de 20 m/seg, formando un ángulo de 45º con el campo, pero el campo tiene una inclinación de 15º respecto a la horizontal. Cuál es el alcance D del balón? 26. Una piedra rueda por un declive de 15º y cae en una ladera cuya pendiente es 3/4. Sabiendo que cuando abandona el declive su rapidez es de 10 m/seg, calcule la distancia D a la que cae sobre la pendiente. 27. El movimiento de la corredera A dentro de la ranura circular de 0.3 m de radio se gobierna mediante la guía horizontal que se eleva con una rapidez constante de 5 m/seg. Calcule la velocidad y la aceleración de la corredera cuando θ = 30º.

5 Serie de ejercicios de Cinemática Respuestas MOVIMIENTO CURVILÍNEO (Los ángulos se miden respecto a la horizontal, en el sentido mostrado por las flechas.) 1. v A = 200 mm/seg; v B = 250 mm/seg; a A = m/seg 2 ; a B = m/seg ft/seg m/seg 2 4. a) 57.3 m; b) a 2 = m/seg 2 ; a 30 = m/seg 2 5. a o = 6.48 ft/seg 2 ; a 16 = 3.12 ft/seg 2 ; s = 1056 ft 6. a) 89.4 m; b) 4 m/seg 2 7. a) m; b) a n = m/seg 2 ; a t = 0; c) a = m/seg m/seg 9. v = 10 ft/seg; a = 20 ft/seg cm/seg a) 40 m/seg 2 ; b) 5 rad/seg in/seg a) θ = rad/seg; b) a = 29.5 m/seg 2 ; c) r = 764 m 14. v = mm/seg 10.6º; a = 38.4 mm/seg º 15. v = 50 mm/seg; a r = 220 mm/seg 2 ; a θ = 200 mm/seg v = ft/seg; a = 76.9 ft/seg a) v θ = 231 m/seg; b) v = 267 m/seg; c) v r = m/seg; d) θ = 7.22 x 10-4 rad/seg 2 ; e) r = 5.77 m/seg in/seg 19. v = 1065 cm/seg 89.7º; a = 2226 cm/seg º 20. a = 8.49 ft/seg º 21. a) 3.42 seg; b) 74.0 m; c) 50.9 m/seg 64.8º 22. a) seg; b) 5480 ft; c) 639 ft; d) y = 0.467x 8.51(10) -5 x a) 4370 m; b) 303 m/seg 34.5º; c) 8.09 m/seg 2 ; d) m º ó 67.2º m m 27. v = 5.77 m/seg 60º; a = m/seg 2