NÚMERO REAL. Sí L L con p y q enteros primos entre si. ( en otras palabras si L es un. racional se puede escribir como una fracción irreducible)

Transcripción

1 1 NÚMERO REAL Introducción A lo lrgo de nuestr vid nos hemos ido encontrndo con lguns estructurs numérics. Segurmente el lector conoce desde hce mucho tiempo los nturles los enteros y los rcionles; sí como tmién ls diferencis entre ells y ls necesiddes no cuierts por un estructur que hcen necesrio l creción de l siguiente. Cuáles son ls insuficiencis de los rcionles que hcen necesrio presentr un nuev estructur lgeric? Intentemos plnter un de ells. Considermos un cudrdo de ldo 1 (un unidd culquier) y pretendemos medir un de sus digonles tomndo l ldo como unidd. Si existiese tl medid en Q ( l cul llmremos L) por Pitágors cumplirí: 1 L 1 1 L Sí L L con p y q enteros primos entre si. ( en otrs plrs si L es un p q rcionl se puede escriir como un frcción irreducile) p q p es pr es pr ; 4 q L p q p p p t t p t como p q sustituyendo nos qued : q 4t q t q es pr q es pr Por lo tnto si existiese un rcionl p L q que midier exctmente l digonl de un cudrdo de ldo 1 tendrímos que: p es pr, q es pr, p y q enteros primos entre si. Lo cul es contrdictorio. En consecuenci no existe ningún rcionl que elevdo l cudrdo se y por lo tnto los rcionles no nos permiten medir l longitud de l digonl de un cudrdo de ldo uno. Es inecesrio resltr l importnci que tiene disponer de un estructur con l cul poder medir culquier longitud u otr mgnitud esclr. 0 1 P Construimos un cudrdo de ldo 1 sore el segmento cuyos vértices son el origen y el punto de scis 1. Trzmos l digonl y l trsldmos l eje. Qué scis le signmos P? Hemos presentdo un de ls incpciddes de los rcionles; no l únic. Elegimos est por ser l de myores consecuencis desde el punto de vist histórico. 1

2 Los Pitgóricos enmordos de los números enteros creyeron que tods ls coss podín derivrse de ellos, empezndo por todos los dems números. Se produjo un crisis en est doctrin cundo descurieron que l ríz cudrd de (L rzón entre l digonl y el ldo de un cudrdo) er irrcionl, es decir que no puede expresrse de modo preciso como l rzón de dos enteros determindos por grndes que fuern estos números. Este descurimiento se llevo co utilizndo irónicmente como herrmient el teorem de Pitágors. Irrcionl signific en principio que un número no podí expresrse como un rzón (cociente) Pero pr los Pitgóricos llegó suponer lgo merzdor, un indicio de que su concepción del mundo podí crecer de sentido, lo cul es l otr cepción que tiene hoy l plr irrcionl (COSMOS de Crl Sgn) Pr curir est como otrs crencis de los rcionles presentemos los números reles. Pr ello existen fundmentlmente dos cminos: El constructivo; crer los nturles, prtir de ellos los enteros, luego los rcionles y prtir de estos últimos generr los números reles. El otro cmino consiste en crer directmente los reles siendo los nturles, los enteros y los rcionles suestructurs de los reles. Est últim opción es l que trjremos en primer lugr. Posteriormente trtremos, o l menos osquejremos el cmino constructivo. Culquier de los dos cminos implicn l utilizción del método xiomático. No desrrollremos quí ls crcterístics de este método por exceder l longitud de este trjo. Corriendo el riesgo de cer en un simplificción excesiv diremos que: El método xiomático consiste en l ceptción de lguns proposiciones como válids (que llmremos xioms), sin necesidd de demostrción, y l deducción del resto de ls proposiciones de l teorí prtir de estos. L crcterístic imprescindile que dee cumplir un sistem xiomático es l consistenci; l no contrdicción de ls proposiciones tomds como xioms.(téngse en cuent que en tod demostrción por surdo se est utilizndo l consistenci del sistem). Otrs propieddes como l independenci o l ctegoricidd no tienen porqué ser cumplids por todos los sistems xiomáticos. Le sugerimos mplíe est informción por los medios que considere pertinentes.

3 Axiom 1 (Axiom de cuerpo ) En un conjunto que llmremos de los números reles (l que notmos ) en el cul están definids dos operciones que denominmos dición y multiplicción ( ls cules ls notmos con + y respectivmente que cumplen: 3 S 1) Asocitiv ( c) ( ) c,, c S ) Conmuttiv, S 3 ) Neutro 0 ; 0 0 S 4 ) Opuesto op( ) ; op( ) op( ) 0 P 1 ) Asocitiv.(. c) (. ). c,, c P ) Conmuttiv.., P 3 ) Neutro ;.1 1. P 4 ) Inverso 0 inv( ) ;. inv( ) inv( ). 1 SP) Distriutiv.( c).. c,, c ( c).. c,, c Not 1 En el xiom recién enuncido prece el término operción. Qué entendemos por tl término? Antes de ir un definición concret de operción nlicemos un cso más que fmilir; l sum en los nturles. En el cul precen expresiones como: + 4 = = 8 c Cundo notmos por ejemplo + 4 = 6 precen en juego tres números nturles cumpliendo distintos roles ( y 4 como sumndos y el 6 como resultdo). Podemos pensr l sum de nturles como un correspondenci que l pr (,4) le hce corresponder el 6, l pr (3,5) el 8... l pr de nturles, el nturl c. Y no culquier tipo de correspondenci y que cd pr ordendo de nturles l sum le hce corresponder un y solo un nturl (el resultdo de sumr ms componentes del pr). En definitiv; podemos considerr l sum de nturles como un función de en. Osérvese que un interpretción idéntic puede hcerse con el producto de nturles; que el producto de enteros puede considerrse como un función que pres ordendos de enteros hce corresponder un entero ( o se un función de ) ; l sum de vectores como un función que pres ordendos de vectores hce corresponder un vector;... Concretmente: Siendo A un conjunto no vcío llmmos operción en A (o ley de composición intern ) un función de AA A Con est definición podemos determinr un operción en culquier conjunto no vcío por modesto que este se. Definmos un operción (llmémosl *) en el conjunto A, 3

4 4 AA (, ),(, ),(, ),(, ) A A A (,) (,) (,) (,) * Solemos notr y o tmién presentr un tl de dole entrd en lugr de un digrm de flechs. * Ejercicio Definir un operción en B m, n, p Not Tengmos presente entonces que un operción o un ley de composición intern en un conjunto no vcío A no es otr cos que un función de AA A y por lo tnto si tenemos un correspondenci entre pres de elementos de un conjunto A y elementos del propio A pr poder firmr que dich correspondenci es un operción dee cumplirse: 1) L imgen de cd pr (el resultdo de l operción ) dee pertenecer l conjunto A. ) Y dee ser únic. Así con est definición de operción l rest en no es un operción pues fll l primer condición. Y tmpoco es un operción el producto de un vector por un esclr pues no estmos operndo elementos del mismo conjunto. Ce señlr que no es l únic definición de operción que puede tomrse. Sino que es l más restrictiv pues nos olig operr con elementos del mismo conjunto ( lo cul dej fuer el producto de un esclr por un vector) y tmién nos olig que el resultdo se del mismo conjunto del cul son los operndos (con lo cul el producto interno de vectores no serí un operción) Otrs definiciones ms mplis permiten operr elementos de distinto conjunto y tmién que el resultdo no pertenezc l mismo conjunto que los elementos operdos. Lo que se exige en csi tods ls definiciones de operción que se puede encontrr en diferente iliogrfí es l unicidd del resultdo. Nosotros doptmos est definición pues h sido l elegid durnte muchísimo tiempo en los cursos de primer ño. 4

5 5 Not Si leemos con tención el xiom 1 perciimos que entre ls muchs coss que este nos dice est que el conjunto de los números reles es un conjunto no vcío que tiene l menos dos elementos: el 0 y el 1 neutros de l sum y el producto. Nd en este xiom implic que teng ms que estos dos elementos; pues si tommos 0,1 y l sum y el producto definidos por El lector podrá compror que este modelo verific el xiom 1 Lo cul no solmente sirve como rgumento pr lo dicho sino que tmién pr corroorr l consistenci del mismo. Not Como recién dijimos el xiom de cuerpo no llev que teng infinitos elementos como todos espermos. Esto será necesrimente cierto recién cundo entre en juego el segundo xiom. El lector tento tmién hrá notdo que se indic explícitmente en el primer xiom que 0 1. Esto se dee que si tl proposición no es necesrimente ciert tomndo 0 y 0+0 = 0, 0.0 = 0 tl modelo verific tod l xiomátic que veremos sore número rel; crendo un modelo trivil que no es el que ndmos uscndo generr. Vemos hor lguns proposiciones que se desprenden de mner ms o menos inmedit del xiom de cuerpo. Teorem Unicidd de los neutros 1) 0 es el único neutro de l sum. ) 1 es el único neutro del producto Dem) Supongmos que 1' ;.1' 1'. Entonces 1.1' 1 por l suposición 1 1' 1.1' 1' por P3 Y por lo tnto 1 es el único neutro del producto de reles. Osérvese que en l últim implicción se utilizó que el producto es un operción en y por lo tnto el resultdo de un mismo producto es único. 5

6 6 Teorem Cnceltivs 1) c c ).. c c 0 Dem 1) c op( ) ( ) op( ) ( c) op( ) op( ) c 0 0 c c Ejercicio 1) Justifique el lector los psos ddos en l demostrción nterior ) Demuestre justificndo detlldmente el punto ) 3) Por qué en l segund proposición se exige que el fctor cnceldo se distinto de cero? Teorem Asorción.0 0 Dem: 0.1 (1 0) Justifique el lector todos y cd uno de los psos ddos. Teorem Ausenci de divisores de 0 (Hnkelin) Dem: Si = 0 l proposición es verdder por hipótesis. 0 Si 0..0 como demás 0 cnceltiv 0 por el teorem nterior.0 0 Teorem Existenci y unicidd de l diferenci H), T) 1) c ; c ) c es único Dem: 1) c op( ) c op( ) op( ) c op( ) op( ) c 0 c op( ) 6

7 Pr terminr l demostrción de l existenci st tomr c op() y relizr c plicndo ls propieddes y vists el lector segurmente llegrá que c Dem ) Supongmos que c' ; c' Como por lo demostrdo en 1) c ; c entonces c c cnc c c' 7 Definición Considermos,. Llmmos diferenci l rel c tl que c L relción de en l que cd pr de reles, xy le corresponde l diferenci x y, teniendo en cuent el teorem inmedito nterior, es un función. Y por lo tnto qued definid un nuev operción en l cul denominremos sustrcción. Not 1) En el teorem inmedito nterior no solmente se demostró que existe c tl que c sino que tmién se clculó cunto vle; llegndo que c op() Por lo tnto: op() ) Teniendo en cuent el resultdo nterior 0 x 0 op( x) op( x) op( x) 0 x x Lo cul justific l notción hitul de opuesto op( x) x Teorem Existenci y unicidd del cociente. H), 0 1) c ; c. T) ) c es único Demostrción crgo del lector. Definición Considermos, ; 0. Llmmos cociente l rel c tl que. c L relción de * * en l que cd pr de reles, xy le corresponde el cociente x y, teniendo en cuent el teorem inmedito nterior, es un función. Y por lo tnto qued definid un nuev operción en (notmos * l conjunto * l cul denominremos división. 0 ) 7

8 8 Not 1) Cundo demostró el teorem inmedito nterior segurmente llegó que c. inv( ) ; entonces:. inv( ) ) Por lo tnto 1 1. inv( x) inv( x) inv( x) 1 x x Ejercicios I) Demostrr ls siguientes proposiciones en (,, ) donde,,c,d son números reles. i) opop( ) ii) invinv( ) iii) 0 iv) 1 ( 0 0) v) op(0) 0 vi) (1) 1 inv vii) 0 0 viii) ( ) ix) ( ) x) ( 1). xi) (. ) ( )..( ) xii) ( ).( ). xiii).( c) c xiv) inv(. ) inv( ). inv( ) xv) 1 xvi) xvii) inv ( 0 0) xviii) c. c ( 0 c 0) c d c c c xix) ( 0 d 0) xx). ( 0 d 0) d d d d Nots 1) En l propuest nterior utilizmos indistintmente op( ) o e inv( ) ó 1 según considermos conveniente. A prtir de este momento utilizremos exclusivmente l notción hitul (- y 1 ). ) Un vez culmindo este ejercicio hrá demostrdo muchs de ls propieddes usules del álger elementl de mner reltivmente sencill y trnsprente utilizndo exclusivmente el xiom de cuerpo y sus primers consecuencis. 8

9 II) Hllr, justificndo el procedimiento, el conjunto de los números reles x que cumplen: i) x 1 1 ii) 0 x x iii) x x x iv) x.0 0 v) x x1 0 x vi) Qué otro título pondrí ud. l ejercicio nterior? Cómo denominrí l conjunto hlldo? Y cd uno de sus elementos? III) Resolver y discutir según y en (,, ) l ecución x 0 ORDEN A continución intentremos introducir en (,, ) un relción de orden estricto totl (<) y un relción de orden mplio totl comptile con l sum y el producto. En pocs plrs intentremos ordenr l cuerpo de los reles con ls crcterístics prevists. Lo cul hremos por intermedio del siguiente xiom. Axiom Axiom de orden Existe un suconjunto de los reles los cules denominmos reles positivos (not. ) que cumple: 1) Todo rel x cumple un y solo un de ls siguientes proposiciones: i) x ii) x 0 ) Si x y x y xy. 9 iii) x Not Cundo en el punto 1) decimos que todo rel cumple un y solo un de ls siguientes proposiciones estmos diciendo que todo rel necesrimente entr en uno de esos tres csilleros y en solmente uno. En otrs plrs queremos expresr que todo rel es o positivo o cero o que su opuesto es positivo; que no hy reles que no entren en un de ess tres ctegorís. Y demás en un sol de ells; dicho de otr form que un mismo rel no puede ser simultánemente positivo y cero o positivo y su opuesto tmién o cero y su opuesto positivo. En el segundo punto estmos diciendo que l sum y el producto de dos reles positivos d como resultdo un rel tmién positivo. Tengmos en cuent que pr nosotros por hor ser positivo es pertenecer ese suconjunto de los reles del cul firmmos su existenci en el xiom y que denominmos reles positivos. Lo que primermente demostrremos es que el menciondo suconjunto no es vcío.

10 10 Teorem 1 Dem Proémoslo por surdo. Suponemos 1 y que por intermedio del Ax 1 semos que 1 0 plicndo l primer proposición del xiom tenemos que: 1 ( 1).( 1) Ax ) Como demostrmos nteriormente hímos supuesto que 1 lo cul es contrdictorio. ( 1).( 1) pero Definición Considermos, decimos que: 1) ) 3) 4) Oservción Notemos que definimos menor trvés de los reles positivos cuy existenci está segurd por el xiom de orden. Como ocurre hitulmente l definir l relción menor (myor) qued definid su relción invers myor (menor). Proemos hor pr nuestr trnquilidd que ser positivo es ser myor que 0. Teorem Dem x 0 x x 0 0 x x 0 x Definición Llmmos conjunto de los reles negtivos (notmos opuestos de los reles positivos. Sintéticmente: 10 x / x ) l conjunto formdo por los Con est definición podemos enuncir de mner ms fmilir l primer proposición del xiom de orden diciendo que: todo rel cumple un y un sol de ls siguientes proposiciones i) es positivo ii) es cero ó iii) es negtivo.

11 11 Teorem x 0 x Demostrción crgo del lector. Proemos que ls relciones que cmos de definir merecen el nomre que les dimos. Teorem < es un relción de orden estricto totl en. O se cumple: 1) (Inídentic) ) (Asimétric) 3) c c (Trnsitiv) 4) Todo pr de reles y verific un y solo uno de ls siguientes proposiciones: i) ii) iii) (Tricotomí) Dem 3) Ax ( ) ( c ) c c como ( ) ( c ) c entonces c c Ls demás demostrciones quedn crgo del lector. Teorem Monotonís de l sum y el producto (comptiilidd con ls operciones) 1) c c (Monotoní de l sum) ) c d c d (Monotoní generlizd de l sum) 3). c. c c (Monotoní del producto) 4). c. c c 11

12 Dem 3) Deemos pror que: c c c c Por hipótesis 1 Ax ( ). c c Como ( ). c c c Entonces. c. c. c. c Proposiciones (Regl de los signos del producto) 1). ). 3). Dem ) Ax.( ) como Por lo visto en uno de los ejercicios nteriores ( ) En consecuenci.. ( Tengmos presente l definición doptd de reles negtivos ) Teorem Densidd Ddos dos números reles culesquier y siendo se cumple que: c / c Dem monot. de (+) monot. de (+) monot. del produc. Efectivmente c c tl que c Not En l demostrción nterior se utilizó que Qué nos justific tl firmción? (1 1).. Por otr prte vimos que

13 13 Entonces 1+1 > 1 > 0 En consecuenci 1+1 es un rel distinto del 0 y del 1, por lo tnto tenemos derecho utizrlo con un nomre diferente; lo denominmos. Un rzonmiento similr nos llev 0, 1,, +1 (que denominmos 3), 3+1 (4), 4+1 (5),... son números reles necesrimente diferentes. Entonces l ceptción del xiom 1 y del xiom nos llev que tiene infinitos elementos; lo cul, como vimos, no es sí solmente con el primer xiom. Ejercicios I) Demostrr que en el cuerpo ordendo de los números reles se cumple: i) 1 1 ii) iii) iv) Si 0 x x 0 v) (Idéntic) vi) (ntisimétric) vii) c c (Trnsitiv) viii), (Dicotomí) ix) c c x) c d c d xi) c c c xii) c c c xiii) 0 c d 0 cd xiv) c c ( Ls proposiciones v) vi) y vii) nos permiten firmr que es un relción de orden mplio; el cumplimiento demás de l proposición viii) nos segur que es un relción de orden mplio totl.) II) i) Demostrr ii) iii) Si x 0 x (Entendemos por 0 0, 0 demostrr que 13 x l producto xx). iv) Sin l exigenci de que y no sen negtivos L proposición nterior es válid? III) i) Pror que x y 4 xy x, y ii) Siendo que c,, y demás c 1 ; pror: 1) (1 ) 4 c ) (1 ).(1 ),(1 c) 8c

14 14 Signo de un función de primer grdo Queremos hllr el conjunto de los x tles que: 1) i) 3x 0 ii) 3x 0 iii)3x 0 ) i) 3x 1 0 ii) 3x 1 0 iv) 3x i) x monot. ( ) x x monot ( ) 3 x 3 x Por lo tnto S x / x 3 0 (3 ) ( ) 0 ( ) 3.3.( ) 3 Entonces S ii) 3x 0 x 3 i iii) En consecuenci S x / x ii 3x 0 (3x ) ( ) 0 ( ) 3x.3 x.( ) x iii Si denominmos f : ; f ( x) 3x, hllmos los conjuntos de los reles cuy imgen es negtiv, cero o positiv. Resultdos que podemos esquemtizr: Sig(3x ) Le encrgmos l lector l segund prte. _ Signo de f : ; f ( x) x ( 0) Entendemos por estudir el signo de f en encontrr el conjunto de los x reles cuys imágenes son positivs, el conjunto de los reles cuy imgen es 0 y el conjunto de los reles cuy imgen es negtiv. x 0 ( x ) ( ) 0 ( ) x monot. (+) Como segurmente el lector prevé deemos hor utilizr l monotoní del producto; pr lo cul 1 nos es necesrio discutir si el fctor por el cul pretendemos multiplicr l desiguldd es positivo o negtivo. x. x. ( ) x 1 1 Si > 0 Si < 0 x 1 x 1.( ) x 14

15 0 15 x x (Justificción y vist) x 0 ( x ) ( ) 0 ( ) x x. x.( ) x Si > Si < x. x.( ) x En resumen: Si > 0 x 0 x Si < 0 x 0 x 0 x x x 0 x x x x 0 x 0 Resultdos que esquemtizmos: Sig x - sig 0 sig Psemos hor estudir el signo de l función de segundo grdo. Antes lguns proposiciones previs. Lem Siendo llmmos Demostrción crgo del lector.. Se cumple que: 1) ( ).( ) ) x x c Resolución en,,, de 0 0 x x c 0 x x c 4 x 4x 4c 4 x 4x 4c (*) Llmndo l número rel 4c como demás x x c 0 ( x ) 4 x 4 x ( x ) tenemos que: x x x x Si > 0 ( x ) (3 x ) 15

16 16 Por lo tnto en este cso S, 4 c 4 c Si = 0 ( ` ) 0 0 x x x Entonces si 0 S Si < 0 Como x ( x ) 0 x / ( x ) S Not (*) Multiplicmos mos miemros por 4 (tengmos presente que 0 de completr el cudrdo de un inomio. Tmién fue el motivo por el cul summos siguiente. ) con el ojetivo en el pso Not Somos conscientes que hemos utilizdo ríz cudrd sin herl definido y menos demostrdo que todo positivo tiene un ríz cudrd. El desrrollo teórico hecho hst el momento no nos lo permite (Precismos pr ello eltercer xiom). A pesr de lo dicho utilizmos Δ pr no postergr el estudio del trinomio de segundo grdo, lo cul considermos conveniente desde el punto de vist didáctico. Preferimos quí hcer un disgreción desde el punto de vist forml con el fin de un mejor desrrollo del curso práctico. Ejercicio Considermos f : ; f ( x) x x c (,, c, 0) vimos que sí 4c 0 l función f tiene dos ríces reles distints; ser y Pror que: c 1). ) f ( x).( x ).( x ) x Signo del trinomio de segundo grdo Considermos f f x x x c c : ; ( ) con,, 0. Si 0 Vimos que f cept dos ríces reles que llmmos y ( ) Además f ( x).( x ).( x ) x 16

17 x / x x 0 y x 0 Entonces si 0 f ( x1 ).( x1 ).( x1 ) 0 (producto de un positivo por dos negtivos) Si 0 f ( x1 ).( x1 ).( x1 ) 0 (producto de tres negtivos) Análogmente se prue que: x / x si 0 f ( x) 0 si 0 f ( x) 0 Y que: x3 / x3 f x3 si 0 ( ) 0 si 0 f ( x ) 0 3 f ( x) x x c 4 f ( x) 4 x 4x 4c 4 x 4x 4c 4 f ( x) ( x ) ( x) Si 0 4 ( ) ( ) 4 ( ) 0 f x x f x x Es más f x x x f 4 ( ) 0 ; y 0 Por lo tnto: Si f ( x) 0 x ; x Si f ( x) 0 x ; x Si 0 0 como demá s ( x ) 0 x 4 f ( x) ( x ) 0 x Por lo tnto: si 0 f ( x) 0 x si 0 f ( x) 0 x VALOR ABSOLUTO Definición Considermos un número rel. Denominmos vlor soluto de (Anotmos ) si 0 y si 0 Ejemplos: 4 4, 3 ( 3) 3, 0 0 Teorem 1) x 0 x ) x 0 x 0 17

18 18 3) x x x x 4) x x y y xy 5) x. y x. y x, y x x 6) x, y y 0 y y 7) x x x x 8) Siendo r se cumple que: i) x r r x r x r ii) x r xr (Ls proposiciones nteriores son tmién válids si intercmimos por < y por > ) 9) x y x y x, y (Desiguldd tringulr) 10) x y x y x, y Dem 7) Si x 0 x x Por otr prte x 0 x 0 como x 0 x x Entonces x x x x x x Si x < 0 x x x x x x Por otr prte como x 0 x y en este cso x < 0 x x Entonces tmién en este cso x x x Por lo tnto x x x x Dem 9) Por 7) x x x y y y Sumndo nos qued: x y x y x y x y x y x y 8)i x y x y 18

19 19 NÚMERO NATURAL L ide en crudo de l generción de los números nturles y fue presentd; recordémosl: Como Por lo tnto el número rel 1+1 es necesrimente distinto del 0 y del 1; mereciendo entonces un nomre diferente. Al rel 1 1 lo denominmos. Al ser Entonces el rel +1 es un número distinto del 0 del 1 y del.lo denominmos 3. Un rzonmiento idéntico nos llev que 3+1 es un rel distinto (myor) que el 0, que el 1, que el y que el 3. Denominmos Y sí sucesivmente. Formlicemos est ide. Definición Considermos: A Decimos que A es un conjunto inductivo si y solo si se cumple: 1) 0 A ) Si x A x 1 A Ejemplos es inductivo. no lo es pues fll l primer condición. Sí es inductivo 0 El conjunto B 1 no es inductivo pues: 1 B pero entonces l segund condición. B fllndo Not Anotmos l fmili de todos los conjuntos inductivos. Así, Oservción 0 A A 011 AA 11 A A 1 3 A A Entonces 0,1,,3,... A A Los números reles que identificmos como nturles pertenecen todos los conjuntos inductivos. Definición Llmmos conjunto de los números nturles (notmos ) l intersección de todos los conjuntos inductivos. Sintéticmente: Oservciones: 1) A A Y que l intersección de vrios conjuntos está incluido en cd uno de ellos ) Como 0,1,,3,... A A y A A 0,1,,3,... (Los números que desde siempre reconocimos como nturles; con l definición que cmos de doptr; son efectiv y trnquilizdormente números nturles) A A 19

20 3) pues A A y Un rzonmiento similr nos llev : 4) 0 En otrs plrs n 0 0 n Teorem Demostrción crgo del lector. Teorem de inducción complet 1) H H) ) 0 H 3) Si x H x 1 H T) H Dem De ) y 3) H H como H H Oservción Al cumplirse que: A A y demás y ser conjuntos inductivos podemos firmr que es el mínimo y es el máximo de los conjuntos inductivos. (Pr hlr de máximo y mínimo necesitmos previmente un relción de orden que en este cso es l inclusión mpli de conjuntos) Not Según l teorí que venimos desrrollndo los nturles son tmién números reles. Y por lo tnto se pueden operr como tles. Ls operciones que mnejmos en (sum, producto, rest y división) siguen siendo operciones en? Y en cso firmtivo que propieddes cumplen. Ls misms que en? Antes de contestr ests pregunts nlicemos l situción desde un punto de vist ms generl. Considermos: ( A, ) un estructur lgeric; o se un conjunto no vcío (A) con un operción definid en el (*) y B A ; B Pr que se un operción en B dee cumplirse que l restricción de sore B B sig siendo un función. En otrs plrs: 1) xy B es un operción en B es un función de B B B ) x yes único Como B es un suconjunto de A y l condición ) se cumple pr todos los elementos de A tenemos entonces que: es un operción en B x yb x, y B y que l condición 1) se verific utomáticmente. Si es un operción en B decimos que ( B, ) es un suestructur de ( A, ). 0

21 1 Anlicemos hor siendo ( B, ) un suestructur de ( A, ).l trnsmisión de propieddes de l estructur mdre l suestructur. Si ( A; ) es conmuttiv x y y x x, y A Como x, yb x, y A x y y x x, yb ( B, ) es conmuttiv. Tenemos entonces que si un estructur es conmuttiv tods sus suestructurs tmién. Análogmente se prue: Si ( A, ) es socitiv ( B, ) es socitiv Si ( A, ) tiene neutro n entonces: ( B, ) tiene neutro n B Si ( A, ) tiene l propiedd de inverso entonces: ( B, ) cumple inverso 1 x B x B Considerciones similres pueden relizrse sore estructurs ms complejs (que tengn por ejemplo ms de un operción) Teorem, Dem Considermos H x N ; x 1) H por definición de H ) 0 H y que 0 por hipótesis 3) Si xh x 1 H Pues si xh x x1 y que es inductivo x1 H De 1) ) y 3) plicndo el teorem de inducción complet tenemos que: H Por hipótesis H Not Aplicndo el teorem y l not inmedit nterior podemos firmr que + es un operción en que cumple socitiv, conmuttiv, neutro (téngse en cuent que 0 ) Tmién podemos firmr que no cumple opuesto y que: si n, n 0 n 0 n Un rzonmiento similr l relizdo recién nos llev que l diferenci no es un operción en. Sin emrgo l condición pr que l rest de dos nturles se un nturl es muy sencill y todos l conocemos (minuendo myor o igul que el sustrendo). Verifiquemos un vez más que l teorí que venimos desrrollndo coincide con lo que y conocemos. 1

22 Lem 1 0 Dem Considermos H x; x 0 x 1 1) H por definición de H ) 0 H 3) Si xh x 1 H Y que x 0 x 1 1 x 11 0 x 1 H si x H x 1 N x 1 1 x 1 1 x 1 H De 1) ) y 3) plicndo el teorem de inducción complet tenemos que H. En consecuenci todos los nturles son elementos de H; y por lo tnto todo nturl x es 0 ó x 1 Por lo tnto si y 0 1 Teorem, Dem Se H x; x x 1) H por definición de H ) 0 H y que 0 3) Si xh x 1 H x x 1 x 1 H pues : si x H x 0 x x 1 x 1 H x N ó x 0 Lem x 1 ( x 1) N x 1 H Estmos pues en condiciones de plicr el teorem de inducción complet sore el conjunto H llegndo que H. Por lo tnto como H l cumplir demás que

23 3 Not Antes de encrr ls dos operciones restntes por necesiddes técnics deemos nlizr el orden en. Un rzonmiento similr l relizdo en l not nterior nos llev que < y "" cumplen en tods ls propieddes vists en excepción de densidd. Proemos entonces que es discreto. Teorem n / 0 n1 Dem Considermos H x / x 0 x 1 1) H Por definición de H ) 0 H x 0 x 1 11 x 1 H 3) Si x H x 1 H pues : si x H x 1 x 11 x 1 H Aplicndo entonces el teorem de inducción complet tenemos que H y por lo tnto todo nturl est en H. O se todo nturl o vle 0 o es myor o igul que 1. En consecuenci no existen nturles entre 0 y 1. Teorem H) T) n ; n 1 Dem Por surdo. Suponemos que n / n 1 0 n 1 Como n n Hiendo encontrdo entonces un nturl entre 0 y 1; lo cul contrdice el teorem nterior. Teorem, N Si 1 Demostrción crgo del lector. Ejercicio Pror que el producto es un operción en N que cumple: socitiv, conmuttiv, neutro, es distriutiv respecto l sum y no cumple l propiedd de inverso. Demostrr demás que l división no es un operción en. Continuemos con el estudio del orden en los nturles. Antes lguns definiciones de crácter generl que nos son necesris. 3

24 4 Definición Considermos A ; A decimos que: 1) A está cotdo superiormente k ; k A k se denomin cot superior de A ) A está cotdo inferiormente h ; h A h se dice cot inferior de A 3) A está cotdo A está cotdo superior e inferiormente. Ejemplos Investiguemos si los siguientes conjuntos están o no cotdos superior y/ó inferiormente y en cso firmtivo determinemos sus cots. 1) B x / 1 x 7-1 es cot inferior de B pues 1 x x B tmién lo es por el mismo motivo; es más h ; h 1 h es cot inferior de B k ; k 7 k es cot superior de B. Por lo tnto el conjunto B está cotdo tnto superior como inferiormente. En pocs plrs B está cotdo cots inferiores cots superiores -1 B 7 ) está cotdo inferiormente por el cero y por todos los reles negtivos no está cotdo superiormente. El motivo por el cul infinitos elementos)? no está cotdo superiormente es que es un conjunto infinito (que tiene Definición Considermos: A, M ym Decimos que: 1) M es máximo de A M A M A ) m es mínimo de A m A m A 4

25 5 Ejercicio 1) Demostrr que el máximo (mínimo) de un conjunto si existe es único. Si M es máximo de A notmos M = máxa y si m es mínimo lo hcemos: m = mína. Oservción ) Pror: i) 1 es el mínimo de B ii) B no tiene máximo (sug. hcer un dem por surdo) iii) no tiene ni máximo ni mínimo. Los ejercicios nteriores nos llevn que un conjunto esté cotdo superior (inferiormente) no es condición suficiente pr que exist máximo (mínimo). Teorem Principio de uen ordención Todo conjunto de nturles no vcío tiene mínimo. K m N / m mín A K Dem Si 0K Como K y n N n 0 0 k k K Además teniendo en cuent que en este cso 0K 0 mín K Si 0K Considermos H x / x k k K H K L ide consiste en pror que H tiene un último elemento x 0 y su siguiente x0 1 es el mínimo de K. Es inmedito que 0 H Suponiendo que x H x 1 H El teorem de inducción complet nos llevrí H K H K Ahor por def de H K H K Por hipótesis K K K lo cul contrdice l hipótesis 5

26 En consecuenci l proposición x H x 1 H es fls x0 H ; x01 H 6 Proemos hor que x0 1 mín K Como x0 H x0 k k K x0 1 k k K Por otr prte: x01 H x01 k k K tomndo en cuent l proposición suryd nteriormente tenemos que: k0 K ; x0 1 k0 x0 1 K De ms proposiciones suryds concluimos que x0 1 es el mínimo de K. Teorem Todo conjunto de nturles no vcío y cotdo superiormente tiene máximo. Demostrción crgo del lector. Le sugerimos tomr el conjunto de ls cots superiores nturles; demostrr que este conjunto tiene mínimo y que este mínimo es el máximo que uscmos. METODO DE INDUCCIÓN COMPLETA Entendemos por inducción l proceso que nos conduce de un proposición prticulr un generl. Proceso inverso de l deducción que nos llev de lo generl lo prticulr. Vemos lgunos ejemplos: Ejemplo 1 Oservemos que: Prece que: ( 1) n n n Hemos hecho un inducción. De lgunos csos prticulres (cutro) hemos llegdo un proposición grl. Ejemplo Considermos f f x x x : ; ( ) 41 Oservemos que f (0) 41, f (1) 43, f () 47, f (3) 53, y 41, 43, 47 y 53 son primos. Prece que f( n ) es primo n 6

27 7 Clculemos hor f (41) (41) Pero 1763 no es primo y que es divisile entre 41 y entre 43.Por lo tnto l conclusión l cul llegmos en el ejemplo es fls. Qued clro entonces que el que un proposición se válid pr lgunos csos prticulres; ello no implic necesrimente que lo se en generl; pero tmpoco necesrimente fls. Veremos ms delnte que l conclusión del ejemplo 1 es válid. Es innecesrio resltr l importnci que tendrí el disponer de un procedimiento de inducción que nos lleve conclusiones siempre verdders. Ejemplo 3 Disponemos de fichs de dominó con ls cules formr un fil. Cómo deemos proceder pr tener l certez de que se cerán tods h h+1... Oservemos que ser que se cyeron ls primers cutro fichs no implic que necesrimente se cyeron tods. Es rzonle firmr que si: 1) Se ce l fich 1 Entonces se cerán tods ls fichs. ) Ls fichs están dispuests de tl mner que si se ce un culquier h necesrimente se ce l siguiente h 1 Téngse en cuent que si fll culquier de ls dos condiciones no necesrimente se cerán tods ls fichs. Por otr prte oservemos que si sustituimos l condición 1) por 1 ) Se ce l fich 5 llegrímos l conclusión de que se cen tods prtir de l 5º. En este último ejemplo entró en juego un condición (l )) que no lo hí hecho en los ejemplos nteriores. Intentremos continución formlizr est ide. Teorem Principio de Inducción Complet. P un proposición referid los nturles H) 1) P( k) V (L prop. P es verdder pr un nturl en prticulr k) ) Si P( h) V P( h 1) V h ; h k T) P( n) V n N ; n k 7

28 8 Dem Considermos H x / P( x k) V 1) 0H pues P(0 k) P( k) V ) Si xh x 1 H Y que si xh P( x k) V H )) P( x k 1) V x 1 H De 1) y ) plicndo el teorem de I.C. tenemos H Ahor n ; n k n k n k H P( n k k) P( n) V n ; n k Ejemplo Demostrr que: n 1 n n ; n 1 1) L proposición es verdder pr n = 1 Efectivmente pues: 1 1 El primer miemro l ser un sum y coincidir el primer y el último termino sumimos que tiene un solo sumndo; el 1. ) H) L proposición es verdder pr n = h T) L proposición es verdder pr nh h1 h h 1 h 1 ( h 1) h 1 h 1 h h 1 ( h 1) h De 1) y ) por el principio de inducción complet tenemos que l proposición es verdder pr todo nturl myor o igul que 1. En otrs plrs: n 1 n n ; n 1 NÚMERO ENTERO Definición Denominmos conjunto de los números enteros (notmos ) l conjunto formdo por los nturles y sus opuestos. Oservción x / x x Teorem 1), ). 8

29 9 Dem: Si.. Si Si como Llmemos n n con n. Entonces n Cundo n n Cundo n n n ( n ) Por otr prte:..( n). n como. n.. n Si Análogo. Si Denominmos m y n En este cso mn, m n ( m n) como m n. m. n N. Not El teorem nterior junto con lgun de ls oservciones relizds en número nturl nos permiten firmr: 1) L sum es un operción en que cumple: i) Asocitiv ii) Conmuttiv iii) Neutro ( 0 0 ) 9 iv) Opuesto Si En consecuenci l diferenci tmién es un operción en. ) El producto es un operción en que verific: i) Asocitiv ii) Conmuttiv iii) Distriutiv respecto + iv) Neutro No cumple l propiedd de inverso. Si / pues entre 0 y 1 no hy nturles ni opuestos de nturles. Un rzonmiento similr nos llev que l división no es un operción en Z.

30 30 3) El orden en verific tods ls propieddes vists en excepción de l densidd. NÚMERO RACIONAL Definición Llmmos conjunto de los números rcionles (notmos ) p x ; x con p, q q 0 q En otrs plrs llmmos rcionles l conjunto de ls frcciones; entendiendo por frcción el resultdo otenido de relizr el cociente entre dos enteros. Oservción Teorem 1), ). Dem Q p y q p * q ; Q p y q p' * q' ; ' ' p p' pq' qp' q q' qq' * p p' p. p' q q' q. q' *... Ejercicio El teorem recién demostrdo nos permite firmr que + y. son operciones en. Anlizr ls propieddes que ests cumplen; sí como tmién el comportmiento de < y "". En otrs plrs: nlizr ( Q,,., ) 30

31 31 COMPLETITUD Ejercicio Completr l siguiente tl indicndo si ls propieddes mencionds se cumplen o nó en cd un de ls estructurs mencionds. Propieddes,,,,,,,,,,,, Sum ///////////////////// ///////////////////// /////////////////////// /////////////////////// Conmuttiv Asocitiv Neutro Opuesto Producto ///////////////////// //////////////////// ///////////////////// /////////////////////// Conmuttiv Asocitiv Neutro Inverso Distriutiv resp. + < y //////////////////// //////////////////// ////////////////////// /////////////////////// Monotoní de l + Monotoní del Densidd En el ejercicio inmedito nterior segurmente el lector no encontró diferencis en cunto los spectos y estudidos entre (,,, ) y (,,, ). Sin emrgo, l comenzr el tem, plntemos un prolem no resolule en los rcionles medir l digonl de un cudrdo de ldo 1) como motivo pr introducir los números reles. Lo cul nos conduce l conclusión de que l teorí está sin terminr. En otrs plrs; exclusivmente de los dos primeros xioms no se desprende ningun diferenci entre. (,,, ) y (,,, ). Nos flt un tercer xiom que mrcrá l diferenci entre ms estructurs. Antes de llegr él necesitmos lguns definiciones. Definición Considermos A, L,. Diremos que: 1) L es extremo superior de A L mín k / k A ) es extremo inferior de A máx h / h A Dicho de otr form el extremo superior es l menor de ls cots superiores, sí como el extremo inferior es l myor de ls cots inferiores. 31

32 3 Por ser el extremo superior (inf) el mínimo (máx) de un conjunto este es único y en consecuenci estmos utorizdos hlr de l menor (myor) de ls cots superiores (inf). Anotmos: L ext A y ext A Ejercicios I) Anlizr si los siguientes conjuntos están o no cotdos, si tienen máximo, mínimo, extremo superior e inferior. En cso firmtivo, indicr cuáles son. / 3 8 / 3 A x x A x x A A A A * * / 1, / 3 1 n n, A x x n A x x n 5 6 n n n A x / x, n A 7, 1,6 A x / x 1 ( 1) n, n ( 1) * * II) Siendo que A exta 3 Indicr si ls siguientes proposiciones son verdders, flss o los dtos son insuficientes pr contestr. Justifique sus respuests. 1) Todo número myor que 3 es cot superior de A. ),98 A 3) x0 A x0 /,98 4) Todo elemento de A es menor o igul 3. 5) 3 A 6) A 7) Si mx A mx A 3 III) Anlizr el vlor de verdd de ls siguientes proposiciones: 1) Todo conjunto de reles no vció y cotdo superiormente tiene máximo. ) Todo conjunto de nturles no vció y cotdo superiormente tiene máximo. 3) Todo conjunto de nturles no vció tiene extremo inferior. 4) Si M mx A necesrimente M exta. 5) Si M exta necesrimente M mx A. V) Siendo que A, A, L cot superior de A y cot inferior de A. Pror: L exta 0 x A / x L 1) 0 0 ext A 0 x A / x ) 1 1 Enunciremos hor el tercer y último xiom; el cul mrcrá l diferenci entre,,, y,,, que como vimos hst el momento son estructurs prentemente 3

33 33 idéntics. Este xiom nos permitirá entre muchs otrs coss resolver el prolem de l medid de l digonl de un cudrdo de ldo 1. Axiom 3 (Axiom de completitud) Todo conjunto de reles no vcío y cotdo superiormente tiene extremo superior. A A A cotdo superiormente exta Not : Volvmos hor intentr encontrr un número cuyo cudrdo se. Pr ello considermos A x / x proremos: I) ext A l cul llmremos L II) L I) Pr este ojetivo prcil utilizremos el xiom de completitud, por lo cul deemos compror que: i) A lo cul es cierto por l propi definición del conjunto A ii) 1 A pues 1 A A 1 iii) A cotdo superiormente. x A x x 4 x 4 0 ( x )( x ) 0 x 0 como x A x x x x A es cot superior de A De i) ii) iii) por el xiom de completitud podemos firmr que exta l que llmmos L. II) Intentremos quí un demostrción por surdo; suponemos que: Tenemos pues dos posiles situciones: L. Cso 1 L Buscmos un número myor que L L pr sí producir l contrdicción. que pertenezc l conjunto A L A L L L Ahor 33

34 34 Recordemos que nuestr intención es encontrr un 0 tl que L A o lo que es equivlente: hllr un 0 L L L. Con l intención de "despejr" nos conviene tl que que no prezc un término de segundo grdo en. Ahor si nos limitmos elegir 0 1 tenemos que L L L L L L 1 L L L 1 (Justifique que L 1 0) L 1 Y L Como supusimos que L 0 L 1 Por densidd de los reles podemos firmr que L 0 / 0 0 min,1 L 1 L L 0 L L 0 0 L L 0 0 L 0 L 1 L L 1 L 1 L 0 A pero L 0 L exta Asurdo Así que L Cso L En este cso pr generr l contrdicción uscmos un número menor que L L que se cot superior de A. Teniendo en cuent que todo rel positivo cuyo cudrdo se myor que es cot superior de. uscmos L 0 / k x x A x k x k x k x k x k x A Si como ( )( ) 0 L L L Ahor Nuevmente con l intención de "despejr" es conveniente que no prezcn términos de segundo grdo en. Como L L L L L y L L L Y que en este cso supusimos que L L L 0 1 / 0 1 L L 34

35 35 Entonces L L L L L L es cot superior de A Pero L 1 L exta lo cul es contrdictorio. Por lo tnto Considerndo que L y que ntes promos que r / r L L podemos firmr que L. Hemos prodo l existenci de un rel no rcionl. A los reles no rcionles los denominremos irrcionles. Not 1 Considerndo A x / x demostrr: i) A Pero de mner similr lo relizdo con A es posile ii) A iii) A cotdo superiormente. exta en pues si existiese, su cudrdo serí y como vimos nteriormente no existe ningún rcionl cuyo cudrdo se. Tenemos pues un conjunto de rcionles no vcío y cotdo superiormente que no tiene extremo superior ( en ). Podemos firmr entonces que l diferenci entre ls estructurs de los reles y de los rcionles es que l primer es un cuerpo ordendo y completo, y l segund es tmién un cuerpo ordendo pero no completo.,,, es completo? Y,,,? Not Es posile demostrr que el sistem xiomático presentdo es consistente y ctegórico; en otrs plrs existe efectivmente un modelo que cumple con los 3 xioms presentdos, lo cul segur l consistenci, y culquier cuerpo ordendo y completo es el de los números reles (slvo isomorfismos). Lo primero lo discutiremos posteriormente, l ctegoricidd creemos escp en este momento nuestrs posiiliddes. Vemos hor lguns otrs consecuencis de l completitud de los números reles. Teorem Todo conjunto de reles no vcío y cotdo inferiormente tiene extremo inferior. Dem. A A exta A cotdo inferiormente Considermos C x / x ; A. Intentremos demostrr: 35

36 36 I) ext C l que llmremos. II) ext A I) Pr este primer ojetivo utilizremos el xiom de completitud; pr lo cul necesitmos pror: i) C Lo cul es cierto por l propi definición de C ii) C A por hipotesis 0 A 0C C iii) C cotdo superiormente A está cotdo inferiormente por hip. k ; k A k C k es cot superior de C. De i) ii) iii) por el xiom de completitud se desprende que ext C l cul denominmos II) Queremos pror hor que - es el extremo inferior de A; o se que = máx h / h cot inferior de A pr lo cul hy que demostrr: 1) cot inferior de A. ) h h cot inferior de A. 1) ext C es cot superior de C C A Entonces es cot inferior de A. ) Intentremos quí un demostrción por surdo. Suponemos que h cot inferior de A tl que h Si h es cot inferior de A h A h C h es cot superior. Tendrímos un cot superior de C h de C. Pero si h h lo cul es surdo. De 1) y ) tenemos que ext A menor que el ext C, Teorem El conjunto de los números nturles no está cotdo superiormente. Dem: (por s) Suponemos que está cotdo superiormente como demás semos que y ext Ahor 1 que es menor que no es cot superior de n 0 / n0 1 n 0 1 Pero n0 1 y ext lo cul es surdo. 36

37 37 Oservción: Como consecuenci de este resultdo no está cotdo ni superior ni inferiormente. Teniendo en cuent que result que tmpoco está cotdo superior ni inferiormente. Teorem (de Arquimedes) H), T) n 0 / n0 Dem Como no está cotdo superiormente n 0 / n0 n 0 / n0 Discutiremos continución l "distriución" de nturles, enteros, rcionles e irrcionles dentro de los reles. Lo primero que demostrremos es que todo rel se encuentr comprendido entre dos enteros consecutivos. Más concretmente: Teorem y es único z / z z 1 Dem. Si 0 Considermos H x / x H, H H H Teniendo en cuent que 0 y que está cotdo superiormente en (por culquier nturl myor que ) uen ordención medinte podemos firmr que máx H l que llmremos n. n H n Si nmáxh n 1 H n 1 Por lo tnto si 0 n / n n Siendo entonces n el entero uscdo. Si 0 y demás el entero uscdo es el propio. En cso de que podemos firmr que. Además 0 y por lo demostrdo nteriormente n / n n 1 como n / n n 1 n 1 n Por lo tnto en este cso tmién z z n 1 / z z 1 L demostrción de l unicidd l dejmos crgo del lector. Definición Se x ; llmmos prte enter de x (notmos x ) l entero z tl que z x z 1 37

38 38 7 Ej 3, 1, El teorem demostrdo nteriormente me segur que todo rel tiene prte enter. Teorem Densidd de en H), ; T) r / r Dem n N / n( ) 1 n N / n n 1 Llmndo z n tenemos que z n z 1 De donde resltmos n z 1 Por otr prte z n z n z 1 z z 1 n z 1 n 1 n n z 1 n como n n 1 n z 1 De ms desigulddes suryds tenemos z 1 Por lo tnto r / r n z 1 n z 1 n n Ejercicios 1-Pror: 1) x y x ) x y y x 3) Si demás x 0 x.y y - En el ejercicio nterior nos piden demostrr que el resultdo de operr un rcionl y un irrcionl es irrcionl. Qué ocurre si opermos dos irrcionles? Teorem Densidd de en H), T) c / c Dem r / r r Como r es rcionl y es irrcionl c r tl que: c 38

39 Oservción: Utilizndo reiterdmente l densidd de en y de 39 en podemos firmr que en un intervlo culesquier de reles hy infinitos rcionles e irrcionles. Lo cul implic que entre dos rcionles hy infinitos irrcionles y entre dos irrcionles hy infinitos rcionles. En otro cpítulo veremos otrs consecuencis de l completitud de los reles vinculds ls funciones exponenciles y sus inverss ls logrítmics. Biliogrfí consultd pr l elorción de este mteril: Cálculus volumen 1 - Tom M. Apostol - Reverte. Número Rel, Rodolfo Louro C.E.I. Álger I - Armndo Rojo - El Ateneo. Nots de Álger I - Dniel Sierio - C.E.I.PA. I.P.A. - Aril del Responsle: Dniel Sierio. 39