CUESTIONES RESUELTAS 1. VECTORES Y MATRICES FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS. 1º GRADO GESTIÓN AERONAÚTICA

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1 CUESTIONES RESUELTS. VECTORES Y MTRICES FUNDMENTOS DE MTEMÁTICS. º GRDO GESTIÓN ERONÚTIC. Se el onjunto e vetores } tl que entones se verifi:. El onjunto M es linelmente inepeniente.. El onjunto M tiene rngo. El onjunto M tiene rngo.. Se el onjunto e vetores M se verifi:. Si rg(m) entones los os vetores no son proporionles. Si rg(m) entones pr ierto vlor rel k. Si M es un onjunto linelmente epeniente entones rg(m). Si M es un onjunto linelmente inepeniente entones rg(m)< 3. Se un vetor no nulo. Entones se verifi:.. El vetor es un vetor unitrio. Si es un vetor no nulo perpeniulr entones 4. El onjunto e vetores M{(,,,), (,,3,), (,,,)} verifi que:. Es linelmente inepeniente pr too número rel y que Rg(M)3. Si, M es un onjunto linelmente epeniente.. Los vetores son siempre linelmente inepenientes y que (,,,)(,,,)-(,,3,) 5. Sen y B os mtries urs y simétris e oren n. Entones se verifi que:. L mtriz B tmién es simétri pues (B) t t B t B. Si BB entones B es simétri pues en ese so (B) t (B) t t B t B. +B es un mtriz simétri e oren n 6. Deimos que un mtriz es iempotente si. Consieremos un mtriz iempotente, entones se verifi:. B es un mtriz iempotente.. L mtriz ienti e oren n es un mtriz iempotente.. L mtriz nul e oren n no es un mtriz iempotente 7. Sen y B os mtries urs e oren n, entones se verifi:.. En generl. B B 8. Cuáles e ls siguientes propiees e los eterminntes no es iert?. Si un líne e un eterminnte tiene toos sus elementos nulos, el eterminnte es nulo.. Mtries urs el mismo oren, istints entre sí pueen tener el mismo eterminnte. El eterminnte e un mtriz regulr es el inverso el eterminnte e su mtriz. Sieno y B os mtries urs el mismo oren, se umple que el eterminnte e l sum e ms es el eterminnte e su ifereni

2 9. El vlor el eterminnte es:.. -. Ninguno e los nteriores.. Cuál e ls siguientes firmiones no es orret?. Un mtriz regulr o no singulr tiene eterminnte istinto e. El rngo e un mtriz e imensión (3,4) no puee ser superior 3.. L invers e l invers es l mtriz originl. Un mtriz y su trspuest pueen tener istinto eterminnte. 3. Se l mtriz. Señle uál e ls siguientes firmiones es x orret.. Est mtriz nun es singulr.. Est mtriz siempre es regulr. Se trt e un mtriz simétri. Si x su rngo es.. Sen y B os mtries urs no nuls e oren n tles que B B. Entones, se verifi que B.. Flso, y que si tommos ls mtries. y. B se tiene que B B y, sin emrgo, B.. Verero, pues omo B B, entones B -B(B-)B n y, o que B n, se otiene que B. En onseueni B.. Verero, o que l ser B B, entones B B y, por tnto se otiene que B.. En generl es flso, unque serí ierto si B fuese invertile pues en este so, omo B B result que B B - BB -, y en onseueni, B. 3. Se l mtriz one, y son números reles istintos entre sí. Entones se verifi que.

3 . Verero, y que ) )( )( (. Flso, y que por ejemplo si,,, se otiene que.. Flso, y que l segun y terer fil son proporionles. 4. Se un mtriz tl que. Entones l mtriz B tiene rngo.. Verero, pues B--.. Flso, rg(b)< pues sus olumns son linelmente epenientes.. Verero, pues por ls propiees e los eterminntes:, B y, por tnto B.. Verero, pues omo B se otiene hieno ominiones lineles prtir e ls fils e, entones B. 5. D l mtriz se verifi que pr too, R, el eterminnte e es nulo.. Flso, y que si el onjunto e los vetores olumn,, w v u tiene rngo 3 y en onseueni.. Verero, y que l primer fil e es igul su primer olumn.. Flso, y que ) ( + y pr, y el eterminnte e es no nulo.

4 6. El sistem e euiones e R. x + y + z x + y + z x + y + z 4 es inomptile pr ulquier vlor. Flso, pr ó -, el sistem tiene soluión. Verero, pues el rngo e l mtriz e oefiientes es y el rngo e l mtriz mpli es siempre myor que.. Verero, pues too sistem que verifi que el rg() (one es l mtriz e oefiientes el sistem) es menor que el número e inógnits es omptile inetermino. m 7. D un mtriz M mxn y os vetores, R, si el sistem x es omptile etermino entones se verifi que el sistem x es tmién omptile etermino.. Flso, serí verero si mn.. Flso, pues no se puee segurr l omptiili el sistem x.. Verero. En efeto, si x. y. x entones y por tnto los sistems son equivlentes. 4. Verero, pues si y, mos son sistems omptiles eterminos. x + y + z 8. Se el sistem e euiones x y. z-3x; yx. Sólo mite l soluión x, y, z. xyz. No mite ningun soluión. Entones l soluión el sistem es: 9. Se un sistem e euiones x on más inógnits que euiones. Señlr uál e ls siguientes firmiones es orret:. El sistem nun puee ser omptile. El sistem puee ser omptile etermino. El sistem, si es omptile, será omptile inetermino. Tos ls firmiones son inorrets.

5 . Si,,, son tres números reles no nulos, istintos y no proporionles entre sí (os os) entones o el sistem x +x +x 3 x +x +x 3 x +x +x 3 Cuál e ls siguientes firmiones es l orret?. Sólo tiene l soluión trivil. Es un sistem inomptile. Tiene infinits soluiones, entre ells l trivil. Es un sistem omptile etermino.. El sistem e euiones lineles x + y + z x + y + z es omptile inetermino solmente si.. Flso, porque si. ls euiones son ontritoris y por tnto el sistem es inomptile.. Flso, el sistem es omptile inetermino pr toos los vlores e y que hy menos euiones que inógnits.. Verero, pues si llmmos y * ls mtries e oefiientes y mpli el sistem y. se verifi que * rg ( ) rg( ) < 3 número. e. inógnits, y por tnto el sistem es omptile inetermino.. Se un mtriz ur e oren 3 y R 3 tl que Entones se verifi que el sistem x es omptile inetermino.. Flso, pues el sistem 4 x 3 y 9 5 z stisfe ls oniiones el enunio y tiene sólo omo soluión x(,3,). Flso, sólo serí verero si rg()<3.. Verero, y que. +3. impli que rg()rg() y por el teorem e Rouhé-Fröenius el sistem es omptie inetermino. 3. Se l euión mtriil.b+c.xd-e.x. Done tos ls mties son urs el mismo oren y regulres. Entones el vlor e l mtriz X es:. (E+C) -.(D+.B). (D+.B).(E+C) -. (D-B).(E+C) -. (E+C) -.(D-B)

6 4. En un mtriz ur e oren n, l terer olumn es 5 vees l primer. En ests oniiones, uál e ls siguientes firmiones es orret?. Su rngo es n.. L mtriz se puee invertir. Su rngo es menor que n.. Su rngo es. 5. Se l euión X+BY., one es un mtriz ur e oren 3 regulr, B es un mtriz ur e oren 3 e Y es un mtriz unitri e oren 3. En tles oniiones X, mtriz ur e oren 3 vle:. X - (Y-B). X(Y-B) -. XB(Y-) -. XB - (-Y) 3 x ; B z y ; I v 6. Ds ls mtries:. Se se que.bi. En tles oniiones l mtriz B es: / / 3.. No existe ningun mtiz que umpl ih oniión.. Es l propi mtriz / 3/. 7. D l mtriz. Señlr l firmión que es INCORRECT: 5 5 x. Si x5 su rngo es.. Pr ningún vlor e x ih mtriz es regulr.. Si x5 l mtriz es singulr.. Si x 5 su rngo es 3.