Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera:

Transcripción

1 Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera: ax + by = k a x + b y = k Coeficients de les incògnites: a, a, b, b. Termes independents: k, k. Una solució d un sistema d equacions amb dues incògnites és un parell de nombres que verifiquen les dues equacions. Si un sistema té solució diem que és compatible. 1. Troba les parelles de valors que són solucions de cada una de les equacions del sistema següent i determina quina d'aquestes parelles és la solució del sistema. x + 5 y = 8 3 x 2 y = 7 2. Sense resoldre el sistema, digues si x = 3, y = -2 és una solució del sistema següent: x + y = 1 + y = 4 3. Quina de les següents solucions és la solució correcta del sistema: x = -2 i y = 1 x = 2 i y = 1 c) x = -1 i y = 2 d) x = 1 i y = 2 3x 8y = 2 4y = 4 Dos sistemes d equacions són equivalents si tenen la mateixa solució. 4. Comprova que el parell de valors x = 5, y= 3 és solució del sistema: x + y = 8 x y = 2 El sistema 8 = 2y x = y + 2 és equivalent al sistema de l apartat? c)busca dos sistemes equivalents al sistema de l apartat. Dossier de sistemes d'equacions lineals. 1/7

2 Per resoldre un sistema d equacions amb dues incògnites hi ha tres mètodes de resolució: Mètode de substitució. Mètode d igualació. Mètode de reducció. Per resoldre un sistema de dues equacions amb dues incògnites pel mètode de substitució: Aïllem la incògnita en una de les equacions. Substituïm l expressió obtinguda en l altra equació. c) Resolem l equació amb una sola incògnita que en resulta. d)substituïm el valor obtingut en qualsevol de les dues equacions per obtenir l altra incògnita. e) Comprovem que la solució que hem obtingut verifica les dues equacions. Exemple: Resol el sistema d equacions següent pel mètode de substitució: y = 1 x = 8 Escollim per tal d aïllar la incògnita x de la segona equació: x = 8-2y. Substituïm aquesta incògnita en la primera equació. -y = 1; 2(8-2y)-y = 1 c) Resolem l equació amb la incògnita y que hem obtingut. 16-4y-y = 1; 16-5y = 1; -5y = 1-16 = -15; y = -15/-5; y = 3 d) Substituïm el valor y = 3 en qualsevol de les dues equacions, per exemple en la primera. -y = 1; -3 = 1; = 4; x = 2 e) Comprovem la solució obtinguda. Per fer-ho hem de substituir el parell (2,3) en les dues equacions: -y = 1; = 4-3 = 1 compleix l equació. x = 8; = = 8 compleix l equació. Per tant, el parell de valors x = 2, y = 3 és la solució del sistema;el sistema és compatible. 5. Resol per substitució els sistemes següents i comprova la solució. x + y = 2 3y = 7 x + y = 3 x = 4 c) + 1 = 0 x + 1 = 0 Dossier de sistemes d'equacions lineals. 2/7

3 Per resoldre un sistema de dues equacions amb dues incògnites pel mètode d igualació: Substituïm la mateixa incògnita en les dues equacions. Igualem les expressions obtingudes. c) Resolem l equació amb una sola incògnita que en resulta. d) Substituïm el valor obtingut en qualsevol de les dues equacions per obtenir una altra incògnita. e) Comprovem que la solució que hem obtingut verifica les dues equacions. Exemple: Resol el sistema d equacions següent pel mètode d igualació: y = 3 x + y = 12 Escollim, per tal d aïllar la incògnita y de les dues equacions. y = 3 y = 12 x Igualem les expressions obtingudes:-3 =12-x c) Resolem l equació amb la incògnita x obtinguda: + x =12 + 3; 3x =15; x = 5 d) Substituïm el valor x = 5 en qualsevol de les dues equacions, per exemple en la primera: -y = 3; 2 5-y = 3;1 0-3 = y; y= 7 e) Comprovem la solució obtinguda. Per fer-ho hem de substituir el parell de valors (5,7) en les dues equacions: y = 3 x + y = =10-7 =3 compleix l equació. 5+7=12 compleix l equació. Per tant, el parell de valors x = 5, y= 7 és la solució del sistema; el sistema és compatible. 6. Resol els sistemes següents per igualació i comprova la solució. + y = 3 3x + y = 11 x = 12 y 3x = 8 + y 6x = 8 c) 18x 4y = 6 Dossier de sistemes d'equacions lineals. 3/7

4 Per resoldre un sistema de dues equacions amb dues incògnites pel mètode de reducció: Busquem un sistema equivalent on els coeficients d una mateixa incògnita siguin iguals i oposats. Restem o sumem les dues equacions obtingudes, així eliminem la incògnita. c) Resolem l equació amb una sola incògnita que en resulta. d) Substituïm el valor obtingut en qualsevol de les dues equacions per obtenir l altra incògnita. e) Comprovem que la solució obtinguda verifica les dues equacions. Exemple: Resol el sistema d equacions següent pel mètode de reducció: x 2y = 1 5x + 3y = 18 Obtenim un sistema equivalent. Per fer-ho, escollim una de les incògnites, la que sembli més senzilla de reduir, en aquest cas la x. Multipliquem la primera equació per 5: 5(x-2y=1) 5x 10 y = 5 5x + 3y = 18 Restem les dues equacions del sistema per eliminar els termes amb x i reduir el sistema: 5x-10y=5 -(5x+3y=18) -13y=-13 c) Resolem l equació obtinguda: -13y= -13; y=1 d) Substituïm el valor obtingut en una de les equacions del sistema, en la que ens sembli més senzilla per operar, en aquest cas la primera: x-2y =1; x-2 1=1; x=3 e) Comprovem el resultat. Per fer-ho hem de substituir el parell de valors (3,1) en les dues equacions: x 2 y 5 x + 3 y = 1 = = 1 1 = = = 18 compleixen les equacions.per tant, el parell de valors x=3, y=1 és la solució del sistema;el sistema és compatible. 7. Resol per reducció els sistemes següents i comprova la solució. 5y + = 16 + y = 10 3x + 4y = 10 + y = 5 Dossier de sistemes d'equacions lineals. 4/7 c) 15x + 25y + 5y = 23 15x 15y = 7

5 El procediment per resoldre gràficament un sistema d equacions de primer grau amb dues incògnites és: Aïllar la y en les dues equacions. Representar les dues rectes en els mateixos eixos de coordenades. c) Determinar el punt de tall. 8. Observa les taules de valors següents: Y= -7 x y y=-3x+7 x y Fixant-te en les taules de valors anteriors i sense fer la representació gràfica, sabries dir quina és la solució del sistema següent?: 8x 2y = 14 9x + 3y = Resol gràficament els sistemes següents: 6x = 10 x y = y = 3 + y + 6 = 0 2 y = 4 c) = y 2 Un sistema que té solució única s anomena sistema compatible determinat. Un sistema que no té solució s anomena sistema incompatible. Un sistema que té infinites solucions s anomena sistema compatible indeterminat. La interpretació gràfica de la solució d una equació del sistema com els punts d una recta i la interpretació gràfica de la solució d un sistema com els punts comuns de les rectes, ens permeten veure que només hi ha tres possibilitats:que els rectes es tallin, que siguin paral leles o que siguin la mateixa recta. D acord amb aquesta classificació, un sistema només pot ser compatible determinat(una única solució), incompatible(cap solució) i.e, quan arribem a una expressió del tipus 0=b amb b diferent de zero o bé compatible determinat(infinites solucions)i.e, quan arribem a una expressió del tipus 0=0 Dossier de sistemes d'equacions lineals. 5/7

6 10. Relaciona les expressions següents amb la gràfica corresponent: Sistema compatible determinat. Sistema incompatible. c) Cap solució. d) Sistema compatible indeterminat e) Una única solució. f) Infinites solucions. 11. Si sabem que el sistema + y = 3 8x + ky = 6 és compatible indeterminat, quin és el valor de k? 12. Si sabem que el sistema + y = 3 8x = 2k és incompatible, quins valors pot tenir k? 13. Resol gràficament el sistema i expressa correctament la solució: x 2 y = 0 x y = Classifica aquests sistemes segons que siguin compatibles determinats, compatibles indeterminats o incompatibles. x + y = 12 x y = 10 x + y = 12 = 24 15*. Resol els sistemes següents amb parèntesis: 5( x 2) = y + 2 x + 5 = 3( y 5) 16*. Resol els sistemes següents amb denominadors: x y 4 + = x 1 = 0 y 2 Dossier de sistemes d'equacions lineals. 6/7

7 Per resoldre un problema per mitjà d un sistema de dues equacions amb dues incògnites hem de fer aquests passos: Comprendre el problema. Plantejar les equacions i formar el sistema d equacions. c) Resoldre el sistema d equacions per mitjà de qualsevol dels tres mètodes. d) Comprovar que la solució compleix les condicions de l enunciat. 19. Calcula dos nombres la suma dels quals és 15 i la diferència és En un corral entre gallines i ovelles hi ha 27 animals, i si comptem les potes n hi ha 76 en total. Quantes gallines i quantes ovelles hi ha? 21. En un aparcament hi ha 90 vehicles, entre cotxes i motos. Si marxessin 40 cotxes i 10 motos, el nombre de cotxes que quedaria seria igual al nombre de motos. Calcula el nombre de cotxes i de motos que hi ha a l aparcament. 22. Una noia compra 2 refrescs i 3 bosses de pipes per 3,5. Un noi compra 3 refrescs i 5 bosses de pipes per 5,5. Calcula què val cada refresc i cada bossa. 23. Un escarabat té 6 potes i una aranya en té 8. Un dia, un col leccionista d aquests animals en troba 28. Si saps que en total hi ha 188 potes, digues quantes aranyes i quants escarabats va trobar. 24. Busca dos nombres de manera que la seva suma sigui 32 i que un sigui el doble del resultat de restar dos a l altre. Dossier de sistemes d'equacions lineals. 7/7