PROPUESTA A. b) Para el valor de a obtenido, calcula los puntos de inflexión de la función f(x). (1 25 puntos)

Transcripción

1 PROPUESTA A 1A. a) Determina el valor del parámetro a R, para que la función f(x) = (x a) e x tenga un mínimo relativo en x = 0. Razona, de hecho, es un mínimo absoluto. (1 25 puntos) b) Para el valor de a obtenido, calcula los puntos de inflexión de la función f(x). (1 25 puntos) 2A. Calcula la integral dx. (2 5 puntos) 3A. Dadas las matrices, y se pide: a) Calcula en función del parámetro k R el rango de la matriz A. (1 punto) b) Existe algún valor de k R para el cual el sistema A X = O sea incompatible? (0 75 puntos) c) Para qué valores de k R el sistema A X = O es compatible indeterminado? (0 75 puntos) 4A. Dadas las rectas a) Determina su posición relativa. (1,25 puntos) b) Halla el ángulo que forman sus vectores de dirección. (1,25 puntos) (sigue a la vuelta)

2 PROPUESTA B 1B. a) Enuncia el teorema de Bolzano y el teorema de Rolle. (1 punto) b) Demuestra que la ecuación e x + x 7 = 0 tiene al menos una solución real. (0 75 puntos) c) Demuestra que, de hecho, dicha solución es única. (0 75 puntos) 2B. Sean las funciones f(x) = x 2 y g(x) = a, con a R, a > 0. Calcula el valor del parámetro a para que el área encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) y g(x) sea. (2 5 puntos) 3B. a) Clasifica, en función del parámetro m R, el sistema de ecuaciones: b) Resuélvelo, si es posible, para m = 7. (1 punto) (1,5 puntos) 4B. Consideremos el plano x ky = 0 y la recta a) Halla el valor del parámetro k R para que el plano y la recta r sean paralelos. b) Para el valor de k obtenido, calcula la distancia desde la recta r al plano. (1 punto) (1,5 puntos) 2

3 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA A 1A. a) Determina el valor del parámetro a R, para que la función f(x) = (x a) e x tenga un mínimo relativo en x = 0. Razona, de hecho, es un mínimo absoluto. (1 25 puntos) b) Para el valor de a obtenido, calcula los puntos de inflexión de la función f(x). Solución. (1 25 puntos) a) Determina el valor del parámetro a R, para que la función f(x) = (x a) e x tenga un mínimo relativo en x = 0. Razona, de hecho, es un mínimo absoluto. (1 25 puntos) Primero observamos que f(x) = (x a) e x es una función continua y derivable al ser producto de dos funciones, un polinomio y una exponencial, continuas y derivables. Para calcular el valor de a comenzamos realizamos la primera derivada: f (x) = e x + (x a ) e x = f(x) = (x a + 1) e x Puesto que x = 0 es un mínimo relativo, entonces anulará la primera derivada: f (0)= 0 f (0) = (0 a + 1) e 0 = 0 ( a + 1) 1 = 0 a + 1 = 0 a = 1 Por lo tanto, la función f(x) tendrá por expresión f(x) = (x 1) e x y su derivada f (x) = x e x. Estudiamos ahora la monotonía de la función dando valores a la derivada de la función: Intervalo Punto f (x) = x e x Monotonía en Signo de f (x) representante el intervalo (, 0) 1 e 1 < 0 < 0 Decreciente (0, + ) + 1 e > 0 > 0 Creciente. Por lo tanto, x = 0 se confirma según nuestros cálculos, como un mínimo relativo. Además, puesto que la función es continua y la función decrece y, a partir de x = 0 crece, confirma que x = 0 es un mínimo absoluto de la función. Concluimos que para a = 1, la función f(x) tiene un mínimo absoluto. b) Para el valor de a obtenido, calcula los puntos de inflexión de la función f(x). (1 25 puntos) Para calcular los puntos de inflexión, debemos anular la segunda derivada de la función f(x) = (x 1) e x. 3

4 Como la derivada de la función es f (x) = x e x entonces, Anulamos la segunda derivada: f (x) = e x + x e x = (x + 1) e x f (x)= 0 f (x) = (x + 1) e x = 0 (x + 1) = 0 x = 1 Para asegurarnos de que es un punto de inflexión, estudiamos ahora la curvatura de la función dando valores a la segunda derivada de la función: Intervalo Punto f (x) = (x + 1) e x Signo de Curvatura en el representante f (x) intervalo (, 1) 2 e 2 < 0 < 0 Concava () ( 1, + ) 0 e 0 = 1 > 0 > 0 Convexa () Por lo tanto, la función f(x) tendrá un punto de inflexión en la abcisa x = 1. El punto de inflexión será ( 1, f( 1)) = ( 1, 2/e 2 ) 2A. Calcula la integral dx. (2 5 puntos) Solución. Se trata, en principio de una integral a realizar por el método de fracciones simples. Lo primero que hacemos es descomponer en factores primos al polinomio denominador, calculando inicialmente las raíces del polinomio. Aplicando el método de Ruffini: x 3 5x 2 + 8x 4 = 0 Por lo tanto, una raíz es x = 1 y el resto de raíces provienen de factorizar el polinomio x 2 4x + 4 Se observa que este polinomio se puede factorizar como el cuadrado de una resta y en concreto la factorización es (x 2) 2. 4

5 Por lo tanto, la factorización de x 3 5x 2 + 8x 4 será, x 3 5x 2 + 8x 4 = 1 (x 1) (x 2) 2 Proseguimos con el método de descomposición en fracciones simples y transformamos el integrando en suma de tres fracciones simples: Reducimos a común denominador y eliminamos denominadores para poder calcular los valores A, B y C. Calculamos los valores A, B y C a partir de la sustitución de x por los valores x = 1, x = 2 (valores de las raíces) y x = 0. Si x = 1, entonces: Si x = 2, entonces: Si x = 0, entonces: Sustituyendo A = C = 1 tendremos el valor de B: Por lo tanto, tendremos que: 5

6 y por tanto, La primera y la segunda integral simple son del tipo logaritmo mientras que la tercera es de tipo potencial: 3A. Dadas las matrices, y se pide: a) Calcula en función del parámetro k R el rango de la matriz A. (1 punto) b) Existe algún valor de k R para el cual el sistema A X = O sea incompatible? c) Para qué valores de k R el sistema A X = O es compatible indeterminado? Solución. a) Calcula en función del parámetro k R el rango de la matriz A. (1 punto) (0 75 punto) (0 75 puntos) El rango de la matriz A puede ser como máximo 3 puesto que es el menor número entre filas y columnas que tiene. Observamos igualmente que la segunda fila es combinación lineal de la primera y la tercera sin más que sumar la primera y la tercera, lo cual nos dará la segunda. Para comprobar si el rango es 3, tomamos un menor de orden tres y hacemos el determinante: 6

7 En tal caso, si anulamos el determinante anterior obtenemos los valores de k para los que el rango va a ser menor que 3. Por lo tanto, si k 1 y k 1 entonces Rg(A) = 3. Si k = 1 o k = 1 entonces Rg(A) < 3 y como un menor de orden 2 es distinto de cero, entonces Rg(A) = 2. b) Existe algún valor de k R para el cual el sistema A X = O sea incompatible? (0 75 punto) Dada la matriz de coeficientes del sistema: y la matriz ampliada, para que el sistema sea incompatible tiene que ocurrir que Rg(A) Rg(A ), cosa imposible puesto que en el caso que se nos plantea el sistema es homogéneo y por lo tanto tenemos garantizado que Rg(A) = Rg(A ). En conclusión, no hay valor k R para el que el sistema A X = O sea incompatible. c) Para qué valores de k R el sistema A X = O es compatible indeterminado? (0 75 puntos) Dada la matriz de coeficientes del sistema A y la matriz ampliada A como en el apartado anterior, tendremos que para que el sistema sea compatible indeterminado tiene que ocurrir que Rg(A) = Rg(A ) < nº incógnitas. En nuestro caso Rg(A) = Rg(A ) siempre y, por lo visto en el apartado a) concluimos que: Si k 1 y k 1 entonces Rg(A) = 3 = Rg(A ) = nº incógnitas. Si k = 1 o k = 1 entonces Rg(A) = 2 = Rg(A ) < nº incógnitas. En conclusión, para k = 1 y k = 1 tendremos que el sistema A X = O es compatible indeterminado. 7

8 4A. Dadas las rectas a) Determina su posición relativa. (1,25 puntos) b) Halla el ángulo que forman sus vectores de dirección. (1,25 puntos) Solución. a) Determina su posición relativa. (1,25 puntos) El vector director de la recta r viene dado por: + Mientras que el vector de la recta s es El rango de la matriz es 2 ya que dada la matriz, ésta tiene un menor de orden dos con determinante no nulo: Por lo tanto, las dos rectas podrán o bien secantes o bien cruzarse. Para ver si se cruzan o se cortan basta con ver si tienen un punto en común. Para ello sustituimos las ecuaciones paramétricas de s en las ecuaciones generales de r. Por lo tanto, hay punto de intersección en el valor t = 1 para las ecuaciones paramétricas de s. En tal caso, ese punto de intersección es: Concluimos que las rectas r y s son secantes y su punto de intersección es P(1, 0, 1) 8

9 b) Halla el ángulo que forman sus vectores de dirección. (1,25 puntos) El coseno de uno de los cuatro ángulos que forman sus vectores de dirección vendrá definido por: Luego el ángulo pedido vendrá dado por: Por lo tanto, los vectores de dirección forman un ángulo mínimo de 70º 31 43,61 9

10 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA B 1B. a) Enuncia el teorema de Bolzano y el teorema de Rolle. (1 punto) b) Demuestra que la ecuación e x + x 7 = 0 tiene al menos una solución real. (0 75 puntos) c) Demuestra que, de hecho, dicha solución es única. (0 75 puntos) Solución a) Enuncia el teorema de Bolzano y el teorema de Rolle. (1 punto) Teorema de Bolzano. Dada una función f: [a, b] R continua tal que f(a) f(b) < 0 entonces existe al menos un valor c (a,b) tal que f(c) = 0. Teorema de Rolle. Dada una función f: [a, b] R continua en [a,b] y derivable en (a,b) tal que f(a) = f(b) entonces existe al menos un valor c (a,b) tal que f (c) = 0. b) Demuestra que la ecuación e x + x 7 = 0 tiene al menos una solución real. (0 75 puntos) Solución. Sea la función f(x) = e x + x 7. Se trata de una función f: R R continua en todo su dominio. Si tomamos como subdominio al intervalo [ 1, 0] tendremos que f( 1) = e 1 + ( 1) 7 = e 1 1 < 0 f(0) = e = > 0 y por lo tanto f( 1) f(0) < 0. En estas condiciones, el teorema de Bolzano nos garantiza que existe al menos un valor c ( 1, 0) tal que f(c) = 0 y concluimos que la ecuación f(x) = 0, es decir, e x + x 7 = 0 tiene al menos una solución real. c) Demuestra que, de hecho, dicha solución es única. (0 75 puntos) La función f(x) = e x + x 7 es derivable y su derivada es f (x) = e x + 7x 6. Se puede observar que puesto que e x > 0 para todo x R y que x 6 0 para todo valor real x R, entonces f (x) = e x + 7x 6 > 0 para todo x R En ese caso, la función f(x) es creciente en todo R y por lo tanto, si existe al menos, un valor c R tal que f(c) = 0 (por el apartado anterior) este ha de ser único en todo R ya que la función no puede volver a cortar al eje de abcisas si es creciente en todo R. 10

11 2B. Sean las funciones f(x) = x 2 y g(x) = a, con a R, a > 0. Calcula el valor del parámetro a para que el área encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) y g(x) sea. (2 5 puntos) Solución. La función f(x) = x 2 tiene por gráfica una parábola con las ramas hacia arriba que tiene el vértice en el punto O(0,0) mientras que la función g(x) tiene por gráfica una recta horizontal que corta al eje OY por encima del eje OX. En estas condiciones calculamos primero los puntos de corte de ambas funciones: y el área que encierran ambas gráficas viene dada por la siguiente integral: que es una integral inmediata. Resolvemos: Si el área es entonces, igualando la expresión anterior con el valor del área tendremos que: Concluimos que el valor de a para el que las funciones f(x) y g(x) encierran un área de 32/3 u 2 es a = 4. 11

12 3B. a) Clasifica, en función del parámetro m R, el sistema de ecuaciones: (1,5 puntos) b) Resuélvelo, si es posible, para m = 7. (1 punto) Solución. a) Clasifica, en función del parámetro m R, el sistema de ecuaciones: Realizaremos una discusión mediante el teorema de RoucheFrebenius. (1,5 puntos) Sea la matriz de coeficientes y la matriz ampliada. Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: El único valor que anula el determinante es por tanto, m = 7. De aquí extraemos que: Si m 7 entonces Rg(A) = 3 = Rg(A ) = nº incógnitas y por tanto, el sistema es Compatible Determinado. Si m = 7 entonces Rg(A) < 3 = nº incógnitas. En concreto, puesto que existe un determinante de un menor de la matriz A no nulo, entonces Rg(A) = 2. 12

13 Por otra parte, la matriz ampliada es: Donde la última columna es la suma de las tres columnas anteriores. De ahí que Rg(A ) < 3 y, como Rg(A) = 2, entonces Rg(A ) = 2. Concluimos que Rg(A) = Rg(A ) = 2 < nº de incógnitas y por tanto, el sistema es Compatible Indeterminado. Tiene infinitas soluciones. b) Resuélvelo, si es posible, para m = 7. (1 punto) Puesto que el sistema es Compatible determinado y además, Rg(A) = Rg(A ) = 2 < nº incógnitas con un menor de orden dos no nulo, Podemos reescribir el sistema eliminando la última ecuación (es combinación de las otras dos) y transformando en parámetro a la incógnita z. El sistema queda del siguiente modo: Este nuevo sistema tiene las mismas soluciones que el sistema inicial para m = 7 y además es un sistema de Cramer por lo que podemos resolverlo mediante determinantes. De este modo: z = t Concluimos que las soluciones del sistema son de la forma x = 4 3t, y = 3 2t, z = t donde t R. 13

14 4B. Consideremos el plano x ky = 0 y la recta. a) Halla el valor del parámetro k R para que el plano y la recta r sean paralelos. (1,5 puntos) b) Para el valor de k obtenido, calcula la distancia desde la recta r al plano. (1 punto) Solución. a) Halla el valor del parámetro k R para que el plano y la recta r sean paralelos. Para que la recta y el plano sean paralelos, el vector normal del plano debe ser perpendicular al vector director de la recta. El vector normal al plano x ky = 0 es El vector director de la recta viene determinado por: Para forzar a que la recta r y el plano sean paralelos debemos forzar a que sea perpendicular a. Para ello, debemos imponer que el producto escalar sea nulo. Como el producto escalar de los dos vectores es: Tendremos que,. Concluimos que para que la recta r y el plano sean paralelos, k = 1. b) Para el valor de k obtenido, calcula la distancia desde la recta r al plano. (1 punto) Sea k = 1, la distancia de la recta r al plano es la distancia entre un punto P r de la recta y el plano. Sea el punto de la recta r, P = (2, 1, 0) que verifica las ecuaciones de la recta r sin más que tomar z = 0. La distancia entre la recta r y el plano viene dada por: Concluimos que la distancia entre el plano y la recta r es de unidades. 14