Capítulo 4 Probabilidades Estadística Computacional II Semestre 2006

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1 Unversdad Técnca Federco Santa María Departamento de Informátca ILI-80 Capítulo 4 Probabldades Estadístca Computaconal II Semestre 006 Profesores: Héctor llende Carlos Valle Conceptos Báscos Expermento aleatoro : ξ Espaco Muestral : Ω Evento o Suceso : ; ; B;. Sucesos elementales, seguros e mposbles Probabldad : grado de de certdumbre Probabldad y Juegos de de zar Probabldad y Frecuenca relatva Probabldad Subjetva (Personal)

2 Conceptos Báscos Expermento Expermento leatoro: leatoro: --Expermento Expermento que que tene tene o más más resultados resultados posbles posbles Evento Evento (( Suceso) Suceso) Elemental: Elemental: -Resultado -Resultadode de un un expermento expermentondvsble ndvsble -Mutualmente -MutualmenteExcluyentes: s s ocurre ocurre uno uno no no exste exste posbldad posbldad de de observar observar otro otro -Equprobable -Equprobable:: Cada Cada evento evento smple smple tene tene dentca dentca probabldad probabldad Espaco EspacoMuestral -El -El conjunto conjunto que que contene contene todos todos los los resultados resultados posbles posbles Evento Evento -El -El conjunto conjunto de de todos todos los los eventos eventos elementales elementales posbles posblesque que resultan resultan en en la la ocurrenca ocurrenca del del evento evento Conjuntos y Eventos Ω w Ω B Ω : Espaco Muestral: Todos los posbles resultados elementales w Ω, resultado elemental I :Famla de todos los eventos posbles de Ω I, luego es un Evento mposble Ω I, luego Ω es el Evento Seguro y B I, luego son eventos B I; B I; c I, son eventos 4

3 Concepto de σ-álgebra de sucesos Sea Sea I una una clase clase no no vacía vacía formada por por certos subconjuntos del del espaco muestral Ω. Ω. σ-algebra de de sucesos :: I es esuna σ-algebra Φ, Φ, Ω є I,, los los sucesos complementaros de de aquellos que que están en en I y tambén están en en I, I, así asícomo sus sus unones numerables (sean fntas o nfntas). Esto Esto se se puede enuncar como: c I I es una σ álgebra n n I I,..., Υ 5 Conjuntos vs. Eventos Teoría Conjuntos Teoría Probabldades Ω Unverso Espaco Muestral I Conjunto Potenca Famla Clases de Eventos I subconjunto de Ω es un Evento w w es elemento de Ocurre el evento Conjunto vacío Evento Imposble Ω Unverso Evento Seguro B unón B Evento o Evento B B nterseccón B Evento y Evento B c Complemento de Evento no- B es subconjunto de B mplca B B y B son dsjuntos y B mutuamente excluyentes 6

4 Ejemplo Dado Se Se realza realza un un expermento expermento aleatoro aleatoro de de lanzar lanzar un un dado dado al al are: are: -Sucesos -Sucesos elementales elementales {}, {},{}, {},{}, {},{4}, {4},{5}, {5},{6} {6} -Espaco -Espaco Muestral Muestral S{,,,4,5,6} S{,,,4,5,6} -Conjunto -Conjunto Potenca Potenca I S){Ø,S,{},{},...,{,},...} S){Ø,S,{},{},...,{,},...} σ-álgebra Ø suceso suceso mposble mposble S suceso suceso seguro seguro {, {,,, 5} 5} -Sucesos -Sucesos aleatoros aleatoros {4, {4, 5, 5, 6} 6} {, {, 4, 4, 6}{, 6}{,,, 5} 5} C Ejemplo S S se se realza realza un un expermento expermento aleatoro aleatoro de de esperar esperar el el tempo tempo que que hace hace falta falta para para que que un un átomo átomo de de carbono carbono catorce, catorce, C 4 4,, se se desntegre desntegre de de modo modo natural, natural, se se tene tene que que + Ω R sn sn embargo, embargo, el el σ-álgebra σ-álgebra de de sucesos sucesos que que se se consdera consdera no no es es R), R), que que es es una una clase clase demasado demasado compleja compleja para para defnr defnr sobre sobre sus sus elementos elementos una una medda medda de de probabldad. probabldad. En En su su lugar lugar se se consdera consdera el el σ-álgebra σ-álgebra formada formada por por todos todos los los ntervalos, ntervalos, abertos abertos o cerrados, cerrados, y sus sus unones unones fntas fntas I {Ø, {Ø, R + +,,(,),...,(,],...} (,),...,(,],...} lo lo que que por por supuesto supuesto ncluye ncluye a los los puntos puntos de de R

5 Expermento leatoro I II Se toma al azar una esfera de la urna I Se transfere a la urna II, se mezclan ben. Se elge, aleatoramente, una esfera de la urna II. cuál es la probabldad a pror que sea verde? 9 Espaco Muestral I Traspasar Roja # Traspasar Verde # Traspasar Verde # II II II Dstntas formas como puede resultar el expermento. Ya que las esferas han sdo sacadas al azar, cada uno de ellas tene la msma posbldad de ocurrr 0 5

6 Nocones de Probabldad Probabldad Probabldad es es una una medda medda de de la la ncertdumbre ncertdumbre (Estmacón (Estmacón de de la la probabldad) probabldad) Teórca Teórca -- Pror Pror -Pr -Pr() n / N n número número de de posble posble formas formas en en que que puede puede ser ser observado observado N número número total total de de resultados resultados posbles posbles Hstórca Hstórca (empírca-frecuenca) (empírca-frecuenca)-- Posteror Posteror -Pr -Pr() n/n n/n n número número de de veces veces que que ocurro ocurro N número número total total de de observacones observacones Subjetva Subjetva -La -La Opnón Opnón de de un un Experto Experto Ejemplo En En la la fgura fgura se se presenta presenta la la evolucón evolucón de de la la frecuenca frecuenca relatva relatva del del número número de de caras caras obtendo obtendo en en el el lanzamento lanzamento de de una una moneda moneda en en ocasones ocasones (smulado (smulado en en un un computador). computador). 6

7 Modelo Probablístco Sea una Dstrbucón de de Probabldad P, P, funcón que asgna a cada sub-conjunto razonable de de Ω un un valor entre 0 y.. Ω Sea I coleccón de de eventos razonables de de Ω (σ-álgebra) P : I [0;] Modelo de Probabldad ( Ω, I, P) Cálculo de Probabldades (Eventos Equprobables) Nocón ntutva (regla de de Laplace): Resultados favorables al evento ) Resultados posbles Nocón frecuentsta: Sea N : N total de veces que se realza un experment o N : N total de veces que ocurre ) lm N N N 4 7

8 Ejemplo Dado Cuál es es la la probabldad de de que al al lanzar un un dado se se tenga par? -El -El espaco espaco muestral muestrales es Ω{, Ω{,,,,, 4, 4, 5}. 5}. Vamos Vamos a llamar llamar,, al al suceso suceso consstente consstente en en que que el el resultado resultado es es mpar, mpar, {,,5}. {,,5}. Como Como no no suponemos suponemos que que nnguna nnguna de de las las caras caras ofrece ofrece una una probabldad probabldad de de ocurrenca ocurrenca dferente dferente a las las demás, demás, podemos podemos aplcar aplcar la la regla regla de de Laplace Laplacepara para obtener obtener que que número de casos favorables a P[ ] número de casos posbles 6 5 Cálculo de Probabldades (Eventos Equprobables) Observacón Observacón -En -En muchas muchas ocasones ocasones nos nos preocupamos preocupamos de de elegr elegr de de manera manera aleatora aleatora uno uno o más más objetos objetos desde desde una una coleccón coleccón de de objetos objetos Sea Sea N el el número número de de objetos. objetos. -Elegr -Elegr objeto objeto al al azar, azar, sgnfca sgnfca que que cada cada objeto objeto tene tene la la msma msma probabldad probabldad de de ser ser elegdo. elegdo. elegr elegra ) ) / / N -Elegr -Elegr objetos objetos al al azar azar sgnfca sgnfca que que cada cada par parde de objetos objetos tene tene la la msma msma probabldad probabldad de de ser ser seleconado. seleconado. Supongamos Supongamos que que exsten exsten K de de tales tales pares, pares, entonces entonces la la probabldad probabldad de de elegr elegr un un par par cualesqueres cualesquereses es / / K. K. -Elegr -Elegr r r objetos objetos aleatoramente, aleatoramente, r r < N, N, sgnfva sgnfvaque que cada cada r-tupla r-tuplade de objetos objetos tene tene la la msma msma probabldad probabldad de de ser ser selecconada selecconada que que cualquer cualquer otra otra r-tupla. r-tupla. 6 8

9 Probabldad xomátca xoma : : xoma : : ) 0 Ω) xoma :- Suponendo que { se verfca que, ) }, I sea mutuamente ) excluyente 7 Propedades.. φ) 0.. ).. C ) - ) S S B ) B) B) ) + B) - B) ) Σ ) S S B B-) B) - B) 8 9

10 Sea Ω { w, w,..., wn } E { w },.., N N ΥE Espaco Muestral Fnto Ω Espaco Evento Mutuamente Muestral Elemental plcando los los axomas se se tene Fnto excluyente s de a pares E ) f N ΥE ) Como E Ι > 0,,,...,N E j 0 f j E Ι E ) E ) + E ) j j 9 Probabldad Condconal Sean,, B dos sucesos tal tal que B) > La probabldad de de condconada a la la ocurrenca de de B, B, denotada como B) : Ι B) B) B) Propedades: ) ) B) 0 ) ) Ω Ω B) B) ) ) B) Σ B) con con j,,,, j :: j j 0 0

11 Probabldad Condconal Ω Centra el foco de atencón en el hecho que se sabe que han ocurrdo el evento B B Estamos ndcando que el espaco muestral de nterés se ha reducdo sólo a aquellos resultados que defnen la ocurrenca del evento B Entonces, B) mde la probabldad relatva de con respecto al espaco reducdo B Probabldad Condconal Tambén se ha encontrado que el 5% de la pezas que no tenen fallas superfcales son funconalmente defectuosas Se ha encontrado que el 5% de las pezas con fallas superfcales son funconalmente defectuosas Por lo tanto el 90% no tenen fallas vsbles en la superfce. 00% pezas Manufacturadas Se sabe que el 0% de las pezas manufacturadas tenen fallas vsbles en la superfce. Evento { peza funconalmente defectuosa} B { peza tene una falla vsble en la superfce} dado B) B)?

12 Casos Probabldad Condconal B B ) ) S B B) 0 B) B) B B ) ) S B B) ) B) B) B ) B) B S B B B) B) B) B B ) S B B) B) Probabldad Total Sean B,, B,...,B n eventos mutuamente excluyentes : P ( ) Entonces ) Υ n B Consecuenca (Regla de de Bayes): n B ) B ) B ) B ) B ) ) 4

13 Probabldad Total Equpo Fallado B B B B B 5 B 4 B B 4 B Equpo Manufacturado en Planta B Sean B, B,...,B n eventos mutuamente excluyentes n ΥB ) Entonces ) n B ) B ) 5 Supongamos de de que se se elge aleatoramente un un Equpo y se se encuentra que está fallado. cuál es es la la probabldad que sea manufacturado en en Planta B? j Regla de Bayes Se Se pde pde B B ); ); pero pero sólo sólo se se conoce B ), ),,,,,,,....,, k Sabemos que que B ) B ) B B ) B B ) ) ) ) B ) B ) B ) B Ι Bj φ ; j Bj ) Bj ) ΥB S j j 6

14 Probabldad Multplcatva Ley Multplcatva: Ι n ) n ) )... Ι n ) sempre que: Ι n ) > 0 7 Regla de la Multplcacón El El Número Número de de maneras maneras dferentes dferentes de de elegr elegr o sacar sacar un un elemento elemento de de del del conjunto conjunto que que tene tene n elementos, elementos, luego luego un un elemento elemento de de un un conjunto conjunto que que tene tene n elementos, elementos,......,, y fnalmete fnalmeteun un elemto elemtodel del k-ésmo k-ésmo conjunto conjunto que que tene tene n k elemetos, k elemetos, en en donde donde el el orden orden como como se se seleccona seleccona es es mportante mportante n * n *...*...* n k k n n n n 8 4

15 Ejemplo ) ) Sean,B sucesos de de un un msmo modelo de de probabldad (Ω, R, R, P) P) tales que: B)0,4 B)0,7 B)0,75 Determnar: C ) ; -B) ; C B C ) ; B C ) 9 Solucón C ) - ) B) ) + B) - B) B) /B) B) 0,75 * 0,4 0, ) 0,7-0,4 + 0, 0,6 C ) 0,4 -B) B C ) ) - B) 0,6-0, 0, C B C ) C ) + B C ) - C B C ) C B C ) B C ) - B C ) 0,6-0, 0, Luego C B C ) 0,4 + 0,6-0, 0,7 /B C ) B C ) 0, 0,5 B C ) 0,4 0 5

16 Ejemplo Un Un procesador para para computadores puede provenr de de cualquera de de tres tres fabrcantes con con probabldades: p 0,5; p 0,50; p 0,5. 0,5. Las Las probabldades de de que que un un procesador funcone correctamente durante horas es es 0,; 0,; 0, 0, y 0,4 0,4 respectvamente para para los los fabrcantes: ) ) Calcular la la probabldad de de que que un un procesador elegdo al al azar azar funcone durante horas. ) ) S S el el procesador funconó correctamente durante el el período de de horas cuál cuál es es la la probabldad de de que que haya haya provendo del del er er fabrcante? Solucón C) P C F ) 0.* * * F C F ) F ) C) C) ( F 0.4* )

17 Independenca Probablístca Sean Sean,, B dos dos eventos del del modelo probablístco (Ω, (Ω, I, I, P). P).,, B se se dcen probablístcamente ndependentes ss: ss: Ι B) ) B) B) ) B ) B) Sean Sean { { : : I {,,,...,k}} una una coleccón de de eventos de de (Ω, (Ω, I, I, P). P). Se Se dce dce que que los los elementos son son conjuntamente ndependentes ss: ss: Ι j ) ) φ J I {,,,..., k} j J j J Observacones Independenca Independenca probablístca probablístca Conjunta Conjunta Independenca Independenca de de a pares pares.. Independenca Independenca probablístca probablístca de de a pares pares Independenca Independenca probablístca probablístca Conjunta Conjunta.. S S,, B son son eventos eventos ndependentes ndependentes probablístcamente. probablístcamente. Entonces Entonces se se tene tene,, B C C son son ndependentes. ndependentes. C C,, B C C son son ndependentes ndependentes C C,, B son son ndependentes ndependentes Sea Sea (Ω, (Ω, Ω Ω,, P) P) modelo modelo de de probabldad. probabldad. Estudar Estudar ndependenca ndependenca conjunta conjunta y y de de a a pares. pares. 4 7

18 Independenca Probablístca Ejemplo : : Sea (Ω, Ω,, P) P) modelo de de probabldad. Ω { (,0,0) (0,,0) (0,0,) (,,) } {w }) }) /4,, 4 Sean,,,, eventos de de (Ω, Ω,, P) P) : : era era coord. es es : da da coord. es es : era era coord. es es Estudar ndependenca conjunta y de de a pares. 5 Ejemplo.4 : Independenca Probablístca B 4 Probabldad de cerrar los relés,, y 4 es p. S todos los relés funconan ndependentemente, cuál es la probabldad que pase corrente de a B E) P[( R Ι R ) Υ ( R Ι R )]; E) P[ R Ι R ] + P[ R Ι R ] P[ ΙR ] p p B 4 6 8

19 Construccón Modelos de Probabldad Sea µ una medda en en el el Espaco Muestral tal tal que µ (Ω) < : Longtud ; Superfce Volumen. etc. Entonces exste un un funcón defnda en en IR IR P : R R µ ( ) ) µ ( Ω) es es una medda de de Probabldad 7 Ejemplo.5: Problema del encuentro: Dos Dos estudantes estudantes acuerdan acuerdan [9; [9; 0] 0] encontrarse encontrarse en en la la bbloteca bbloteca de de la la UTFSM UTFSM entre entre las las 9.M..M. y las las 0 0.M..M. un un día día lunes. lunes. El El prmero prmero que que llega llega a la la bbloteca bbloteca,, espera espera al al otro otro 0 0 mnutos mnutos (dentro (dentro del del ntervalo ntervalo de de tempo tempo pactado). pactado). S S se se supone supone que que cada cada uno uno llega llega al al azar azar en en el el ntervalo ntervalo de de tempo tempo convendo convendo y que que los los tempos tempos de de llegada llegada son son ndependentes. ndependentes. Cuál Cuál es es la la probabldad probabldad que que estos estos estudantes estudantes se se encuentren encuentren? Solucón: Solucón: X(t) X(t) :: Llegada Llegada del del estudante estudante Y(t) Y(t) :: Llegada Llegada del del estudante estudante [X(t);Y(t)] [X(t);Y(t)] [9; [9; 0]x 0]x [9; [9; 0] 0] [0; [0; 60]X 60]X [0; [0; 60]Ω 60]Ω {[X(t);Y(t)] {[X(t);Y(t)] :: X(t);Y(t) < X(t);Y(t) < 0} 0} ) ) µ(α)/µ(ω) µ(α)/µ(ω) / /

20 Ejemplo.5: Problema Problema del del encuentro: encuentro: Dos Dos estudantes estudantes acuerd acuerd [9; [9; 0] 0] an anencontrarse en en la la bbloteca bbloteca de de la la UTFSM UTFSM entre entre las las 9.M..M. y las las 0 0.M..M. un un día día lunes. lunes. El El prmero prmero que que llega llega a la la bbloteca bbloteca,, espera espera al al otro otro 0 0 mnutos mnutos (dentro (dentro del del ntervalo ntervalo de de tempo tempo pactado). pactado). S S se se supone supone que que cada cada uno uno llega llega al al azar azar en en el el ntervalo ntervalo de de tempo tempo convendo convendo y que que los los tempos tempos de de llegada llegada son son ndependentes. ndependentes. Cuál Cuál es es la la probabldad probabldad que que estos estos estudantes estudantes se se encuentren encuentren? Solucón: Solucón: X(t) X(t) :: Llegada Llegada del del estudante estudante Y(t) Y(t) :: Llegada Llegada del del estudante estudante [X(t);Y(t)] [X(t);Y(t)] [9; [9; 0]x 0]x [9; [9; 0] 0] [0; [0; 60]X 60]X [0; [0; 60]Ω 60]Ω {[X(t);Y(t)] {[X(t);Y(t)] :: X(t);Y(t) < X(t);Y(t) < 0} 0} ) ) µ(α)/µ(ω) µ(α)/µ(ω) / / Varacones Card ( ) n Def: Def: Sea Sea un un conjunto conjunto ::,, se se llama llama varacón varacón smple smple o sn sn repetcón repetcón a todo todo subconjunto subconjunto de de n elementos elementos dstnguéndose dstnguéndose estos estos entre entre s, s, en en los los elementos elementos que que lo lo componen componen y en en el el orden orden en en que que estos estos elementos elementos van van colocados colocados V( n,) n( n ) V( n,) n( n )( n )... { x, x,..., x } V( n, k) n( n )( n )...( n k + ) Obs: Obs: S S las las varacones varacones son son con con repetcón repetcón n V ( n, k) n k 40 0

21 Permutacon ones Número de maneras dstntas de sacar r elementos de lote de n CUNDO EL ORDEN IMPORT : Nota: Estudar permutacones con repetcón n objetos P n r n! ( n r)! r 4 Combnacon ones Combnacones (sn repetcón): Número de de maneras dstntas de de sacar r elementos de de lote lote de de n CUNDO EL EL ORDEN NO NO IMPORT Nota : Estudar combnacones con con repetcón C (n,r) (n+r-)!/ r!(n-)! n! C( n, r) r!( n r)! 4

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