Héctor Allende 1. w Ω, resultado elemental. Ω : Espacio Muestral: Todos los posibles

Transcripción

1 Coeptos ásos Capítulo Curso ILI-80 I Semestre 00 Profesor: Hétor llede Expermeto aleatoro : ξ Espao Muestral : Ω Eveto o Sueso : ; ;. Evetos elemetales, seguros e mposbles Probabldad : grado de ertdumbre Probabldad y Juegos de zar Probabldad y Freuea relatva Probabldad Subetva (Persoal Coeptos ásos Coutos y Evetos Expermeto leatoro: Expermeto que tee o más resultados posbles Espao Muestral: El outo que otee todos los resultados posbles Eveto Elemetal: Resultado de u expermeto dvsble Eveto -El outo de todos los evetos elemetales posbles que resulta de la ourrea del eveto Eveto Mutualmete Exluyetes : s la ourrea de uo exluye la posbldad de observar otro - Eveto Equprobable : Cada eveto smple tee la msma probabldad Ω Ω : Espao Muestral: Todos los posbles resultados elemetales w Ω, resultado elemetal I :Famla de todos los evetos posbles deω I, luego es u Eveto mposble Ω I, luego Ω es el Eveto Seguro y I, luego so evetos I; I; I, so evetos w Ω 4 Coepto de σ-álgebra de suesos Sea I ua lase o vaía formada por ertos suboutos del espao muestral Ω. σ-algebra de suesos : I es ua σ-algebra Es evdete que s Φ,, Ω є I, so suesos y por tato los suesos omplemetaros.e. Φ,, Ω є I de aquellos que está e I y també está e I, así omo sus uoes umerables (sea ftas o ftas. Esto se puede euar omo: I I I es ua σ álgebra I I,..., U 5 Smltud etre T. Coutos y T. Probabldad Teoría Coutos Teoría Probabldades Ω Uverso Espao Muestral I Couto Potea Famla Clases de Evetos I subouto de Ω es u Eveto w w es elemeto de Ourre el eveto Couto vaío Eveto Imposble Ω Uverso Eveto Seguro uó Eveto o Eveto terseó Eveto y Eveto Complemeto de Eveto o- es subouto de mpla y so dsutos y mutuamete exluyetes 6 Hétor llede

2 Eemplo Dado Expermeto aleatoro : Se lazar u dado legal -Suesos elemetales {}, {}, {}, {4}, {5}, {6} -Espao Muestral Ω{,,,4,5,6} -Couto Potea I Ω{Ø, Ω,{},{},...,{,},...} Ø sueso mposble σ-álgebra Ω sueso seguro {,, 5} -Suesos aleatoros {4, 5, 6} {, 4, 6}{,, 5} C... Eemplo S se realza u expermeto aleatoro : Este osste determar el tempo de esperar hasta que se geere u terremoto de grado mayor o gual a 7 e la esala de Rhter e ua determada Regó. + Ω R s embargo, el σ-álgebra de suesos que se osdera o es R, que es ua lase demasado omplea para defr sobre sus elemetos ua medda de probabldad. E su lugar se osdera el σ-álgebra formada por todos los tervalos, abertos o errados, y sus uoes e terseoes ftas I {Ø, R +, (0,,(,,...,(,],...} lo que por supuesto luye a los putos de R Eemplo S se realza u expermeto aleatoro : Este osste determar el úmero de lazametos hasta obteer la prmera ara Ω I(aturales s embargo, el σ-álgebra de suesos que se osdera o es I, que es ua lase demasado omplea para defr sobre sus elemetos ua medda de probabldad. E su lugar se osdera el σ-álgebra formada por todos los suboutos de teres, sus uoes e terseoes ftas Eemplo 4: Expermeto leatoro I II lo que por supuesto luye a los putos de I 9 Se toma al azar ua esfera de la ura I Se trasfere a la ura II, se mezla be. Se elge, aleatoramete, ua esfera de la ura II. uál es la probabldad a pror que sea verde? 0 I Espao Muestral Traspasar Roa # Traspasar Verde # Traspasar Verde # II II II Dsttos resultados del expermeto. Esto os sugere u uevo oepto deomado probabldad odoal Cálulo de Probabldades Probabldad (medda de la ertdumbre (Problema de Estmaó Teóra - Pror Pr ( úmero de posble formas e que puede ser observado úmero total de resultados posbles Hstóra (freuea empíra - Posteror úmero de vees que ourro úmero total de observaoes Pr ( Subetva : (Opó de u Experto: Propoó observaoal Depede de la experea pereptva de su experea pasada, de su oometo y de sus expetatvas. Hétor llede

3 Cálulo de Probabldades (Evetos Equprobables oó tutva (regla de Laplae: Resultados favorables del eveto Resultados posbles oó freuetsta : total de vees que se realza u expermeto : total de vees que ourre lm oó ayesaa ( Tarea volutara Eemplo 4 : Probabldad (Freuetsta Smulada E la fgura se preseta la evoluó de la freuea relatva del úmero de aras obtedo e el lazameto de ua moeda e 00 oasoes (smulado e u omputador. 4 Eemplo 5: Regla de Laplae (Evetos Equprobables Cuál es la probabldad de que al lazar u dado el resultado sea mpar? -El espao muestral es Ω{,,, 4, 5}. Vamos a llamar, al sueso osstete e que el resultado es mpar, {,,5}. Como o supoemos que gua de las aras ofree ua probabldad de ourrea dferete a las demás, podemos aplar la regla de Laplae para obteer que úmero de asos favorables a P[ ] úmero de asos posbles 6 Observaó -E muhas oasoes os preoupamos de elegr de maera aleatora uo o más obetos desde ua oleó de obetos Sea el úmero de obetos. -Elegr obeto al azar, sgfa que ada obeto tee la msma probabldad de ser elegdo. Es der / -Elegr obetos al azar sgfa que ada par de obetos tee la msma probabldad de ser elegdo. Supogamos que exste K de tales pares, etoes la probabldad de elegr u par ualesquera es / K. -Elegr r obetos al azar r <, sgfa que ada r-tupla de obetos tee la msma probabldad de ser elegda que ualquer otra r-tupla. 5 6 Eemplo 6 : Regla de Laplae Modelo Probablísto Cuál es la probabldad de obteer u as, al extraer ua arta, de ua baraa ormal? Cuál es la probabldad de obteer u poker de ases al extraer 4 artas, de ua baraa ormal? Sea ua Dstrbuó de Probabldad P, fuó que asga a ada sub-outo de terés Ω u valor etre 0 y. P : I [0;] Ω Sea I oleó de Evetos de terés ( ;;C.. de la Ω (σ-álgebra Modelo de Probabldad ( Ω, I, P 7 8 Hétor llede

4 Probabldad xomáta ( Kolmogorov Propedades xoma : xoma : xoma :- 0 Ω (U Supoedo que { }, I so mutuamete P I exluyete. φ 0.. C - 4. S Σ S Eemplo : Ω Fto Probabldad Codoal Sea Ω w, w,..., w } E { w } U E Ω {,.., Espao Muestral Fto Eveto Elemetal Mutuamete exluyete s de a pares plado los axomas se tee E f U E Como > 0 E I E 0,,,..., f E U E E + E Sea, dos suesos tal que > 0. La probabldad de odoada a la ourrea de, deotada omo : I Propedades: 0 Ω Σ o,, : Probabldad Codoal Eemplo : Probabldad Codoal Ω Cetra el foo de ateó e el heho que se sabe que ha ourrdo el eveto També se ha eotrado que el 5% de la pezas que o tee fallas superfales so fuoalmete defetuosas Se ha eotrado que el 5% de las pezas o fallas superfales so fuoalmete defetuosas Estamos dado que el espao muestral de terés se ha redudo sólo a aquellos resultados que defe la ourrea del eveto Por lo tato el 90% o tee fallas vsbles e la superfe. 00% pezas Maufaturadas Se sabe que el 0% de las pezas maufaturadas tee fallas vsbles e la superfe. Etoes, mde la probabldad relatva de o respeto al espao redudo Eveto { peza fuoalmete defetuosa} { peza tee ua falla vsble e la superfe} dado P (? 4 Hétor llede 4

5 Casos Probabldad Codoal Eemplo 6 S 0 Sea, suesos de u msmo modelo de probabldad (Ω, R, P tales que: S 0,4 0,7 0,75 Determar: S C ; - ; C C ; C S 5 6 Soluó Probabldad Total C / 0,75 * 0,4 0, 0,7-0,4 + 0, 0,6 C 0,4 - C - 0,6-0, 0, C C C + C - C C C C C - C 0,6-0, 0, Luego C C 0,4 + 0,6-0, 0,7 / C C 0, 0,5 C 0,4 Sea,,..., evetos mutuamete exluyetes : P ( Etoes U Coseuea (Regla de ayes: 7 8 Probabldad Total Regla de ayes Equpo Fallado Sea,,..., Etoes evetos mutuamete exluyetes Equpo Maufaturado e Plata U Supogamos de que se elge aleatoramete u Equpo y se euetra que está fallado. uál es la probabldad que sea maufaturado e Plata? Se pde ; pero sólo se ooe,,,,.., k Sabemos que I φ ; U S 9 0 Hétor llede 5

6 Eemplo 7 U proesador para omputadores puede prover de ualquera de tres fabrates o probabldades: p 0,5; p 0,50; p 0,5. Las probabldades de que u proesador fuoe orretamete durate horas es 0,; 0, y 0,4 respetvamete para los fabrates: Calular la probabldad de que u proesador elegdo al azar fuoe durate horas. S el proesador fuoó orretamete durate el período de horas uál es la probabldad de que haya provedo del er fabrate? P C F 0.* * * Soluó F C F F ( F 0.4* Probabldad Multplatva Problema de ayes (Tarea Ley Multplatva: I... I sempre que: I > 0. E Certo mometo de ua vestgaó rmal, el spetor eargado está e u 60% ovedo de la ulpabldad de u sospehoso. Supoga ahora que se desubre ua ueva evdea que muestra que el rmal tee erta araterísta (Como por eemplo ser zurdo, ser alvo,..et. S el 0% de la poblaó tee dha araterísta. Qué ta seguro estará ahora el vestgador de la ulpabldad del sospehoso, uado el sospehoso perteee a dho grupo. hora supogamos que la ueva evdea esta sueta a dsttas terpretaoes posbles, y que e realdad sólo aerta el 90% uado el rmal tee dha araterísta. Qué ta seguro estará ahora el vestgador de la ulpabldad del sospehoso, s resulta que la evdea es postva. Comparar los resultados y ustfar las dferea 4 Soluó Soluó Soluó: parte Soluó : parte Sea G: Eveto el sospehoso es ulpable C: Eveto el sospehoso posee la araterísta C/ G* G + C/ G * G 0,9*0,6 + 0,*0,4 0,6 G / GI / C / G GI / G G/ C/ G I G/ 0,6*0,9/ 0,6 0,87 G 0,6 C / G GI 0,6 C / G* G + C / G * G *0,6 + 0,* 0,4 0,68 G / C G I C / C 0,6 / 0,68 0,88 Soluó parte l dsmur la erteza de la araterísta dsmuya la ulpabldad 5 6 Hétor llede 6

7 Idepedea Probablísta Sea, dos evetos del modelo probablísto (Ω, I, P., se de probablístamete depedetes ss: I Sea { : I {,,,...,k}} ua oleó de evetos de (Ω, I, P. Se de que los elemetos so outamete depedetes ss: I φ J I {,,,..., k} J J Observaoes Idepedea probablísta Couta Idepedea de a pares. Idepedea probablísta de a pares Idepedea probablísta Couta. S, so evetos depedetes probablístamete. Etoes se tee, C so depedetes. C, C so depedetes C, so depedetes 4. Sea (Ω, Ω, P modelo de probabldad. Estudar depedea outa y de a pares. 7 8 Eemplo 8: Idepedea Probablísta Sea (Ω, Ω, P modelo de probabldad. Ω { (,0,0 (0,,0 (0,0, (,, } {w } /4, 4 Sea,, evetos de (Ω, Ω, P : : era oord. es : da oord. es : era oord. es Estudar depedea outa y de a pares. Eemplo 9 : Idepedea Probablísta 4 Probabldad de errar los relés,, y 4 es p. S todos los relés fuoa depedetemete, uál es la probabldad que pase orrete de a 4 ( E P[( R I R U ( R I R4]; E P[ R I R] + P[ R I R4] P[ IR ] p p P Costruó Modelos de Probabldad Sea µ ua medda e el Espao Muestral tal que µ (Ω < : Logtud ; Superfe Volume. et. Etoes exste u fuó defda e IR P : R R µ ( µ ( Ω es ua medda de Probabldad 4 Eemplo 0: Problema del euetro: Dos estudates auerda [9; 0] eotrarse e la bblotea de la UTFSM etre las 9.M. y las 0.M. u día lues. El prmero que llega a la bblotea, espera al otro 0 mutos (detro del tervalo de tempo patado. S se supoe que ada uo llega al azar e el tervalo de tempo ovedo y que los tempos de llegada so depedetes. Cuál es la probabldad que estos estudates se euetre? Soluó: X(t : Llegada del estudate Y(t : Llegada del estudate [X(t;Y(t] [9; 0]x [9; 0] [0; 60]X [0; 60]Ω {[X(t;Y(t] : X(t;Y(t < 0} µ(α/µ(ω / 6 4 Hétor llede 7

8 Eemplo 0: Problema del euetro: Regla de la Multplaó Dos estudates auerd [9; 0] a eotrarse e la bblotea de la UTFSM etre las 9.M. y las 0.M. u día lues. El prmero que llega a la bblotea, espera al otro 0 mutos (detro del tervalo de tempo patado. S se supoe que ada uo llega al azar e el tervalo de tempo ovedo y que los tempos de llegada so depedetes. Cuál es la probabldad que estos estudates se euetre? Soluó: X(t : Llegada del estudate Y(t : Llegada del estudate [X(t;Y(t] [9; 0]x [9; 0] [0; 60]X [0; 60]Ω {[X(t;Y(t] : X(t;Y(t < 0} µ(α/µ(ω / 6 El Expermeto tee maeras dferetes de elegr o saar u elemeto del outo que tee elemetos, luego otro Expermeto tee maeras dferetes de elegr o saar u elemeto de u outo Falmete el Expermeto k tee k maeras dferetes de elegr o saar u elemeto del outo k Etoes * *...* k 4 44 Varaoes Permutaoes Def: Sea u outo : Card (, se llama varaó smple o s repetó a todo subouto de elemetos dstguédose estos etre s, e los elemetos que lo ompoe y e el orde e que estos elemetos va oloados x, x,..., x } { V(, ( V(, ( (... V(, k ( (...( k + Obs: S las varaoes so o repetó V (, k k úmero de maeras dsttas de saar r elemetos de lote de CUDO EL ORDE IMPORT : ota: Estudar permutaoes o repetó obetos P r! ( r! r Combaoes Problema Combaoes (s repetó: úmero de maeras dsttas de saar r elemetos de lote de CUDO EL ORDE O IMPORT ota : Estudar ombaoes o repetó C (,r (+r-!/ r!(-!! C(, r r!( r!.- Se laza dados de olor dferete: lao, Roo y egro Cuál es la probabldad de que el resultado del lado egro sea o 6 y los otros dos o?. Defa laramete sus evetos y ustfque todos los supuestos para estmar la probabldad. (,5 Putos Hétor llede 8