PAIEP. Sistemas de Ecuaciones Lineales

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1 Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Sistemas de Ecuaciones Lineales Consideremos el sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas x + y = 2 2x y = 4 (1) Sabemos que ese sistema tiene solución única, a saber x = 3 e y = 1 El sistema (1) se puede reescribir en forma matricial por ( ) ( ) ( ) 1 1 x 2 = 2 1 y 4 (2) Observemos que un sistema como (1) o (2), no tiene por qué tener dos ecuaciones y dos incógnitas Podríamos tener un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas, con n, m N no necesariamente iguales, esto motiva la siguiente definición Definición: Un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas es una expresion del tipo: a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nm x m = b n El equivalente en forma matricial es: a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m x 1 x 2 = b 1 b 2 (3) a n1 a n2 a nm x m b n del cual nos referiremos, de ahora en adelante como el sistema lineal Ax = b, donde A = (a ij ) i = 1, 2, ldots, n j = 1, 2,, m es la matriz asociada al sistema de ecuaciones lineales, x = x 1 x 2 b 1 y b b 2 x m b n Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 1

2 Operaciones Elementales de Matrices Este tipo de operaciones, juegan un papel fundamental en la resolución de sistemas lineales, ya que esto nos permite encontrar un sistema de ecuaciones equivalente, del cual si se puede obtener su solución Estas operaciones, en el caso de matrices, son básicamente tres: Intercambiar dos filas (intercambiar ecuaciones) Multiplicar una fila por una constante no nula: Permite generar unos en cualquier posición de la matriz Sumar un múltiplo de una fila a otra fila diferente: Permite generar ceros en cualquier posición de la matriz Definición: Sea A M n m (R) Se dice que A es matriz escalonada reducida por filas si: a) Todas las filas (si las hay) cuyos elementos son todos ceros (filas nulas), aparecen bajo las filas no nulas En cualquier fila no nula, el primer elemento no nulo de cada fila (partiendo de la izquierda) es un uno (1) A este elemento lo llamamos el pivote de esa fila Esto es, todos los pivotes de cada fila no nula son (1) c) Si dos filas sucesivas son no nulas entonces el primer 1 en la fila de más abajo, está más a la derecha que el primer 1 de la fila de encima d) Si una columna contiene el pivote de una fila entonces es nula en las otras posiciones, es decir, en dicha columna bajo y sobre el pivote las entradas de la matriz son ceros Se dice que A es matriz escalonada por filas, si: a) Todas las filas (si las hay) cuyos elementos son todos ceros (filas nulas), aparecen bajo las filas no nulas En cualquier fila no nula, el primer elemento no nulo de cada fila (partiendo de la izquierda) es un uno (1) A este elemento lo llamamos el pivote de esa fila Esto es, todos los pivotes de cada fila no nula son (1) c) Si dos filas sucesivas son no nulas entonces el primer 1 en la fila de más abajo, está más a la derecha que el primer 1 de la fila de encima Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 2

3 Ejemplos Tres matrices en la forma escalonada reducida por filas a) c) ( ) Tres matrices en la forma escalonada filas Vean las diferencias a) c) ( ) Definición: Sea A M n m (R) Dada una matriz B M n m (R), diremos que A B por filas si B se obtiene de A por un número finito de operaciones elementales Dicha matriz B siempre existe y más aún es escalonada por filas Se llama rango de la matriz A al número de filas no nulas de su correspondiente matriz escalonada Escribiremos ρ(a) para referirnos al rango de una matriz A Ejemplos: Reducir a la forma escalonada por filas las matrices a) Solución: Utilicemos a 11 = 1 como pivote y generemos los ceros bajo él, efectuando las operaciones entre filas (F 2 F 2 + 3F 1 ) y (F 3 F 3 + 2F 1 ) para obtener la matriz Ahora en la segunda fila de esta matriz tenemos a 23 = 7, efectuemos la operación (F F 2) obtenemos Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 3

4 Ahora tenemos el pivote a 23 = 1, generemos el cero bajo él Luego efectuando la operación (F 3 F 3 10F 2 ) para obtener la matriz Así, la matriz está en forma escalonada por filas Solución: Primero hacemos la operación de cambiar F 1 y F 2, para obtener la matriz Tomando a 11 = 1 como pivote y generamos los ceros bajo él, efectuando las operaciones (F 3 F 3 3F 1 ) y (F 4 F 4 2F 1 ) Ahora realizaremos las operaciones (F F 2, (F F 3, y (F F 4 para obtener Tomemos a 22 = 1 como pivote y generemos los ceros abjo él, para esto efectuemos las operaciones (F 3 F 3 F 2 ), (F 4 F 4 F 3 ), obtenemos la matriz Así, la matriz está en forma escalonada por filas Al resolver un sistema lineal de ecuaciones, solo nos interesan sus coeficientes Así podemos definir una nueva matriz que contenga toda la información sobre nuestro sistema Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 4

5 Definición: Llamaremos matriz ampliada asociada al sistema (3) a la matriz a 11 a 12 a 1m b 1 a 21 a 22 a 2m b 2 (A = a n1 a n2 a nm b n Finalizamos con un teorema importante, que nos permite en términos del rango, poder determinar si un sistema lineal posee o no solución Teorema del Rango: Un sistema lineal del tipo Ax = b como en (3), tiene solución si y solo si ρ(a) = ρ(a B) Ahora en tal caso, si ρ(a) = m entonces el sistema posee solución única y si ρ(a) < m, entonces el sistema posee infinitas soluciones Ejemplos: Usando el Teorema del Rango, decida si los siguientes sistemas poseen o no solución y, en caso afirmativo, hallarla a) 2x + 3y = 3 x 2y = 5 3x + 2y = 7 Solución: Primero traspasemos la información a matriz ampliada y estudiemos dicha matriz $ Intercambiemos las filas F 1 y F 2, para obtener la matriz Efectuemos las operaciones por filas (F 2 F 2 2F 1 ) y (F 3 F 3 3F 1 ), para obtener la siguiente matriz: Ahora, haciendo las operaciones (F F 2) y (F F 3), generamos la matriz: Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 5

6 Finalmente, como tenemos en la segunda fila el pivote 1, generemos los cero Basta con efectuar las operaciones (F 3 F 3 F 2 ) y (F 1 F 1 + 2F 2 ) y se tiene que: Notar que tanto la matriz del sistema y la ampliada tienen rango 2, luego por el Teorema de rango, el sistema posee solución y además es única De hecho, el sistema de ecuaciones inicial es equivalente al nuevo sistema x + 0y = 3 0x + y = 1, cuya solución es x = 3 e y = 1 x + 5y + 4z 13t = 3 3x y + 2z + 5t = 2 2x + 2y + 3z 4t = 1 Solución: Primero traspasemos la información a matriz ampliada (A y estudiemos dicha matriz Tomamos el pivote a 11 = 1 de la primera fila para generar ceros bajo dicha fila Efectuando las operaciones (F 2 F 2 3F 1 ) y (F 3 F 3 2F 1 ) para generar la matriz Ahora tomo 14 como pivote y efectuemos las operaciones por filas (F 3 F F 2) y (F 1 F F 2), para obtener la siguiente matriz: Como ρ(a) = 2 y ρ(a = 3, por el Teorema del Rango, el sistema no tiene solución Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 6

7 Ejercicios propuestos 1 Reducir a forma escalonada y luego a forma escalonada reducida las siguientes matrices a) Decida si los siguientes sistemas tienen o no solución, en caso afirmativo, determine dicha solución a) 3 Considere el sistema x + 2y z + 3t = 3 2x + 4y + 4z + 3t = 9 3x + 6y z + 8t = 10 x + 2y + 2z = 2 3x 2y z = 5 2x 5y + 3z = 4 x + 4y + 6z = 0 3x + 5y + 12z w = 3 2x + 2y + 8z 2w = 12 6y + 6z + 3w = 15 2z + k(k + 1)w = 9k (4) Determine los siguientes conjuntos S 1 = {k R :(4) tiene solución} S 2 = {k R :(4) no tiene solución} S 3 = {k R :(4) tiene solución única} Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 7