Tiempo asignado: 10 horas BLOQUE. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
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- Sergio Montes Díaz
- hace 7 años
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1 Timpo sigdo: 10 hors BLOQUE 7 Utilizs fucios pocils y logrítmics
2 fució pocil, dcid si ést s crcit o dcrcit. Obti vlors d fucios pocils y logrítmics utilizdo tbls o clculdor. Trz ls gráfics d fucios pocils tbuldo vlors y ls utiliz pr obtr gráfics d fucios logrítmics. Utiliz ls propidds d los logritmos pr rsolvr cucios pocils y logrítmics. Aplic ls propidds y rlcios d ls fucios pocils y logrítmics pr modlr y rsolvr problms. DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE A prtir d l prsió d l OBJETOS DE APRENDIZAJE Fució pocil. Fució logrítmic. Gráfic d l fució. pocil y logrítmic. Propidds d los pots. Propidds d los logritmos. Cmbio d u prsió pocil u logrítmic y vicvrs. Ecucios pocils. Ecucios logrítmics. Comptcis dsrrollr Costruy itrprt modlos mtmáticos mdit l plicció d procdimitos ritméticos, lgbricos, gométricos y vriciols, pr l comprsió y álisis d situcios rls, hipotétics o formls. Formul y rsulv problms mtmáticos, plicdo difrts foqus. Eplic itrprt los rsultdos obtidos mdit procdimitos mtmáticos y los cotrst co modlos stblcidos o situcios rls. Argumt l solució obtid d u problm, co métodos uméricos, gráficos, líticos o vriciols mdit l lguj vrbl, mtmático y l uso d ls Tcologís d l Iformció y Comuicció. Aliz ls rlcios tr dos o más vribls d u procso socil o turl pr dtrmir o stimr su comportmito. Cutific, rprst y cotrst primtl o mtmáticmt ls mgituds dl spcio y ls propidds físics d los objtos qu lo rod.
3 B7 INTRODUCCIÓN E st bloqu s liz l cocpto d fució pocil y l d logrítmic, comprobrá por qué s firm qu uqu so oprcios ivrss, mbs so u hrrmit útil pr l solució d problms l ámbito citífico y l ár d los fómos físicos. Tmbié s stblc ls bss dl coocimito pr qu puds hcr pliccios divrss árs, sobr todo si dcids studir l ár físico-mtmátic. Actividd itroductori (Lys d los pots) Cotst lo qu s t pid. 1. Simplific l siguit prsió: 3y 16 y z y z (Epots). Ecutr l vlor dl pot (Lys d los rdicls) 3. Rprst form pocil l siguit prsió: (Dfiició d pot) 4. Qué s u pot? 3 ( + 3) (Dfiició d logritmo). Qué s u logritmo? 4
4 Utilizs fucios pocils y logrítmics Actividd L mstr Ruth qu imprt l mtri Aálisis Clíicos l Uivrsidd Vrcruz, rliz u práctic sobr l crcimito bctrio, co l propósito d obsrvr l crcimito d dtrmido cultivo d 1000 bctri; ts d comzr, l mstr prst sus lumos los siguits modlos mtmáticos: f( ) t f f( ) 1000 ( ) 0.04( t- 1) t E tods ls cucios t miutos f() s l úmro d bctris dspués d u timpo dtrmido. L mstr ls d l siguit istrucció: l filizr l práctic db slccior cuál s l modlo mtmático qu mjor s just l crcimito bctrio ustro primto. Mdit u ivstigció, yud los studits lgir l mjor cució, plic por qué l lgist, y dtrmi l ctidd d bctris qu hbrá dspués d 0 miutos d iicir l primto. LA FUNCIÓN POLINOMIAL Actividd SITUACIÓN PROBLEMA I. L co tció l siguit tto
5 B7 El jugo dl jdrz fu ivtdo l Idi. Cudo l ry hidú Shrm lo cooció, qudó mrvilldo d lo igioso qu r y d l vridd d posicios qu él so posibls. Al trrs d qu l ivtor r uo d sus súbditos, l ry lo mdó llmr co objto d rcompsrl prsolmt por su crtdo ivto. El ivtor, llmdo St, s prstó t l sobro. Er u sbio vstido co modsti, qu viví grcis los mdios qu l proporciob sus discípulos. St, quiro rcompsrt digmt por l jugo qu hs ivtdo dijo l ry. El sbio cotstó co u iclició Soy bstt rico como pr podr cumplir tu dso más lvdo cotiuó dicido l ry. Di l rcomps qu t stisfg y l rcibirás. St cotiuó clldo. No ss tímido. Grd s tu mgimidd, sobro. Pro cocédm u corto timpo pr mditr l rspust. Mñ, t l comuicré. Cudo l dí siguit St s prstó d uvo t l ry, lo djó mrvilldo por su humild ptició. Sobro dijo St, md qu m trgu u gro d trigo por l primr csill dl tblro dl jdrz; por l sgud csill ord qu m d dos gros; por l trcr, 4; por l curt, 8; por l quit, 16 Está bi -cotstó l ry-, rcibirás l trigo corrspodit ls 64 csills dl tblro d curdo co tu dso; por cd csill dobl ctidd qu por l prcdt. Mis srvidors t scrá u sco co l trigo qu csits. St sorió, bdoó l sl y qudó sprdo l purt dl plcio. Por l och, l rtirrs dscsr, l ry prgutó cuáto timpo hcí qu St hbí bdodo l plcio co su sco d trigo. Sobro l cotstro, tus mtmáticos trbj si dscso y spr trmir los cálculos l mcr. Por qué v t dspcio st suto? gritó ircudo l ry. Qu mñ, 6
6 Utilizs fucios pocils y logrítmics ts d qu m dspirt, hy trgdo St hst l último gro d trigo. No costumbro dr dos vcs u mism ord. Por l mñ comuicro l ry qu l mtmático myor d l cort solicitb udici pr prstrl u iform muy importt. El ry mdó qu l hicir trr. Ats d comzr tu iform l dijo Shrm, quiro sbr si s h trgdo por fi St l mísr rcomps qu h solicitdo. Prcismt pr so m h trvido prstrm t tmpro cotstó l cio. Hmos clculdo scrupulosmt l ctidd totl d gros qu ds rcibir St. Rsult u cifr t orm S cul fur su mgitud l itrrumpió co ltivz l ry mis grros o mpobrcrá. H promtido drl s rcomps y, por lo tto, hy qu trgársl. Sobro, o dpd d tu volutd l cumplir smjt dso. E todos tus grros o ist l ctidd d trigo qu ig St. Tmpoco ist los grros d todo l rio. Hst los grros dl mudo tro so isuficits. Si dss trgr si flt l rcomps promtid, ord qu todos los rios d l Tirr s covirt lbrtíos, md dscr los mrs y océos, ord fudir l hilo y l iv qu cubr los ljos dsirtos dl Nort. Qu todo l spcio s totlmt smbrdo d trigo, y tod l cosch obtid stos cmpos ord qu s trgd St. Sólo tocs rcibirá su rcomps. El ry scuchb llo d sombro ls plbrs dl cio sbio. Dim, cuál s s cifr t mjstuosmt orm. II. Co bs l ptició d St, cotst cuál s s gr cifr como pr qu los sbios dl rio hubir quddo stupfctos. 1. T gustrí qu t dir s ctidd pro mods d diz ctvos?. Sí o o, por qué? Notció d l fució pocil Cudo hblmos d l fució pocil, primr istci dbmos rcordr cuál s l otció d u pot: 7
7 B7 Si tmos l siguit prsió: k s l bs. s l pot. k s u costt y tmbié s l llm coficit. L fució pocil s utiliz pr rprstr fómos como l crcimito bctrio (crcimito pocil) o l dcimito l rdioctividd d u átomo (dcrcimito pocil). Hmos trbjdo co fucios d l form f( ), dod l bs s l vribl y l pot s u úmro culquir; si mbrgo, u fució pocil, los ppls s ivirt; l bs s u costt culquir y l pot stá coformdo por l vribl idpdit. bs Fució pocil bs 10 bs L fució pocil d bs s d l form f( ), dod s culquir úmro rl co: Ejmplo: > 0, 1 f( ) 7 L fució pocil d bs 10 s d l form f( ) 10, dod s culquir úmro rl. L fució pocil turl o d bs s d l form f( ), dod s culquir úmro rl y (qu s l bs) s u rciol, cuyo vlor s: Su vlor s dtrmi por l prsió: 8
8 Utilizs fucios pocils y logrítmics 1 1+, utilizdo vlors comprdidos l itrvlo 1 < Hgmos u tbulció pr vlors suficitmt crcos ifiito , , , ,000, ,000, ,000, Fució logrítmic Al lizr l gráfic d l fució pocil, obsrvmos qu s u fució iyctiv porqu l trzr rcts horizotls, ésts toc uo y sólo u puto l curv, d tl mr qu st fució s ivrtibl y su ivrs s l fució logrítmic. El logritmo d culquir ctidd s igul l potci l qu db lvrs l bs pr cotrr st úmro. Ls fucios logrítmics s clsific d l siguit mr: Fució logritmo bs bs 10 y log y log turl o prio y l Su domiio s l cojuto d los positivos ( > 0) Su rgo s - < y < 9
9 B7 Gráfic d l fució pocil y logrítmic Fució pocil L gráfic d u fució pocil ti crctrístics muy dfiids, ls culs obsrvrmos cotiució. D form grl, l gráfic d l fució pocil tom como sítot l j los vlors gtivos (sgudo cudrt), cort l j y l puto (0,1) y crc rápidmt l primr cudrt, s dcir, s crcit. Su domiio s - < < Su rgo s l cojuto d los positivos d ls y. Gráfic d l fució pocil cudo >1 Ejmplos d st tipo d fució so: 3 f( ), f( ), f( ) 10, tc. 3 Sus rspctivs gráfics so: f( ) f( ) f( ) 10 60
10 Utilizs fucios pocils y logrítmics Podmos dcir qu ls gráfics d ls fucios pocils d l form f( ), dod > 1 so crcits pr todo su domiio, y cort l j y l puto (0,1), tom como sítot l j d ls gtivs. Ests fucios rprst l crcimito pocil. Gráfic d l fució pocil cudo 0<<1 Ejmplos d st tipo d fucios so: f( ), f( ), f( ), é tctr Sus rspctivs gráfics so: f( ) f( ) f( )
11 B7 Podmos dcir qu ls gráfics d ls fucios pocils d l form f(),, dod 0 < < 1, so dcrcits pr todo su domiio, cort l j y l puto (0,1) tom como sítot l j d ls positivs. Ests fucios rprst l dcimito pocil. Ejmplo Rlizr l gráfic d l fució pocil f() 3 [-3,3] Tbulmos los vlors, los culs s obti d l siguit mr: -3 f ( 3) f ( ) f ( 1) f 0 (0) f 1 (1) 3 3 f () f 3 (3)
12 Utilizs fucios pocils y logrítmics Co stos vlors costruimos l tbl: y -3 1/7-1/9-1 1/ Grficmos los putos: Gráfic d l fució logrítmic Como y lo hbí comtdo, l fució logrítmic s ivrs l fució pocil. y 63
13 B7 S obsrv clrmt qu l ivrs d l fució pocil (zul) s l ivrs d l fució logrítmic (mgt oscuro). L gráfic d l fució logrítmic tom como sítot l j d ls y gtivs (curto cudrt) cort l j l puto (1,0). Pr grficr l fució pocil, primro rlizmos l tbl corrspodit y log. E l clculdor locliz l tcl : log Imditmt dspués tcl l ctidd qu quirs clculr y l tcl () igul pr obtr l rsultdo buscdo. 64
14 Utilizs fucios pocils y logrítmics Prctic comprobdo los siguits vlors tu clculdor: y log(0.001) -3 y log(0.01) - y l o g ( 0. 1 ) -1 y log(0.) y l o g ( 1 ) 0 y log() y log(3) y log(4) y
15 B7 Actividd E u hoj d ppl milimétrico grfic ls siguits fucios co los colors idicdos y cotst ls prguts qu s t hc cotiució, l filizr compr sus rsultdos co l grupo y trgu u copi su mstro. 1. f()3 color rojo -. f()3 color zul 3. f()-3 color vrd - 4. f()-3 color cf. f()(-3) color gro ) b) c) d) ) Qué difrcis cutrs tr ls prsios lgbrics y sus rspctivs gráfics d 1 y? Qué difrcis cutrs tr ls prsios lgbrics y sus rspctivs gráfics d 1 y 3? Qué difrcis cutrs tr ls prsios lgbrics y sus rspctivs gráfics d 3 y 4? Qué difrcis cutrs tr ls prsios lgbrics y sus rspctivs gráfics d y 4? Qué ocurr co l fució, como s su gráfic s u fució? Propidds d los pots ( b) - - b 6. b b 7. m ( ) m >, tocs : m- m 0 8. m, tocs : 1 9. m + m m <, tocs : 1 m -m 66
16 Utilizs fucios pocils y logrítmics Cudo l pot s frcciorio m m 11. Ejmplo Simplific l siguit prsió lgbric: 3 ( ) 1 7 Comzmos slcciodo qulls prsios qu o ti bs : 3 ( ) 1 7 Fctorizmos l 1 y lo rprstmos su form pocil, 3 1 ()()() : 3 3 ( ) ( ) 7 Acomodmos ls ctidds sgú l rgl utilizr; st cso, comzmos m m ) y cotiumos co l multiplicció por l potci d potci (( ) d bss iguls + m m 3 3 ( ) ( ) 7 m Aplicmos l rgl d l potci d potci( ) m : m m Ahor plicmos l rgl d l multiplicció d bss iguls + :
17 B7 Simplificmos por térmios smjts: Aplicmos l rgl 1 - l domidor: Nuvmt plicmos l rgl d l multiplicció d bss iguls: Simplificmos, y trmimos: Ejmplo Dd l siguit prsió pocil, simplific limido pots frcciorios: Dtctmos los pots gtivos: Pr quitr los pots gtivos utilizmos l rgl: S prpr pr fctur l sum d frccios lgbrics, colocdo l uidd l tro l domidor:
18 Utilizs fucios pocils y logrítmics S fctú l sum lgbric: Utilizdo l ly d los pots dl producto: m m + : Aplicdo l rgl dl sádwich: ( -1 ) ( + 1 ) Filmt, cclmos térmios o fctumos l divisió d pots iguls: ( -1) ( + 1) Ejmplo Simplificr l siguit prsió: (3 ) ( ) 3 18 Slcciomos por dód comzr: (3 ) ( ) 3 18 m Utilizmos l rgl d l potci d potci ( ) b b : producto ( ) m y l potci d u 69
19 B7 (3 )() ( ) 3 18 Efctumos l oprció: ( ) 3 18 Fctorizmos l 8 y lo rprstmos su form pocil 8 ()()() ( ) 3 ( ) 3 18 m Utilizmos l rgl d l potci d potci( ) m : ( ) 3 18 Aplicmos l rgl dl producto d bss iguls m m+ : ( ) 3 18 Efctumos l sum d térmios smjts: ( ) 3 18 Aplicmos l rgl d l potci d potci ( m ) m ( ) 3 18 Fctorizmos l 3 y lo rprstmos form pocil 3 ()()()()() Utilizmos l rgl dl pot rciol m m : 70
20 Utilizs fucios pocils y logrítmics Fctorizmos 18 y lo rprstmos form d pot18 (3)(3)() 3 : Rprstmos form pocil l ríz dl pot 1 : ( 3 ) Utilizmos l rgl d l potci d u producto ( ) b b : (3 ) () m Aplicmos l rgl d l potci d potci( ) m : m m Aplicmos l rgl dl producto + qullos qu tg bss iguls: simplificmos: Aplicmos l rgl : 71
21 B7 simplificmos: Y listo Propidds d los logritmos Ls propidds d los logritmos os prmit rlizr oprcios co myor fcilidd y simplificr prsios, icluso, csos más vzdos ist u método pr rsolvr drivds llmdo drivció d fucios por logritmos. 1. log 1. log 1 0 log 3. pr todo > 0 4. log lb 6. log b l. y log si y solo si 6. log AB log A + log B log A log A A 7. log log A- log B B 8. log A log A y 10. l l AB l A + lb A 1. l l A- lb B 13. l A l A l A l A Apliqumos lgus d sts propidds. Simplific l siguit prsió logrítmic: log log( 3) 3log( 6 9) Obsrvmos qu tod l prsió coti logritmos d bs 10, los culs comodmos scribido primro los positivos y lugo los gtivos. log 3log( 6 9) log( 3) Aplicmos l propidd log A + logb log AB 7
22 Utilizs fucios pocils y logrítmics 3 log( ) -log( - 3) Ahor plicmos l propidd log A- logb log A B ( ) log 6 ( - 3) 3 Fctorizmos l prsió ( + 3) 3 ( + ) 3 log ( 3) ( - 3) Usmos l rgl d l potci d potci d ls Lys d los Epots m ( ) m y l prsió qud simplificd: log ( + 3) ( 3) - 6 Como t drás cut s utilizro lys d los pots tmbié, ls culs lizmos l tm trior. Simplific l siguit prsió logrítmic: 1 l + 10 l( + 3) - 1 l( -3) Aplicmos l propidd d los logritmos l l y l mismo timpo simplificmos l frcció l + l( + 3) -l( - 3) Como y stá comoddos, primro, los qu s sum y, lugo, los qu s rst, plicmos l rgl d los logritmos log A + logb log AB l ( + 3) -l( - 3) Utilizmos l propidd log A- logb log A B 73
23 B7 l ( + 3) ( - 3) 1 6 Y o s plic más propidds d los logritmos, hor buscmos u frcció quivlt 1, pro qu tg l mismo domidor qu ls dmás. 3 L frcció cotrd s 6. l ( + 3) ( - 3) 1 6 Aplicmos pr cd cso l rgl m m l ( + 3) - 3 Y hor plicmos l rgl b ( b) y l prsió qud simplificd: ( + 3) l 6-3 Cmbio d u prsió pocil u logrítmic y vicvrs Pr fctur l cmbio d u fució pocil u fució logrítmic dbmos tomr cut l siguit rlció ivrs: y b s quivlt log y; si y > 0 y s culquir úmro rl: b s l bs. s l pot. y s l rsultdo d lvr l bs l potci dd. Ejmplo b 3 9rprstdo form d logritmo log3 9, st sgudo s l logritmo d bs 3 d 9 s ; s dcir, l pot s. 74
24 Utilizs fucios pocils y logrítmics Ecucios pocils Pr rsolvr u cució pocil s plic su ivrso y s rsulv. Hllr l vlor d l siguit cució pocil 1 3 : 1 3 Aplicmos l ly d los pots dl producto d bss iguls l ldo izquirdo d l cució: +1 3 Aplicmos l ivrso d l prsió pocil d bs, st cso, s l logritmo d bs (log ): log ( ) log ( ) S ccl l potci y sólo qud l pot: Rsolvmos l cució rsultt: Comprobció: sustituimos l prsió origil: ( 1 ) Nustr solució s corrct. 7
25 B7 Hll l vlor d l siguit cució pocil: Subimos l domidor l ldo drcho d l cució utilizdo l rgl 1 - : S plic l rgl dl producto d bss iguls m + m : Aplicmos l ivrso mbos ldos d l cució, st cso, s l logritmo turl (l) l( ) l( ) Obtmos l cució l dsprcr l bs y tocs rsolvmos l cució rsultt: Comprobció: 4(1) (1) Nustr solució s corrct. Hll l vlor d l siguit cució pocil ( - ) 76
26 Utilizs fucios pocils y logrítmics ( - ) ( ) ( ) ( - ) ( 6-1) log ( ) log ( ) Ecucios logrítmics Ls cucios logrítmics tmbié s rsulv mpldo l pricipio d ivrsibilidd d ls fucios logrítmics y pocils. Ejmplo: Dd l cució, hllr l vlor d, l( + 3) l l( + 3) l S plic l ivrso dl logritmo turl, l pocil d bs : l( + 3) l S ccl los logritmos y s stblc u cució lil: + 3 S rsulv l cució: 3 Y s obti l vlor d : 1 77
27 B7 Comprobmos sustituydo l vlor obtido: l(( - 1) + 3) l Efctivmt, stá bi ustro rsultdo: l l Dd l cució logrítmic log (3+ 6) + log (- 7) log6 log (3+ 6) + log (- 7) log 6 Aplicmos l propidd d los pots l + lb lb : log (3+ 6)(- 7) log 6 Aplicmos l pocil d bs cico mbos ldos d l cució: log (3 + 6)( -7) log 6 Obtmos l cució: (3+ 6)(- 7) 6 Efctumos ls oprcios l dsrrollr l producto d biomios: Simplificmos: Obtmos u fució cudrátic cuyos coficits so divisibls tr 3: S divid tr 3 l cució:
28 Utilizs fucios pocils y logrítmics 1, 1, ( 3) ( 3) 4()( 16) - - ± () + 3 ± ± 137 1, 4 3 ± , L cució ti dos solucios: Eist u tipo d fucios logrítmics, ls culs o bordrmos st libro, cuy solució s obti por mdio d orddors, y qu por sus crctrístics s imposibl obtr l solució co los métodos quí lizdos. Actividd I. Clcul los siguits logritmos si usr clculdor: 1. log1000. log log log II. Usdo l clculdor cutr los siguits logritmos: 1. l13. log.8 3. log log 6 79
29 B7 III. Rsulv ls siguits cucios logrítmics: 1. log (8-6) + log (4-0). l + l( - 4) 0 3. log(4 + 16) + log(4-16) - log log (4 + ) + log 4. l - l(3+ 4) + l(4-3 ) l CRECIMIENTO EXPONENCIAL El crcimito pocil s rprstdo por l fució pocil, virtud d qu cudo su pot s positivo su gráfic s crcit y tmbié porqu qu l crcimito d l vribl dpdit rspcto l d l vribl idpdit s mucho más rápido. Co prsios d st tipo podmos rprstr distitos fómos, tls como l crcimito poblciol, l crcimito clulr, l crcimito bctrio, tr otros. D form grl l crcimito pocil qud rprstdo por: E dod: k fctor d crcimito. b ts d crcimito. f ( ) k b Ejmplo Crlitos, qu s u iño horrdor, dposit su cut $3,00, l cul l produc u itrés compusto d 14% ul. 80
30 ) Ecutr l prsió mtmátic qu rprst l sldo d st cut trvés d los ños co los itrss cpitlizdos. b) Cuáto diro tdrá Crlitos su cut dos ños? c) Rprst t fució dl sldo. ) L ts d crcimito ul s d 14%,s dcir, d 0.14, d tl mr qu l cució qud rprstd por: Utilizs fucios pocils y logrítmics f(t) k bt dod f(t) s l sldo l cut l trscurso dl timpo t s l timpo ños si b 0.14, tocs: f(t) k 0.14t Pr dtrmir l fctor d crcimito k, sbmos qu iicilmt tmos $3,00 los sustituimos ustr cució y t 0: f ( t) k 300 k 0.14t 0.14(0) k 0.14(0) D tl form qu ustr cució qud: f( t) t Est cució rprst l sldo l cut d Crlitos l trscurso dl timpo. b) Pr dtrmir l moto dos ños t f() () ( ) Si Crlitos horr $3,00.00 co u itrés compusto d 14% ul, dos ños tdrá proimdmt $4,
31 B7 Gráfic rprsttiv d l cut d Crlitos: f( t) t Cmbimos f(t) por S, pr qu rprstmos sldo, d tl mr, ustr cució qud: S t Ahor rprstmos t fució d C. S t Dspjmos S t 0.14t Aplicmos l logritmo turl mbos ldos pr limir l pocil: S l l t ( ) S ccl l pocil: S l 0.14t 300 Acomodmos: S 0.14t l 300 8
32 Utilizs fucios pocils y logrítmics Dspjmos t: S l 300 t 0.14 Utilizmos l propidd d los logritmos l l - lb b ls - l(3000) t 0.14 L cució obtid rprst l timpo fució dl sldo. DECRECIMIENTO EXPONENCIAL El dcrcimito pocil stá rprstdo por l fució pocil, virtud d qu su gráfic s dcrcit cudo su pot s gtivo y dbido l curv suv, pro si djr d sr pocil dl ldo d los vlors positivos d ls, dod coform l vribl idpdit umt l vribl dpdit dcrc y co sto os prmit rprstr l tmbié llmdo dcimito pocil cuys pliccios s cutr problmátics tls como l dprcició d quipos cuyo vlor s rápidmt dvludo coform ps l timpo, l dsitgrció rdioctiv y más. D form grl, l dcrcimito pocil qud rprstdo por: E dod: k fctor d crcimito. b ts d dcrcimito. f ( ) k -b 83
33 B7 Ejmplo L mstr Cludi Zmor, dirctor d l Escul d Bchillrs Vsprti Vrcruz, csit comprr computdors pr l ctro d iformátic. Es sbido qu por l scso rcurso d ls tidds públics los quipos ti qu sr usdos l myor timpo posibl, por lo tto, s importt coocr l dprcició dl quipo proimdmt sis ños. Si todo l quipo 0.8t csrio ti u costo d $,000 y l cució d dprcició s f ( t ) k -, Dtrmi: ) L dprcició dl quipo l trscurso dl timpo. b) L dprcició dl quipo los sis ños qu proimdmt strá ddo srvicio l scul. 000 k 000 k -0.8(0) 000 k k 1 k (0) 0.8t ) Si l fució f( t) sbmos qu f(t) rprst l costo dl quipo l trscurso dl timpo, t stá ddo ños, os flt hllr l vlor d k qu rprst l fctor d dcrcimito, pr st cso. Pr llo, tmos como dto iicil qu l costo d ustro quipo s d $, t L cució spcil pr ustro cso prticulr s: f ( t ) k - qu rprst l dprcició dl quipo d cómputo l trscurso dl timpo. b) Ahor pr rsolvr l dprcició pr t 6 f(6) 000 f(6) (6) f (6) 000( ) f (6) Si s mti bu stdo l quipo d cómputo, dspués d sis ños tdrá u costo d $9,
34 Utilizs fucios pocils y logrítmics Gráfic d dprcició dl quipo d cómputo: Actividd Rsulv los siguits jrcicios (o olvids scribir tu coclusió corrspodit). 1. El coto iicil d bctris u primto bctrio s d 00, postriormt cd hor rliz l coto durt ls primrs trs hors y cutr qu l ts d crcimito b s d 3% por hor. ) Dtrmi l modlo mtmático qu rprst l crcimito bctrio. b) Dtrmi l úmro d bctris qu hbrá 10 hors. c) Cuáts bctris umtrá tr l hor 6 y 7?. Smth y Héctor quir u clulr cuyo costo s d $9,400, como su costo s muy lvdo sus ppás cordro qu sgú l clificció qu obtuvir mtmátics ib sr l costo dl clulr qu ls comprrí. Por jmplo, si obtí u clificció d 10 l costo r d 100%, s dcir, $9,400; pro 8
35 B7 si obtí u clificció d 8, l costo dl clulr ib sr d 80%; s dcir, $70. Si Smth obtuvo u clificció d 10 y Héctor d 6, cuáto costó l clulr d Héctor? Ahor s sb qu l clulr lgido por Smth s dprci rzó d 18% ul, dtrmi cuáto timpo l clulr d Smth tdrá u costo igul l qu iicilmt costb l d Héctor. 3. L dsitgrció d culquir rdioisótopo d crboo 14 stá dd por t N( t) N -λ dod: i N(t) rdio úclidos istts l trscurso dl timpo t N i s l úmro d rdioisótopos istt l istt iicil t0 t ños λ costt d dsitgrció por uidd d timpo y pr l crboo 14 s d λ Dtrmi l dsitgrció l trscurso dl timpo dl rdioisótopo d crboo 14. b) S ti,000 átomos d crboo 14, dtrmi cuátos átomos d st mtril qudrá 0 ños, rprst tu rsultdo ctidd uméric y porctj. c) Rprst t fució dl úmro d rdioisótopos. Autovlució Vrificdo tus dsmpños El objtivo d st utovlució s qu vrifiqus form idividul tus vcs l bloqu, dtctdo tus árs d oportuidd. Por st rzó, primro cotrrás los dsmpños qu s spr, cd problm qu impliqu ti u dificultd, s u ár d oportuidd l qu dbrás 86
36 Utilizs fucios pocils y logrítmics ctrr tu tció y tus studios. Co yud d tu mstro, scrib quí tus árs d oportuidd: A prtir d l prsió d l fució pocil dcid si ést s crcit o dcrcit y trz ls gráfics d fucios pocils tbuldo vlors y ls utiliz pr obtr gráfics d fucios logrítmics. I. Dds ls siguits fucios pocils, dtrmi si corrspod u fució crcit o u dcrcit, postriormt grfic hojs d ppl milimétrico, pr comprobr tus rsultdos, tbuldo cd u l itrvlo [-3,3]: 1 1. f( ) 3 1. f( ) f( ) 8 4. f( ) 11. f( ) f() 4 7. f() 7 8. f() 4 9. f() f() 3 Obti vlors d fucios pocils y logrítmics utilizdo tbls o clculdor. II. Dds ls siguits oprcios pocils y logrítmics, dtrmi l vlor, utilizdo l clculdor citífic. 87
37 B log11 3. log 1 6. log l l 6 1. log 8 6 Utiliz ls propidds d los logritmos pr rsolvr cucios pocils y logrítmics. III. Dds ls siguits cucios, cutr los vlors d l(- 4) + l(3- ) 6 Aplic ls propidds y rlcios d ls fucios pocils y logrítmics pr modlr y rsolvr problms. IV. Dds ls siguits fucios, utilizdo ls propidds d los logritmos, simplific o simplmt trsform: ( - ) 1. y 4. f( ) l ( ) f( ) f( ) l( 3) l( - ) - l(3-1) f( ) y log(+ 3)- log( + - 3) + log( -1) V. Rsulv los siguits problms: 1. L dsitgrció d u mtril rdictivo stá dd por l cució N N - l úmro d átomos l trscurso dl timpo, si t stá ddo ños 0.1t i, dod N i s l úmro iicil d átomos rdictivos y N s 88
38 Utilizs fucios pocils y logrítmics dtrmi l porctj d átomos qu s prdiro rspcto los qu s tí u pricipio.. L poblció ctul d cucrchs l cs d Pdro s d 43, si ti cico mss qu s mudó su cs uv, y s sb qu l ts rltiv d crcimito msul s d 3%: ) b) Dtrmi l cució qu rprst l úmro d cucrchs. Cuáts cucrchs hbí cudo Pdro s mudó su uv cs? c) Dtrmi l ctidd d cucrchs qu hbrá u ño dspués d qu Pdro s mudó. 89
CÁLCULO DE LÍMITES. Por otro lado es importante distinguir en el cálculo de límites, los casos indeterminados de los determinados: = ; = ; =
CÁLCULO DE LÍMITES Propidds d los límits.- ( b ) b.- ( b ) b.- ( b ) b.- ( b ) b b.- ( ) ( ) 6.- k k b Por otro ldo s importt distiguir l cálculo d límits, los csos idtrmidos d los dtrmidos: Csos dtrmidos:
61.1 6.1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.3. SERIES ALTERNANTES 6.4. SERIES DE POTENCIAS
Cp. 6 Sris 6. 6.. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.. SERIES ATERNANTES 6.. SERIES DE POTENCIAS Objtivo: S prtd qu l studit: Dtrmi covrgci o divrgci d sris. Empl sris pr rsolvr
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T 4: grsos lls o lls TEMA 4. EGEIONE LINEALE LINEALE Y NO.. 3. Itroduccó 4. Nocltur 5. Llzcó Ajust grsó ll ll d últpl cucos 6. 7. 8. grsos EUMEN Progrcó o lls Mtlb Cálculo uérco Igrí T 4: grsos lls o lls.
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31 EJERCICIOS de LOGARITMOS
EJERCICIOS d LOGARITMOS Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii) Corts con los js. iv) Intrvlos d crciminto.
1. Aplicar la definición para hallar, sin calculadora, el valor de las siguientes potencias:
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1.3.6 Fracciones y porcentaje
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