Análisis Espectral mediante DFT PRÁCTICA 4

Transcripción

1 Análisis Espectral mediante DFT PRÁCTICA 4 (2 sesiones) Laboratorio de Señales y Comunicaciones 3 er curso, Ingeniería Técnica de Telecomunicación Sistemas de Telecomunicación 1

2 PRÁCTICA 4 Análisis Espectral mediante DFT 1. Objetivo Habitualmente, el análisis de señales y sistemas LTI discretos se realiza mediante la transformada de Fourier y la transformada Z. Para secuencias de duración finita resulta más práctica una representación en frecuencia alternativa conocida como la transformada discreta de Fourier (DFT). La DFT de una secuencia es otra secuencia (y no una función de una variable continua) formada por muestras equiespaciadas en frecuencia de la transformada de Fourier (continua) de dicha secuencia. La DFT es una de las herramientas fundamentales dentro del campo del tratamiento digital de señal debido a que la DFT es una transformada computable digitalmente y existen algoritmos muy eficientes para su cálculo (algoritmos FFT). Por ello, el objetivo de esta práctica es que el alumno conozca sus principales propiedades y características. Asimismo, esta práctica introduce el análisis espectral de señales deterministas, estudiándose los conceptos de enventanado y resolución. 2. Contenido Teórico El contenido teórico necesario para desarrollar esta práctica puede encontrarse en los capítulo 8 y 11 del libro "Discrete-Time Signal Processing" de A. V. Oppenheim y R. W. Schafer. Su estudio previo es condición indispensable para el correcto aprovechamiento de las horas de laboratorio. 2

3 3. Cuestionario previo 1. Sea s[n] una sinusoide real enventanada: Demuestre que si serán distintos de cero., sólo dos valores de su DFT de longitud N 2. Obtenga la DFT de N puntos de un pulso simétrico con respecto al origen y de longitud L. 3. Obtenga la transformada de Fourier de la ventana rectangular (0 < n < L-1). Determine una expresión que proporcione la frecuencia a la que se produce la caída de 3 db (con respecto al máximo) en función de la longitud de la ventana. (Utilice una aproximación de Taylor de orden adecuado, si lo cree necesario) 4. Una ventana triangular de longitud impar (L) puede escribirse como la convolución de una ventana rectangular de longitud (L+l)/2 consigo misma. Por qué la altura de los lóbulos laterales de la ventana triangular de longitud (L+l)/2 es exactamente el doble (en db) que los de la rectangular? Determine la longitud mínima que debería tener una ventana triangular para que su transformada de Fourier tenga la misma anchura de lóbulo principal a 3 db que una ventana rectangular de 31 puntos. 3

4 4. DFT y Muestreo de la transformada de Fourier Ejercicio 1. Sea s[n] una sinusoide enventanada: con N=21.! Determine la frecuencia de la sinusoide para que su período sea exactamente N (considere fase nula). Calcule su DFT de longitud N.! Repita el apartado anterior para el caso de un seno. Compare el módulo y la fase obtenidos en ambos casos.! Obtenga la frecuencia de la sinusoide para que su período sea N/3. Calcule su DFT de longitud N.! Pruebe con un vector que contenga 3,1 períodos de la sinusoide. Por qué la DFT es tan diferente? Ejercicio 2. Calcule la DFT de longitud 16 de un pulso centrado en el origen de longitud L=7. Es necesario rellenar con ceros la secuencia original? Ejercicio 3. Genere un segmento de una secuencia exponencial:, para 0 < n < N - l. Tome un número reducido de muestras, por ejemplo N=16. Calcule una DFT de N puntos y dibuje su módulo. Compare con lo que se obtiene al muestrear, el módulo de la transformada de Fourier de Dibuje ambos módulos en la misma gráfica., una exponencial de duración infinita. Interprete las muestras de la transformada de Fourier anterior, DFT:, como una Calcule la DFT inversa de V[k], es decir, obtenga la secuencia v[n]. Experimente con diferentes longitudes de DFT Encuentre una expresión para el error entre v[n] e y[n]? 5. Análisis Espectral de Señales Deterministas 5.1. Enventanado El análisis de señales en el dominio de la frecuencia implica (cuando éstas tienen una duración grande o ilimitada) el enventanado de las mismas en el dominio del tiempo. Para esta tarea (también para diseño de filtros) se han propuesto muchos tipos de ventanas; en cualquier caso, la ventana siempre actúa limitando la duración de la señal en el tiempo 4

5 Las propiedades fundamentales de las ventanas se describen habitualmente en el dominio de la frecuencia: la transformada de Fourier de la señal enventanada es la convolución periódica de la transformada de Fourier de la señal original con la transformada de Fourier de la ventana: Ejercicio 4. Genere una ventana rectangular de longitud 2l. Calcule su DFT (utilice, ahora y más adelante cuando se enfrente al mismo problema, una longitud al menos 4 ó 5 veces la de la ventana) y dibújela representando el eje vertical en db y el horizontal desde -! hasta!. Repita el ejercicio anterior para diferentes longitudes de ventana: 8 y 64, empleando siempre DFTs de la misma longitud. Ejercicio 5. La ventana triangular se conoce también como ventana de Bartlett. MATLAB ofrece dos funciones para generar este tipo de ventanas: bartlett y triang, que conducen a ventanas de longitud diferente. Use bartlett para generar una ventana de longitud 11 y dibújela (stem). El parámetro más básico en una ventana es su longitud y resulta evidente que a medida que ésta aumenta disminuye la anchura del lóbulo principal.! Calcule y dibuje la DFT de ventanas triangulares de longitud 31 y 61. Se divide por dos la frecuencia discreta a la que la transformada de Fourier de la ventana cae 3 db al duplicar la longitud de la ventana?! Dibuje el módulo de la transformada de Fourier de una ventana triangular de longitud impar, L, junto con la correspondiente a una ventana rectangular de longitud (L+ 1)/2. Un segundo parámetro básico es la amplitud de los lóbulos secundarios: la ventana rectangular es la que tiene los peores (mayores) lóbulos secundarios, y la gran mayoría de tipos de ventanas se han propuesto con el fin de reducir éstos. La medida más habitual para cuantificar estos lóbulos secundarios es la amplitud del lóbulo secundario más alto. (Nota: normalice a 0dB el módulo de las transformadas para una apropiada comparación) Observe la amplitud del lóbulo secundario más alto para ventanas rectangulares y triangulares de longitudes L=41 y 61. Observe cómo esta amplitud es independiente de la longitud de la ventana. Habitualmente la reducción de la amplitud de los lóbulos secundarios trae consigo el ensanchamiento del lóbulo principal; compruebe este hecho comparando ventanas rectangulares y triangulares de la misma longitud. 5

6 (Nota: normalice a 0dB el módulo de las transformadas para una apropiada comparación) 5.2. Resolución espectral La resolución espectral que proporciona una ventana viene dada por la anchura de su lóbulo principal: la resolución será tanto mayor cuanto más estrecho sea éste. De aquí en adelante entenderemos por resolución espectral de un determinado algoritmo su capacidad para distinguir dos frecuencias muy próximas. Sean las señales y el parámetro cuya variación vamos a estudiar. El algoritmo que vamos a considerar será la FFT y la señal a analizar será la suma de las dos anteriores y. Tomaremos A l = A 2 = 1. Ejercicio 6. Genere un segmento de la señal (para ). Las fases deben ser constantes y elegidas aleatoriamente (rand) en el intervalo 0 < " i < 2! (con i = 1 ó 2). Utilice una longitud L=64, calcule una FFT de la misma longitud y dibuje su módulo. Varíe las dos frecuencias y determine aproximadamente cuál es el mínimo valor de!" para el que todavía pueden distinguirse dos picos en la FFT. Repita varias veces la generación de la señal y el cálculo de la FFT para cada separación de frecuencias, de manera que sus conclusiones no estén sesgadas por el hecho de considerar una realización u otra de la fase. Repita el ejercicio anterior pero empleando, para el mismo segmento de señal, FFTs de longitudes 128 y 256 Mejora la resolución espectral si se aumenta la longitud de la FFT? Cuáles son los beneficios de aumentar la longitud de la FFT? 6

7 Ejercicio 7: Las notas musicales de las guitarras están compuestas por un tono fundamental y un conjunto de tonos armónicos adicionales, conformados por un filtro FIR. Las notas fundamentales a las que se afinan las cuerdas de las guitarras al aire son (usando notación Helmholtz): E,A,d,g,b,e El fichero practica4.mat contiene (entre otros) la matriz note, correspondiente a la señal muestreada de las 6 cuerdas de una guitarra afinada, a una tasa de muestreo de muestras por segundo, durante 4 segundos. Para poder escuchar esta señal, se puede ejecutar play(audioplayer(note(:,1))); para la primera nota, note(:,2) para la segunda nota, y así sucesivamente. Debe desarrollar una función a la cual se le suministre un vector de longitud múltiplo de , donde cada instante de tiempo corresponderá a la suma de 1 ó más notas de una guitarra. Dicha combinación durará 4 segundos antes de cambiar a la siguiente combinación. Su función debe devolver el conjunto de notas que conforman dicha secuencia. En un instante de tiempo puede haber de 1 a 6 notas ejecutándose simultáneamente. Un ejemplo es el vector secuencia1 (presente en el mismo fichero practica4.mat), en el cual se están ejecutando primero las notas E,d y después las notas A,b. Su función debe devolver por pantalla el mensaje E+d,A+b El segundo ejemplo, secuencia 2, corresponde a la secuencia anterior, con la adición de E+A+b, de tal manera que su función debe devolver el mensaje: E+d,A+b,E+A+b Como prueba final, debe identificar la secuencia almacenada en el vector prueba_final. Se asegura que no se generará simultáneamente la combinación E+e. Su función en Matlab debe soportar la entrada de un vector cualquiera por parte del profesor. La función debe estar perfectamente comentada en el código, indicando qué ejecuta cada una de las instrucciones codificadas, y en caso de usar funciones definidas por el usuario, qué realiza cada función. La función debe presentar por pantalla, primero que todo, los nombres de los componentes del grupo que la han desarrollado, con sus respectivos NIA, y posteriormente la secuencia de notas resultado del análisis realizado. Indicaciones: Debe enventanar la señal en ventanas de 4 segundos, y detectar las frecuencias fundamentales presentes en dicho espacio de tiempo. Una vez detectadas las frecuencias fundamentales, deberá identificarlas a partir de la información recabada sobre las notas 7

8 de las guitarras (ver referencia indicada al final del documento), y generar los mensajes de salida. Ref: 8