MATEMÁTICAS 4º ESO. TEMA 3: PROBABILIDAD

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1 MTEMÁTICS 4º ESO. TEM 3: PROBBILIDD 3.1 Sucesos 3.2 Definición de probabilidad 3.3 Probabilidad condicionada 3.4 Probabilidad de la intersección de sucesos 3.5 Probabilidad de la unión de sucesos 3.6 Probabilidad Total y Teorema de Bayes 3.1 Sucesos La probabilidad mide la posibilidad de que ocurra un hecho, suceso, al realizar un experimento aleatorio. Definición de experimento aleatorio: es aquel que si se repite con condiciones iniciales parecidas los resultados finales son muy diferentes. Por ejemplo Lanzar un dado. Definición de un especio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados que se obtienen al realizar un experimento. Se representa con la letra E. Ejemplo: Calcular los siguientes espacios muestrales a) Se lanza un dado al aire y se anota el número de la cara superior E b) Se extrae una carta de la baraja española 1O,2O,3O,4O,5O,6O,7O, SO, CO, RO 1E,2E,3E,4E,5E,6E,7 E, SE, CE, RE E 1C,2C,3C,4C,5C,6C,7C, SC, CC, RC 1B,2B,3B,4B,5B,6B,7B, SB, CB, RB E CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX c) Se lanzan tres monedas al aire d) Una urna contiene tres bolas negras, dos blancas, y una roja. Se extrae simultáneamente dos bolas E NN, NR, NB, BN, BB, BR, RN, RB Suceso: Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral (conjunto formado por puntos muestrales), los sucesos se nombran con letras mayúsculas. Ejemplo: a) En el caso del dado: Sacar número par 2,4,6, B Sacar número primo 2,3,5 b) Baraja española Sacar un as 1 O,1C,1B, 1E c) Monedas no sacar caras XXX d) Bolas Sacar dos bolas del mismo color NN, BB vda. de San Diego, Madrid Tel: Fax: rldireccion@planalfa.es 1 de 8

2 Tipos de Sucesos: Suceso seguro: es aquel que siempre se verifica al realizar el experimento. Coincide con el espacio muestral. Se representa con la letra E. Suceso imposible: es aquel que nunca se verifica al realizar el experimento, se representa por Suceso elemental: es aquel que sólo tiene un punto muestral Suceso compuesto: Es aquel que está formado por más de un punto muestral Sucesos disjuntos o incompatibles: son aquellos que no se pueden verificar a la vez al realizar el experimento. Sucesos contrarios o complementarios: Son aquellos que al unirse forman el espacio muestral. No se pueden verificar a la vez al realizar el experimento, es decir, al realizarlo c siempre se verifica uno de ellos, pero no los dos. Se escribe '. Ejemplo: En un dado de seis caras B C B son incompatibles y además contrarios B E C son incompatibles pero no contrarios número par 2,4,6 número impar 1,3,5 que salga 3 3 Observación: Todos los sucesos contrarios son incompatibles, pero no todos los sucesos incompatibles son contrarios. Operaciones con sucesos Unión de dos sucesos ( ) El suceso unión, es aquel suceso que se verifica cuando al realizar el experimento ocurre el suceso o el suceso B ( B ) vda. de San Diego, Madrid Tel: Fax: rldireccion@planalfa.es 2 de 8

3 Intersección de dos sucesos ( ) Es aquel que se verifica cuando ocurre el suceso y el suceso B ( B ) Diferencia de sucesos (-: Es cuando ocurre el suceso, pero no ocurre el suceso B B B Ejemplo: Sean los sucesos B 2,3 1,3,5 calcula los siguientes sucesos B, B, B B 1,2,3,5 B 3 B 2 vda. de San Diego, Madrid Tel: Fax: rldireccion@planalfa.es 3 de 8

4 3.2 Definición de probabilidad Existen tres definiciones de probabilidad, pero cada una tiene sus ventajas e inconvenientes. Definición clásica de probabilidad o de Laplace: si son los sucesos elementales son casos favorables equiprobables, la probabilidad del suceso será: casos posibles Ejemplo: Se extrae una carta de la baraja española que probabilidad hay de que salga copas ,25 25% 40 4 Ejemplo: Se realiza una quiniela al azar con dos apuestas diferentes Cuál es la probabilidad de acertar pleno? 2 2 Pleno) VR 3 3, , Inconveniente no siempre se puede aplicar porque no todos los sucesos elementales tienen la misma oportunidad de salir. Definición de probabilidad experimental: si realizo n veces el experimento y me fijo en el cociente tendremos: número de veces que ocurra partido de número de experimentos. nº de veces nª de experimentos Para cualquier n obtenemos una sucesión de números que tienden a la probabilidad del suceso, cuando el número de experimentos tiende a infinito. Inconvenientes nuca se puede calcular la probabilidad de forma exacta; lo que se hace es fijarse en ese cociente para un número determinado de sucesos y ese valor es una aproximación de la probabilidad. En los enunciados de los problemas nos darán el valor de dicha aproximación. Definición axiomática de probabilidad: es una función p que asocia a cada suceso un número real entre 0 y 1 y cumple: E)=1 Si y B son incompatibles entonces la Observación: esta definición nos dice que es una probabilidad, pero no nos dice cómo se calcula la probabilidad. Para ello me tengo que remitir a las dos definiciones anteriores. vda. de San Diego, Madrid Tel: Fax: rldireccion@planalfa.es 4 de 8

5 Observación: Si vamos a realizar un problema y me piden la probabilidad de un suceso, tengo que pensar si es más fácil calcular la probabilidad de o la del suceso contrario, o viceversa. Probabilidad del suceso contrario: 2 Pleno) VR Probabilidad de un suceso contrario: 1 Demo: 3, ,39 10 porque y son incompatibles 1 1 E) 1 porque y son contrarios Ejemplo: Se lanzan 3 monedas al aire. Calcular la probabilidad de sacar cruces) X X X ) l menos una cara) 1 sacar 3 cruces) 1 X X X ) Cqd Probabilidad condicionada Se representa por / y es la probabilidad de que ocurra el suceso sabiendo que ha ocurrido B y se calcula con la fórmula: P B Ejemplo: Se lanza un dado y el resultado es impar, Cuál es la probabilidad de sacar un número mayor que 2? 3.4 Probabilidad de la intersección de sucesos Se calcula de la misma forma que la probabilidad condicionada y es igual al producto de la probabilidad de cada uno de los sucesos. P B PPB Intersección con 3 sucesos: P B C PP B P C B Ejemplo: En la clase de 4º C ESO hay 10 chicos y 12 chicas. Cuál es la probabilidad de realizar un trabajo en el cuál: a) Halla dos chicos b) La primera sea chica vda. de San Diego, Madrid Tel: Fax: rldireccion@planalfa.es 5 de 8

6 Ejemplo: Se extraen tres cartas de la baraja sin devolución. Probabilidad de que las tres sean bastos. Ejemplo: Se extraen tres cartas de la baraja con devolución. Probabilidad de que las tres sean bastos. Definición de sucesos independientes: Dos sucesos y B son independientes si la probabilidad de que ocurra no depende de que haya o no ocurrido B, es decir, P P Con esto se tiene que si y B son independientes: P B PP B por tanto : y B son independientes si y sólo si P B P Muy importante: Esta fórmula de la intersección sólo se utiliza cuando y B son independiente, en caso contrario o duda no se utiliza. B Observación Las extracciones con devolución son sucesos independientes, al realizar extracciones simultaneas equivale a realizar extracciones sin devolución. Probabilidad de la unión de sucesos P B P Ejemplo: Pedro tiene un hermano y una hermana mayor, cuando le mandan tarea a Pedro, la probabilidad de que la revise su hermana es de un 80 % y su hermano la revisa 3/5 días. demás, sus hermanos revisan la tarea de forma independiente. Se elige un día al azar se pide: a) Cuál es la probabilidad de que la tarea sea revisada ese día por los dos hermanos? b) Cuál es la probabilidad de que alguno revise la tarea? c) Cuál es la probabilidad de que su hermano no revise la tarea? vda. de San Diego, Madrid Tel: Fax: rldireccion@planalfa.es 6 de 8

7 3.5 Probabilidad Total y Teorema de Bayes Definición de sistema completo de sucesos: se dice que los sucesos 1, 2, 3,., n es un sistema completo de sucesos si todos los sucesos son incompatibles 2 a 2, y la unión de todos ellos da el espacio muestral. Teorema de probabilidad total: 1 ) P B 2 ) P B 3 ) P B 1 2 Observación: La fórmula está hecha en el caso de que el sistema tenga tres sucesos, pero la fórmula se adapta si tiene dos, tres, cuatro n sucesos 3 Teorema de Bayes: Si 1, 2, 3 es un sistema competo de sucesos entonces: P 2 P B 2 B 2 ) P B 2 1) P B 2 ) P B 1 2 3) P B 3 Para resolver los problemas de probabilidad total y el Teorema de Bayes utilizaremos un diagrama que completaremos de la siguiente forma: Ejemplo 1: En el colegio 4º tiene 25 alumnos, 4º B 30 alumnos y 4º C 20 alumnos. 4/5 de los alumnos de 4º aprueban mates, en 4º B por cada 2 alumnos que no aprueban, 3 si lo hacen y en 4º C 12 alumnos aprueban. Se selecciona un alumno al azar, calcular: a) Cuál es la probabilidad de que apruebe matemáticas? b) El alumno ha aprobado matemáticas, Cuál es la probabilidad de que sea de 4º B? vda. de San Diego, Madrid Tel: Fax: rldireccion@planalfa.es 7 de 8

8 Ejemplo 2. La urna contiene 2 bolas negras y 3 rojas, y la urna B contiene 3 bolas negras y 5 rojas. Se elige al azar una urna y de ella se extrae una bola al azar. a) Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea roja b) Si la bola extraída es negra, determina la probabilidad de que proceda de la urna Ejemplo 3. En una ciudad, el 35% vota al partido, el 45 % vota al partido B y el resto se abstiene. Se sabe además que el 20 % de los votantes de, el 30 % de los de B y el 15 % de los que se abstienen, son mayores de 60 años. Se pide: a) Hallar la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea mayor de 60 b) Hallar la probabilidad de que un ciudadano mayor de 60 años se haya abstenido Ejemplo 3.En una determinada población, la probabilidad de que un habitante elegido al azar siga una dieta de adelgazamiento es igual a 0,2. Entre los habitantes que siguen dieta de adelgazamiento, la probabilidad de que uno de ellos elegido al azar practique deporte regularmente es igual a 0,6. Entre los habitantes que no siguen dieta de adelgazamiento, la probabilidad de que uno de los elegidos al azar practique deporte regularmente es igual a 0,3. Se elige al azar un habitante de la población a) Calcular la probabilidad de que practique deporte regularmente. b) Si se sabe que dicho habitante practica deporte regularmente, Cuál es la probabilidad de que esté siguiendo una dieta de adelgazamiento? Ejemplo 4. En una residencia universitaria viven 183 estudiantes, de los cuales 130 utilizan la biblioteca. De estos últimos, 70 estudiantes hacen uso de la lavandería, mientras que sólo 20 de los que no usan la biblioteca utilizan la lavandería. De elige un estudiante de la residencia al azar. a) Cuál es la probabilidad de que utilice la lavandería? b) Si el estudiante elegido no utiliza la lavandería, cuál es la probabilidad de que utilice la biblioteca? Ejemplo 5. Tras un estudio estadístico en una ciudad se observa que el 70 % de los motoristas son varones y, de estos, el 60 % llevan habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40 %. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco. b) Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. Cuál es la probabilidad de que sea varón? Ejemplo 6. El 35 % de los créditos de un banco es para vivienda, el 50 % para industrias y el 15 % para consumo diverso. Resultan fallidos el 20 % de los créditos para vivienda, el 15 % de los créditos para industrias y el 70 % de los créditos para consumo. Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar. vda. de San Diego, Madrid Tel: Fax: rldireccion@planalfa.es 8 de 8