PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
|
|
- Salvador San Martín Castillo
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 005 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción B Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B Septiembre, Ejercicio 4, Opción A Septiembre, Ejercicio 4, Opción B
2 xy6 Considera el punto P (,0,1) y la recta r z a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y a r. b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) La ecuación del haz de planos que contiene a la recta r es: x y 6 k( z ) 0. De todos esos planos nos interesa el que pasa por el punto P (,0,1), luego: 0 6 k(1 ) 0 k 4 por lo tanto, el plano pedido tiene de ecuación: x y 6 4( z ) 0 x y 4z 0 b) El punto P simétrico del punto P respecto de la recta r, está situado en un plano que pasando por el punto P es perpendicular a r y además la distancia que hay desde el punto P a la recta r es la misma que la que hay desde el punto P hasta dicha recta. P M P Calculamos la ecuación del plano que pasando por el punto P es perpendicular a r. Como la recta es perpendicular al plano, el vector director de dicha recta y el vector normal del plano son paralelos, luego: Vector normal del plano = vector director de la recta = (,1,0) La ecuación de todos los planos perpendiculares a dicha recta es: x y D 0. Como nos interesa el que pasa por el punto P (,0,1) : 0 D 0 D 4 x y 4 0 Calculamos las coordenadas del punto de intersección de la recta con el plano (M); para ello 8 sustituimos la ecuación de la recta en la del plano: (6 t) t 4 0 t luego las coordenadas del punto M son: x 6 ; y ; z Como el punto M es el punto medio del segmento P P', si llamamos (a, b, c) a las coordenadas del a b c punto P', se debe verificar que: ; a ; ; b ; ; c Luego el simétrico es: P ',, 5 5
3 Sean los vectores: v1 (0,1,0), v (,1, 1) y v (,, 1). a) Son los vectores v1, v y v linealmente dependientes?. b) Para qué valores de a el vector (4, a, ) puede expresarse como combinación lineal de los vectores v1, v y v?. c) Calcula un vector unitario y perpendicular a 1 v y v. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) Los vectores v1, v y v son linealmente dependientes si det ( v1, v y v) Dependientes 1 b) Dado que los vectores v1, v y v son dependientes, para que el vector u (4, a, ) se pueda expresar como combinación lineal de v 1, v y v, basta que se pueda expresar como combinación lineal de dos de ellos, es decir, que det ( u, v1 y v) Para cualquier valor de a el determinante vale cero, 4 a luego el vector u depende linealmente de v1, v y v y se puede expresar como combinación lineal de ellos. c) Para calcular un vector perpendicular a v1 y v, hacemos su producto vectorial. i j k i 0 j 0 k k 0 j 0 i ( 1, 0, ) 1 1 Como además queremos que sea unitario, bastará con dividir dicho vector por su módulo módulo( 1,0, ) ( 1) 0 ( ) 5 Luego el vector unitario y perpendicular a v1 y v será 1,0, 5 5 ó 1,0, 5 5.
4 x y 1 0 Sea el punto P(1,0, ) y la recta r x z 0 a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a r. b) Calcula las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r. MATEMÁTICAS II RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. P M P xt x y1 0 a) Escribimos la ecuación de la recta r en paramétricas: r y 1 t xz 0 z t Como el plano es perpendicular a la recta, su vector normal es el vector director de la recta, luego su ecuación será: x y z D 0. De todos esos planos nos interesa el que pasa por el punto P, luego: 10 D0 D 4.Por lo tanto el plano pedido es: x y z 4 0 b) Calculamos las coordenadas del punto M, que es el punto de corte de la recta con el plano, para ello sustituimos la ecuación de la recta en la del plano: ( t) ( 1 t) t 4 0 t 1 luego, las coordenadas del punto M son: x 1; y 1; z 1 Como el punto M es el punto medio del segmento P P', si llamamos (a, b, c) a las coordenadas del punto P', se debe verificar que: 1 a 1; a 1 0 b 1; b c 1; c 1 Luego, P ' (1,,1)
5 Se sabe que los puntos (, 0,1); (0,1, ); (1,, ) (7,,1) A m B C y D están en un mismo plano. a) Halla m y calcula la ecuación de dicho plano. b) Están los puntos B, C y D alineados? MATEMÁTICAS II RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) El plano viene definido por B (0,1, ) ; BC (1,1,1) ; BD (7,1, 1), luego su ecuación es: x 1 7 y x 4y z 0 z 1 1 Como el punto A pertenece a dicho plano, debe verificar su ecuación. m401 0 m 1 b) Los puntos B, C y D, no están alineados pues forman un plano.
6 x y z 0 ax 6y 6 0 Se sabe que las rectas: r y s son paralelas. x y 0 x z 0 a) Calcula a. b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) Como las rectas r y s son paralelas, sus vectores directores son paralelos, luego sus componentes tienen que ser proporcionales. Vamos a calcular los vectores directores. i j k u i j k (, 1,1) 1 0 i j k v a i a j 6 k ( 1, a, 6) 1 0 Como sus componentes son proporcionales: 1 1 a 1 a 6 b) Como las rectas son paralelas, el plano que las contiene vendrá determinado por el punto A de la recta r, el vector director de la recta r y el vector AB, siendo B un punto de la recta s. El punto A puede ser (,0, 1), el punto B puede ser (,0,0), con lo cuál el vector AB será el ( 4, 0,1). Por lo tanto, la ecuación del plano es: x 4 y x 6y 4z 0 z 1 1 1
7 0 Considera las rectas x z r y s x y 1 z x y 1 0 a) Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r. b) Calcula la distancia de la recta r al plano. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) Pasamos la recta r a paramétricas x x x z 0 r r y 1 x x y1 0 z x La recta r, viene definida por el punto A (0,1,) y el vector director u (1,1, 1). La recta s, viene definida por el punto B (0,1,0) y el vector director v (,1,). El plano que nos piden viene definido por el punto B y los vectores u y v, luego su ecuación será:. x 0 1 y x 5y z 5 0 z 0 1 b) Como la recta y el plano son paralelos, basta con calcular la distancia del punto A al plano 40 5 ( 1) d( A, ) 1'u
8 Considera el punto A(0,,1), el plano x y z 0 y la recta r x y a) Determina la ecuación del plano que pasa por A y contiene a r. b) Determina la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a y corta a r. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. z a) Pasamos la recta r a implícitas z x y 0 r x y r x z 9 0 La ecuación del haz de planos que contiene a la recta r es: x y k (x z 9) 0. De todos esos planos nos interesa el que pasa por el punto A(0,,1), luego: 0 k(0 1 9) 0 k 4 por lo tanto, sustituyendo nos queda que el plano pedido tiene de ecuación: x 4y z 15 0 x t z b) Pasamos la recta r a paramétricas r x y r y t z t Cualquier punto B de la recta r, tendrá de coordenadas B ( t, t, t). El vector director de la recta que buscamos será: AB ( t, t, t). Como la recta tiene que ser paralela al plano, eso quiere decir que el vector AB y el vector normal del plano n (,,), tienen que ser perpendiculares, luego su producto escalar tiene que valer 0. AB n ( t, t, t) (,,) 6 t t 666t 0 t 1 Sustituyendo, nos queda que AB (, 4, 4) y la recta que nos piden es: x y z 1 4 4
9 x 1t x y z Se sabe que las rectas: r y 1 t y s están contenidas en un mismo plano. 6xz z b t a) Calcula b. b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. b) Vamos a calcular primero el apartado b, para ello calculamos un punto y el vector director de cada recta A (1, 1, b) B (0,,1) r y s u (1, 1,1) v (1,, ) El plano que nos piden viene definido por el punto B y los vectores u y v. Por lo tanto su ecuación será: x y 1 5x 4y z 9 0 z 1 1 a) Como la recta r está contenida en el plano, el punto A es de dicho plano y, por lo tanto, debe verificar su ecuación ( 1) b 9 0 b 10
10 x 6 x y 1 0 Calcula la distancia entre las rectas: r y 1 y s x y 0 z 5 7 MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. Calculamos un punto y el vector director de cada recta A(6,1,5) B(1,1, 0) r ; s u (1,, 7) u (0, 0, 7) Aplicamos la fórmula que nos da la distancia entre dos rectas: d( r, s) AB ( u v) '47u u v i j k 45 módulo
11 Sean (, 4, 0); (, 6, ) ( 1,,1) A B y C los vértices de un triángulo. a) Halla la ecuación del plano que contiene al triángulo. b) Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a y pasa por el origen de coordenadas. c) Calcula el área del triángulo ABC. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) El plano viene definido por el punto A (,4,0) y los vectores AB (6,,) y AC (,,1). Luego su ecuación será: x 6 y 4 x z 0 z 1 b) La recta viene definida por el punto (0,0,0) y su vector director será el vector normal del plano u (1, 0, ). Luego su ecuación será: y z 1 0 c) Aplicamos la fórmula del área del triángulo 1 S AB AC i j k AB AC 6 8i 16 k S u
12 z Considera un plano x y mz y la recta r x y 1 a) Halla m para que r y sean paralelos. b) Halla m para que r y sean perpendiculares. c) Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano?. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) El vector normal del plano es n (1,1, m) y el vector director de la recta es u (1,1, ). Si el plano y la recta son paralelos, los vectores u y n son perpendiculares, luego, su producto escalar vale cero u n 1 1 m 0 m 1 b) Si el plano y la recta son perpendiculares, los vectores u y n son paralelos, luego, sus componentes tienen que ser proporcionales 1 1 m m 1 1 c) Si la recta está contenida en el plano, el vector director de la recta y el normal del plano son perpendiculares, luego, m 1, y el plano seria x y z. Pero, como la recta está contenida en el plano, todos los puntos de la recta deben pertenecer a dicho plano. Un punto de la recta es el A (0,1, ), que debe pertenecer al plano 01 No pertenece al plano por lo tanto, no hay ningún valor de m para el cual la recta esté contenida en el plano. Otra forma: Con las dos ecuaciones de la recta y el plano, podemos formar un sistema de ecuaciones con incógnitas, y para que la recta esté contenida en el plano, se tiene que cumplir que R( A) R( M ) x y mz 1 1 x y 1 R( M ) R x z 0 La recta no puede estar contenida en el plano
13 Sean los planos 1 x y z 5 0 y x y z 0. a) Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que está en el plano 1 y que su proyección ortogonal sobre el plano es el punto(1,0, ). b) Calcula el punto simétrico de P respecto del plano MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) P Q Con el vector normal del plano, n (1,,1) y el punto Q (1,0, ), calculamos la ecuación de la recta perpendicular a y que pasa por Q. x1t r y t z t El punto P será el punto de intersección de r con 1, luego: 10 (1 t) ( t) ( t) 5 0 t P (1 t, t, t) 1,,,, b) El punto Q, es el punto medio del segmento PP, siendo P el simétrico del punto P, luego, si llamamos (a,b,c) a las coordenadas del punto P', se debe verificar que: 7 a 1 1; a ; 0 b 0 0; b ; 19 c 1 ; c El punto pedido es P ',,
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 4 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 7 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 001 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 3, Opción B Junio, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 4 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 22 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 8 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2000 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2000 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 3, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B Reserva 2,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 015 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesGEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π
GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA 2003 (4) Ejercicio 1. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0), (a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean
Más detalles. Halla los valores de α en cada uno de los siguientes casos: a) (1 punto) u r, v
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (04-M;Jun-A-4) Considera la recta r que pasa por los puntos A (,0, ) y (,,0 ) a) ( punto) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C (,,) b) (5 puntos)
Más detallesEJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (05-M4;Jun-B-4) Sea el plano π x + y z + 8 a) (5 puntos) Calcula el punto, P simétrico del punto (,,5 ) b) ( punto) Calcula la recta r, simétrica de la recta plano π P
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
1) Sean las rectas EJERCICIOS DE GEOMETRÍA x 2y 6z 1 r : x y 0 x y 1 s: z 2 a a) Determinar la posición relativa de r y s según los valores de a. b) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando
Más detallesNecesitamos tener los vectores de dirección de ambas rectas. Para calcular el ángulo que forman, aplicamos la siguiente fórmula:
PROBLEMAS MÉTRICOS ÁNGULOS ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS Necesitamos tener los vectores de dirección de ambas rectas. Para calcular el ángulo que forman, aplicamos la siguiente fórmula: cos α = ÁNGULO QUE
Más detallesx-z = 0 x+y+2 = [2012] [EXT-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por
x = 1+t 1. [014] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,) y B(1,-1,-) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y
Más detallesEcuaciones de la recta en el espacio
Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu
Más detallesMATEMATICAS. BC2 TEMA 6: Rectas y Planos en R 3
MATEMATICAS. BC2 TEMA 6: Rectas y Planos en R 3 1. Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las
Más detallesTEMA 6 Ejercicios / 3
TEMA 6 Ejercicios / 1 TEMA 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1. Ecuaciones de los planos cartesianos en forma vectorial, paramétrica e implícita. Ecuaciones del plano XY: Punto del plano P 0, 0, 0 Vectores
Más detallesTEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. y una base de vectores de V cualquiera
TEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1.- PUNTOS Y VECTORES. ESPACIO AFÍN y una base de vectores de V cualquiera {,, B = u1 u2 u} A cada punto del espacio, P, le asociamos el vector OP, que tendrá unas
Más detallesTema 11: Problemas Métricos
..- Distancia entre dos puntos : Tema : Problemas Métricos B AB A d( A, B) AB La distancia entre dos puntos Aa (, a, a) Bbb (,, b ) es el módulo del vector que une dichos puntos: d( A, B) AB b a b a b
Más detallesTEMA 4. Vectores en el espacio Problemas Resueltos
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 4 5 Vectores TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas Resueltos Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a b b) a b c)
Más detallesESPACIO AFÍN REAL TRIDIMENSIONAL. Sistema de referencia (E3, V3, f). Coordenadas cartesianas.
1. Puntos y Vectores. ESPACIO AFÍN REAL TRIDIMENSIONAL Sistema de referencia (E3, V3, f). Coordenadas cartesianas. 2. Primeros resultados analíticos. Vector que une dos puntos. Punto medio de un segmento.
Más detallesColegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene
Más detallesTEMA 4. Vectores en el espacio Problemas Resueltos
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 4 5 Vectores TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas Resueltos Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a + b b) a b
Más detallesResuelve. Unidad 4. Vectores en el espacio. BACHILLERATO Matemáticas II. Diagonal de un ortoedro y volumen de un paralelepípedo.
Resuelve Página Diagonal de un ortoedro y volumen de un paralelepípedo. Expresa la diagonal de un ortoedro en función de sus dimensiones, a, b y c. c b a c c b b a Diagonal = a + b + c. Calcula el volumen
Más detallesMATEMÁTICAS II TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas resueltos
Geometría del espacio: Vectores; producto escalar, vectorial y mixto Aplicaciones MATEMÁTICAS II TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas resueltos Vectores Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a + b
Más detallesEspacios vectoriales. Vectores del espacio.
Espacios vectoriales. Vectores del espacio. Consideremos un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo A(1,1,1), B(2,1,1), C(2,4,1) y E(1,2,7). Halla: a) el área de una de las bases; b) el volumen del
Más detalles7. [2013] [JUN-A] a) Pueden existir vectores u y v tales que u = 2, v = 3 y u v = 8? Justifique la respuesta.
1. [014] [EXT-A] a) Determine el valor o valores de m, si existen, para que la recta r: mx+y = x+ mz = : x-y-z+6 = 0. b) Determine la distancia del punto P= (,1,1) a la recta r cuando m =. sea paralela
Más detallesEspacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría
6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.
Más detallesEjercicios de Rectas y planos.
Matemáticas 2ºBach CNyT. Ejercicios Rectas, planos. Pág 1/9 Ejercicios de Rectas y planos. 1. Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas
Más detallesDado un vector fijo, existen infinitos vectores fijos que tienen igual módulo, dirección y sentido
1. VECTORES. DEFINICIONES. OPERACIONES Un vector fijo AB queda determinado por dos puntos, el origen A y el extremo B Se llama módulo del vector AB a la distancia que hay entre A y B. Se designa por AB
Más detallesMATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 25 de enero de 2010 Geometría y Logaritmos
MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 5 de enero de 010 Geometría y Logaritmos x yz 1) Tomar logaritmos, y desarrollar, en la siguiente expresión: A 4 ab log x log b 4log a log y ) Quitar logaritmos: log A )
Más detallesGEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo.
GEOMETRÍA 1. (Junio, 1994) Sin resolver el sistema, determina si la recta x +3y +1= 0 es exterior, secante o tangente a la circunferencia (x 1) +(y ) =1. Razónalo.. (Junio, 1994) Dadas las ecuaciones de
Más detallesUnidad 7 Geometría analítica en el plano
Unidad 7 Geometría analítica en el plano PÁGINA 153 SOLUCIONES 1. La ecuación de la recta que pasa por A y B es: x+ y 9=. El punto C no pertenece a la recta pues no verifica la ecuación. Por tanto A, B
Más detallesEJERCICIOS VOLUNTARIOS DE GEOMETRIA CON SOLUCIÓN. 2º BACHILLERATO
EJERCICIOS VOLUNTARIOS DE GEOMETRIA CON SOLUCIÓN. 2º BACHILLERATO ESPACIO AFIN 1.Hallar la ecuación del plano que contenga al punto P(1, 1, 1) y sea paralelo a las rectas: r x 2y = 0 ; y 2z + 4 = 0; s
Más detallesVerifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática.
Álgebra Geometría Analítica Prof. Gisela Saslavsk Vectores en R en R 3. Rectas planos en el espacio Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática..
Más detallesGeometría. 2 (el " " representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.
Geometría 1 (Junio-96 Dados los vectores a,b y c tales que a, b 1 y c 4 y a b c, calcular la siguiente suma de productos escalares: a b b c a c (Sol: -1 (Junio-96 Señalar si las siguientes afirmaciones
Más detallesBLOQUE II. GEOMETRÍA.
BLOQUE II. GEOMETRÍA. PROBLEMAS SELECTIVIDAD (PAU) CANTABRIA 2000-204 I.E.S. LA MARINA. CURSO 204/205. MATEMÁTICAS II. Condidera el plano y la recta r dados por : ax + 2y 4z 23 = 0, r: 3 a) ( PUNTO) Halla
Más detallesProblemas de vectores
Problemas de vectores 1.- Expresa el vector mm = (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: uu = (1, 0, 1), vv = (1, 1, 0) y ww = (0, 1, 1). 2.- Siendo uu = (1, 0, 1), vv = (1, 1, 0) y ww = (0,
Más detallesPágina 209 PARA RESOLVER. 44 Comprueba que el triángulo de vértices A( 3, 1), B(0, 5) y C(4, 2) es rectángulo
44 Comprueba que el triángulo de vértices A(, ), B(0, ) y C(4, ) es rectángulo y halla su área. Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras: AB = (0 + ) + ( ) = AC = (4 + ) + ( ) = 0 BC = 4 + ( ) = 0 +
Más detallesPÁGINA 84 AB = ( 2, 7) (1, 1) = ( 3, 6) 8 AB = ( 3) = = 45 = CD = (3, 6) (6, 0) = ( 3, 6) 8 = 45 = 3 5
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 4 1 Representa los vectores AB y CD, siendo A(1, 1), B(, 7), C(6, 0), D(3, 6) y observa que son iguales. Comprueba que AB = CD hallando sus coordenadas.
Más detalles1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2)
1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2) 2. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que es paralela a y=2x-3 y pasa por el punto (1,3). 3. Halla la ecuación de la recta
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA - Ejercicios de Selectividad
GEOMETRÍA ANALÍTICA - Ejercicios de Selectividad 1 Se sabe que los puntos A (1,0,-1), B (3,, 1) y C (-7, 1, 5) son los vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD. (a) Calcula las coordenadas del punto
Más detalles4. [ANDA] [JUN-B] Dados los puntos A(2,1,1) y B(0,0,1), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es 2.
Selectividad CCNN 008 x-z = -. [ANDA] [SEP-A] Sea la recta dada por y+z = a) Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta s y contiene a la recta r, dada por x- = -y+ = z-. b) Estudia la posición
Más detallesa) Como mucho puede haber 3 vectores linealmente independientes. 1 2 = 3 x = 1, y = 2 3 No tiene solución, luego no se puede.
Ejercicios y problemas propuestos Página Para practicar Dependencia e independencia lineal. Base y coordenadas Dados estos vectores: u(,, ), v (,, ), w (,, ), z (,, ) a) Cuántos de ellos son linealmente
Más detallesVerifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática.
Álgebra Geometría Analítica Vectores en R en R 3. Rectas planos en el espacio Prof. Gisela Saslavs Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática..
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II LOGSE Antonio López García Juan Fernández Maese Angeles Juárez Martín GEOMETRÍA GEOMETRÍA Índice Temático.- VECTORES... 5..- VECTORES. OPERACIONES CON VECTORES...
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 4º ESO A
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 4º ESO A 1. Halla las ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos A(1,4) y B(0,-1) en todas sus formas: vectorial, continua, punto-pendiente, explícita y general.
Más detallessea paralela al plano
x = 1+2t 1. [ANDA] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,2) y B(1,-1,-2) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por
Más detalleses el lugar geométrico de los puntos p tales que p 0 p n o p 0 p o. p x ; y ; z perteneciente a y un vector no
El Plano y la Recta en el Espacio Matemática 4º Año Cód. 145-15 P r o f. M a r í a d e l L u j á n M a r t í n e z P r o f. J u a n C a r l o s B u e P r o f. M i r t a R o s i t o P r o f. V e r ó n i
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 6 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Se consideran las rectas r x 2 = 0 x 2z = 1, s y + 3 = 0 y + z = 3 a) Estudiar la posición relativa de r y s. b) Hallar la mínima distancia entre ambas. Se pide: Sol: Se cruzan
Más detallesGeometría analítica del plano
8 Geometría analítica del plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer los elementos de un vector identificando cuando dos vectores son equipolentes. Hacer operaciones con vectores libres tanto
Más detalles1 + 3(0, 2) = ( 1, 2) + (0, 6) = ( 1, 4) ) ( = arc cos e 5
utoevaluación Página Dados los vectores uc c, m v (0, ), calcula: a) u b) u + v c) u : ( v) uc c, m v (0, ) a) u c m + ( ) b) u + v c c, m + (0, ) (, ) + (0, 6) (, ) c) u : ( v) () (u v ) c 0 +( m ) (
Más detallesProblemas métricos. 1. Problemas afines y problemas métricos
. Problemas afines y problemas métricos Al trabajar en el espacio (o análogamente en el plano) se nos pueden presentar dos tipos de problemas con los elementos habituales (puntos, rectas y planos): Problemas
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 9 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesTEMA 6. Ángulos, distancias, simetrías Problemas Resueltos
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 88 Ángulos entre rectas y planos TEMA 6 Ángulos, distancias, simetrías Problemas Resueltos Dadas las rectas r y s
Más detallesTEMA 11.- VECTORES EN EL ESPACIO
TEMA 11.- VECTORES EN EL ESPACIO 1.- INTRODUCCIÓN Un vector fijo AB del espacio (también lo era en el plano) es un segmento orientado que tiene su origen en un punto A y su extremo en otro punto B. Estos
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás de mayo de 013 Capítulo 1 Año 011 1.1. Modelo 011 - Opción A Problema 1.1.1 (3 puntos) Dado el sistema: λx
Más detallesGEOMETRÍA EN EL PLANO. Dos rectas perpendiculares tienen las pendientes inversas y de signo contrario. Calculamos la pendiente de la recta dada:
GEOMETRÍA EN EL PLANO. La ecuación de la recta que pasa por el punto A(4, 6) y es perpendicular a la recta 4x y + = 0 es: A) x + y + 8 = 0 B) 6x 4y 48 = 0 C) x + y = 0 (Convocatoria junio 00. Examen tipo
Más detalles5. Determina el valor o los valores del parámetro m para que la recta r : x= y = z y el plano π: x z=0 formen un ángulo de 30º.
EJERCICIOS: GEOMETRÍA EUCLÍDEA. PRODUCTO ESCALAR. 1. Considera las rectas que se cortan en el punto P(1,0,-1) y cuyos vectores directores son u=(,1, ) y v=(,, 1 ), respectivamente. Escribe las ecuaciones
Más detallesGEOMETRÍA EN EL ESPACIO.
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO.. ESPACIOS VECTORIALES VECTOR FIJO Segmento orientado. Queda determinado por Origen A(a, a, a ); extremo B(b, b, b ) Módulo: Longitud del AB ( b a) ( b a) ( b a) segmento AB Características:
Más detallesTEMA 5. VECTORES. Dados dos puntos del plano y.
TEMA 5. VECTORES. Dados dos puntos del plano y. Se define el vector de origen A y extremo B como el segmento orientado caracterizado por su módulo (su longitud), dirección (la de la recta que lo contiene)
Más detallesRectas y planos en el espacio
Rectas y planos en el espacio 1. 2. 3. Discute el siguiente sistema según el valor del parámetro a: ax 4y z 1 y az a x 14y 2az 8 Dada la recta x 4 y z 1, 5 2 averigua si el punto P(6, 2, 2) está contenido
Más detallesGeometría analítica. 3. Calcula u+ vy u v analítica y gráficamente en los siguientes. a) u (1, 3) y v(5,2) b) u (1, 3) y v(4,1) Solución:
5 Geometría analítica. Operaciones con vectores Piensa y calcula Dado el vector v (3, 4) del dibujo siguiente, calcula mentalmente su longitud y la pendiente. D A v(3, 4) C O Longitud = 5 Pendiente = 4/3
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO
UNIDAD VECTORES EN EL ESPACIO Página 13 Problema 1 Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo α: cm Área = 8 sen α = 40 sen α cm α 8 cm Halla el área de este triángulo en función del ángulo
Más detallesEiemplo la: Halla el ángulo que forman las rectas r y s que vienen dadas por: x-y =3 y + z = 15
TEMA 6.- PROBLEMAS MÉTRICOS. 2 BACH(CN) TEMA 6.- PROBLEMAS MÉTRICOS. 1.- ÁNGULOS ENTRE ELEMENTOS DEL ESPACIO A) ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS. Para calcular el ángulo formado por dos rectas que se cortan (en
Más detalles2. PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
2. PUNTOS, RECTAS Y PLANOS 2.1. RELACIONES ENTRE LOS PUNTOS DEL ESPACIO Y LOS VECTORES. AXIOMAS DEL ESPACIO AFÍN Entendemos por espacio afín tridimensional como el conjunto de puntos del espacio intuitivo
Más detalles2.- (Puntuación máxima 2 puntos). Para cada valor del parámetro real a, se consideran los tres planos siguientes:
1.- (Puntuación máxima 3 puntos). Se consideran las rectas: a) (1 punto) Calcular la distancia entre r y s. b) (1 punto) Hallar unas ecuaciones cartesianas de la recta perpendicular común a r y s y que
Más detallesUnidad 5: Geometría analítica del plano.
Geometría analítica del plano 1 Unidad 5: Geometría analítica del plano. 1.- Vectores. Operaciones con vectores. Un vector fijo es un segmento entre dos puntos, A y B del plano, al que se le da una orientación
Más detallesEcuación Vectorial de la Recta
Ecuación Vectorial de la Recta Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada. Si P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r, el vector tiene
Más detallesGeometría Analítica Espacios Vectoriales VECTORES EN EL PLANO
VECTORES EN EL PLANO 1 ESPACIO VECTORIAL Un vector fijo es una pareja ordenada de puntos en el plano (origen y extremo) Si A y B son dichos puntos, representaremos el vector por AB Gráficamente, lo representamos
Más detallesExamen de Selectividad Matemáticas JUNIO Andalucía OPCIÓN A
Eámenes de Matemáticas de Selectividad ndalucía resueltos http://qui-mi.com/ Eamen de Selectividad Matemáticas JUNIO - ndalucía OPCIÓN. Sea f : R R definida por: f ( a b c. a [7 puntos] Halla a b y c para
Más detallesTema 6: Ángulos y distancias en el espacio
Tema 6: Ángulos y distancias en el espacio February, 017 1 Ángulos entre elementos del espacio Los ángulos entre elementos del espacio, es una aplicación sencilla del producto escalar. Recuerdo las condiciones
Más detallesTEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA.
TEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA. SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO. Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto y tres vectores linealmente independientes. A partir de ahora
Más detallesEL ESPACIO AFÍN EUCLIDEO
EL ESPACIO AFÍN EUCLIDEO DEFINICIÓN: Dado el Espacio Afín donde es el espacio ordinario, es el espacio de los vectores libres y f es la aplicación que a cada par de puntos (A,B) asocia el vector libre.
Más detallesUNIDAD 3 : ELEMENTOS GEOMÉTRICOS
UNIDAD 3 : ELEMENTOS GEOMÉTRICOS 3.A.1 Características de un lugar geométrico 3.A ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA Se denomina lugar geométrico a todo conjunto de puntos que cumplen una misma propiedad o que
Más detallesProblemas de geometría afín
Problemas de geometría afín Teóricos Problema A Para un subconjunto no vacío X de R n se cumple: X es subvariedad afín cada recta que pasa por dos puntos distintos de X está totalmente contenida en X Problema
Más detallesa) Los vectores base de V 2? Razonar la respuesta. b) Expresar u como combinación lineal de x e y c) Comprobar gráficamente lo anterior.
PARCIAL 2ª EVALUACIÓN MATEMÁTICAS I 1º BACH. A+B CURSO 2008-2009 1. u a) Los vectores x e y de la figura pueden ser base de V 2? Razonar la respuesta. y b) Expresar u como combinación lineal de x e y c)
Más detallesPROFR.: JULIO C. JIMÉNEZ RAMÍREZ GRUPOS: TODOS LOS ALUMNOS IRREGULARES EPOEM No.16 TRUNO: VESPETINO
Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta Ecuación continua de la recta Pendiente Ecuación punto-pendiente de la recta Ecuación general de la recta Ecuación explícita de la recta
Más detallesC/ Fernando Poo 5 Madrid (Metro Delicias o Embajadores).
UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS, MADRID PRUEBA DE ACCESO PARA MAYORES DE 25 AÑOS MATEMÁTICAS II AÑO 2014 OPCIÓN A Ejercicio 1 a) (1 punto) Determinar el valor del parámetro para que los puntos A(1,2,0), B(5,-4,0)
Más detalles. Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Rosario. Álgebra y Geometría Analítica EL PLANO
. Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Rosario Álgebra y Geometría Analítica EL PLANO Autores: Lic. Martha Fascella Ing. Ricardo F. Sagristá 0 Contenido EL PLANO... 3.- Definición del plano
Más detalles58 EJERCICIOS de RECTAS y PLANOS 2º BACH.
58 EJERCICIOS de RECTAS y PLANOS 2º BACH. NOTA: En los ejercicios de Geometría se recomienda comenzar, antes de nada, por: Imaginarse la situación; podemos ayudarnos, para ello, de bolígrafos (para representar
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detalles= λ + 1 y el punto A(0, 7, 5)
94 GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO en las PAU de Asturias Dados los puntos A(1, 0, 1), B(l, 1, 1) y C(l, 6, a), se pide: a) hallar para qué valores del parámetro a están alineados b) hallar si existen
Más detallesProblemas resueltos del libro de texto. Tema 8. Geometría Analítica.
Problemas resueltos del libro de texto Tema 8 Geometría Analítica Combinación lineal de vectores 9- Es evidente que sí es combinación lineal de estos dos vectores, ya que -4 y permiten escribir z como
Más detallesSelectividad Matemáticas II junio 2015, Andalucía (versión 3)
Selectividad Matemáticas II junio 05, Andalucía (versión 3) Pedro González Ruiz 7 de junio de 05. Opción A Problema. Se quiere construir un depośito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad
Más detallesejerciciosyexamenes.com GEOMETRIA
GEOMETRIA 1.- Dado el vector AB= (2,-1,3) y el punto B(3,1,2) halla las coordenadas del punto A. Sol: A =(1,2,-1) 2.- Comprobar si los vectores AB y CD son equipolentes, siendo A(1,2,-1), B(0,3,1), C(1,1,1)
Más detallesEjercicios resueltos de Álgebra, hoja 2. Beatriz Graña Otero
Ejercicios resueltos de Álgebra, hoja 2. Beatriz Graña Otero 11 de Diciembre de 2008 2 B.G.O. 104.- Determina si los siguientes subconjuntos del espacio vectorial correspondiente son subvariedades afines:
Más detalles