PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 005 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción B Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B Septiembre, Ejercicio 4, Opción A Septiembre, Ejercicio 4, Opción B

2 xy6 Considera el punto P (,0,1) y la recta r z a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y a r. b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) La ecuación del haz de planos que contiene a la recta r es: x y 6 k( z ) 0. De todos esos planos nos interesa el que pasa por el punto P (,0,1), luego: 0 6 k(1 ) 0 k 4 por lo tanto, el plano pedido tiene de ecuación: x y 6 4( z ) 0 x y 4z 0 b) El punto P simétrico del punto P respecto de la recta r, está situado en un plano que pasando por el punto P es perpendicular a r y además la distancia que hay desde el punto P a la recta r es la misma que la que hay desde el punto P hasta dicha recta. P M P Calculamos la ecuación del plano que pasando por el punto P es perpendicular a r. Como la recta es perpendicular al plano, el vector director de dicha recta y el vector normal del plano son paralelos, luego: Vector normal del plano = vector director de la recta = (,1,0) La ecuación de todos los planos perpendiculares a dicha recta es: x y D 0. Como nos interesa el que pasa por el punto P (,0,1) : 0 D 0 D 4 x y 4 0 Calculamos las coordenadas del punto de intersección de la recta con el plano (M); para ello 8 sustituimos la ecuación de la recta en la del plano: (6 t) t 4 0 t luego las coordenadas del punto M son: x 6 ; y ; z Como el punto M es el punto medio del segmento P P', si llamamos (a, b, c) a las coordenadas del a b c punto P', se debe verificar que: ; a ; ; b ; ; c Luego el simétrico es: P ',, 5 5

3 Sean los vectores: v1 (0,1,0), v (,1, 1) y v (,, 1). a) Son los vectores v1, v y v linealmente dependientes?. b) Para qué valores de a el vector (4, a, ) puede expresarse como combinación lineal de los vectores v1, v y v?. c) Calcula un vector unitario y perpendicular a 1 v y v. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) Los vectores v1, v y v son linealmente dependientes si det ( v1, v y v) Dependientes 1 b) Dado que los vectores v1, v y v son dependientes, para que el vector u (4, a, ) se pueda expresar como combinación lineal de v 1, v y v, basta que se pueda expresar como combinación lineal de dos de ellos, es decir, que det ( u, v1 y v) Para cualquier valor de a el determinante vale cero, 4 a luego el vector u depende linealmente de v1, v y v y se puede expresar como combinación lineal de ellos. c) Para calcular un vector perpendicular a v1 y v, hacemos su producto vectorial. i j k i 0 j 0 k k 0 j 0 i ( 1, 0, ) 1 1 Como además queremos que sea unitario, bastará con dividir dicho vector por su módulo módulo( 1,0, ) ( 1) 0 ( ) 5 Luego el vector unitario y perpendicular a v1 y v será 1,0, 5 5 ó 1,0, 5 5.

4 x y 1 0 Sea el punto P(1,0, ) y la recta r x z 0 a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a r. b) Calcula las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r. MATEMÁTICAS II RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. P M P xt x y1 0 a) Escribimos la ecuación de la recta r en paramétricas: r y 1 t xz 0 z t Como el plano es perpendicular a la recta, su vector normal es el vector director de la recta, luego su ecuación será: x y z D 0. De todos esos planos nos interesa el que pasa por el punto P, luego: 10 D0 D 4.Por lo tanto el plano pedido es: x y z 4 0 b) Calculamos las coordenadas del punto M, que es el punto de corte de la recta con el plano, para ello sustituimos la ecuación de la recta en la del plano: ( t) ( 1 t) t 4 0 t 1 luego, las coordenadas del punto M son: x 1; y 1; z 1 Como el punto M es el punto medio del segmento P P', si llamamos (a, b, c) a las coordenadas del punto P', se debe verificar que: 1 a 1; a 1 0 b 1; b c 1; c 1 Luego, P ' (1,,1)

5 Se sabe que los puntos (, 0,1); (0,1, ); (1,, ) (7,,1) A m B C y D están en un mismo plano. a) Halla m y calcula la ecuación de dicho plano. b) Están los puntos B, C y D alineados? MATEMÁTICAS II RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) El plano viene definido por B (0,1, ) ; BC (1,1,1) ; BD (7,1, 1), luego su ecuación es: x 1 7 y x 4y z 0 z 1 1 Como el punto A pertenece a dicho plano, debe verificar su ecuación. m401 0 m 1 b) Los puntos B, C y D, no están alineados pues forman un plano.

6 x y z 0 ax 6y 6 0 Se sabe que las rectas: r y s son paralelas. x y 0 x z 0 a) Calcula a. b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) Como las rectas r y s son paralelas, sus vectores directores son paralelos, luego sus componentes tienen que ser proporcionales. Vamos a calcular los vectores directores. i j k u i j k (, 1,1) 1 0 i j k v a i a j 6 k ( 1, a, 6) 1 0 Como sus componentes son proporcionales: 1 1 a 1 a 6 b) Como las rectas son paralelas, el plano que las contiene vendrá determinado por el punto A de la recta r, el vector director de la recta r y el vector AB, siendo B un punto de la recta s. El punto A puede ser (,0, 1), el punto B puede ser (,0,0), con lo cuál el vector AB será el ( 4, 0,1). Por lo tanto, la ecuación del plano es: x 4 y x 6y 4z 0 z 1 1 1

7 0 Considera las rectas x z r y s x y 1 z x y 1 0 a) Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r. b) Calcula la distancia de la recta r al plano. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) Pasamos la recta r a paramétricas x x x z 0 r r y 1 x x y1 0 z x La recta r, viene definida por el punto A (0,1,) y el vector director u (1,1, 1). La recta s, viene definida por el punto B (0,1,0) y el vector director v (,1,). El plano que nos piden viene definido por el punto B y los vectores u y v, luego su ecuación será:. x 0 1 y x 5y z 5 0 z 0 1 b) Como la recta y el plano son paralelos, basta con calcular la distancia del punto A al plano 40 5 ( 1) d( A, ) 1'u

8 Considera el punto A(0,,1), el plano x y z 0 y la recta r x y a) Determina la ecuación del plano que pasa por A y contiene a r. b) Determina la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a y corta a r. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. z a) Pasamos la recta r a implícitas z x y 0 r x y r x z 9 0 La ecuación del haz de planos que contiene a la recta r es: x y k (x z 9) 0. De todos esos planos nos interesa el que pasa por el punto A(0,,1), luego: 0 k(0 1 9) 0 k 4 por lo tanto, sustituyendo nos queda que el plano pedido tiene de ecuación: x 4y z 15 0 x t z b) Pasamos la recta r a paramétricas r x y r y t z t Cualquier punto B de la recta r, tendrá de coordenadas B ( t, t, t). El vector director de la recta que buscamos será: AB ( t, t, t). Como la recta tiene que ser paralela al plano, eso quiere decir que el vector AB y el vector normal del plano n (,,), tienen que ser perpendiculares, luego su producto escalar tiene que valer 0. AB n ( t, t, t) (,,) 6 t t 666t 0 t 1 Sustituyendo, nos queda que AB (, 4, 4) y la recta que nos piden es: x y z 1 4 4

9 x 1t x y z Se sabe que las rectas: r y 1 t y s están contenidas en un mismo plano. 6xz z b t a) Calcula b. b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. b) Vamos a calcular primero el apartado b, para ello calculamos un punto y el vector director de cada recta A (1, 1, b) B (0,,1) r y s u (1, 1,1) v (1,, ) El plano que nos piden viene definido por el punto B y los vectores u y v. Por lo tanto su ecuación será: x y 1 5x 4y z 9 0 z 1 1 a) Como la recta r está contenida en el plano, el punto A es de dicho plano y, por lo tanto, debe verificar su ecuación ( 1) b 9 0 b 10

10 x 6 x y 1 0 Calcula la distancia entre las rectas: r y 1 y s x y 0 z 5 7 MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. Calculamos un punto y el vector director de cada recta A(6,1,5) B(1,1, 0) r ; s u (1,, 7) u (0, 0, 7) Aplicamos la fórmula que nos da la distancia entre dos rectas: d( r, s) AB ( u v) '47u u v i j k 45 módulo

11 Sean (, 4, 0); (, 6, ) ( 1,,1) A B y C los vértices de un triángulo. a) Halla la ecuación del plano que contiene al triángulo. b) Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a y pasa por el origen de coordenadas. c) Calcula el área del triángulo ABC. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) El plano viene definido por el punto A (,4,0) y los vectores AB (6,,) y AC (,,1). Luego su ecuación será: x 6 y 4 x z 0 z 1 b) La recta viene definida por el punto (0,0,0) y su vector director será el vector normal del plano u (1, 0, ). Luego su ecuación será: y z 1 0 c) Aplicamos la fórmula del área del triángulo 1 S AB AC i j k AB AC 6 8i 16 k S u

12 z Considera un plano x y mz y la recta r x y 1 a) Halla m para que r y sean paralelos. b) Halla m para que r y sean perpendiculares. c) Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano?. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) El vector normal del plano es n (1,1, m) y el vector director de la recta es u (1,1, ). Si el plano y la recta son paralelos, los vectores u y n son perpendiculares, luego, su producto escalar vale cero u n 1 1 m 0 m 1 b) Si el plano y la recta son perpendiculares, los vectores u y n son paralelos, luego, sus componentes tienen que ser proporcionales 1 1 m m 1 1 c) Si la recta está contenida en el plano, el vector director de la recta y el normal del plano son perpendiculares, luego, m 1, y el plano seria x y z. Pero, como la recta está contenida en el plano, todos los puntos de la recta deben pertenecer a dicho plano. Un punto de la recta es el A (0,1, ), que debe pertenecer al plano 01 No pertenece al plano por lo tanto, no hay ningún valor de m para el cual la recta esté contenida en el plano. Otra forma: Con las dos ecuaciones de la recta y el plano, podemos formar un sistema de ecuaciones con incógnitas, y para que la recta esté contenida en el plano, se tiene que cumplir que R( A) R( M ) x y mz 1 1 x y 1 R( M ) R x z 0 La recta no puede estar contenida en el plano

13 Sean los planos 1 x y z 5 0 y x y z 0. a) Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que está en el plano 1 y que su proyección ortogonal sobre el plano es el punto(1,0, ). b) Calcula el punto simétrico de P respecto del plano MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) P Q Con el vector normal del plano, n (1,,1) y el punto Q (1,0, ), calculamos la ecuación de la recta perpendicular a y que pasa por Q. x1t r y t z t El punto P será el punto de intersección de r con 1, luego: 10 (1 t) ( t) ( t) 5 0 t P (1 t, t, t) 1,,,, b) El punto Q, es el punto medio del segmento PP, siendo P el simétrico del punto P, luego, si llamamos (a,b,c) a las coordenadas del punto P', se debe verificar que: 7 a 1 1; a ; 0 b 0 0; b ; 19 c 1 ; c El punto pedido es P ',,

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