Unidad 9. Estadística

Transcripción

1 a las Enseñanzas Académcas Págna 9 El valor de las muestras. Un curoso epermento Quénes crees que obtendrán mejores resultados? Es decr, en general las meddas de las muestras de A, se parecerán más a μ que las de B o al revés? Como veremos, los del equpo B, que elgen las muestras aleatoramente, se aproman (en general) más a μ que los del equpo A. Resuelve. Elge varas muestras de números concenzudamente (es decr, observando los números selecconados con el fn de que sean representatvos de la totaldad). Seleccona varas muestras aleatoramente (es decr, dez de estos números elegdos al azar). Compara los resultados calculando la meda de cada muestra y comparándola con la verdadera meda:,. Posbles muestras de números elegdos concenzudamente: μ, μ 9, 9 μ, Posbles muestras de números aleatoros: 7 μ,9 97 μ,7 7 μ, (la más próma 9 9 a la verdadera)

2 a las Enseñanzas Académcas Tablas de frecuencas Págna 9. Reparte los cuarenta datos del ejercco resuelto anteror en ntervalos con el msmo recorrdo total. Tomando r' y sendo el número de ntervalos, la longtud de cada ntervalo será de. INTERVALOS MARCA DE CLASE FRECUENCIAS, -,, -,, - 7, 7, -,, -,, -,, - 9, 9, - 7, 7, - 7, 7, - 7, Reparte los cuarenta datos del ejercco resuelto anteror en ntervalos. Para ello, toma r'. Tomando r' y sendo el número de ntervalos, la longtud de cada uno de ellos será. INTERVALOS MARCA DE CLASE FRECUENCIAS 7, -,, -,, - 9, 9, -,, - 7, 7, - 7, 7, - 7, 7, - 79, 9,, 7,,, 9, 7, 77,

3 a las Enseñanzas Académcas Parámetros estadístcos: y σ Págna 97. Halla, manualmente y con calculadora,, σ y C.V. en la tabla obtenda en el ejercco resuelto de la págna 9: 7 7 f f f f , σ 97,,, C.V.,,, %. Halla, manualmente y con calculadora,, σ y C.V. en la dstrbucón de los ejerccos y de la págna 9: Compara los resultados entre sí y con los del ejercco de esta págna.. a dstrbucón INTERVALOS f f f,-,,-,,-7, 7,-,,-,,-,,-9, 9,-7, 7,-7, 7,-7,. a dstrbucón meda: Sf Sf Sf var.: Sf 7, cm, 9, desvacón típca: σ 9,, cm C.V. q,,,%, INTERVALOS f f f 7,-,,-,,-9, 9,-,,-7, 7,-7, 7,-7, 7,-79, 9,, 7,,, 9, 7, 77, 99, , 7,, 99, 7, 9, 7 9 meda: Sf Sf Sf var.: Sf 7, cm 9, 7,7 desvacón típca: σ 7, 7, cm C.V. q,,7,7%, Como se puede ver, las dferencas entre unas y otras son naprecables.

4 a las Enseñanzas Académcas Parámetros de poscón para datos aslados Págna 9. Halla Q, Me, Q y p en esta dstrbucón: Hay ndvduos en la dstrbucón. : 7, ndvduos en cada grupo 7, ndvduo. Q 7, ndvduo entre. y. Me, 7,, ndvduo. Q Para calcular p : ndvduo entre. y p,

5 a las Enseñanzas Académcas Págna 99. En la sguente dstrbucón de notas, halla Me, Q, Q, p, p 9 y p 99 : NOTAS 7 9 N. DE ALUMNOS NOTAS f F % ACUM ,,,,7, 7,, 9, 97,, Me p Q p Q p 7 7 p 7 p 9 9 p 99

6 a las Enseñanzas Académcas Parámetros de poscón para datos agrupados Págna. Obtén la dstrbucón de frecuencas acumuladas y representa el correspondente polígono, relatvo a los datos de la tabla sguente: INTERVALOS FRECUENCIAS EXTREMOS F % ACUM. 7 9,,,, 9,7 97, 97, % % %

7 a las Enseñanzas Académcas Págna. Halla, gráfca y numércamente Q, Me, Q y p 9 en la dstrbucón del ejercco propuesto de la págna anteror. Avergua qué percentl corresponde a un valor de. % Q Me 77 % Q p 9 % Q Me Q p 9 Numércamente: Cálculo de Q : a,,,9 a b b,,9, 9, 9, Por tanto: Q +,, Cálculo de Me: b a a,,,9 b,,9, 9,, 9 Por tanto: Me +, 7, Cálculo de Q : a, 7, b a b 7,, 7,,7, Por tanto: Q +,7,7 7

8 a las Enseñanzas Académcas Cálculo de p 9 : a 9,7,7 b a b 9, 7,9 Por tanto: p 9 +,9,9 Para calcular el percentl que corresponde a un valor de, utlzamos el esquema anteror. En este caso, debemos buscar tal que:, 7, El percentl es, % %.

9 a las Enseñanzas Académcas Dagramas de caja Págna. Haz el dagrama de caja correspondente a esta dstrbucón de notas: 7 9 f f F Comenzamos hallando Me, Q y Q : n n Me, n Q n Q La longtud de la caja será Q Q., Los bgotes llegarán hasta y hasta + 9. Por tanto, el dagrama de caja y bgotes será: 7 9 *. Interpreta el sguente dagrama de caja y bgotes relatvo a las marcas de algunos saltadores de longtud: 7 m 7, m m * Me 7, m; Q 7, m; Q 7,97 m Todos saltaron entre 7, m y, m, ecepto uno que saltó, m. Un % de los saltadores saltó menos de 7, m. Un % saltó entre 7, m y 7, m. Un % saltó entre 7, m y 7,97 m. Un % saltó más de 7,97 m. 9

10 a las Enseñanzas Académcas 7 Estadístca nferencal Págna. Un fabrcante de tornllos desea hacer un control de caldad. Recoge uno de cada tornllos fabrcados y lo analza. El conjunto de tornllos analzados, es poblacón o muestra? Por qué? Los tornllos analzados consttuyen una muestra, pues solo se analza uno de cada cen tornllos fabrcados.. El responsable de caldad de una empresa que fabrca plas quere estudar la energía sumnstrada por cada pla hasta que se gasta. Puede hacer el estudo sobre la poblacón o debe recurrr a una muestra? Por qué? Debe recurrr a una muestra porque el estudo requere el consumo de las plas.. El dueño de un vvero tene plantas de nteror. Para probar la efcaca de un nuevo fertlzante, las mde todas antes y después del semestre que dura el tratamento. El conjunto de esas plantas, es poblacón o muestra? Por qué? Las plantas sería la poblacón. En este caso, es posble estudar toda la poblacón, no hace falta trabajar con una muestra.

11 a las Enseñanzas Académcas Págna. Se les ha pasado un test a los ndvduos de una muestra selecconada aleatoramente. Con los resultados obtendos se ha llegado a la sguente conclusón: La puntuacón meda que alcanzarían los ndvduos de toda la poblacón s se les pasara este test estaría entre,7 puntos y, puntos. Y esto lo podemos afrmar con un nvel de confanza del 9%. a) S el ntervalo que se dera fuera -,, el nvel de confanza sería del... 9% 9% 9% b) S quséramos un nvel de confanza del 99% y un ntervalo de la msma ampltud, cómo tendría que ser la muestra? De menos de De De más de a) 9 %, pues al amplar la longtud del ntervalo, tambén aumenta el nvel de confanza. b) De más de, pues cuanto mayor es la muestra, mayor es el nvel de confanza.

12 a las Enseñanzas Académcas Págna 7 Hazlo tú. Se ha preguntado a los estudantes de una clase por el número de personas que vven en casa. Los resultados son: 7 7 Resuelve los apartados del ejercco resuelto anteror para los datos de este. a) f f f meda: 7, desvacón típca: σ 7 7,,,, coefcente de varacón: C.V., 7, b) f F % ACUM. Q p,7 Me p, Q p 7 7 7,7 p 7 9, 7 9 9,7, p 9, p 99 7 c) 7 * * Q Me Q

13 a las Enseñanzas Académcas Págna Hazlo tú. Las longtudes (en cm) de una certa espece de plantas son las sguentes: a) Construye una tabla con datos agrupados en ses ntervalos de longtud que empecen en 9,. b) Representa el polígono de porcentajes acumulados y ayúdate de él para hallar Q, Me, Q, p 9 y p 9. En qué percentl está una planta de cm de longtud? c) Representa los datos en un dagrama de caja. a) INTERVALOS b) FRECUENCIAS EXTREMOS F % ACUM. 9,-,, 9,,,-,,,,,-7,,, 7, 7,-,, 7, 9,9,-9,,, 9,9 9,-,, 9, 9,9,, % p 9 % % Q Me Q p 9 p 9 Q, Me Q p 9, p 9 7 Planta de cm p 9 c) * Q Me Q

14 a las Enseñanzas Académcas Ejerccos y problemas Págna 9 Practca Tablas de frecuencas. El número de faltas de ortografía que cometeron un grupo de estudantes en un dctado fue: D cuál es la varable y de qué tpo es. Haz una tabla de frecuencas y representa los datos en un dagrama adecuado. Varable: Número de faltas de ortografía Es una varable cuanttatva dscreta. Llamamos a dcha varable y sus valores son,,,, y. Tabla de frecuencas: Dagrama de barras: f f. En una materndad se han tomado los pesos (en klogramos) de recén nacdos:,,,,,7,,,,,9,9,,,,,,,,,,9,,7,,,7,9,,,,,,,,9,,,9,,9,,,9,,7,,,,9, a) Cuál es la varable y de qué tpo es? b) Construye una tabla con los datos agrupados en ntervalos desde, hasta,. Localzamos los valores etremos:,9 y,9. Recorrdo,9,, a) Varable: peso de los recén nacdos. Tpo: cuanttatva contnua.

15 a las Enseñanzas Académcas b) INTERVALOS MARCA DE CLASE ( ) f,-,,-,,-,,-,,-,,-,,,,,,, 9 Meda, desvacón típca y C.V.. Halla la meda, la desvacón típca y el coefcente de varacón en estas dstrbucones: f INTERVALO f 9 7,-,,-,,-,,-,,-,,-, 7 f f f var.: Sf Sf,7 Sf,7, Sf σ,,7 C.V. q,9 9, % INTERVALOS f f f,-,,-,,-,,-,,-,,-,,,,,,, 7 7,,,, 7,,,9, 9,9, 9,,7,, var.:,,9,,, σ, 9, 9, C.V. 9,,, %

16 a las Enseñanzas Académcas. Los gastos mensuales de una empresa A tenen una meda de euros y una desvacón típca de euros. En otra empresa B, la meda es euros, y la desvacón típca, euros. Calcula el coefcente de varacón y d cuál de las dos tene más varacón relatva. Empresa A: σ C.V. q, o ben, % Empresa B: σ C.V.!, o ben,7 % Tene mayor varacón relatva la empresa B. Parámetros de poscón para datos aslados. La altura, en centímetros, de un grupo de estudantes de una msma clase es: Halla la medana y los cuartles y eplca el sgnfcado de estos parámetros. Colocamos los datos en orden crecente: Hay datos: 7 Medana: valor ntermedo de los dos centrales stuados en séptma y octava poscón: Me , cm Sgnfca que la mtad de los estudantes tene una estatura nferor a 7, cm., Q 7 cm (. lugar) El % de los estudantes mde menos de 7 cm de altura., Q cm (poscón ) El 7 % de los estudantes tene una estatura nferor a cm.. Halla la medana, los cuartles y el percentl en cada una de las sguentes dstrbucones correspondentes al número de respuestas correctas en un test realzado por dos grupos de estudantes: A: 7 B: Colocamos en orden crecente los datos: A Hay datos: La medana es el valor central (poscón ) Me

17 a las Enseñanzas Académcas,7 Q (. a poscón), Q (. a poscón) 9 p será el valor ntermedo de los datos stuados en 9. a y. a poscón, es decr: p 7 + p 7, B Hay datos: Los dos valores centrales son y Me, Q (. a poscón), Q 9 (. a poscón), p 7 (9. a poscón) + 7. Rellena la columna de los porcentajes acumulados en la sguente tabla. Calcula, a partr de la tabla, la medana, los cuartles y los percentles p 7 y p 9. f F % ACUM., 9, 7 7,7 9,9 7 Q Me Q p 7 p 9. En la fabrcacón de certo tpo de bombllas se han detectado algunas defectuosas. Se analza el contendo de cajas de bombllas cada una y se obtenen los sguentes resultados: DEFECTUOSAS 7 N. DE CAJAS 9 Calcula la medana, los cuartles y los percentles p, p 9 y p 9. Hacemos la tabla de frecuencas acumuladas. f F % ACUM ,, 9,, 7, 9, 99,, Para, F guala el %, luego la medana será el valor ntermedo entre y el sguente,, esto es, Me,. Q p Q p 7 p, p 9, p 9 7 7

18 a las Enseñanzas Académcas Págna Parámetros de poscón para datos agrupados en ntervalos 9. Este es el polígono de porcentajes acumulados de la dstrbucón del CI (cocente ntelectual) de un colectvo de personas: % 9 a) Asgna, de forma apromada, los valores de Q, Me, Q, p, p, p, p, p 9 y p 9. b) Cuántas personas (apromadamente) de este colectvo tenen un CI comprenddo entre y? Cuántas tenen un CI superor a? c) Qué percentl tene una persona con CI de? a) Q, p 9 p Me, p p 9 Q p 9 p 9 7, b) Un % tene un CI nferor a, es decr, % de personas. Un 9 % tene un CI nferor a, es decr, 9 % de 7 personas. Por tanto, hay unas personas con un CI entre y. Un % tene un CI nferor a, luego un % lo tendrá superor, es decr, % de personas. c) p. Las estaturas de un grupo de estudantes de la msma clase venen dadas en esta tabla: ALTURA N. DE ALUMNOS,-,,-,,-7, 7,-7, 7,-,,-,

19 a las Enseñanzas Académcas a) Elabora la tabla de frecuencas y porcentajes acumulados. Indca en la tabla, en lugar de los ntervalos, los etremos. b) Representa, a partr de la tabla, el polígono de porcentajes acumulados. c) Calcula, de forma apromada (sobre el polígono), la medana, los cuartles y los percentles p, p 9 y p 9. d) Qué percentl corresponde a un estudante de cm de altura? a) EXTREMOS F % ACUM. b) y c) %,,, 7, 7,,, 7 7,, 77, 7 9, 9 9% % 7% % % % % % % Q 7, Me 7, Q 7 p, p 9, p 9 9 p Q Me Q p 9 p 9 d) En la gráfca se puede observar que cm p, apromadamente. 9

20 a las Enseñanzas Académcas Dagramas de caja. Las puntuacones obtendas por 7 personas tenen los sguentes parámetros de poscón: Q,; Me, y Q,. Todas las puntuacones están en el ntervalo a 9. Haz el dagrama de caja. 7 9 Q Me Q. En una clase de estudantes de Prmara, las estaturas de de ellos están comprenddas entre cm y 79 cm. Los tres restantes mden cm, cm y cm. Sabemos que Q ; Me y Q 7. Representa los datos en un dagrama de caja. 7 7 ** * Q Me Q. Haz el dagrama de caja correspondente a las sguentes dstrbucones. a) La del ejercco. b) La A y la B del ejercco. c) La del ejercco 7. d) La del ejercco. a) Q 7; Me 7,; Q 7 (Q Q ), ( 7),, * * Q Me Q b) A: Q ; Me ; Q B: Q ; Me ; Q 9 A B

21 a las Enseñanzas Académcas c) Q ; Me ; Q Q Me Q d) Q ; Me,; Q 7 Q Me Q. A los estudantes de dos clases numerosas de un msmo centro les han puesto un test. Las notas venen reflejadas en los sguentes dagramas de caja: 9 A B a) Cuál de las clases es más homogénea? b) En cuál ha aprobado la mtad de la clase? c) En una de las clases, la tercera nota más alta ha sdo un,. De qué clase se trata? d) En qué clase las notas del % de los estudantes dferen en medo punto o menos? e) Cuál es el rango de las notas de cada clase? a) Es más homogénea la clase B. b) En la clase A ha aprobado eactamente la mtad de la clase. c) En la clase B, puesto que en la clase A el % tene notas entre y 7. d) En la clase B. e) En la clase A el rango es 9 7. En la clase B el rango es 9,,.. Calcula el valor del prmer cuartl correspondente al sguente dagrama de caja: 7, Q Me Q 7,,, :,,, por tanto, Q Q, Q,. Luego, Q,.

22 a las Enseñanzas Académcas Págna Muestreo. Se queren realzar estos estudos estadístcos: I. Tpo de transporte que utlzan los vecnos de un barro para acudr a sus trabajos. II. Estudos que pensan segur los estudantes de un centro escolar al termnar la. III. Edad de las personas que han vsto una obra de teatro en una cudad. IV. Número de horas daras que ven la televsón los nños y las nñas de tu comundad autónoma con edades comprenddas entre y años. V. Tempo de conversacón que aguantan las baterías de los móvles que fabrcan en una empresa. VI. Preferenca de emsora de rado muscal de los asstentes a un concerto. a) D en cada uno de estos casos cuál es la poblacón. b) En cuáles de ellos es necesaro recurrr a una muestra? Por qué? a) I Los vecnos del barro. II Alumnos y alumnas de la de un centro. III Personas que han vsto la obra. IV Nños y nñas de m comundad autónoma de entre y años. V Los móvles que fabrca la empresa. VI Los asstentes a un concerto. b) I Dependendo del número de vecnos del barro: s son pocos, poblacón; s son muchos, una muestra. Aunque tenendo en cuenta que es dfícl cogerlos a todos y que todos contesten a la encuesta, quzás sería mejor una muestra. II Poblacón. Con encuestas en clase en las que partcpan todos (obvamente, sempre falta alguno). III Muestra. Son muchas personas y sería noportuno molestar a tanta gente, se formarían colas IV Muestra. Son demasadas personas. V Es necesaro recurrr a una muestra para el estudo porque llevarlo a cabo requere el desgaste de las baterías. VI Será necesaro recurrr a una muestra.

23 a las Enseñanzas Académcas 7. Cómo se puede contar el número apromado de palabras que tene un certo lbro? Se selecconan, abrendo al azar, unas cuantas págnas y se cuentan las palabras en cada una. Se calcula el número medo de palabras por págna. Se da un ntervalo en el que pueda estar comprenddo el número total de palabras. Hazlo con alguna novela que encuentres en casa. Cuanto más homogéneas sean sus págnas, más precsón tendrás en el resultado. En un lbro de págnas, selecconamos al azar págnas. Contamos el número de palabras de estas págnas: 7,,,,. Calculamos el número medo de palabras: , En págnas, habrá palabras. El número de palabras del lbro estará entre y.. Para hacer un sondeo electoral en un pueblo de electores, apromadamente, se va a elegr una muestra de ndvduos. D s te parece váldo cada uno de los sguentes modos de selecconarlos y eplca por qué: a) Se le pregunta al alcalde, que conoce a todo el pueblo, qué ndvduos le parecen más representatvos. b) Se elgen personas al azar entre las que acuden a la verbena el día del patrón. c) Se selecconan al azar en la guía telefónca y se les encuesta por teléfono. d) Se acude a las lstas electorales y se selecconan al azar de ellos. a) No es váldo. Se trata de una eleccón subjetva. b) No es váldo. Probablemente haya grupos de edades mucho más representados que otros. c) Sí es váldo. d) Sí es váldo. Aplca lo aprenddo 9. El número de errores cometdos en un test por un grupo de personas vene reflejado en esta tabla: N. DE ERRORES N. DE PERSONAS 7 a) Halla la medana, los cuartles nferor y superor y los percentles p, p y p 9. Eplca su sgnfcado. b) Cuál es el número medo de errores por persona?

24 a las Enseñanzas Académcas Completamos la sguente tabla: a) p Q p p Me p p 9 Q p 7 N. DE ERRORES N. DE PERSONAS 7 F 7 9 % ACUMULADO,,9, 7,,7 9,9 p m n sgnfca que el m % de las personas comete un mámo de n errores. b) [ ], errores por persona. 9. Al preguntar a los membros de un grupo de lectura cuánto tempo dedcaron a leer durante un fn de semana, se obtuveron estos resultados: a) Dbuja el hstograma correspondente ( Atencón! Los ntervalos tenen dstntos tamaños y las frecuencas deben ser proporconales a las áreas de los rectángulos que forman el hstograma). b) Halla la meda, la desvacón típca y el coefcente de varacón. c) Dbuja el polígono de porcentajes acumulados. d) Halla Q, Me, Q y p 9. N. DE PERSONAS [;,) [,;,) [,;,) [,; ) [, ) [, ] TIEMPO EN HORAS e) A un membro del grupo que en ese fn de semana ha leído horas y cuarto, qué percentl le corresponde? f) Representa los datos en un dagrama de caja. a) Como los ntervalos no son de la msma longtud, para representar la dstrbucón medante un hstograma pondremos en cada barra una altura tal que el área sea proporconal a la frecuenca. f [;,) a, f h, [,;,) a f h [,;,) a f h [,; ) a, f h, [, ) a f h [, ] a f h,,, TIEMPO DEDICADO A VER T.V. DURANTE UN FIN DE SEMANA (h)

25 a las Enseñanzas Académcas b) TIEMPO f f f [;,) [,;,) [,;,) [,; ) [, ) [, ],,, 9 7,, 7,,7,, 7 9,,7 9, 7,, 7 σ 7, 9, 9, C.V. q 9, 7,, c) EXTREMOS F % ACUM.,,, 7,9,7 9,9 7, 7,7 9 % % % 7 9 Q Me Q p 9 d) Q, Me, Q,9 p 9, e) El membro que ha leído horas y cuarto está en el percentl p. f ) 7 9 * Q Me Q

26 a las Enseñanzas Académcas. Deseamos hacer una tabla de datos agrupados a partr de datos, cuyos valores etremos son 9 y. a) S queremos que sean ntervalos de ampltud 7, cuáles serán esos ntervalos? b) Haz otra dstrbucón en ntervalos de la ampltud que creas convenente. Recorrdo r 9 9 a) Buscamos un número mayor que r que sea múltplo de r' 7. Cada ntervalo tendrá longtud 7. Como r' r, comenzamos, antes del prmer dato y fnalzamos, después del últmo dato. Los ntervalos son: [,;,); [,;,); [,; 9,); [9,;,); [,;,); [,;,); [,; 7,); [7,;,); [,; 7,); [7,;,) b) Ahora buscamos un múltplo de mayor que 9 r'. Como r' r 9, comenzamos, antes del prmer dato y fnalzamos, después del últmo dato y cada ntervalo tendrá ampltud :. Los ntervalos son: [,;,); [,;,); [,;,); [,; 7,); [7,;,); [,;,); [,;,); [,;,); [,;,); [,;,); [,; 7,); [7,; 9,)

27 a las Enseñanzas Académcas Págna. En una urbanzacón de famlas se ha observado la varable número de coches que tene la famla y se han obtendo los sguentes datos: a) Construye la tabla de frecuencas. b) Haz el dagrama de barras. c) Calcula la meda y la desvacón típca. d) Halla la medana, los cuartles y los percentles p y p 9. e) Dbuja el dagrama de caja. a) f b) c) f f f 9, σ 9,, d) f F % ACUM. Q Me Q p p 9 e) * Q Me Q 7

28 . El número de personas que acuderon cada día a las clases de natacón de una pscna muncpal fueron: a las Enseñanzas Académcas 9 a) Elabora una tabla de frecuencas agrupando los datos en 7 ntervalos de ampltud empezando por,. b) A partr de la tabla anteror, haz la tabla con los etremos y los porcentajes acumulados. c) Dbuja en un papel mlmetrado el polígono de porcentajes acumulados. d) Calcula apromadamente, a partr del polígono del apartado anteror, la medana, los cuartles y los percentles p, p 9 y p 99. e) A qué percentl corresponde un día que acuderon 7 personas? a) Agrupamos los datos en 7 ntervalos de longtud. b) INTERVALOS f f f,-,,-,,-,,-,,-,,-,,-, EXTREMOS F % ACUM.,,,,,,,, 7 7,9,7, 9,7, 9 c) % % % d) Los valores apromados son: Q, Me 9 Q, p p 9 p 99 e) El percentl que corresponde a un día en el que acuderon 7 personas es p puesto que nngún día acuden más de personas.

29 Resuelve problemas a las Enseñanzas Académcas. Se ha meddo el nvel de colesterol en cuatro grupos de personas sometdas a dferentes detas. Las medas y las desvacones típcas son las de la tabla: DIETA A B C D,, 9,, σ 7,,,, Asoca a cada deta la gráfca que le corresponde. Observamos que las gráfcas y muestran dstrbucones con una meda nferor a, mentras que las gráfcas y muestran dstrbucones con una meda superor a. Por tanto: A y C y ; B y D y Por otro lado, los datos en la gráfca están más dspersos que en la gráfca, por tanto, la desvacón típca es mayor. Así: C ; A De gual forma, los datos están más dspersos en la gráfca que en la gráfca y, por tanto: B ; D.. En un grupo de estudantes, cada uno cuenta el número de personas y el número de perros que vven en su portal. Juntan sus resultados y obtenen una muestra con la que se puede estmar el número de perros que hay en su cudad. Por ejemplo, supongamos que en su observacón obtenen un total de 77 personas y 9 perros. Y saben que en su cudad vven 7 personas. a) Con estos datos, cuántos perros estman que habrá en la cudad? b) Te parece que el procedmento de eleccón de muestra es estadístcamente correcto? Es aleatora? c) Tenendo en cuenta la eleccón de muestra, cómo de fable es esta estmacón? a) perros 77 b) No es correcto el procedmento de eleccón de la muestra porque se lmta a una zona de la cudad, donde vven los estudantes que acuden a ese centro educatvo. No es aleatora. c) Sería poco fable la estmacón puesto que la muestra no es representatva.. Para hacer un estudo sobre los hábtos ecológcos de las famlas de una cudad, se han selecconado por sorteo las dreccones, calle y número, que serán vstadas. S en un portal vve más de una famla, se sorteará entre ellas la que será selecconada. Obtendremos con este procedmento una muestra aleatora? Pensa s tene la msma probabldad de ser ncluda en la muestra una famla que vve en una vvenda unfamlar que otra que vve, por ejemplo, en un portal de vvendas. No se obtene una muestra aleatora, porque una famla que vve en una vvenda unfamlar tene más probabldades de ser elegda que una famla que vve en un bloque de vvendas. 9

30 a las Enseñanzas Académcas Págna Problemas + 7. Se ha pasado un test de preguntas a personas. La frecuenca y el porcentaje acumulado de respuestas correctas se refleja en la sguente tabla: Hallamos Q así:, 9, 7, EXTREMOS FREC. ACUM. % ACUM.,,7,7 7 9,, 7,7 7, 7 9,,,, 9,% %,7%, Q, a) Calcula, de gual forma, Me, Q, p y p. b) Cuál es el percentl de una persona que tene respuestas correctas?, a) Cálculo de Me:,7% %,% Cálculo de Q : 7,% 7%,7% Cálculo de p : 9,% %,7%, 7,,, 7,, Me, 7, 7 7,, 7,, 9, Q 9,, 7 9,, 7,,, p,

31 a las Enseñanzas Académcas Cálculo de p : 9,% % 7,% 7 7, 9, 7, 9,,,7 p,7 b) 9,% 9, 7, 7,% 7,,7 7, +,7, p. En una fábrca se ha meddo la longtud de pezas de las msmas característcas y se ha obtendo: LONGITUD (en mm) N. DE PIEZAS 7,-7, 7,-77, 9 77,-, 79,-7, 7,-9, a) Representa el hstograma correspondente. b) Se consderan aceptables las pezas cuya longtud está en el ntervalo [7, ]. Cuál es el porcentaje de pezas defectuosas? Del.º ntervalo habrá que rechazar las que mdan entre 7, y 7. Calcula, como en el ejercco anteror, qué tanto por cento de la ampltud representa la dferenca 7 7, y calcula el porcentaje de la frecuenca correspondente. Haz lo msmo para el.º ntervalo. a) Por tener todos los ntervalos la msma longtud, la altura de cada una de las barras concdrá con la frecuenca de cada ntervalo. f 7 7, 7, 77,, 7, 9, LONGITUD (mm)

32 a las Enseñanzas Académcas b) Construmos la tabla de frecuencas absolutas acumuladas: INTERVALO f F EN % 7, - 7, 7, - 77, 77, -,, - 7, 7, - 9, , 9 99 Calculamos el porcentaje de pezas que hay por debajo de 7 mm:,%, 7, 7 77,, 9,% 9,,7, Por debajo de 7 mm están el,7 +,, % de las pezas. Calculamos el porcentaje de pezas que están por debajo de mm: 9%,, 7, 99 9 % 7, Por debajo de mm están el % de las pezas. El porcentaje de pezas que hay en el ntervalo [7, ] es: 9, 9,7 % Por tanto, el 9,7 9, % de las pezas serán defectuosas. 9. De una muestra de 7 plas eléctrcas, se dan estos datos sobre su duracón: a) Halla y σ y calcula el porcentaje de plas que hay en el ntervalo ( σ, + σ). b) Calcula Q, Me, Q, p, p y p 9. TIEMPO (en horas) N. DE PILAS a) f f f 7,, 7,,,,, 77, 9 7,7, 9, 7 7, 7 97, 9,7 σ 97, 7, 9, 7 7 σ, + σ,,, 9 En el ntervalo (,;,) hay, apromadamente, plas, lo que supone un, %.

33 a las Enseñanzas Académcas b) EXTREMOS F % ACUM ,7, % % 9, Q +, 7, % 7% % 7 9 9, Me +,, 9% 7% 7% , Q +,, 9% 9% % 9 %,9 p +,9,9

34 a las Enseñanzas Académcas 7% % 7 9 9, p +,, 9% % 9% 9% , p 9 +,, Refleona sobre la teoría. Completa la tabla de esta dstrbucón en la que sabemos que su meda es,7. Llamamos z a la frecuenca absoluta del dato. Aplcamos la defncón de la meda: Sf,7 + z + + Sf + z,7 ( + z) + z, +,7z + z,7z, z f 7. S a todos los datos de una dstrbucón le sumamos un msmo número, qué le ocurre a la meda? Y a la desvacón típca? Y s multplcamos todos los datos por un msmo número? Llamamos a al valor sumado a cada dato de la dstrbucón: meda ( + a) f + ( + af ) + + ( k + a) f k n ( ) f+ f+ + k fk + af+ f+ + fk n S f S f n + a n Sf + a, puesto que n n n La nueva meda es el valor de la meda orgnal más el valor que hemos sumado a cada dato.

35 a las Enseñanzas Académcas desvacón típca: Sf( + a) Sf ( + a) Sf + Sfa + Sfa Sf a a Sf + a S f + a a a Sf Sf La desvacón típca no se ve alterada al sumar a todos los datos de la dstrbucón un msmo número. Supongamos ahora que todos los datos se multplcan por un msmo valor a: meda: a f + a f + + a f n desvacón típca: Sf( a) Sf ( a) k k a Sf Sf a la meda queda multplcada por dcho valor. a a e Sf Sf La varanza quedaría multplcada por a, luego la desvacón típca queda multplcada por a. o. a) Justfca que la suma de las frecuencas relatvas es sempre gual a. b) Justfca tambén que la suma de las frecuencas porcentuales es. a) Supongamos que tenemos n datos: f f f fr fr fr n n k k n f + + f n k n n f b) Las frecuencas porcentuales son n : f fk ( f+ + fk) n + + n n. La empresa A, con trabajadores, tene un ngreso anual medo por persona de, y la empresa B, con 7 trabajadores, tene un ngreso anual medo de. S las dos empresas se fusonan, cuál será el ngreso anual medo tras la fusón? 7 y personas será el ngreso anual medo tras la fusón.

36 a las Enseñanzas Académcas. La nota meda de los aprobados en un eamen de matemátcas ha sdo,, y la de los suspensos,,. Calcula la nota meda de la clase sabendo que hubo aprobados y suspensos. Suma totalnotas aprobados, Suma total notas probados Suma totalnotas suspensos, Suma total notas suspensos, Nota meda de la clase +,, +. La estatura meda de los estudantes de una clase es de cm. Las 7 chcas mden cm de meda. Calcula la meda de los chcos. Suma estatura chcas Suma estatura chcas 7 7 Suma estatura chcos + 7 Suma estatura chcos Por tanto, la meda de los chcos será: 7, cm 7

37 a las Enseñanzas Académcas Págna Lee, resuelve y aprende por tu cuenta Terrenos, rebaños y gráfcas En la lustracón puedes ver una fnca con su rebaño. Observa tambén que tene una zona pantanosa en la que solo entran algunas reses despstadas. A En la gráfca que hay debajo se ha representado la dstrbucón de los anmales sobre el terreno. N. DE PARCELAS N. ACUMULADO DE RESES N. ACUMULADO DE RESES P N. DE PARCELAS Así, por ejemplo, el punto P (, ) ndca que las prmeras parcelas (las más deshabtadas) albergan reses. Dbuja, con el msmo crtero, las curvas relatvas a las fncas B y C. Cuál de las dos se acerca más a la dagonal del cuadrado? B C Fnca B N. DE PARCELAS N. ACUMULADO DE RESES Fnca C N. DE PARCELAS N. ACUMULADO DE RESES 7

38 a las Enseñanzas Académcas N. ACUMULADO DE RESES FINCA B N. ACUMULADO DE RESES FINCA C N. DE PARCELAS N. DE PARCELAS Cuántos abarcan cuánto? Puedes dentfcar el país que corresponde a cada gráfca? A País desarrollado gráfca azul. B País del Tercer Mundo gráfca verde. C País deal gráfca roja. PORCENTAJE ACUMULATIVO DE LA RIQUEZA % % PORCENTAJE ACUMULATIVO DE LA POBLACIÓN Sabías que S meteras en un bombo todas las letras de las dos líneas que estás leyendo y sacaras una al azar, cuál de ellas tendría mayor probabldad de ser elegda? Contando las letras de las dos líneas, resulta: (a, ); (e, 7); (s, ); (l, ); ; a partr de aquí, el resto de letras, a smple vsta, se observa que aparecen menos. Por tanto, la letra con mayor probabldad en la etraccón del bombo sería la a. Qué letra es la más usada en castellano? Dseña un proyecto para averguarlo. Para estmar la letra más usada en castellano, se sugere apelar a la creatvdad de los alumnos. Un camno podría ser: a) Abrr una novela actual por cualquer págna, al azar. b) Asgnar dos líneas a cada alumno de la clase, para que cada uno repta con ellas el msmo trabajo realzado en la actvdad anteror. c) Reunr los datos recogdos por el grupo. d) Sacar conclusones.

39 a las Enseñanzas Académcas Págna Entrénate resolvendo problemas Un encuestador ha preguntado a un grupo de personas sobre sus gustos a la hora de elegr el lugar para salr de vacacones. Los resultados han sdo: A les gusta la playa. PLAYA MONTAÑA A les gusta la montaña. A 7 les gustan ambos ambentes; es decr, la playa y la montaña. 7 manfestan que no les gusta n lo uno n lo otro, por lo que no salen de vacacones o van al etranjero. Cuántas personas fueron encuestadas? PLAYA MONTAÑA PLAYA MONTAÑA PLAYA MONTAÑA Se encuestó a personas. En un zoológco esten dos tpos de vstas: A. anmales al are lbre B. nstalacones nterores Se ha hecho un nforme en el que se dce: El 7 % de los clentes vsta a los anmales que están al are lbre. El 7 % vsta las nstalacones nterores. El % efectúa ambas vstas. El drector, al leer el nforme, pde a la persona que lo ha redactado que lo revse, pues ndudablemente tene que haber un error. Se comprueba que el error está en el porcentaje de los asstentes a las nstalacones nterores. Corrge tú el error. 7% 7% % % % AIRE LIBRE INST. INT. AIRE LIBRE INST. INT. Es claro que hay un error, ya que % + % + % %. AIRE LIBRE % % INST. INT. Aquí debe haber un %. (% % % %) Por tanto, las nstalacones nterores fueron vstadas por un % + % % (Hemos supuesto que todos los clentes vstaron al menos una de las dos nstalacones. En otro caso, no habrían pagado la entrada.) 9

40 Autoevaluacón. La edad de los vstantes de una eposcón está recogda en la tabla de la derecha: a) Representa los datos en un gráfco adecuado. b) Halla la meda, la desvacón típca y el C.V. a las Enseñanzas Académcas EDAD N. DE VIS a) N.º DE VISITANTES EDAD (años) 7 b) INTERVALO f f f , 9 7 σ 7, 9, 9 7 C.V., 9 7, 9 9, 9 %. a) Calcula, σ, C.V, medana, cuartles y percentles y de las notas de estos estudantes: 9 7 b) Representa los datos en un dagrama de barras. a) f f f F % ACUM. 9, σ 79 7,, C.V. q,,9 9, Me Q, p 7, b) 9 79 Q p 7 9

41 a las Enseñanzas Académcas. A partr de los cuartles y de la medana de los datos del ejercco anteror, representa un dagrama de caja y bgotes. 7 9 Q Me Q. Calcula la medana y los cuartles de la sguente dstrbucón. Represéntalos en un dagrama de caja. f 9 7 f F % ACUM ,, 7,, 9,, Me, porque para la F supera el %. Q, porque F supera el % para. Q, porque F supera el 7% para. Q Me Q. Esta tabla muestra los pesos de estudantes: a) Represéntalos en un hstograma. b) Calcula la medana y los cuartles y estma los percentles que corresponden a kg, kg y 7 kg. a) PS FRECUENCIA,-,,-9, 9,-,,-, 9,-7, 7,-77,,, 9,,, 7, 77,

42 a las Enseñanzas Académcas b) EXTREMOS F % ACUM.,, 9,,, 7, 77,, 7, 9 Cálculo de la medana, cuartles y percentles correspondentes a kg, kg y 7 kg., 9,,7 Me 9, +,7, 9,, Q, + 7,,,, Q 7, +, 9, Percentl que corresponde a kg:,,, +,, p, Percentl que corresponde a kg:,,, +, 7, p, 77 Percentl que corresponde a 7 kg: 9 7,,, +, 9, p 7, 9. Indca, en cada caso, s hay que recurrr a la poblacón o tomar una muestra. Razona por qué. a) Estudo del número de suspensos de los estudantes de.º de un centro docente. b) Estudo del tempo de caducdad de los cartones de leche de una fabrca de envasar. c) Estudo de las rentas anuales, gastos mensuales, hábtos de la poblacón de un certo país. d) Encuesta electoral a pe de urna en unas eleccones. En aquellos casos en los que haya que recurrr a muestras, descrbe una forma razonable de selecconarlas. a) Poblacón. Podemos comprobar el resultado de todos los ndvduos objeto de nuestro estudo. b) Muestra. No se puede controlar la caducdad de todos los cartones. Para selecconar una muestra se elgen de forma aleatora los cartones que se envasan y se hace un segumento de su tempo de caducdad. c) Muestra. No se puede controlar toda la poblacón de un país. Para selecconar una muestra se toman del censo de forma aleatora el número de habtantes a estudar. d) Muestra. No se puede preguntar absolutamente a todas las personas que van a votar. Se pueden escoger aleatoramente de entre los votantes de un conjunto representatvo de colegos electorales.