FAyA Licenciatura en Química Física III año 2006 MECANICA CUANTICA

Transcripción

1 FAyA Licciatura Química Fíica III año 006 MECANICA CUANTICA E la mcáica cláica l tado d u itma dcrib u itat dtrmiado dado toda u coordada q y u vlocidad q. E mcáica cuática l tado d u itma dfi dado ua dtrmiada fució ( gral complja) d la coordada, co la particularidad qu l cuadrado dl módulo d ta fució dtrmia la ditribució d probabilidad d lo valor d la coordada, * dq dq. Eta xprió o da la probabilidad d qu ua mdició ralizada obr l itma, dé como rultado l valor d u coordada l lmto dq dl pacio d cofiguracio. La fució llama fució d oda dl itma. OPERADORES Ua variabl diámica qu pud r mdida, domia la cuática u obrvabl y rprtado por u oprador matmático. U oprador u t matmático qu raliza ua acció obr ua fució. E gral cuado u oprador actúa obr ua fució (la cual pud r complja), l rultado otra fució A f g, l oprador A actúa obr la fució f y l rultado la fució g. Pro, cirto cao l rultado la mima fució multiplicada por ua cotat, a ta fucio la domia autofucio y a la cotat autovalor dl oprador. A f w f co w cotat, a ta cuació la cooc como cuació d autovalor. E gral la cuació d autovalor o A f w f, dod la autofucio f y lo autovalor w o todo ditito, formado la autofucio u cojuto complto d fucio dl oprador. Lugo podmo darrollar cualquir fució g como ua combiació lial d toda la autofucio g c f =,,3,... U cao pcial cuado u cojuto d autofucio ti l mimo autovalor A f wf =,,..., k a t cojuto d autofucio lo domia dgrado. CONMUTADOR S dfi l comutador d do oprador como A, B AB B A d la dfiició d comutador pud cocluir qu i do oprador comuta, ti l mimo cojuto d autofucio. Mag. Carlo Albrto Cattao Lic. Eriqu Marti Biaoi

2 FAyA Licciatura Química Fíica III año 006 OPERADORES DE LA MECANICA CUANTICA E la mcáica cuática l oprador poició tá rprtado por x x para ua dimió coordada cartiaa r r para l cao tridimioal El oprador catidad d movimito lial o momto lial tá rprtado por d p x i para ua dimió coordada cartiaa dx p i para l cao tridimioal dod la cotat d Plack dividida por do pi, h. p p El oprador rgía ciética d ua partícula d maa m, E quda c m d d E c i para ua dimió m dx m dx E c para l cao tridimioal m El oprador para la rgía total dl itma l oprador Hamiltoiao H E c E p para ua partícula d maa m moviédo ua dimió coordada cartiaa d H V ( x) m dx y i la partícula muv l pacio tridimioal u Hamiltoiao H V m ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER Para u itma fíico la mcáica cuática, la fució d oda ( r, r,..., t) dtrmia compltamt l tado dl itma u timpo t, to igifica qu o ólo dfi la propidad dl itma dicho itat, io qu tambié dtrmia u comportamito todo lo itat futuro, aturat ólo co l grado d plitud qu prmit la mcáica cuática. La fució d oda d u itma cutra rolvido la cuació d Schrödigr i H t a ta cuació la cooc como la cuació d Schrödigr dpdit dl timpo y la fució d oda dpdit dl timpo. Lo tado d u itma l cual l Hamiltoiao o dpd xplícitamt dl timpo, po valor d rgía co valor dtrmiado, to tado llama tado Mag. Carlo Albrto Cattao Lic. Eriqu Marti Biaoi

3 FAyA Licciatura Química Fíica III año 006 tacioario dl itma. Eto tado dcrib por mdio d fucio d oda (r ), la cual o olucio d la cuació d Schrödigr idpdit dl timpo. H E ta ua cuació d autovalor dl oprador Hamiltoiao, la cual o la autofucio y E lo autovalor d la rgía. Lo valor d rgía (E ) o úmro ral, y la fucio d oda ( ) forma u cojuto complto d fucio ortoormal, d tal forma qu md m todol pacio dod ij la fució dlta d Kroktt, m = i m, m = 0, i m S dfi como tado fudamtal d u itma, al tado tacioario qu po l mor d todo lo valor poibl d rgía. La fucio d oda dpdit dl timpo o i Et ( r, t) ( r) La ditribució d la probabilidad d la coordada u tado tacioario tá dtrmiada por l cuadrado dl módulo d la fució d oda, y ta ditribució o dpd dl timpo. El valor mdio o valor d xpctació d cualquir magitud fíica, cuyo oprador o dpda xplícitamt dl timpo A A d A. NOTACIÓN DE DIRAC Ua otació má implificada la otació d Dirac, la cual rprtamo la itgral como m A A d l ímbolo domia kt, y rprta a la fució d oda, y l ímbolo m domia bra y rprta a l compljo cojugado d la fució d oda m m. MOMENTO ANGULAR El oprador momto agular tá rprtado por L r ( i) E importat dtacar qu mcáica cuática, importat coocr l cuadrado dl módulo dl oprador momto agular L, y ua compot d t la qu lgimo como la compot z, L z. Para aalizar l momto agular d ua partícula covit trabajar coordada férica, co lo cual utro oprador d itré quda Mag. Carlo Albrto Cattao Lic. Eriqu Marti Biaoi 3

4 FAyA Licciatura Química Fíica III año 006 L ( ) ( ) ( ) L z i otmo qu to do oprador ólo dpd d la do coordada agular. Ambo oprador ti l mimo cojuto d autofucio, la cual domia armóico férico (, ) im (l )( l m )! Pl ( l m)! m (co( ))( ) m m m dod P l (co( )) l poliomio aociado d Lgdr ormalizado. La cuacio d autovalor quda L l( l ) Y codició L z m Dod l pud r cro o u tro poitivo, y m ti u valor rtrigido a la m l, o m l, l,..., l, l U tado cuático rprtado por la fució, lo rprtarmo como. ATOMO DE HIDRÓGENO Coidrmo l problma d do curpo l lctró d maa m y l protó d maa m p ido éta aproximadamt 000 vc mayor a la maa dl lctró. La maa mm p rducida dl itma m. El ctro d maa dl itma cutra muy m mp próximo a la poició dl protó, por lo qu coidrará la rgía ciética d la maa rducida E C. La rgía potcial dl itma la rgía potcial coulombiaa d do partícula cargada, por lo tato la rgía potcial fució dl Z módulo d la ditacia d paració d la do partícula E p. 4 0r La cuació d Schrödigr para l átomo d hidrógo quda Z E 4 r 0 Mag. Carlo Albrto Cattao Lic. Eriqu Marti Biaoi 4

5 FAyA Licciatura Química Fíica III año 006 i la cribimo coordada férica L Z E r r r r 4 0r Si utilizamo paració d variabl para la fució d oda ua part radial y otra agular r,, Rl (, ), y rcordamo qu lo armóico férico o autofucio dl oprador L, obtmo la iguit cuació d Shrödigr para la part radial R R l( l ) Z R R ER r r r r 4 0r La fucio d oda radial o ( l )! l l Rl L ( ) 3 l! 4 Z l Dod r y L ( ) l poliomio aociado d Lagurr Lo úmro cuático pud tomar lo iguit valor =,,3,4,... l = 0,,,..., - m = -l,-l+,...,l-,l Lo valor d lo autovalor d la rgía aociado co la fució d oda 4 Z radial o E. Como v, para cada valor d, tmo valor ditito d l, y para cada uo d to valor d l tmo l+ valor d m, co lo cual rulta qu para cada ivl rgético dl átomo d hidrógo E l corrpod fucio d oda, to qu cada ivl rgético ti u grado d dgració d. ESPIN La partícula cuática ti u movimito agular itríco, apart dl momto agular orbital; a t momto agular itríco lo domia momto agular d pí o implmt pí. Lo oprador d itré rlacioado co l pí o Ŝ l cuadrado dl módulo dl momto agular total d pí d la partícula y Ŝ corrpodit a la compot z dl momto agular d pí d la partícula. Z Como l pí u momto agular, lo valor propio o autovalor d 3 ( ) co 0,,,... y lo Ŝ Z o m co m,,...,, Ŝ o Mag. Carlo Albrto Cattao Lic. Eriqu Marti Biaoi 5

6 FAyA Licciatura Química Fíica III año 006 Lo lctro ti u úico valor d pí, co lo cual lo valor propio d la compot z dl pí o, y ; lo valor d m corrpod al pí hacia arriba o pí up, y lo valor d m corrpod al pí hacia abajo o pí dow. La fucio propia o autofucio d Ŝ y Ŝ Z dota co y para l pí up y dow rpctivamt, tal qu S z S z 3 3 S S 4 4 FUNCION DE ONDA COMPLETA DEL ELECTRÓN Si tomamo como variabl d la cual dpd la fucio d oda dl pí a m, tmo m ), y m ). Podmo cotruir la fucio d oda complta ( ( para u lctró, icluydo la variabl pacial y d pí r,,, m ) m m r,,, m Rl (, ) ( m) r,, m R (, ) ( m ) para pí up, l m ( para pí dow Co to uvo cojuto d fucio d oda, la dgració d lo ivl d rgía dl átomo d hidrógo paa a r. PRINCIPIO DE INCERTEZA DE HEISENBERG El pricipio d icrtza d Hibrg o dic qu px h o Et h lo qu o dic qu h l volum qu ocupa u úico tado l pacio d la fa. Mag. Carlo Albrto Cattao Lic. Eriqu Marti Biaoi 6