IES Francico Ayala Examen modelo 1 del Libro 1996_97 con soluciones Germán Jesús Rubio luna. Opción A

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1 Opción A Ejercicio n 1 de la opción A del modelo 1 del libro 96_97 De una función continua f : R R se sabe que si F : R R es una primitiva suya, entonces también lo es la función G dada por G(x) 3 - F(x). Puedes determinar f(33)? y f()? y el valor de 33 f ( x) dx? Justifica la respuestas y en los casos de respuesta afirmativa calcula los correspondientes valores. f es continua, y F es una primitiva suya por tanto F(x) f(x) dx con F (x) f(x) Como G(x) también es primitiva de f(x), G(x) f(x) dx con G (x) f(x). Sabemos que dos primitivas se diferencian en una constante y además el ejercicio nos dice que G(x) 3 F(x). Derivando esta expresión tenemos G (x) f(x) (3 F(x)) f(x), es decir f(x) - f(x) de donde 2f(x) y f(x) De f(x) tenemos f(33) y f() f(x) dx dx [ K ] 33 K K Ejercicio n 2 de la opción A del modelo 1 del libro 96_97 La recta de ecuación 3x -y +2 es tangente a la parábola de ecuación y ax 2 + c en el punto P (1,). (1) [1 PUNTO]. Calcula las constantes a y c de la ecuación de la parábola describiendo el procedimiento que sigas. (2) [' PUNTOS]. Dibuja la región plana limitada por la parábola dada y la recta cuya ecuación es 2y 6x +. (3) [1 PUNTO]. Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior. (1) Como 3x -y +2 es tangente a la parábola de ecuación y ax 2 + c en el punto P (1,), tenemos dos condiciones una es f(1) siendo f(x) ax 2 + c y la otra es f (1) 3, porque f (1) es la pendiente de la recta tangente, que es y 3x + 2, y la pendiente de y 3x + 2 es y 3, de donde f (1) 3. f(x) ax 2 + c f (x) 2ax De f(1) a(1) 2 + c a + c a + c De f (1) 3 3 2a(1) a 3/2 con lo cual 3/2 + c, y despejando c - 3/2 7/2. La función pedida es f(x) (3/2 )x 2 + 7/2 (2) La gráfica de la parábola f(x) (3/2 )x 2 + 7/2 es igual que la de la parábola x 2 pero un poco mas estrecha y desplazada 7/2 unidades hacia arriba en ordenadas. Para obtener la gráfica de la recta 2y 6x +, que es y 3x + /2 le damos un para de valores a x y obtenemos el corr4spondiente valor de la y, por ejemplo x y /2; x 1 y 11/2 Las graficas pedidas son (3) Para calcular el área encerrada por las dos funciones veamos antes los puntos donde coinciden y 3x + /2 y f(x) (3/2 )x 2 + 7/2, resolviendo la ecuación 3x + /2 (3/2 )x 2 + 7/2 (3/2 )x 2 + 7/2-3x - /2 (3/2 )x 2-3x + 1 3x 2-6x + 2 La ecuación 3x 2-6x + 2 tiene de soluciones x 1 1 ( 3)/3 y x ( 3)/3, luego el área pedida es 1+ [3x + /2 - (3/2 )x 2-7/2 ] dx german.jss@gmail.com 1 [ - (3/2 )x 2 + 3x - 1] dx [ - (1/2)x 3 + (3/2)x 2 x ] (1+( 3)/3 (1 ( 3)/3 [ {- (1/2)( 1 + ( 3)/3) 3 + (3/2)( 1 + ( 3)/3) 2 (1 + ( 3)/3)} -

2 - {- (1/2)( 1 ( 3)/3 ) 3 + (3/2)( 1 ( 3)/3 ) 2 (1 ( 3)/3 )}] 3849 u.a. Ejercicio n 3 de la opción A del modelo 1 del libro 96_97 1 Considera las matrices A e I (1) [1 ' PUNTOS]. Calcula una matriz X tal que A 2 + AX I. (2) [I PUNTO]. Calcula, si existe, la inversa de X. 1 (1) A e I ; que A 2 + AX I. que A 2 AA AX I A Como A y det -1, existe la matriz inversa de A, A 1 A 1 (1/ A ).Adj(A t ) ; A t 2-1 Adj(A t -1-1 ) ; A 1 (1/ A ).Adj(A t ) (1/-1) De AX I A 2 X A 1.(I A ) (2) Para que exista la matriz inversa de X, det(x) tiene que se distinto dce cero -1 det(x) det 1, luego existe la matriz inversa de X, X 1 X 1 (1/ X ).Adj(X t ) ; X t -1 Adj(A t -1 ) ; X 1 (1/ X ).Adj(X t -1 ) (1/+1). -1 Ejercicio n 4 de la opción A del modelo 1 del libro 96_97 (1) [1 PUNTOS]. Explica cómo se puede hallar el área de un triángulo a partir de las coordenadas de sus vértices en el espacio tridimensional. (2) [1' PUNTOS]. Aplica dicho procedimiento para hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A (-1,,), B (1,,1), y C (,2,3). Con el triángulo ABC formamos el paralelogramo determinado por los vectores AB y AC. Sabemos que el módulo del producto vectorial AB x AC es el área del paralelogramo determinado ppor dichos vectores (es la interpretación geométrica del producto vectorial), por tanrto el área delk triángulo es la mitad del área dedl3 paralelogramo, es decir Área triángulo ABC (1/2). ABxAC unidades de área (u.a.) (2) A (-1,,), B (1,,1), y C (,2,3). AB (2,,1) AC (1,2,3) i j k ABxAC 2 1-2i j + 4k (-2,-,4); ABxAC ( ) (4) Área triángulo ABC (1/2). ABxAC (1/2). (4) u.a. german.jss@gmail.com 2

3 Opción B Ejercicio n 1 de la opción B del modelo 1 del libro 96_97 Supongamos que el rendimiento r de una alumna en un examen que dura una hora viene dado por la relación r(t) 3t (1- t) donde t, con t 1, es el tiempo medido en horas. (1) [1 PUNTO]. En qué intervalos aumenta el rendimiento y en qué intervalos disminuye? (2) [1 PUNTO]. En qué momento se obtiene mayor rendimiento y cuánto vale? (3) [' PUNTOS]. En qué momentos el rendimiento es nulo? (1) Tenemos que estudiar la primera derivada de r(t) 3t (1- t), con t 1 para ver la monotonía r(t) 3t (1- t) 3t 3t 2, con t 1 r (t) 3 6t, con t 1 r (t) 3 6t, de donde t 1/2 Como r () 3 >, r(t) crece en (,1/2) Como r (1) - 3 <, r(t) decrece en (1/2, ) Por definición t 1/2 es un máximo relativo (2) y (3) Para ver el rendimiento máximo y mínimo tenemos que ver el valor de la función r(t) en los extremos relativos t 1/2, en los extremos del intervalo t y t 1, y en los puntos donde no es comntinua o no es derivable que no es nuestro caso r(t) 3t 3t 2 r() r(1/2) r(1) 3 3 El rendimiento nulo lo tiene en t y t 1 El rendimiento máximo lo tiene en t 1/2 y vale 7 Ejercicio n 2 de la opción B del modelo 1 del libro 96_97 De la gráfica de la. función polinómica f : R R. Dada. Por f(x) x 3 + ax 2 +bx +c se conocen los siguientes datos: que pasa por el origen de coordenadas y que en los puntos de abscisas 1 y -3 tiene tangentes paralelas a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes. (1) [1 PUNTO] Calcula a, b y c. (2) [1' PUNTOS] Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la función f y el eje de abscisas y calcula su área. (a) Como pasa por el origen de coordenadas, tenemos f() Como en los puntos de abscisas 1 y -3 tiene tangentes paralelas a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes, tenemos f (1) f (- 3) - 1, puesto que f es la pendiente de la rectga tangente y la bisectriz del 2º y 4 º cuadrante es y - x que tiene de pendiente 1 (y - 1). f(x) x 3 + ax 2 +bx +c f (x) 3x 2 + 2ax +b De f() c De f (1) a + b De f (- 3) a + b Resolviendo este sistema obtenemos a 3 y b -1 Luego la función pedida es f(x) x 3 + 3x 2-1x (b) Para dibujar su gráfica calculamos sus puntos de corte con los ejes f() corte (,) x 3 + 3x 2-1x x(x 2 3x 1), de donde x y x 2 3x 1. Resolviendo x 2 3x 1 obtenemos x 2 y x -, luego los puntos de corte son (-,) y (2,) lim x lim x - f(x) lim x f(x) lim x - (x 3 ) + (x 3 ) - Con estos datos ya podemos dibujar la gráfica de f(x) que es german.jss@gmail.com 3

4 Área f(x) dx - f(x) dx [ x 3 + 3x 2-1x ] dx - [ x 3 + 3x 2-1x ] dx [x 4 /4 + x 3 x 2 ] - - [x 4 /4 + x 3 x 2 ] 1 37/4 (-1/4) 19/2 97 u.a. Ejercicio n 3 de la opción B del modelo 1 del libro 96_97 Estudia el siguiente sistema según los valores del parámetro k e interpreta geométricamente los resultados: 2x + 2y + (k+2)z - x + y 2z 3x + ky 6z k 2 2 k k+2 - Sea M y M * la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada. 3 k -6 3 k -6 k 2 2 k+2 M k + k 2 3 k -6 german.jss@gmail.com 4 M k + k 2, de donde k -6 y k 3 Si M es decir k -6 y k 3, por el Teorema de Rouche el sistema es compatible y determinado porque rango(m) rango(m * ) 3, la solución es única y los tres planos se cortan en un punto. Si k M y M * En M, M, y como , rango(m) En M * como , rango(m * ) 3 Por el Teorema de Rouche rango(m) 2 rango(m * ) 3, el sistema es incompatible y no tiene solución en comun los tres planos. Veamos la posición relativo de los planos dos a dos estudiando la proporcionalkidad o no de sus vectores normales. En π 1 y π 2 como 2/1 2/1-4/-2 -/, los planos son paralelos y distintos En π 1 y π 3 como 2/3 2/(-6), los planos se cortan en una recta En π 2 y π 3 como 1/3 1/(-6), los planos se cortan en una recta Luego tenemos dos planos paralelos y uno que los corta Si k M y M * En M, M, y como , rango(m)

5 En M * como , rango(m * ) 2 Por el Teorema de Rouche rango(m) 2 rango(m * ), el sistema es compatible e indeterminado tiene solución. Los tres planos se cortan en una recta. Veamos la posición relativo de los planos dos a dos estudiando la proporcionalkidad o no de sus vectores normales. En π 1 y π 2 como 2/1 2/1 /(-2), los planos se cortan en una recta En π 1 y π 3 como 2/3 2/3 /(-6), los planos se cortan en una recta En π 2 y π 3 como 1/3 1/3-2/-6 /1, los planos coinciden Luego la recta está formada por los polanos π 1 y π 2. Ejercicio n 4 de la opción B del modelo 1 del libro 96_97 Considera el plano Π : x - y + 1 y el punto A (2,, 1). (1) [1' PUNTOS]. Determina las ecuaciones de la recta que es perpendicular al plano Π y pasa por el punto A. (2) [1 PUNTO]. Halla las coordenadas del punto B que es simétrico del punto A respecto del plano Π. (a) Como la recta es perpendicular al plano el vector director de la rect v coincide con el vector normal del plano n (1,-1,) La recta pedida es r x 2 + λ, y - λ, z 1 (b) Para hallar el simétrico B del punto A respecto del plano Π calculamos el punto Q proyección ortogonal de A sobre Π, que es la intersección de Π con la recta perpendicaular al plano por A, la recta r del apartado (a), es decir Q r Π. Q es el punto medio del segmento AB 2 + λ - (- λ) + 1 2λ - 3 λ -3/2. Por tanto Q(2 + (-3/2), -(-3/2), 1) Q(1/2, 3/2,1) Como Q es el punto medio del segmento AB (1/2, 3/2,1) ( (2+x)/2, (+y)/2, (1+z)/2 ). Operando x -1, y 3, z 1, es decir el simétrico B es B(-1,3,1). german.jss@gmail.com

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