Cálculo integral Información general de la asignatura

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1 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Uversdd Aert y Dstc de Méco Lcectur e Mtemátcs Progrm de l sgtur: Cálculo Itegrl Udd. Itegrles Cecs Ects, Igeerís y Tecologís

2 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Ídce UNIDAD. INTEGRALES... Propósto de l udd... Competec específc... Presetcó de l udd... Itegrl defd... ÁREA DE UNA REGIÓN... 4 ÁREA MEDIANTE SUMA DE RECTÁNGULOS INFINITESIMALES... 7 INTEGRAL DEFINIDA... 4 Actvdd. Cocepto de tegrl... 5 SUMA DE RIEMANN... 5 EVALUACIÓN DE INTEGRALES... 8 REGLA DEL PUNTO MEDIO... 9 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA... 0 Actvdd. Sums de Rem... Teorem fudmetl del cálculo... TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO... DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN COMO PROCESOS INVERSOS... 6 Actvdd. Resolucó de prolems TFC... 7 Itegrl defd... 7 INTEGRAL INDEFINIDA... 7 TABLA DE INTEGRALES INDEFINIDAS... 8 Regl de susttucó... 9 REGLA DE SUSTITUCIÓN... 9 INTEGRALES DEFINIDAS... SIMETRÍA... Actvdd 4. Itegrles defds e defds... Evdec de predzje. Desrrollo de tegrcó... 4 Cosdercoes específcs de l udd... 4 Fuetes de cosult... 4 Cecs Ects, Igeerís y Tecologís

3 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur UNIDAD. INTEGRALES Propósto de l udd E est udd desrrollrás tu hldd pr clculr tegrles medte sums de Rem y el teorem fudmetl del cálculo, demás de clculr volúmees y promedos. Tmé, estudremos l tegrl defd y l defd. Competec específc Descrr el proceso de tegrcó pr clculr áres etre curvs, volúmees, sí como el vlor promedo de u fucó trvés del uso de tegrl defd e defd y el teorem fudmetl del cálculo co se e defcoes, modelos y regls. Presetcó de l udd E est udd empezremos desrrollr los fudmetos mtemátcos pr costrur el cálculo tegrl. Verás que pr clculr el áre de u fucó, prtremos del hecho de sumr ls áres de rectágulos jo u gráfc y el eje, stucó que os coducrá l cocepto de sums de Rem y l cocepto de tegrl defd. Aordremos lgus propeddes mporttes de l tegrl defd que te permtrá desrrollr tus hlddes l hor de evlur u tegrl. E est udd te drás cuet de que el cálculo tegrl y dferecl está lgdos por u esló muy mportte: el teorem fudmetl del cálculo. Es u herrmet muy poderos pr evlur tegrles de mer muy práctc. Al gul que este tegrles defds, tmé este tegrles defds, mostrremos cuál es es pequeñ dferec. Empezrás clculr tegrles o t complcds medte el uso de tl de tegrles y medte susttucó. Por últmo, revsremos lgus regls de smetrí que lgus tegrles posee, y que te permtrá horrrte trjo cudo tegres certs fucoes. Itegrl defd Cecs Ects, Igeerís y Tecologís

4 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur E lgus ocsoes os hemos ecotrdo e l stucó de teer que clculr el áre de lgu regó de form rregulr, como ejemplo, clculr el áre de u terreo de form rregulr pr ser el vlor moetro e fucó del preco por metro cudrdo. E est seccó veremos el desrrollo pr llegr l cocepto de tegrl defd. Veremos tmé lgus propeddes, tmé empezrás evlur lgus tegrles seclls medte ls sums de Rem. Áre de u regó Alguos de osotros teemos l de tutv de lo que es áre. Semos que es fácl clculr ls áres de certs fgurs smplemete co ser l form y su fórmul. Nos vee l mete que el áre lmtd por u cudrdo es l multplccó de su ldo por ldo A l l ; de u rectágulo es ldo por su ltur; de u trágulo es l multplccó de su se por su ltur A h. Así sucesvmete podemos ctr muchs fgurs co sus respectvs fórmuls pr clculr sus áres. Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 4

5 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur El áre, etoces, es l regó lmtd por certs froters, como puede ser líes rects, como el cso del cudrdo, o e, por líes curvs, como el cso del círculo. Ahor os efretmos clculr el áre de u fgur que tee form rregulr. Pesemos e u terreo. Por lo geerl, lguos terreos o tee u form muy e defd, vemos el sguete ejemplo: Supoedo que se cooce los ldos del terreo, l pregut es: cuál es el áre? L solucó es secll: úcmete hy que dvdrlo e trágulos, clculr el áre de cd trágulo y sumr ls áres de todos los trágulos pr ecotrr el áre totl del terreo. Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 5

6 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Así que el áre totl de este terreo es A A A A4 A T Vemos hor u fgur u poco más complej cómo se hllrí el áre pr l sguete fgur? L respuest es, scrr repetdmete el áre de u fgur geométrc cuy áre es coocd, y pr ello escogemos el cudrdo. El áre de cd cudrdo represet u udd de áre. L fgur quedrí sí. Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 6

7 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur El áre promd de l fgur es de uddes de áre. Podrímos ser más precsos, y pr ello tedremos que hcer más pequeños uestros cudrdos. Not: Hce promdmete 500 ños, los gregos sí cómo hllr el áre de culquer polígoo l dvdrlo e trágulos. Tmé hllro l form de ecotrr el áre de u fgur curv; lo que hcero fue scrr polígoos e l fgur y hcer que el úmero de ldos del polígoo umetr. Us el método coocdo como de gotmeto o ehucó. Áre medte sum de rectágulos ftesmles E este sutem otedremos el áre jo u curv por promcó de rectágulos, como se muestr e el ojeto de rr. Posterormete se tomrá el límte de estos rectágulos. El procedmeto es el sguete: Cosderemos el sguete desrrollo. Se l fucó curv e l regó compredd etre 0 y del eje. y. Hllremos el áre jo l Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 7

8 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Podemos hllr el áre promd, scredo rectágulos dejo de l curv descrt por y e l regó compredd etre 0 y. El áre de l regó está dd por l sum de todos los rectágulos scrtos e l regó S. Dvdmos el segmeto [0,] e 0 prtes gules, esto sgfc que l se de cd rectágulo es gul /0. L ltur pr cd rectágulo es tomd del ldo derecho de cd rectágulo, es decr, ls lturs los rectágulos so los vlores de l fucó f e los putos etremos de l derech. ( ) Cosderdo de l mge que, pr cd úmero de ls scss, este u vlor pr y, se cumple l fucó f ( ). f. L ltur pr el prmer rectágulo es 0 0 f, Pr el segudo 0 0 f, Pr el tercero 0 0 Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 8

9 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur De mer álog se clcul ls demás lturs pr cd uo de los rectágulos. Así que podemos escrr ls lturs de los rectágulos de l sguete mer: ,, 4,,,,, 0, y L sum de ls áres de todos los rectágulos es l sum promd dejo de l curv compredd etre 0 y : Relzmos l sum de tods ls frccoes: R Est es el áre promd de l regó S; s emrgo, uestros rectágulos soresle por ecm de l gráfc, lo cul quere decr que el áre que hemos clculdo es myor que el áre A de l regó S. A<0.85 Pr teer u mejor estmcó del áre A jo l curv, lo que tedremos que hcer es cosderr u cremeto de rectágulos, y sí ls ses de los rectágulos será cd vez más pequeñs. Al clculr l sum totl de rectágulos ftesmles, otedremos mejores estmcoes pr el áre de l regó S. S cremetmos ftmete el úmero de rectágulos, de tl form que el cho de cd uo de ellos se hcer muy pequeño, veremos que l sum de todos los rectágulos superores se prom l áre A jo l curv. Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 9

10 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 0 De mer smlr l desrrollo teror, R es l sum de rectágulos de l fgur de rr, quí el cho de cd rectágulo vle y ls lturs ls oteemos l evlur los putos,...,, hst e l fucó ) ( f, etoces, ls lturs so:,...,,, 4 sí sucesvmete hst. El áre totl está dd por l sum de ls áres de todos los rectágulos. 4 R Fctorzmos R R L sum de cudrdos tee u epresó geerl dd por: 6 Susttumos l epresó e uestro desrrollo teror R Ahor le plcmos el límte cudo el úmero de rectágulos tede ser fto dejo de l curv. 6 lm R Recomodmos lguos térmos: R 6 lm

11 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur R lm 6 Recordemos que lm 0. Evlumos los límtes, R Por lo tto, el áre de l regó S es: R Co l msm metodologí se puede clculr el áre de l regó S, usdo rectágulos scrtos cuys lturs fuer los vlores de f e los putos etremos zquerdos de los sutervlos. Llegrímos l msmo resultdo cudo plcmos el límte de ftos rectágulos dejo de l fucó. Esto quere decr que o mport dode se tome l ltur de los rectágulos; y se que pogmos rectágulos superores o rectágulos ferores, sempre vmos llegr l msmo resultdo, los límtes so gules. Cecs Ects, Igeerís y Tecologís

12 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Ahor estmos preprdos pr lzr u regó más geerl. Hllemos el áre de l curv sguete. Tomemos l regó mostrd e l fgur de tl modo que sudvdmos el tervlo [, ] e rectágulos de chos gules. El cho del tervlo [, ] es -; por lo tto, el cho pr cd rectágulo es: Los putos etremos de l derech de los sutervlos so:,,,, Pr u -ésmo rectágulo que tee u cho y u ltur f ( ), que es el vlor de f e los putos etremos de l derech, tee u áre gul f ( ). Oserv detedmete l fgur de jo. Not: Cudo decmos -ésmo hcemos referec u elemeto que se ecuetr e l poscó, sí que, s estmos hldo de rectágulos os refermos l poscó que tee u rectágulo sore el eje. Cecs Ects, Igeerís y Tecologís

13 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Etoces, el áre jo l curv delmtd por el tervlo [,] es promdmete l sum de ls áres de todos los rectágulos. R f ) f ( ) f ( ) f ( ) ( Podemos sgr vlores pr. Recuerd que es el úmero de rectágulos que dvde el tervlo [,]. Te segurmos que est promcó v mejorr medd que se cremet l ctdd de rectágulos jo l curv, es decr, cudo. U vez lzdo el cso geerl pr u áre promd, podemos defr el áre A de l regó S. Defcó. El áre A de u regó S que se ecuetr dejo de u fucó cotu f es el límte de l sum de ls áres de los rectágulos de promcó: A lm R lmf ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Ojo, pr que el límte est se está supoedo u fucó f cotu. Frecuetemete se us l otcó sgm pr escrr de mer compct ls sums que cotee muchos térmos. Por ejemplo, f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Not: f ( ) E l otcó sgm f ( ) se detfc ls sguetes prtes. m =m, dc que deemos comezr co =m, dc termr co el elemeto, Cecs Ects, Igeerís y Tecologís

14 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur y el símolo dc sumr. Por lo tto, l defcó teror l podemos escrr de l sguete mer: A lm f ( ) Se tee el msmo vlor de áre cudo se escoge los putos etremos l zquerd. A lm S e lugr de usr los putos etremos zquerdos o derechos, se tom l ltur del - ésmo rectágulo como el vlor de f e culquer úmero * e el -ésmo sutervlo [ -, ]. Los úmeros *, *, * rece el omre de putos muestr. L fgur de jo muestr los rectágulos de promcó cudo se elge putos muestr dferetes los putos de los etremos. f ( ) L epresó más geerl pr el áre jo l gráfc de l fucó f es: Itegrl defd A lm f ( ) Aterormete hímos otedo u límte de l form lm f ( cudo se clcul u áre jo u curv. Hldo más geerl, este tpo de límte se preset e vrs stucoes, cluso cudo l fucó f o es postv, por tl motvo, este tpo de límte se le d u omre y u otcó especl. Defcó de tegrl defd. S f es u fucó cotu defd pr, dvdmos el tervlo [,] e sutervlos de gul cho ( ). Deotmos co 0 (=),,, (=) los putos etremos de estos sutervlos y ) Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 4

15 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur elegmos los putos muestr *, *, e estos sutervlos de modo que * se ecuetre e el -ésmo sutervlos [ -, ]. Etoces l tegrl defd de f, desde hst es: f ( ) d lm f ( ) Ejemplos: Not: E u tegrl se detfc ls prtes: f ( ) d El sgo se llm sgo de tegrl y correspode u S lrgd, dedo que u tegrl es u límte de sums. Ls letrs y so los límtes de tegrcó, es el límte feror y es el límte superor de l tegrl. A f() se le llm tegrdo. d o tee sgfcdo, s emrgo deot co respecto qué vrle se está tegrdo, y de cálculo dferecl lo detfcmos como u dferecl. Al procedmeto pr clculr u tegrl se le llm tegrcó. Not: L tegrl defd f ( ) d es u úmero, o depede de. Se puede tomr culquer letr e lugr de, s cmr el vlor de l tegrl. f ( y) dy f ( ) d f ( r) dr f ( ) d f ( t) dt f ( s) ds Actvdd. Cocepto de tegrl L tecó de est ctvdd es que recptules sore l Itegrl defd. Revs el documeto de ctvddes dode el docete te drá struccoes sore l ctvdd. Sum de Rem A l sum que está mostrd e l prte derech de l defcó de tegrl defd: f ( ) d lm se le cooce co el omre de sum de Rem. f ( ) Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 5

16 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur f ( ) Est sumtor represet l sum de áres de los rectágulos de promcó. L gráfc muestr l represetcó geométrc de l sum de Rem de l fucó f (). Co este ejemplo podemos ver que l sum de Rem es: 5 f ( ) A ( A ) ( A ) A A S f ( ) 0 es postv, l sum de Rem puede terpretrse como u sum de áres de los rectágulos de promcó cuys áres so postvs. Por otr prte, los térmos co sgo egtvo so versos dtvos de áres y surge de ls prtcoes o rectágulos que qued dejo del eje, y que e ese trmo f ( ) 0. De l relcó de l defcó de tegrl defd y sums de Rem teemos que: S f ( ) 0, l tegrl defd hst. 4 5 f ( ) d es el áre jo l curv y f (), desde Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 6

17 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur S f () dquere tto vlores postvos como egtvos l tegrl defd f ( ) d es l dferec de áres: Dode f ( ) d A A R rr R jo AR rr represet el áre de l regó por rr del eje y dejo de l gráfc f () ; y AR jo represet l regó dejo del eje y rr de l gráfc f (). Podemos ver u vdeo de l sum de Rem (vee e dos prtes) muestr u ejemplo de como hllr el áre jo u curv plcdo el cocepto de sums de Rem, plcdo el cocepto de tegrl defd. Ejemplo 5 Epres se lm como u tegrl e el tervlo [0,π]. Solucó De cuerdo co l defcó de tegrl defd, el límte sempre este y d el msmo vlor. No mport cómo se elj los putos muestr, podemos remplzr tomdo como putos muestr los putos etremos derechos, por lo tto, el límte lo podemos escrr como: lm ( ) f f ( ) d Comprdo el límte de l fucó dd f ) e l defcó de tegrl defd f () co l tegrl de uestr fucó, detfcmos que: f ( ) f ( ) ( f ( ) 5 se cudo. Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 7

18 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 8 E cosdercó de lo teror, podemos escrr l solucó de l sguete mer se se lm d Evlucó de tegrles Ates de cotur co el procedmeto pr clculr tegrles defds trvés de sums, es ecesro que coozcs ls sguetes detddes y regls seclls pr trjr co sumtors. ) ( c c ) ( 6 ) )( ( c c ) ( ) ( Cosderemos el sguete ejemplo. ) Evlur l sum de Rem pr ) ( f, e el tervlo [,5]. ) Evlúe 5 d Solucó. ) est ddo por: Susttumos y, 5 Pr l -ésm prtcó o rectágulo, L sum de Rem está dd por: f ) (, recuerde que l fucó ) ( f es ) ( f, sí que susttumos y. f 4 4 ) ( ) ( Scmos de ls sums los térmos que o deped de y susttumos el vlor de l sumtor correspodete, segú ls fórmuls que dmos l prcpo de l seccó.

19 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur f ( ) ( ) ( ) Flmete teemos el -ésmo térmo de l sum de Rem. f ( ) ) Aplcdo el cocepto de tegrl defd se tee el áre jo l curv etre los límtes y 5 del eje. A f ( ) d lm f ( ) lm ( 0) 4 Regl del puto medo Aterormete el puto medo de u rectágulo más pequeño es, cuyo vlor er rtrro, podí estr etre y. S emrgo, como culquer sum de Rem es u promcó u tegrl, es coveete usr putos medos deotdos por. Teemos l regl que dce. Regl de puto medo f ( ) d f ( ) f ( ) f ( ), dode Y ( ) que es el puto medo de tervlo o l se del rectágulo [, Ejemplo Clculr por promcó l tegrl ] d usdo l regl del puto medo co =5. Solucó S se tee u tervlo [, ] y se tom =5, se tee 5 sutervlos que so:.0,.,.4,.6,.8 y Los putos medos so (. )., sí sucesvmete pr los demás:.,.5,.7 y.9. L tegrl promd es: d f (.) f (.) f (.5) f (.7) f d (.9) Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 9

20 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur d 0.69 Propeddes de l tegrl defd E est seccó ecotrrás ls propeddes de l tegrl, ls cules so de gr utldd pr evlur tegrles. Cosdere que ls fucoes f y g so cotus. S se cumple. ( ) d S f f ( ) d, 0. f ( ) d 0 Propeddes áscs de ls tegrles. cd c( ), c es u costte. L tegrl de u sum es l sum de ls tegrles. 4. ( ) g( ) d f ( ) d f g( ) d Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 0

21 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur 5. cf ( ) d c f ( ) d, c es u costte. 6. ( ) g( ) d f ( ) d f g( ) d S f ( ) 0 y c se cumple l propedd. c 7. f ( ) d g( ) d f ( ) d c Propeddes de orde de l tegrl Ls sguetes propeddes so válds pr 8. S f ( ) 0 pr 9. S f ( ) g( ) pr, etoces f ( ) d 0, etoces ( ) d f g( ) d Cecs Ects, Igeerís y Tecologís

22 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur 0. S m f ( ) M pr, etoces m ( ) f ( ) d M ( ) Est últm propedd está lustrd e l sguete fgur. Afrm que el áre jo l gráfc de f es myor que el áre del rectágulo de ltur m y meor que el áre del rectágulo de ltur M. Actvdd. Sums de Rem Revs el documeto de ctvddes, y esper ls dccoes de tu docete sore l dámc de tu ctvdd Teorem fudmetl del cálculo E est seccó veremos el teorem fudmetl del cálculo, sí como su mportc e cálculo pr tegrr y/o dervr. Recordemos que el teorem fudmetl del cálculo estlece l coeó etre ls dos rms del cálculo, el dferecl y el tegrl. E otrs plrs, l dfereccó y l tegrcó so procesos versos. D l relcó precs etre l dervd y l tegrl. El TFC permte clculr tegrles co much fcldd s teer que empler límtes de sums. Teorem fudmetl del cálculo Cecs Ects, Igeerís y Tecologís

23 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur El teorem fudmetl del cálculo se estlece e dos prtes. Vemos l prmer prte. Prmer prte del teorem fudmetl del cálculo L prmer prte del teorem fudmetl del cálculo se derv del sguete álss. Cosderemos l sguete gráfc. Teemos u curv e rojo, represetd por u fucó f (t) como lo muestr l gráfc. Por otr prte, podemos pesr e u fucó g() que descre el áre jo l curv desde hst, represetd por: g ( ) f ( t) dt Ahor, supogmos que queremos clculr el áre de l frj zul ecerrd jo l gráfc y los tervlos y +h (ver l prte derech). Por lo tto el áre que estmos uscdo es smplemete l dferec de áres de l regó lmtd por [, +h] meos el áre de l regó lmtd por [, ]. Cecs Ects, Igeerís y Tecologís

24 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Tmé este otr mer de estmr el áre de ese pequeño segmeto de áre lmtdo etre y +h, medte clculr el áre del rectágulo verde cuy áre es h por f(). El áre del rectágulo verde es promd l áre de l frj zul, es decr: hf ( ) g( h) g( ) Est promcó es más precs cudo el cho del rectágulo verde h tede cero. Se coverte e guldd cudo h tede cero como límte. Ahor, s l promcó hf ( ) g( h) g( ) l dvdmos por h e mos ldos, se otee: g( h) g( ) f ( ) h Cudo h tede 0, se oserv que el memro derecho de l ecucó es secllmete l dervd de l fucó y que el memro zquerdo se qued como ƒ(). g( h) g( ) g( ) lm f ( ) h0 h Se muestr etoces de mer tutv que ƒ() = g (), es decr, que l dervd de l fucó de áre g () es e reldd l fucó ƒ(). Dcho de otr form, l fucó de áre g() es l tdervd de l fucó orgl. Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 4

25 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Lo que se h mostrdo es que, tutvmete, clculr l dervd de u fucó y "hllr el áre" jo su curv so opercoes "verss". Esto lo podemos eucr e l prmer prte del teorem fudmetl del cálculo, que dce. Prmer prte del TFC Dd u fucó f cotu e [,], l fucó g defd por: g ( ) f ( t) dt Es cotu e [,] y dervle e (,), y g ( ) f ( ) Co l otcó de Lez pr ls dervds podemos escrr el teorem fudmetl del cálculo de l sguete mer. Cosdérese que f es cotu. d f ( t) dt f ( ) d Reclquemos que est ecucó dc que, s prmero tegrmos f y luego dervmos el resultdo, otedremos uevmete l fucó orgl f. Ejemplo Determr l dervd de l fucó g( ) t dt Solucó Recooceremos ls prtes que descre el teorem fudmetl del cálculo. g ( ) f ( t) dt. Idetfcmos que flmete: f ( t) t 0 es u fucó cotu segú el teorem, por lo que g ( ) E el sguete vdeo podemos ver cómo es que tegrcó y dfereccó so procesos versos. Segud prte del teorem fudmetl del cálculo L segud prte del teorem fudmetl del cálculo ofrece u método más secllo pr evlur tegrles. Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 5

26 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Segud prte del TFC Dd u fucó f cotu e [,], etoces f ( ) d F( ) F( ) F es culquer tdervd de f, de tl form que F =f Esto quere decr que s coocemos u tdervd F, de f, es posle evlur f ( ) d co sólo restr los vlores de F e los etremos del tervlo [, ]. Not: Este ests otrs forms pr deotr el teorem fudmetl del cálculo. Ejemplo Evlú l tegrl 6 d. Solucó U tdervd de f ) F( ) F ( ) F( ) F( ) F( ) ( es F( ) l. Ddo que los límtes de tegrcó se ecuetr e [,6] podemos omtr ls rrs de vlor soluto. 6 d 6 l 6 l 6 l l l Dervcó e tegrcó como procesos versos Hemos vsto l mportc que tee el teorem fudmetl del cálculo, os muestr clrmete que l tegrcó y l dervcó so procesos versos. El teorem fudmetl qued estlecdo como cotucó se euc. No lo olvdes y telo sempre presete. Dd u fucó f cotu e u tervlo cerrdo [, ].. S g ( ) f ( t) dt, etoces g ( ) f ( ).. f ( ) d F( ) F( ), dode F es culquer tdervd de f, es decr, F =f. Ls dos prtes del teorem fudmetl del cálculo epres que l dervcó y l tegrcó so procesos versos. Cd u deshce lo que hce l otr. Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 6

27 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Actvdd. Resolucó de prolems TFC Revs el documeto de ctvddes, y esper ls dccoes de tu docete sore l dámc de tu ctvdd Itegrl defd E el sguete prtdo defremos l tegrl defd como el proceso cotrro l dervcó. Esto es u cosecuec del teorem fudmetl del cálculo. d C d d C Cudo quers coocer u tegrl s teer que evlurl, deerás teer e mete est mge, te permtrá hllr de mer más secll l tegrl de u fucó. Ls tls de tegrles resume estos procesos versos, te será de gr yud. Itegrl defd De ls seccoes precedetes hímos llegdo dos putos muy mporttes del teorem fudmetl del cálculo.. S f es cotu etoces f ( t) dt es u tdervd de f.. S f ( ) d F( ) F( ), dode F es u tdervd de f. S emrgo, por prctcdd, es precs u otcó pr ls tdervds. Por lo tto, l tegrl f ( t) dt se le llm tegrl defd. Itegrl defd f ( ) d F( ) F( ) f ( ) Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 7

28 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Ejemplo d d C dervc f ( ) est es l dervd f ( ) Atdervcó d C est es l tdervd o tegrl defd C es culquer costte. El TFC tre como cosecuec que u tegrl defd es u fml de fucoes pr cd vlor de C. Not mportte: L tegrl defd f ( ) d es u úmero. L tegrl defd f ( ) d es u fml de fucoes, ddo por C, que puede ser culquer úmero. Tl de tegrles defds A cotucó te desplegmos u lst de tdervds de fucoes, o mejor dcho tegrles defds. Tl de tegrles defds cf ( ) d c f ( ) d f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d kd k C d C e d e C se d cos C sec d t C ( ) d l C d C l cos d se C csc d cot C sec t d sec C csc cot d csc C d t C d se C De mer semejte lo que se hzo e l seccó teror, puedes dervr l fucó del ldo derecho pr verfcr que se otee el tegrdo. Oserv. d d l C porque l C d Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 8

29 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Regl de susttucó Hemos vsto cómo evlur lgus tegrles; s emrgo, s te preset u tegrl de l sguete form, d de seguro te surgrá ls sguetes preguts: Cómo le hgo? Este lgú truco? Hy lgú método pr evlurls que teg que ver co ríces? Ls respuests ls ecotrrás quí. El rdcl pretemete te l hce complcd, pero veremos u ltertv tereste pr clculr tegrles que coteg rdcles, veremos que el método de susttucó es del pr resolver este tpo de tegrles. Lo esecl de est regl es trsformr u tegrl complcd e u tegrl más secll, Esto se llev co psdo de l vrle orgl u uev vrle u que es fucó de. Regl de susttucó Hemos vsto e uestrs tls l form de hllr certs tdervds; s emrgo, o teemos ls herrmets pr evlur tegrles dode se ve volucrds rdcles o tegrles de l form: d Pr resolverls mplemetremos el sguete método de susttucó: Lo que hremos será troducr u cmo de vrle de u. Desgmos por coveec u : u Clculmos el dferecl du (esto se estudó e cálculo dferecl). Es lgo álogo clculr u dervd. du d Ahor recomodmos uestr tegrl pr fcltr l detfccó de térmos. Y susttur estos dos últmos resultdos e uestr tegrl: d u d du udu u / du Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 9

30 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Nuestr tegrl h queddo e térmos de l uev vrle u, procedemos clculr l tegrl co l fórmul: d C que vmos de l seccó de tls de tegrcó. u / du u C u u C C u Ahor que hemos clculdo l tegrl e térmos de l vrle u procedemos poer uestro resultdo e l vrle teror, es decr, u. u C C Flmete podemos escrr que: d C Hemos vsto que evlumos de mer secll uestr tegrl hcedo l troduccó de u cmo de vrle. Pr compror uestro resultdo, smplemete, dervmos usdo l regl de l cde, l cul se vo e cálculo dferecl. C respecto de El procedmeto teror lo escrmos co l sguete regl: Regl de susttucó S teemos u fucó u g() dferecle e el tervlo I, y demás cotu e ese msmo tervlo, etoces: g ( ) g ( ) d f f ( u) du Así que s u g(), etoces du g( ) d. L clve es pesr e du y d como dferecles. Ejemplo Ecotrr Solucó 4 d Propoemos u 4, hor clculmos el dferecl. du 8d Ahor reescrmos uestr tegrl, de modo que se dpte u y du pr hcer el cmo de vrle. Oserv que del cocete se detfc l deomdor como du y l deomdor como u. Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 0

31 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur 4 d 8 du 8d 4 Idetfcmos du y u y l tegrl se reescre como: u du 8 u Segumos recomoddo térmos que se puede scr de l tegrl. 8 du u 8 du / u u u C 8 8 Ahor colocmos uestro resultdo e térmos de l vrle cl. du / u C 4 / C 8 u 8 4 C u 8 Flmete uestr tegrl qued epresd de l sguete mer. d 4 / C 4 4 Pr compror, se precede dervr. / C Itegrles defds Hímos mecodo terormete e u ot que: l tegrl defd f ( ) d es u úmero y que l defd f ( ) d es u fml de fucoes, ddo por C. S emrgo, como os ecotrmos sumergdos e el tem de tegrles defds trtremos dos mers de evlur u tegrl defd. L prmer cosste e hllr l tegrl como e los csos propuestos de l seccó teror pr evlur l tegrl. Supogmos que pde que evluemos l tegrl: se procede evlur segú los límtes superor e feror. 0 0 Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 0 d, se clcul l tegrl y d 0 El otro método cosste e cmr los límtes de tegrcó l mometo de cmr l vrle. Co ello surge l sguete regl.

32 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Regl de susttucó pr ls tegrles defds S teemos u fucó g () cotu e el tervlo [,] y f tmé es cotu e l mge de u g(), etoces: f g ( ) g ( ) d g( ) g( ) f ( u) du Alcemos el sguete ejemplo: e l Clculemos l sguete tegrl defd d. 0 Ates que d procedmos relzr el cmo de vrle. u l Su dferecl es du d Idetfcmos térmos y los tercmmos por l uev vrle, teedo sí: e l d? udu 0? El sgos de terrogcó?, deot que o semos los uevos límtes de tegrcó. Ahor los límtes de tegrcó qued defdos por l uev vrle Cudo susttud e u l d u l( ) 0 y cudo e; u l( e) Por tto los uevos límtes de tegrcó so: 0 y, feror y superor, respectvmete. Queddo sí l uev tegrl co sus uevos límtes de tegrcó. 0 udu Resolvemos y evlumos. u udu 0 0 Smetrí E lgus tegrles es posle smplfcr los cálculos, poedo tecó sus propeddes. E cálculo dferecl revsste ls propeddes de smetrí de u fucó. Cosder lo sguete. Itegrles de fucoes smétrcs S teemos u fucó f cotu e el tervlo [-, ]. ) S f es pr f ( ) f ( ), etoces f d ) S f es mpr f ( ) f ( ) 0 f ( ) d, etoces f d 0 Cecs Ects, Igeerís y Tecologís

33 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Gráfcmete represetmos los csos. El cso ) lustr que f es postv y pr, por lo tto, el áre jo l curv descrt por f () es el dole de áre desde 0 hst, dedo que f () es smétrc. Lo puedes ver e l sguete gráfc. f () es pr, y se puede hcer f d f ( ) d 0 E el cso ) trtmos co u fucó mpr. Ls áres se v ccelr, y que se trt de u dferec de áres. f es mpr, l tegrl se reduce 0 () d E el sguete vdeo puedes verfcr ls fucoes pres e mpres: f Actvdd 4. Itegrles defds e defds Revs el documeto de ctvddes, y esper ls dccoes de tu docete sore l dámc de tu ctvdd Cecs Ects, Igeerís y Tecologís

34 Cálculo tegrl Iformcó geerl de l sgtur Evdec de predzje. Desrrollo de tegrcó Revs el documeto de ctvddes, y esper ls dccoes de tu docete sore l dámc de tu ctvdd Cosdercoes específcs de l udd Pr ordr este curso de Cálculo Itegrl es ecesro que tegs coocmeto sore mtemátcs, álger y cálculo dferecl. E est seccó requermos el sguete mterl: Clculdor. Tls de tegrcó. Puedes oteerls de lgú lro o e jrls de teret. Te cosejmos que tegs ls tls pr evlur ls tegrles. Es ecesro que repses ls fórmuls pr ecotrr áres fgurs geométrcs pls y volumétrcs comues. Fuetes de cosult Apostol, T. M. (008). Clculus. Espñ: Reverté. Lrso, R. E. (005). Cálculo. Méco: McGrw Hll. Stewrt, Jmes. (008). Cálculo. Trscedetes temprs. Méco: Cegge Lerg. Cecs Ects, Igeerís y Tecologís 4

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