CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

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1 CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS ASIGNATURA CALCULO DIFERENCIAL DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA UNIDAD Nº : FUNCIONES REALES. CONCEPTO DE FUNCION. El concepto de función es uno de los más importantes en matemáticas es útil en la eplicación, descripción predicción del comportamiento de los fenómenos del mundo real, En términos generales una función es una correspondencia entre objetos; esta correspondencia se puede epresar a través de una gráfica, un enunciado verbal, una tabla de valores o una epresión algebraica Otra manera de definir una función es a través de una correspondencia que se establece entre dos conjuntos tal que a cada elemento del primer conjunto o dominio, le asigna un único elemento en el segundo conjunto o codominio. Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio Es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio.. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento de R le corresponde uno sólo un elemento de R: f : R R en cuanto a los elementos f ( ) Importante: Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar: El conjunto inicial o dominio de la función. El conjunto final conocido como rango o imagen de la función. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen En una función real se pueden identificar plenamente dos variables: la variable independiente () la dependiente (), estableciéndose la afirmación de que depende de o simplemente es función de a través de la epresión matemática f () ; con base a ellas se definen el dominio el rango. En la práctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de la otra. Ejemplo: Oferta - Demanda Impuesto - Valor de la Mercancía Horas trabajadas salario Distancia Tiempo Dedicación Rendimiento Mantenimiento Tiempo de vida. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION. Dominio de una función: son todos los posibles valores que puede tomar la variable independiente (). se simboliza Domf Rango o conjunto de imágenes: son todos los posibles valores que puede alcanzar la variable dependiente (). se simboliza Rnf. Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas Física, Ingeniero de Alimentos Página

2 . COMO ENCONTRAR EL DOMINIO Y EL RANGO DE UNA FUNCIÓN Para encontrar el dominio se despeja la variable dependiente () se analizan las limitantes que pueda presentar la variable independiente Para encontrar el conjunto de imágenes se despeja la variable independiente () se analizan las limitantes que pueda presentar la variable dependiente. Se presentan tres situaciones al momento de efectuar los despejes. Si al despejar las variables se obtienen funciones polinómicas no eiste ningún tipo de restricciones para el dominio o el rango. Si al despejar las variables se obtienen variables en el denominador, se hace este igual a cero para se resuelve la ecuación con el fin de determinar los valores que restringen al dominio o al rango. Si al despejar las variables se obtienen epresiones radicales, se hace la cantidad subradical maor que cero resuelve la inecuación para encontrar los valores restringidos EJEMPLOS: encontrar el dominio el rango de las siguientes funciones reales a. b. c.. a. Dominio Como la función corresponde a la función lineal, a la variable dependiente está despejada si se analiza, puede tomar cualquier valor en el conjunto de los reales, luego Domf R Rango Para encontrar rango se despeja la variable independiente de Como se observa puede tomar cualquier valor real no se presentan restricciones, luego Rnf R b. Dominio para encontrar el dominio a se encuentra despejada la variable, pero se observa que e es una función racional, porque ha variables en el denominador, por lo que se hace este igual a cero, es decir 0, con lo que D omf R / Rango Para encontrar el rango se despeja la variable a partir de transponiendo términos ( ) ( ) Como se observa ha variables en el denominador se hace este igual a cero, o sea 0 con lo que el rango Rnf R / c. Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas Física, Ingeniero de Alimentos Página

3 Dominio para encontrar el dominio se observa que eiste una epresión radical en el denominador, con lo que se hace este maor que cero, es decir Luego el dominio Domf R / Rango Para hallar el rango se despeja la variable a partir de, como se observa no puede ser igual a cero por lo que Rnf R / 0 ACTIVIDAD DE ESTUDIO INDEPENDIENTE N Encontrar el dominio el rango de las siguientes funciones CLASIFICACION DE FUNCIONES. FUNCION CONSTANTE: = Una función constante es una relación que asigna a todos los elementos del dominio una misma imagen, matemáticamente se define como f() = k, donde k es un número real. La gráfica descrita por la función lineal es una línea recta paralela al eje de las ; así por ejemplo al graficar a la función =, se obtiene la recta mostrada en la gráfica La tabla de valores sería - 0 El dominio de la función f() constante son todos los números reales el rango es un conjunto unitario conformado por el elemento imagen de todos los elementos del dominio, es decir, el elemento k... FUNCION LINEAL: Una función es lineal es aquella cua gráfica es una línea recta, su representación matemática es m b, donde m es la pendiente de la recta b es el intercepto con el eje de las si la grafica pasa por el origen, se dice que la función lineal es afín = + Al graficar la función = +, se obtiene una línea recta que no pasa por el origen. Los valores serían - 0 f() Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas Física, Ingeniero de Alimentos Página

4 Tanto el dominio como el rango de la función lineal son los números reales La ecuación general de la recta es de la forma A B C 0 La ecuación eplícita o canónica es m Ejemplo: La ecuación = + 7 tiene pendiente coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje en el punto (0,7). b Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (, ) (, ), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea m También puede epresarse m = tanθ, donde θ es el ángulo de inclinación de la recta En la ecuación general de la recta, la pendiente el coeficiente de posición quedan determinados por: A C m b B B Ejemplo: Cuál es la pendiente el coeficiente de posición de la recta = 0? m b FUNCION CUADRATICA Una función definida de R en R, cuos valores están dados por un polinomio de la forma f () a b c donde a, b, c є R a 0, toma el nombre de función polinomial de segundo grado o simplemente función cuadrática. FORMAS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Formas incompletas: Form a completa: f () f () f () f () a a a a b b c c ANALISIS DE LA FUNCION CUADRATICA Un análisis gráfico de cada una de las formas de la función cuadrática, permite apreciar las características especiales que tienen. Recuérdese que para graficar funciones se elabora una tabla de valores que satisfaga la función dada luego se ubican dichos valores en un sistema de coordenadas para trazar el gráfico correspondiente. GRAFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA DE LA FORMA f () a b c Las gráficas de las funciones f () a b c, es siempre una parábola que cumple con las siguientes características. Su eje de simetría es paralelo al eje Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas Física, Ingeniero de Alimentos Página

5 La abertura de sus ramas la determinará el coeficiente a, Si a>0, la curva abre hacia arriba, si a<0, la curva abre hacia abajo El vértice de la parábola es un punto de la forma (h,k) Ejem plo: graficar f () g ( ) Se elabora la tabla de valores para cada función se dibujan sus respectivas gráficas en un sistema de coordenadas cartesianas f () f() g () X g() FUNCIONES POLINÓMICAS Una función polinómica es aquella de la forma n n f () an an... a a0, con an 0 las a son constantes reales. El dominio de una función polinómica es el conjunto de los reales el rango será un intervalo de R. La gráfica de un polinomio es una curva suave continua = = - -+ = FUNCIONES RACIONALES Una función f es una función racional si f () P() Q(), donde P() Q() son polinomios Q() es diferente de cero. El dominio de f() son todos los números reales ecepto los números que hacen cero al denominador Las funciones polinómicas presentan asíntotas, que son rectas - correspondientes a valores en los cuales la función se aproima, pero no - está definida, observemos por ejemplo al graficar la función - f (), se observan varias - 6 asíntotas.6 FUNCION EXPONENCIAL Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas Física, Ingeniero de Alimentos Página 5

6 Sea a un número real positivo. La función que a cada número real le hace corresponder la potencia a se llama función eponencial de base a eponente. Se representa f ( ) a Ejemplo: graficar f ( ) f() 8 8 FUNCION EXPONENCIAL DE BASE e La función eponente natural es la función definida por: f ( ) En donde e es un número irracional (llamado así en honor al matemático físico suizo Leonhard Euler) que puede epresarse con cualquier grado de eactitud usando una serie infinita. Con siete cifras decimales, el valor de e puede aproimarse a,7888. la función es siempre creciente el eje es una asíntota hacía la izquierda La tabla siguiente muestra algunos valores para la función eponente natural ,5,5-0,5 f(),6,7,5 7,, 0,6 e PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Los valores de f () a son todos positivos, a que la gráfica siempre se encuentra situada por encima del eje Los puntos (0, ) (, a) pertenecen a la gráfica. Es inectiva a (ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a> ( es decir la curva sube de izquierda a derecha) Decreciente si a<. Las curvas a son simétricas respecto del eje Y. a.7 FUNCIONES LOGARITMICAS La función logarítmica en base a es la función inversa de la eponencial en base a. Se define como f () loga, a>0 a. Donde log a indica el único eponente, tal que a Ejem plo: Graficar f () log Se elabora una tabla de valores Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas Física, Ingeniero de Alimentos Página 6

7 8 8 f() Debe tenerse presente para graficar que en esta ocasión se le dan valores arbitrarios a f() se calculan los valores de valores de, a partir de PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS En la gráfica de la función f () loga se observa: Si a<, f() es positiva para todos los valores >, pero negativa para valores comprendidos entre 0 no incluidos Si a<, f() es negativa para todos los valores de <,pero positiva para los valores comprendidos entre 0 no incluidos. Si a<, la función es creciente,pero si a<, la función es decreciente Todas las gráficas de f () loga,pasan por el punto (a,) (,0) Como la función dos veces f () loga, es creciente o decreciente, entonces nunca toma el mismo valor ACTIVIDAD DE ESTUDIO INDEPENDIENTE N. Grafica manualmente o con la auda de un programa graficador realiza un análisis de las siguientes funciones log 7. f () X 8. f () ln( ) OPERACIONES ENTRE FUNCIONES. SUMA DE FUNCIONES Si f() g() son dos funciones, entonces la función suma esta dada por ( f + g ) ( ) = f () + g () f () X X Ejemplo: Si f () = + h () = entonces: ( h + f )() = h () + f () = + + Para = se tiene ( h + f )() = h () + f () = + ( ) + = 7. RESTA DE FUNCIONES Si f() g() son dos funciones, entonces la función diferencia esta dada por ( f - g ) ( ) = f () - g () Ejemplo: f () = +, g () = entonces: ( f - g )( ) = f () - g () = + - = + - Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas Física, Ingeniero de Alimentos Página 7

8 Para = - ( f - g )(- ) = f (- ) - g (- ) = ( -) + - ( -) = = -. PRODUCTO DE FUNCIONES Si f() g() son dos funciones, entonces la función producto esta dada por ( f g ) ( ) = f () g () Ejemplo Si g () = h () = - entonces: ( h g )() = h () g () = ( - ) = Para = 5, entonces ( h g )(5) = h (5) g (5) = ( 5 - ) ( 5 ) = (5) = 75. COCIENTE DE FUNCIONES Si f() g() son dos funciones, entonces la función cociente esta dada por f f ( ) donde g() 0 g g( ) Ejemplo: Si f () = +, g () = entonces: 5. LA FUNCION COMPUESTA Una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próima al mismo, al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante. Formalmente dadas dos funciones f: A B, g: B C, se determina la función compuesta de f g, como la función g f () g f, para todo A A B f () C g f () La epresión g f() se le llama composición de f g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento g f es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f de g. En el gráfico, g f(a) Ejemplo: dada las funciones f(), Por definición de función compuesta g() determinar g f() f () En la práctica, es como si se tratara de introducir a f dentro de g g g f Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas Física, Ingeniero de Alimentos Página 8

9 g f() g f se reemplaza a f() por la epresión que representa en este caso g f() g Ahora donde aparece la en g() se reemplaza por g f ( ) se resuelve la epresión al cuadrado g f () Se efectúa la multiplicación g f () 6. LA FUNCION INVERSA Si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f - que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso se dirá que f - es la aplicación inversa o recíproca de f. Una función ƒ su inversa o recíproca ƒ. Como ƒ aplica a en, la inversa ƒ lleva de vuelta en a. Definición: Sea f una función biectiva con dominio X rango Y. Se define la función inversa o recíproca f con dominio rango X de la siguiente manera: f f Y Para hallar la función inversa de una función de procede así:. Se escribe la epresión en la forma = f(). Se despeja de la ecuación = f() en términos de, para obtener una ecuación de la forma f. Se intercambia por puesto que no importa el símbolo que se use para la variable. Se comprueban las condiciones a. f f ( ) para todo X b. f f () para todo Y OBSERVACION: Una función es biectiva si: Si, son elementos del dominio X tales que f( ) = f( ), necesariamente se cumple =. Si, son elementos diferentes de X, necesariamente se cumple f( ) f( ) Si está aplicada sobre todo el codominio (no quede ningún elemento del dominio sin relacionar), es decir el conjunto de imágenes es igual al codominio. Formalmente: Y :! X, f () Ejemplo: hallar la función inversa de = - Paso: se escribe en la forma eplícita =- (a estaba escrita) Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas Física, Ingeniero de Alimentos Página 9

10 Paso : Se despeja de la epresión anterior: Paso : Se intercambia a por se obtiene f Paso : Se comprueban las condiciones () Luego la función inversa de f() - es Ejemplo: Encontrar la función inversa de f () Paso: se escribe en la forma eplícita (a estaba escrita) Paso : Se despeja de la epresión anterior: Paso : Se intercambia a por se obtiene Paso : Se comprueban las condiciones f () Esta función es algo compleja para aplicar la composición, por lo tanto se toma con val ores específicos. Se observa por el tipo de función que ha restricciones en el dominio, en este caso se procede a comprobar en el punto - = 0 =, dicho valor se reemplaza en f ( ) 7 f ( ) 7 este valor se reemplaza en la inversa 7 0 f ( 7) 7 5 Como se observa f f ( ) Luego la función inversa de es f () Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas Física, Ingeniero de Alimentos Página 0

11 ACTIVIDAD DE ESTUDIO INDEPENDIENTE N I. Utiliza tus conocimientos en composición de funciones -. Si f() g ( ) hallar g f f g. Si f() e, g() - hallar g f f g. Si f(), g() 5 - hallar g f f g -. Si f() e, g() hallar g f f g - 5. Si f(), g()) hallar g f f g II. Utiliza tus conocimientos para hallar las funciones inversas de.... f () 5 5. f ( ) 6. f ( ) 7. f () f () 0. f () ln( ). 6 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS BARROS TRONCOSO, JOSE FRANCISCO: Notas de clase de calculo diferencial f (). f ( ) f () iones.htm Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas Física, Ingeniero de Alimentos Página