CATÁLOGO MATEMÁTICO POR JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ BASES 5 Y 7: NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

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1 CATÁLOGO MATEMÁTICO POR JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ BASES 5 Y 7: NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA TOMADO DE AULAFACIL.COM ( LECCION 1ª Introducción a la Estadística Descriptiva La estadística descriptiva es una ciencia que analiza series de datos (por ejemplo, edad de una población, altura de los estudiantes de una escuela, temperatura en los meses de verano, etc) y trata de extraer conclusiones sobre el comportamiento de estas variables. Las variables pueden ser de dos tipos: Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo). Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales). Las variables también se pueden clasificar en: Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo: edad de los alunmos de una clase). Variables bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población (por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase). Variables pluridimensionales: recogen información sobre tres o más características (por ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase). Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y continuas: Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3..., etc, pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45). 1

2 Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la velocidad de un vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc. Cuando se estudia el comportamiento de una variable hay que distinguir los siguientes conceptos: Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un individuo; si estudiamos el precio de la vivienda, cada vivienda es un individuo. Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten información sobre el fenómeo que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos el precio de la vivienda en una ciudad, la población será el total de las viviendas de dicha ciudad. Muestra: subconjunto que seleccionamos de la población. Así, si se estudia el precio de la vivienda de una ciudad, lo normal será no recoger información sobre todas las viviendas de la ciudad (sería una labor muy compleja), sino que se suele seleccionar un subgrupo (muestra) que se entienda que es suficientemente representativo. TALLER CATÁLOGO MATEMÁTICO (TRABAJO COLABORATIVO) Para las siguientes encuestas, determinar todos los elementos básicos de la estadística descriptiva: ( ANALICE EL EJEMPLO YA RESUELTO) a) Población o universo: b) Muestra: c) Tamaño de la muestra: (n): d) Variable estadística: e) Clase de variable: f) Moda: g) Tabla de frecuencia absoluta: h) Tabla de frecuencias, absoluta y relativa, completa: i) Gráfico de barras y circular: j) Medidas de tendencia central (Moda: M o, Mediana: M e y Media aritmética o promedio: x) 1) Se realiza una encuesta a 40 estudiantes del grado 8, para determinar el número de materias perdidas el año anterior. Los resultados obtenidos fueron:

3 SOLUCIÓN a) Población: Serian todos los estudiantes de grado 8, a quienes se podría aplicar la encuesta. Si se tuviera el dato exacto, por ejemplo 200 estudiantes, entonces la población serán esos 200 estudiantes. b) Muestra: El subconjunto de estudiantes de los cuales se obtienen directamente los datos. En este caso los 40 estudiantes de grado 8. c) Tamaño muestral : n= 40 d) Variable estadística: número de materias perdidas en el año anterior. e) Clase de variable: Como esta variable se refiere a cantidades o números es CUANTITATIVA. Además, sólo acepta números enteros (no se puede perder una materia y media o dos materias y un pedacito) entonces es VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA. f) Moda: M O = Corresponde al dato que más veces se repite o que presenta mayor frecuencia. En este caso serían los datos 2 y 5; es decir que la moda entre los estudiantes el año pasado fue perder 2 ó 5 materias. g) Tabla de frecuencia absoluta : F i X i corresponde o representa cada dato estadístico (o materias perdidas) F i corresponde al valor de la frecuencia absoluta y veces que aparece cada dato equivale al número de 3

4 h) Tabla de frecuencias, absoluta y relativa, completa: X i: Dato estadístico = frecuencia absoluta acumulada F i: frecuencia absoluta Terminemos de completar la tabla de frecuencias : 4

5 La frecuencia relativa se cálcula mediante la expresión : f i = F i / n ó Dicha frecuencia relativa se puede expresar de tres formas: como fracción, decimal y em forma de porcentaje: Para el dato de cero materias perdidas, se expresa su frecuencia absoluta ( 6) dividido entre el número de datos (40), es decir, 6/ 40 y asi sucesivamente para los demás datos: La fracción que representa la frecuencia relativa, depende del total de los datos y se debe simplificar, si fuere posible: 5

6 INTERPRETACIÓN DE LOS DATOS: Veamos como interpretar los valores obtenidos hasta el momento, lo haremos com los valores de la fila demarcada, el estudiante lo debe hacer de forma similar com cada uma de las filas restantes: X i = 2; indica dos materias perdidas por los estudiantes de grado 8, el año pasado F i = 8; indica que ocho estudiantes de los entrevistados, manifiesta haber perdido dos materias el año pasado. 21, indica que 21 estudiantes han perdido 2 ó menos materias el año pasado, o lo que es lo mismo que 21 estudiantes han perdido MÁXIMO 2 materias. La f i = 8 / 40 ; indica que ocho estudiantes de los 40 encuestados han perdido 2 materias el año pasado. La f i = 1 / 5; indica que 1 de cada 5 estudiantes de grado octavo perdieron 2 materias el año pasado. Continuemos com la completación de la tabla de frecuencias absoluta y relativa: Para obtener el valor de cada frecuencia relativa em forma decimal basta com dividir el numerador entre el denominador de cada fracción así: Ejemplo: ES DECIR QUE 3 / 20 =

7 Al realizarlo com cada valor de fracción, la tabla de frecuencias va quedando así: Por último para obtener el valor porcentual de la frecuencia relativa, basta con multiplicar por 100, el valor decimal obtenido: ( para ello basta correr el punto decimal dos posiciones a la derecha). Entonces 0.15 x 100% = 15 % Y así sucesivamente: 0.17 x 100% = 17 % 0.20 x 100% = 20% 7

8 N= 40 = 40/40 = 1 = 100% i) Gráfico estadístico: Em esta oportunidad obtendremos dos ( 2 ) gráficos diferentes : el de barras o polígonal y el de torta o circular. Vmos a graficar los datos estadísticos vs la frecuencia absoluta: 1 ) Trazamos el plano cartesiano; colocamos el dato em el eje horizontal y la frecuencia absoluta em el eje vertical. 8

9 2 ) Para cada valor del dato estadístico se levanta uma barra o polígono ( rectángulo) que suba hasta encontrar el respectivo valor de su frecuencia absoluta: Por ejemplo para el dato cero, subimos el rectángulo hasta el 6 Para el dato uno ( 1), subimos el rectángulo hasta el 7 Para el dato dos (2), subimos el rectángulo hasta el 8. 9

10 ... Para el dato dos (2), subimos el rectángulo hasta el 8... Y así sucesivamente: Número de materias perdidas por los estudiantes de grado 8 el año anterior. 10

11 PARA EL GRÁFICO CIRCULAR Ó LA TORTA... Debemos calcular el valor del arco de circunferencia que corresponde a cada porcentaje de la encuesta: a) Si 360 corresponden al 100 % Entonces X corresponde al 15 % Resolviendo la regla de tres simple, obtenemos la fórmula: X = ( 360 * 15%) / 100% X= 5400 / 100 X = 54 b) X = (360 *17%) / 100 % X= 6120 / 100 = X= c) X = ( 360 * 20% ) / 100 % X= 7200 / 100 X = 72 Luego trazamos uma circunferencia y dentro de ella obtenemos com ayuda del transportador el arco de circunferencia correspondiente a cada medida ángular: 11

12 Número de materias perdidas por los estudiantes del grado 8 el año anterior. Continuando la construcción de los arcos, a partir del anterior, tenemos: De igual forma se obtienen los demás sectores de circunferencia medidos a partir del inmediatamente anterior: 12

13 Para finalmente obtener el gráfico circular o de sectores: Número de materias perdidas por los estudiantes del grado 8 el año anterior. 13

14 j) Medidas de tendencia central: moda, mediana y media aritmética. 1) Moda= M o : corresponde al valor que posee mayor frecuencia M o = 2 y M o = 5; es decir que la moda entre los estudiantes de 8 es perder 2 ó 5 materias. 2) Mediana: M e = (2+3)/ 2 = 5 / 2 = 2.5 Es decir, la mediana para esta encuesta está entre perder 2 ó 3 materias por estudiante. 3) Media aritmética o promedio: Se obtiene sumando todos los datos y dividiendo dicha suma entre el total de datos Se puede cálcular mediante la fórmula: Para ello ayudemonos construyendo la siguiente tabla auxiliar, em la cual tomamos los valores del dato estadístico, los multiplicamos por su respectiva frecuencia y obtenemos la sumatoria de dichos valores obtenidos: 14

15 = 101 / 40 = 2.52 Lo que se interpreta como el número promedio de materias perdidas por cada estudiante de grado 8, el año anterior, ha sido de 2.52, es decir entre 2 y 3 materias. 1) Se realiza una encuesta a 30 familias del barrio X para determinar el número de afiliados al Sisbén o regimen subsidiado de salud y se obtienen los siguientes resultados: ) Se le pregunta a 60 jóvenes del barrio X, sobre su deporte preferido. Siendo los más destacados: F: Fútbol B: Baloncesto N: Natación C: Ciclismo T: Tennis de mesa O: Otros F N N B C C N N F F O O T T C N F O T T T B B B B N N C O O O T B B B N F F F F N N F F O O C C B B T T F B C O T N N N 3) Una encuesta realizada a 1200 ciudadanos de Medellín, acerca del número de salarios mínimos que recibe mensualmente su grupo familiar, arroja los resultados registrados en el siguiente gráfico de sectores: 15

16 4. L a s p u nt u a c i o n e s o b t e ni d a s p o r u n g r u p o e n u na p r u e b a h a n s i d o: 1 5, 2 0, 1 5, 1 8, 2 2, 1 3, 1 3, 1 6, 1 5, 1 9, 1 8, 1 5, 1 6, 2 0, 1 6, 1 5, 1 8, 1 6, 1 4, 1 3. N o t a : A d e m á s C o n s t r u i r l a t a b l a d e d i s t r i b u ci ón d e f r e c u e n c i a s y di b u j a el p o l í go n o d e f r e c u e n c i a s. s e r i e : 5. E l n úm e r o d e e st r e l l a s d e l o s h o t el e s d e u n a ci ud a d v i e n e d a d o p o r l a s i g ui e n t e 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, L a s c al i f i c a c i o n e s d e 5 0 a l um n o s e n M at e m át i c as h a n s i d o l a s s i g u i e nt e s : 5, 2, 4, 1, 3, 4, 5, 4, 5, 2, 3, 5, 5, 2, 1, 5, 2, 5, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 4, 3, 5, 5, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 5, 4, 3, 5, 4, 5, 3, 1, 4, 5, 3, 5, 5, 2, L o s p e s o s d e l o s 6 5 e m p l e a d o s d e u n a f á b r i c a v i e n e n d a d o s p o r l a s i g u i e n t e t a b l a : P e s o [ 5 0, 6 0 ) [ 6 0, 7 0 ) [ 7 0, 8 0 ) [ 8 0, 9 0 ) [ 9 0, ) [ 1 0 0, ) [ 1 1 0, ) f i N o t a: A d e m á s, R e p r e s e n t a r e l h i s t o g r a m a y el p ol í g o no d e f r e c u e n c i a s. 8. L o s 4 0 a l um n o s d e u n a c l a s e h a n o b t e ni d o l a s s i g u i e n t e s p u n t u a c i o n e s, s o b r e 5 0, e n u n e x a m e n d e F í s i c a. 3, 1 5, 2 4, 2 8, 3 3, 3 5, 3 8, 4 2, 2 3, 3 8, 3 6, 3 4, 2 9, 2 5, 1 7, 7, 3 4, 3 6, 3 9, 4 4, 3 1, 2 6, 2 0, 1 1, 1 3, 2 2, 2 7, 4 7, 3 9, 3 7, 3 4, 3 2, 3 5, 2 8, 3 8, 4 1, 4 8, 1 5, 3 2, S e a u n a di s t r i b u c i ó n e s t a dí s t i c a q u e v i e n e d a d a p o r l a s i g u i e nt e t a b l a: x i f i C a l c u l a r : 1 La m o d a, m e d i a n a y m e di a. 2 E l r a n g o, d e s v i a c i ó n m e d i a, v a r i a n z a y d e s v i a c i ó n t í pi c a. ( c o n s u l t a r s u d e f i n i ci ó n, c o m o c a l c u l a r l o s y o bt e n e r s u v al o r ) 10.C a l c ul a r l a m e di a, l a m e d i a n a y l a m o d a d e l a s i g u i e nt e s e r i e d e n úm e r o s : 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4. 16

17 11 H a l l a r l a v a r i a n z a y l a d e s vi a c i ó n t í pi c a d e l a s i g u i e n t e s e r i e d e d a t o s: 1 2, 6, 7, 3, 1 5, 1 0, 1 8, H a l l a r l a m e di a, m e d i a n a y m o d a d e l a si g u i e nt e s e r i e d e n úm e r o s : 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, S e h a a p l i c a d o u n t e s t a l o s e m p l e a d o s d e u n a f á b r i c a, o b t e n i é n d o s e l a s i g u i e n t e t a bl a : [ 3 8, 4 4 ) 7 [ 4 4, 5 0 ) 8 [ 5 0, 5 6 ) 15 [ 5 6, 6 2 ) 25 [ 6 2, 6 8 ) 18 [ 6 8, 7 4 ) 9 [ 7 4, 8 0 ) 6 f i D i b u j a r el hi s t o g r a m a y e l p ol í g on o d e f r e c u e n c i a s a c u m ul a d a s D a d a s l a s s e r i e s e s t a dí s t i c a s : 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1. C a l c u l a r : L a m o d a, l a m e d i a n a y l a m e di a. 1. I n d i c a q u e v a r i a bl e s s o n c u a l i t a t i v a s y c u al e s c u a n t i t a t i v a s : 1 C o m i d a F a v o r i t a. 2 P r o f e si ó n q u e t e g u s t a. 3 N ú m e r o d e g o l e s m a r c a d o s p o r t u e q u i p o f a v o r i t o e n l a ú l t i m a t e m p o r a d a. 4 N ú m e r o d e a l u m n o s d e t u I n s t i t u t o 5 E l c o l o r d e l o s o j o s d e t u s c o m p a ñ e r o s d e c l a s e. 6 C o e f i c i e nt e i n t e l e ct u a l d e t u s c om p a ñ e r o s d e cl as e. 2. D e l a s s i g u i e nt e s v a ri a b l e s i n di c a c u á l e s s o n di s c r e t a s y c u a l e s c o n t i n u a s. 1 N ú m e r o d e a c c i o n e s v e n d i d a s c a d a d í a e n l a B o l s a. 17

18 2 T e m p e r a t u r a s r e g i s t r a d a s c a d a h o r a e n u n o b s e r v a t o r i o. 3 P e r í o d o d e d u r a c i ó n d e u n a ut o m ó vi l. 4 E l d i ám e t r o d e l a s r u e d a s d e v a r i o s c o c h e s. 5 N ú m e r o d e h i j o s d e 5 0 f a m i l i a s. 6 C e n s o a n u al d e l o s e s p a ñ o l e s. 3. C l a s i f i c a r l a s si g u i e nt e s v a r i a bl e s en c u al i t a t i v a s y c u a n t i t a t i v a s di s c r e t a s o c o n t i n u a s. 1 L a n a c i o n al i d a d d e u n a p e r s o n a. 2 N ú m e r o d e l i t r o s d e a g u a c o nt e n i d o s e n u n d e p ós i t o. 3 N ú m e r o d e l i b r o s e n u n e s t a nt e d e l i b r e r í a. 4 S u m a d e p u nt o s t e n i d o s e n e l l a n z am i e nt o d e u n p a r d e d a d o s. 5 L a p r o f e s i ó n d e u n a p e r s o n a. 6 E l á r e a d e l a s di s t i nt a s b al d o s a s d e u n e d i f i ci o. LECCION 2ª Distribución de frecuencia La distribución de frecuencia es la representación estructurada, en forma de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia. Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas (Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada x x x x x X1 n1 n1 f1 = n1 / n f1 X2 n2 n1 + n2 f2 = n2 / n f1 + f Xn-1 nn-1 n1 + n nn-1 fn-1 = nn-1 / n f1 + f2 +..+fn-1 Xn nn fn = nn / n Siendo X los distintos valores que puede tomar la variable. Siendo n el número de veces que se repite cada valor. Siendo f el porcentaje que la repetición de cada valor supone sobre el total Veamos un ejemplo: 18

19 Medimos la altura de los niños de una clase y obtenemos los siguientes resultados (cm): Alumno Estatura Alumno Estatura Alumno Estatura x x x x x x Alumno 1 1,25 Alumno 11 1,23 Alumno 21 1,21 Alumno 2 1,28 Alumno 12 1,26 Alumno 22 1,29 Alumno 3 1,27 Alumno 13 1,30 Alumno 23 1,26 Alumno 4 1,21 Alumno 14 1,21 Alumno 24 1,22 Alumno 5 1,22 Alumno 15 1,28 Alumno 25 1,28 Alumno 6 1,29 Alumno 16 1,30 Alumno 26 1,27 Alumno 7 1,30 Alumno 17 1,22 Alumno 27 1,26 Alumno 8 1,24 Alumno 18 1,25 Alumno 28 1,23 Alumno 9 1,27 Alumno 19 1,20 Alumno 29 1,22 Alumno 10 1,29 Alumno 20 1,28 Alumno 30 1,21 Si presentamos esta información estructurada obtendríamos la siguiente tabla de frecuencia: Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas (Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada x x x x x 1, ,3% 3,3% 1, ,3% 16,6% 1, ,3% 30,0% 1, ,6% 36,6% 1, ,3% 40,0% 1, ,6% 46,6% 1, ,0% 56,6% 1, ,0% 66,6% 1, ,3% 80,0% 1, ,0% 90,0% 1, ,0% 100,0% Si los valores que toma la variable son muy diversos y cada uno de ellos se repite muy pocas veces, entonces conviene agruparlos por intervalos, ya que de otra manera obtendríamos una tabla de frecuencia muy extensa que aportaría muy poco valor a efectos de síntesis. (tal como se verá en la siguiente lección). 19

20 LECCION 3ª Distribuciones de frecuencia agrupada Supongamos que medimos la estatura de los habitantes de una vivienda y obtenemos los siguientes resultados (cm): Habitante Estatura Habitante Estatura Habitante Estatura x x x x x x Habitante 1 1,15 Habitante 11 1,53 Habitante 21 1,21 Habitante 2 1,48 Habitante 12 1,16 Habitante 22 1,59 Habitante 3 1,57 Habitante 13 1,60 Habitante 23 1,86 Habitante 4 1,71 Habitante 14 1,81 Habitante 24 1,52 Habitante 5 1,92 Habitante 15 1,98 Habitante 25 1,48 Habitante 6 1,39 Habitante 16 1,20 Habitante 26 1,37 Habitante 7 1,40 Habitante 17 1,42 Habitante 27 1,16 Habitante 8 1,64 Habitante 18 1,45 Habitante 28 1,73 Habitante 9 1,77 Habitante 19 1,20 Habitante 29 1,62 Habitante 10 1,49 Habitante 20 1,98 Habitante 30 1,01 Si presentáramos esta información en una tabla de frecuencia obtendriamos una tabla de 30 líneas (una para cada valor), cada uno de ellos con una frecuencia absoluta de 1 y con una frecuencia relativa del 3,3%. Esta tabla nos aportaría escasa imformación En lugar de ello, preferimos agrupar los datos por intervalos, con lo que la información queda más resumida (se pierde, por tanto, algo de información), pero es más manejable e informativa: Estatura Frecuencias absolutas Frecuencias relativas Cm Simple Acumulada Simple Acumulada x x x x x 1,01-1, ,3% 3,3% 1,11-1, ,0% 13,3% 1,21-1, ,0% 23,3% 1,31-1, ,6% 30,0% 1,41-1, ,0% 50,0% 1,51-1, ,3% 63,3% 1,61-1, ,0% 73,3% 1,71-1, ,0% 83,3% 1,81-1, ,6% 90,0% 1,91-2, ,0% 100,0% El número de tramos en los que se agrupa la información es una decisión que debe tomar el analista: la regla es que mientras más tramos se utilicen menos información se pierde, pero puede que menos representativa e informativa sea la tabla. 20

21 LECCION 4ª Medidas de posición central Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. Estas medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos. Las medidas de posición son de dos tipos: a) Medidas de posición central: informan sobre los valores medios de la serie de datos. b) Medidas de posición no centrales: informan de como se distribuye el resto de los valores de la serie. a) Medidas de posición central Las principales medidas de posición central son las siguientes: 1.- Media: es el valor medio ponderado de la serie de datos. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más utilizadas: a) Media aritmética: se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra: Xm = (X1 * n1) + (X2 * n2) + (X3 * n3) (Xn-1 * nn-1) + (Xn * nn) n b) Media geométrica: se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican todo estos resultados y al producto fiinal se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra). Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica. La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. En todo caso, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada. Lo más positivo de la media es que en su cálculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que no se pierde ninguna información. Sin embargo, presenta el problema de que su valor (tanto en el caso de la media aritmética como geométrica) se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie. Estos valores anómalos podrían condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo ésta representatividad. 2.- Mediana: es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra (un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores). 21

22 No presentan el problema de estar influido por los valores extremos, pero en cambio no utiliza en su cálculo toda la información de la serie de datos (no pondera cada valor por el número de veces que se ha repetido). 3.- Moda: es el valor que más se repite en la muestra. Ejemplo: vamos a utilizar la tabla de distribución de frecuencias con los datos de la estatura de los alumnos que vimos en la lección 2ª. Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas (Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada x x x x x 1, ,3% 3,3% 1, ,3% 16,6% 1, ,3% 30,0% 1, ,6% 36,6% 1, ,3% 40,0% 1, ,6% 46,6% 1, ,0% 56,6% 1, ,0% 66,6% 1, ,3% 80,0% 1, ,0% 90,0% 1, ,0% 100,0% Vamos a calcular los valores de las distintas posiciones centrales: 1.- Media aritmética: Xm = (1,20*1) + (1,21*4) + (1,22 * 4) + (1,23 * 2) (1,29 * 3) + (1,30 * 3) Luego: Xm = 1,253 Por lo tanto, la estatura media de este grupo de alumnos es de 1,253 cm. 2.- Media geométrica: X = ((1,20^ 1) * (1,21^4) * (1,22^ 4) *...* (1,29^3)* (1,30^3)) ^ (1/30) Luego: Xm = 1,253 En este ejemplo la media aritmética y la media geométrica coinciden, pero no tiene siempre por qué ser así. 22

23 3.- Mediana: La mediana de esta muestra es 1,26 cm, ya que por debajo está el 50% de los valores y por arriba el otro 50%. Esto se puede ver al analizar la columna de frecuencias relativas acumuladas. En este ejemplo, como el valor 1,26 se repite en 3 ocasiones, la media se situaría exactamente entre el primer y el segundo valor de este grupo, ya que entre estos dos valores se encuentra la división entre el 50% inferior y el 50% superior. 4.- Moda: Hay 3 valores que se repiten en 4 ocasiones: el 1,21, el 1,22 y el 1,28, por lo tanto esta seria cuenta con 3 modas. LECCION 5ª Medidas de posición no central Medidas de posición no centrales Las medidas de posición no centrales permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la muestra en tramos iguales: Cuartiles: son 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados. Deciles: son 9 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en diez tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 10% de los resultados. Percentiles: son 99 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados. Ejemplo: Vamos a calcular los cuartiles de la serie de datos referidos a la estatura de un grupo de alumnos (lección 2ª). Los deciles y centiles se calculan de igual manera, aunque haría falta distribuciones con mayor número de datos. Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas (Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada x x x x x 1, ,3% 3,3% 1, ,3% 16,6% 1, ,3% 30,0% 1, ,6% 36,6% 1, ,3% 40,0% 1, ,6% 46,6% 1, ,0% 56,6% 23

24 1, ,0% 66,6% 1, ,3% 80,0% 1, ,0% 90,0% 1, ,0% 100,0% 1º cuartil: es el valor 1,22 cm, ya que por debajo suya se situa el 25% de la frecuencia (tal como se puede ver en la columna de la frecuencia relativa acumulada). 2º cuartil: es el valor 1,26 cm, ya que entre este valor y el 1º cuartil se situa otro 25% de la frecuencia. 3º cuartil: es el valor 1,28 cm, ya que entre este valor y el 2º cuartil se sitúa otro 25% de la frecuencia. Además, por encima suya queda el restante 25% de la frecuencia. Atención: cuando un cuartil recae en un valor que se ha repetido más de una vez (como ocurre en el ejemplo en los tres cuartiles) la medida de posición no central sería realmente una de las repeticiones. 24

25 TOMADO DE Tablas estadísticas Definiciones previas: Población: Es el conjunto de elementos sobre el que se realiza un estudio. La población puede ser finita o infinita, pudiendo ser objeto de estudio personas, animales, cosas, etc. Individuo: Llamaremos individuo a cada uno de los elementos de la población. Muestra: Es un subconjunto representativo de la población. En el caso de poblaciones infinitas o finitas con una gran cantidad de individuos, en lugar de realizar un estudio sobre la población (puede ser imposible o inviable), se toma una muestra con la premisa de que los elementos tomados estén en la misma proporción que en el conjunto de partida. Carácter: Es el elemento objeto de estudio, que puede ser la altura, el sexo, número de hijos, color de pelo, etc. Cada una de las posibilidades de los caracteres se llama modalidad, en el caso de ser numérica se llamará valor. Cuando se hace un estudio estadístico a cada uno de los caracteres se les denomina variable estadística, normalmente se las suele notar por una letra mayúscula. Estas variables se pueden clasificar en: Cualitativas: si la modalidad objeto de estudio no es cuantificable, es decir, no se puede medir numéricamente. Ejemplos de caracteres cualitativos pueden ser color de pelo, provincias de Andalucía, aficiones, profesión, etc. Cuantitativas: si la modalidad objeto de estudio es cuantificable, es decir, se pueden medir numéricamente. Dentro de las variables cuantitativas podemos distinguir entre: Discretas: La variable puede tomar valores puntuales. Ejemplo: Talla de pantalón, número de hermanos, habitantes de una ciudad, etc. Continuas: Los valores que toma la variable pueden ser cualquier real en un intervalo determinado. Ejemplo: Altura, peso, etc 25

26 Representaciones gráficas Diagrama de barras. Para realizar esta representación tomamos el primer cuadrante de un sistema de coordenadas donde el eje de abscisas se corresponderá con las modalidades y el de ordenada con las frecuencias, éstas pueden ser absolutas o relativas. Veamos con un ejemplo como queda. En una empresa se desea conocer el color de ojos de sus empleados, se observa a los 50 empleados y se obtienen los siguientes resultados: El diagrama de barras asociado es: Color ojos Empleados Negros 14 Marrones 24 Verdes 4 Azules 8 En otras ocasiones tenemos los datos de dos variables y queremos representarlos en un mismo diagrama de barras para compararlos, lo más probable es que no haya el mismo número de observaciones en cada una de ellas, por lo que no sería acertado representar el diagrama de barras con las frecuencias absolutas, en este caso las frecuencias relativas son más adecuadas para su representación. Dos empresas estudian el estado civil de sus empleados con el siguiente resultado: Diagrama de barras para variables cuantitativas discretas El procedimiento a seguir es similar al del caso cualitativo, con la salvedad de que ahora podremos obtener también diagramas de barras acumulados, cosa que no era posible determinar en el caso cualitativo. Consideremos el número de habitantes por vivienda en Andalucia en 2001,según el Instituto Andaluz de Estadística. La variable número de habitantes es cuantitativa por tanto podemos ordenar sus modalidades y realizar un estudio acumulado. 26

27 Nº Residentes Viviendas 1 persona personas personas personas personas personas personas personas personas o más personas Nº Residentes Viviendas acumuladas 1 persona personas personas personas personas personas personas personas personas o más personas

28 Representaciones gráficas Diagrama de sectores. Se toma un círculo y se divide en tantos sectores como clases tengamos, siendo el arco del círculo proporcional a las frecuencias absolutas (también lo podemos hacer con las frecuencias relativas o porcentajes) Para determinar el arco circular que corresponde a cada clase relacionamos el total de observaciones con los 360º grados de la circunferencia. Los grados de cada clase vendrán dados por. Ejemplo Los resultados en la primera evaluación de un curso de Bachillerato son los siguientes: aprobados 1 suspenso 2 suspensos 3 suspensos 4 o más Fuentes de contaminación acústica en Andalucía Fuente: Consejería de Medio Ambiente Representaciones gráficas Polígono de frecuencias Se obtiene uniendo con segmento los puntos de coordenadas (xi,ni) en el caso en que tomemos las frecuencias absolutas, si fuesen las relativas cambiaríamos ni por f i. El número de habitantes por vivienda en Andalucia en 2001,según el Instituto Andaluz de Estadística, es el que se adjunta en la tabla, vamos a representar un poligono de frecuencias. 28

29 Nº Residentes Viviendas 1 persona personas personas personas personas personas personas personas personas o más personas Por otro lado, al tratarse de un caracter cuantitativo podemos ordenar los datos y realizar una representación de los datos acumulados, en este caso tomamos Ni en lugar de ni Poligonal acumulada. Nº Residentes Viviendas acumuladas 1 persona personas personas personas personas personas personas personas personas o más personas Representaciones gráficas Pictograma Son gráficos con dibujos alusivos al carácter que se está estudiando y cuyo tamaño es proporcional a las frecuencias que representan. Tomemos el Padrón Municipal de Habitantes a 1 de Enero de 2005, podemos hacer una representación gráfica de los habitantes de cada una de las 8 provincias de Andalucía. Una imagen alusiva será la figura de una persona, cuyo tamaño estará relacionado con el número de habitantes de cada provincia. El pictograma correspondiente es el que sigue: 29

30 Representaciones gráficas Histograma Una variable continua puede tomar todos los valores comprendidos en un rango. Para clasificar los datos se cogen intervalos, a ser posible, de amplitud constante. Una vez ordenados los datos en una tabla podremos construir una gráfica que represente esos datos. La representación son rectángulos cuya área es proporcional a la frecuencia de cada modalidad, en el caso de que los intervalos que se tomen sean iguales, las alturas de los rectángulos se pueden tomar iguales a las frecuencias correspondientes. 1. Histograma con intervalos constantes La esperanza de vida de un hombre al nacer viene dada por la tabla que se adjunta, como se observa los intervalos en que se divide son de amplitud constante, entonces se puede representar el histograma correspondiente tomando Periodo Esperanza de vida [1951,1956) 58,60 [1956,1960) 63,75 [1961,1966) 66,51 [1966,1971) 67,67 [1971,1976) 68,42 [1976,1981) 69,69 [1981,1986) 71,97 [1986,1991) 72,58 [1991,1996) 73,19 [1996,2000] 74,20 2. También se puede construir el histograma de las frecuencias acumuladas. 30

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